Введение к работе
Актуальность работы. Модель Изинга, будучи простейшей среди использующихся при изучении кооперативных явлений, занимает в теоретической физике особое положение. В терминах этой решеточной модели могут быть описаны как равновесные состояния, так и релаксационные процессы в самых различных физических системах. В ее оригинальной формулировке модель Изинга была предложена для описания равновесного магнетика, чье микросостояние характеризуется конфигурацией спинов на одномерной решетке, каждый из которых имеет две ориентации — по внешнему магнитному полю или против него. В рамках этой модели энергия взаимодействия спинов в произвольной конфигурации равна сумме энергий взаимодействий пар соседних спинов. При расширении области применимости модели Изинга на неравновесные системы она будет характеризоваться тем, что вероятность переворота каждого из спинов на решетке зависит только от ориентации его ближайших соседей. Как в равновесной, так и в неравновесной модели Изинга задачей теории является вычисление не только намагниченности, но и корреляционных функций.
Одномерная модель Изинга, представлявшая вначале лишь академический интерес, затем с успехом использовалась для решения многих задач физики (вычисление невозмущенных размеров и дипольных моментов линейных макромолекул), нахождение их релаксационных характеристик, биофизики (описание перехода спираль-клубок в биополимерах) и химической физики (расчет равновесия и кинетики адсорбции или химической реакции малых молекул на макромолекулах полимеров, описание процессов диффузии-аннигиляции частиц на одномерной решетке).
В настоящее время точное аналитическое решение общей одно-
меркой кинетической модели Изинга, в отличии от равновесного ее варианта, не известно. Поэтому возможны два направления исследований, как-то: компьютерное моделирование динамики изинговских магнетиков или поиски частных случаев общей кинетической модели Изинга, в которых удается найти точные решения.
Цель работы состоит в нахождении точных решений для спино
вых корреляционных функций в некоторых частных случаях (модель
Келлера и модель Глаубера) общей кинетической модели Изинга на
одномерной решетке. . .
В задачи работы включены:
вывод, в рамках модели Келлера как неразбавленного так и разбавленного изинговского магнетика замкнутых, допускающих аналитическое решение в квадратурах, систем уравнений, описывающих эволюцию во времени спиновых корреляционных функций произвольного порядка;
разработка метода решения основного кинетического уравнения с использованием Грассмановой алгебры для нахождения производящих функций спиновых корреляторов и его применение для описания глауберовой динамики одномерной модели Изинга с "произвольными обменными взаимодействиями между ближайшими соседями;
Научная новизна.
В диссертации впервые получены следующие новые научные результаты, которые выносятся на защиту:
1. В рамках модели Келлера выведены замкнутая система из обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, описыва-
ющих изменение во времени спиновых корреляционных функций, а также для соответствующих им производящих функций, допускающие аналитическое решение в квадратурах.
-
Для описания временной эволюции вероятностей доменов в случае модели Келлера выведена замкнутая система уравнений в частных производных первого порядка и найдено ее аналитическое решение в некоторых частных случаях.
-
В рамках модели Келлера для разбавленного изинговского магнетика выведены замкнутые системы из обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, описывающие эволюцию во времени спиновых корреляционных функций произвольного порядка, и соответствующих им производящих функций, допускающие аналитическое решение в квадратурах.
-
Предложен новый подход для нахождения производящих функций (ПФ) спиновых корреляторов, основанный на использовании Грас-смановых переменных.
-
С помощью этого подхода были получены формальные аналитические решения для указанных ПФ, использующихся для описания глауберовой динамики изинговского магнетика с произвольными обменными взаимодействиями между ближайшими соседями.
О достоверности полученных результатов свидетельствует совпадение в предельных случаях окончательных результатов для некоторых спиновых корреляционных функций с выведенными ранее другими авторами на основе методов, отличных от используемых в диссертации.
Научная и практическая значимость.
Рассматриваемая кинетическая модель Изинга является одной из
базовых моделей теоретической физики и физики твердого тела, так что получение любых точных результатов в рамках этой модели имеет фундаментальное значение. Практическая ценность обусловливается возможностью использования результатов, полученных в диссертации, при описании данных экспериментальных исследований физико-химии синтетических и биологических полимеров.
Апробация результатов. Основные результаты, представленные в диссертации, были доложены и обсуждены на конференции по химии и физике полимеров и тонких органических пленок (Пущино, 1999), семинарах Отдела кинетики и катализа ИХФ РАН и кафедры теоретической физики МИФИ.
Публикации. По теме диссертации опубликованы 3 научные работы.
Структура и объем работы. Диссертация, изложенная на 115 страницах, текста, состоит из введения, четырех глав, заключения, десяти приложений и, списка цитированной литературы из 158 наименований.
