Содержание к диссертации
Введение
1 Критические явления 8
1.1 Введение 8
1.1.1 Критические индексы 10
1.1.2 Теория самосогласованного поля 12
1.2 Учет флуктуации 13
1.3 Уравнения ренормгруппы 16
1.3.1 Критические индексы с учетом флуктуационных эффектов . 18
1.4 Модель Изинга. Алгоритмы 21
1.4.1 Модель Изинга. История и значение 21
1.4.2 Основные определения модели 22
1.4.3 Алгоритм Метрополиса 23
1.4.4 Алгоритм Вольфа 25
1.5 Влияние примесей 27
1.5.1 Влияние примесей: случайные немагнитные примеси. Теоретико-полевой подход 30
1.5.2 Компьютерное моделирование неупорядоченных систем 37
1.6 Выводы и задачи исследования 43
2 Компьютерное моделирование равновесного критического поведения трехмерной неупорядоченной модели Изинга 47
2.1 Введение 47
2.2 Методика и результаты компьютерного моделирования 49
2.3 Метод конечноразмерного скейлинга 53
2.3.1 Теория скейлинга 54
2.3.2 Обработка данных моделирования процедурой конечноразмер-ного скейлинга 55
2.4 Расчет критических характеристик 62
2.5 Анализ результатов и выводы 68
3 Методы суммирования асимптотических рядов и их применение к расчету динамического критического индекса 69
3.1 Введение 69
3.2 Модель 72
3.3 Ряды теории 77
3.4 Методы суммирования асимптотических рядов 79
3.4.1 Методы Паде-Бореля и Паде-Бореля-Лероя 80
3.4.2 Метод конформного отображения 81
3.4.3 Сравнение методов на точно решаемой задаче 83
3.4.4 Расчет критических характеристик 86
3.5 Многопараметрические ряды 89
3.5.1 А-метод. Метод конформного отображения 89
3.5.2 Расчет критических характеристик 90
3.6 Анализ результатов и выводы 92
4 Исследование неравновесной критической релаксации в трехмерной неупорядоченной модели Изинга 97
4.1 Введение 97
4.2 Модель 98
4.3 Метод коротковременной динамики 100
4.4 Расчет критических характеристик 102
4.4.1 Методика расчета 107
4.5 Анализ результатов и выводы 110
Заключение 112
Список литературы
- Уравнения ренормгруппы
- Метод конечноразмерного скейлинга
- Методы суммирования асимптотических рядов
- Расчет критических характеристик
Введение к работе
Фазовый переход - сложное и многогранное явление. Согласно Л.Д. Лан дау, фазовые переходы с качественной стороны характеризуются изме нением симметрии системы, а с количественной - параметром порядка, соответствующим данному изменению симметрии.
Теория Ландау [1, 2] была первой теорией, позволяющей с единой 1 точки зрения подходить к проблеме критических явлений, независимо от их природы. Однако большинство количественных результатов этой теории не соответствовали реальному поведению критических систем. Так, в 1944 году Л. Онсагером [3] было найдено точное решение модели Изинга. Полученные им результаты резко отличались от результатов, , предсказываемых теорией Ландау. Эксперименты на различных физи 18 J ческих объектах также показывали отличие критического поведения от результатов теории Ландау.
Начало современной теории критических явлений, учитывающей крупномасштабные долгоживущие флуктуации, было заложено в работах А.З. Паташинского и В.Л. Покровского [4, 5, 6]. Ими была сформулирована гипотеза подобия критических флуктуации. Каданов [7] сформулировал идею масштабной инвариантности термодинамических свойств систем в окрестности критических точек.
Основываясь на гипотезе подобия Вильсон [8, 9] развил метод ренор-мализационной группы, применительно к исследованию критических явлений. Все критические индексы были получены Вильсоном в виде ряда д по малому параметру е (е = 4 — d, где d - размерность пространства).
ц Поляков и Мигдал [10, И] указали на существование аналогии меж ду статистическим описанием поведения систем при фазовых переходах второго рода и квантовой теорией поля. Основываясь на этом, Ди Ка Л. стро и Иона-Ласинио [12] впервые использовали теоретико-полевой под -/ ход для решения проблем фазовых переходов.
Проблема влияния замороженных дефектов структуры на критическое поведение является важной как с теоретической, так и с практической точек зрения.
и Исследования показали, что влияние замороженных дефектов, прояв ляющееся как случайное возмущение локальной температуры, приводит к смене режима критического поведения и описывается новым набором критических индексов. Это связано с тем, что присутствие дефектов вызывает нарушение трансляционной инвариантности системы, приводит к рассеянию критических флуктуации на дефектах структуры и дополни % j тельному взаимодействию флуктуации параметра порядка посредством поля дефектов.
В работе [13] сформулирован критерий, определяющий существенность влияния замороженных точечных дефектов на критические явления, называемый обычно критерием Харриса. В соответствии с ним, присутствие замороженных точечных дефектов (например, примеси немаг нитных атомов в ферро- или антиферромагнитных материалах) изменяет критические свойства систем, теплоемкость которых в однородном состоянии испытывает расходимость в критической точке с показателем а 0. Как показали исследования [14, 15, 16, 17], данному критерию удовлетворяют только изингоподобные системы.
Ренормгрупповой подход с использованием е-разложения позволил по (} t лучить значения критических индексов для неупорядоченных систем [18, 19, 20]. Вследствие плохой сходимости рядов б-разложения для систем, содержащих замороженные примеси, был применен теоретико-полевой подход непосредственно в пространстве d = 3 [15, 16, 21], что позволило получить критические индексы в высоких порядках теории возмущений. С рекордной точностью в шестипетлевом приближении для слабо неупорядоченных систем критические индексы были получены в работе [22].
Экспериментальные исследования [23] показали хорошее согласие теоретических результатов для слабо неупорядоченных систем с беспорядком типа случайная температура с опытными данными. Однако, по-прежнему, много вопросов в проведенных исследованиях остаются открытыми. В частности, меняются ли значения критических показателей в зависимости от концентрации примесей и возникает ли новая перко-ляционная фиксированная точка в системах с большой концентрацией примесных атомов. Однозначного ответа на данные вопросы пока не существует.
В связи с выше изложенным целью настоящей диссертации является:
1. Численное определение с использованием методов Монте-Карло равновесных критических индексов и критических температур для трехмерной модели Изинга в широком диапазоне изменения спиновых концентраций (0.50 р 0.95), применяя процедуру конечноразмерного скей-линга с учетом асимптотических поправок к скейлингу.
2. Расчет значений динамического критического индекса z для однородных трехмерных и двумерных систем, описываемых моделью Изинга, а также слабо неупорядоченных изингоподобных систем методами суммирования асимптотических рядов.
3. Определение динамического критического индексам и равновесных критических индексов для слабо неупорядоченной трехмерной модели Изинга со спиновой концентрацией р — 0.80, используя численный метод коротковремепной динамики. Сопоставление полученных значений критических индексов с результатами теоретико-полевого расчета при применении методов суммирования асимптотических рядов.
Уравнения ренормгруппы
Эффективному гамильтониану (1.5) можно придать форму затравочного гамильтониана (1.2), если произвести измениение масштабов для импульсов и параметров порядка: q - q/Ь, %, - ЗДЛ. (1.7)
В результате преобразований импульсов, интегрирование в выражениях (1.6) будет проводиться в прежнем интервале 0 \qa\ Л, поэтому эффективный гамильтониан Н [ф], определяемый формулами (1.5), (1.6), запишется в виде
Преобразования (1.7) называются преобразованиями Каданова. Они соответствуют идеи о переходе от исходной решетки "спинов"к укрупненным блокам с эффективными спинами [27]. Ренормированные константы гиг выражаются через затравочные следующими уравнениями:
Переход от исходного гамильтониана Я к эффективному Я можно описать с помощью некоторого оператора R, действие которого можно повторить и получить новые гамильтонианы Я", Н " и т. д.:
Операторы R,R2,R3,... образуют так называемую ренормализацион-ную группу (ренормгруппу). Точнее было бы назвать ренормгруппу полугруппой, поскольку не существует обратный элемент Я_1. Изменение параметров гамильтониана при однократном действии оператора R описывается ренормуравнениями (1.9).
Возможность фазового перехода связывается с существованием неподвижных (фиксированных) точек преобразования. Фиксированными точками называются такие точки на плоскости параметров гамильтониана, в которых заканчиваются траектории, и никаких других траекторий из них не выходит. Неподвижные точки находятся из следующего уравнения:
Скорость подхода фазовых траекторий к фиксированной точке определяет критический индекс корреляционной длины. В частности, для фиксированной точки (г , и ) уравнения имеют следующий вид:
Кроме этих точек существует тривиальное решение: и = г = 0. Далее необходимо исследовать полученные точки на устойчивость, что позволит определить тип фазового перехода. С неустойчивыми фиксированными точками связывают фазовые переходы 1-го рода. Устойчивым неподвижным точкам соответствует фазовый переход 2-го рода. В данном случае фиксированная точка является стабильной и, следовательно, с ней связывается фазовый переход 2-го рода.
В заключении можно отметить, что из результатов (1.11) и (1.12) следует, что оба критических индекса ц и и, вычисленные методом ренор-мгруппы, определяются лишь числом компонент параметра порядка и размерностью пространства, и не зависят от величины взаимодействия и других микрохарактеристик спиновой системы. Это подтверждение гипотезы универсальности является крупнейшим достижением флуктуаци-онной теории фазовых переходов.
Однако, математически метод Вильсона не очень корректен. Ряды по б, как и вообще ряды теории возмущений, являются асимптотическими: коэффициенты факториально растут с ростом показателей степени. Используемый малый параметр е(п + 2)/(n + 8) не мал ( 1/3). Начиная с четвертого порядка согласие с экспериментом ухудшается. Кроме того, аналитическое продолжение по б также не является однозначной процедурой. Но совпадение значений вычисленных критических индексов с экспериментальными не может являться случайным. Теория Вильсона демонстрирует возникновение масштабно-инвариантных корреляций и несомненно позволяет получать значение критических индексов, соответствующих физическому и компьютерному экспериментам на простейших моделях [б].
Решение ряда перечисленных проблем, в частности, получение корректных результатов в высокопетлевых порядках, находится в применении вместо подхода Вильсона теоретико-полевого подхода (данный подход будет описан ниже). Однако и данный метод ограничен рамками малости параметра разложения теории возмущений. Поэтому практически единственным непертурбативным методом, позволяющим получать корректные результаты, подтверждающие или опережающие реальный эксперимент, является компьютерное моделирование.
Метод конечноразмерного скейлинга
Проведенный анализ современного состояния теории критических явлений позволил сделать ряд выводов и поставить следующие задачи для исследования:
1. Актуальной является задача исследования влияния замороженных точечных дефектов структуры на критическое поведение изингоподоб-ных систем. При этом одним из важнейших является вопрос о зависимости критических индексов от степени разбавления системы дефектами структуры. Является ли универсальным критическое поведение систем вплоть до порога спиновой перколяции или возникают две или более групп универсального критического поведения (ступенчатая универсаль ность). Из-за невозможности проведения аналитических исследований в области сильной неупорядоченности, единственным способом, позволяющим дать ответ на поставленные вопросы, является компьютерное моделирование.
В связи с выше изложенным целью настоящей диссертации является численное определение с использованием методов Монте-Карло равновесных критических индексов и критических температур для трехмерной модели Изинга в широком диапазоне изменения спиновых концентраций (0.50 р 0.95), применяя процедуру конечноразмерного скейлинга с учетом асимптотических поправок к скейлингу.
В рамках данного исследования провести: - обработку данных компьютерного моделирования неупорядоченной трехмерной модели Изинга со спиновыми концентрациямир = 0.95, 0.80, 0.60, 0.50 методом конечноразмерного скейлинга; - определение функциональной формы скейлинговых функций для корреляционной длины и восприимчивости х с использованием полиномиальной аппроксимации как от переменной х = L/L, так и от ехр(—1/х), где L - линейный размер моделируемой системы; - на основе скейлинговых функций расчет асимптотических значений корреляционной длины и восприимчивости в критической области температур; - с учетом поправки к скейлингу расчет значений критических индексов для корреляционной длины и восприимчивости, критических температур и индекса поправки к скейлингу; - сопоставление найденных значений критических индексов с результатами теоретических, экспериментальных работ и численного исследо вания методом Монте-Карло.
2. При аналитическом описании критического поведения слабо неупорядоченной модели Изинга возникают ряды теории возмущений. При этом для реальных систем с размерностью пространства d — 2,3 их сходимость будет лишь асимптотической. Для суммирования подобных рядов необходимо применять специально разработанные методы, точность которых зависит от порядка теории возмущений. Ряды теории, возникающие при неравновесном описании критического поведения, из-за стремительного роста с каждым последующим порядком теории числа диаграмм, значительно короче рядов для равновесных характеристик. Поэтому для их суммирования необходимо применять методы, дающие высокую точность уже в самых низких порядках теории возмущений.
В связи с выше изложенным целью настоящей диссертации является расчет значений динамического критического индекса z для однородных трехмерных и двумерных систем, описываемых моделью Изинга, а также слабо неупорядоченных изингоподобных систем методами суммирования асимптотических рядов.
В рамках данного исследования провести: - на примере точно решаемой задачи расчет значений произвольного параметра в методе Паде-Бореля-Лероя; - сравнение методов Паде-Бореля, Паде-Бореля-Лероя и конформного Паде-Бореля на примере точно решаемой задачи; - расчет динамического индекса для однородной двумерной и трехмерной моделей Изинга указанными методами;
Методы суммирования асимптотических рядов
Для описания аномальных свойств термодинамических характеристик систем при фазовых переходах второго рода широко применяется метод теоретико-полевой реиормгруппы, позволяющий рассчитать значения критических индексов, характеризующих асимптотическое поведение термодинамических и корреляционных функций вблизи критической температуры.
Рассматриваемая модель критического поведения однородной ферромагнитной системы представляет собой классическую спиновую систему термодинамически эквивалентную 0(п) симметричной модели Гинзбурга-Ландау с эффективным гамильтонианом где d - размерность системы, ip(x, t) - n-компонентный параметр порядка (намагниченность), го Т — TCQ ( - критическая температура в приближении среднего поля) и до 0 - вершина взаимодействия флуктуации намагниченности. Динамическое поведение магнетика в релаксационном режиме вблизи критической точки в рамках модели Л описывается кинетическим уравнением для параметра порядка типа уравнения Ланжевена где До - кинетический коэффициент, ((х, t) - гауссова случайная сила, h(x, і) - внешнее магнитное поле. Известно, что его решение в виде корреляционных функций и функций отклика можно получить используя производящий функционал следующего вида где введены вспомогательное поле ф с источником поля к и функционал действия При этом функция отклика параметра порядка на поле h определяется Вместо функции отклика удобнее рассматривать ее вершинную часть
Учет дальнодействующих и долгоживущих флуктуации параметра порядка, во многом определяющих аномалии равновесных и неравновесных характеристик систем при Т — Тс, осуществляется в рамках разработанных методов ренормгруппы [87, 51, 99]. Используемые в теории перенормированные динамические вершинные функцииГ (к,и) (N + Лг)-го порядка, однозначно определяющие все наблюдаемые характеристики системы, задаются дифференциальным ренормгрупповым уравнением: с перенормированными зарядом д, приведенной температурой г и кинетическим коэффициентом Л. Асимптотическое поведение термодинамических и корреляционных функций, имеющее при Т — Тс степенной характер, определяется нулем д функции (5(g): (3(д ) = 0, и значениями функций 7r( ? ) 1\{д ), 1ф{д )і задающими статические и динамический критические индексы: и = (2 + 7г( 7 ))-1) ? — 1ч {9 )- z — 2 + 7А( 7 ) (как пример, 7 = (2 — г/), магнитная восприимчивость х Г — Тс-7).
Функции /%), 7г( ), 7А Ы, 1ФЫ» входящие в дифференциальное уравнение ренормгруппы, могут быть вычислены в виде рядов под. Для размерности пространства d, близкой к четырем, координата неподвижной точки д функции (3(g) принимает малые значения. В этом случае применимы методы теории возмущений по константе связи д 4 — d и можно подсчитать критические индексы. Для реальных систем с d = 3,2 ряды по д являются асимптотическими и для их суммирования нужно применять специальные методы, не основанные на представлениях теории возмущений [94, 95, 55].
При описании критического поведения структурно неупорядоченных систем с замороженными в узлах решетки немагнитными атомами примеси или вакансиями, играющими роль точечных дефектов структуры, в эффективный гамильтониан модели Гинзбурга-Ландау (3.1) вводят дополнительное слагаемое где V(x) - потенциал случайного поля дефектов, приводящий к флукту-ациям локальной критической температуры 7 Т — TCQ. Распределение дефектов структуры в объеме системы полагается гауссовским (учет отклонения от гауссовского распределения приводит лишь к несущественным в критической области поправкам) с функцией распределения
Расчет критических характеристик
В данной главе рассматривается модель неупорядоченной спиновой системы в виде кубической решетки с линейным размером L и наложенными граничными условиями. Микроскопический гамильтониан неупорядоченной модели Изинга задается выражением (2.1): где Jij - обменное взаимодействие между закрепленными в узлах решетки спинами CTJ, принимающими значения ±1. Немагнитные атомы примеси образуют пустые узлы. Числа заполнения pi при этом принимают значения 0 или 1 и описываются функцией распределения (2.2): с р = 1 — с, где с - концентрация атомов примеси. Примесь равномерно распределяется по всей системе, и при моделировании ее положение фиксируется для отдельной примесной конфигурации. Для моделирования спиновых конфигураций в системе был применен алгоритм Метрополиса. В данной работе была исследована релаксационная динамика системы, описываемая моделью А Гальпериным в [87]. Алгоритм Метро-полиса, реализующий динамику односпииовых переворотов в классификации моделей критической динамики, проведенной Хоэнбергом и, наилучшим образом соответствует релаксационной модели А и позволяет провести сравнение получаемого в результате моделирования критической релаксации системы динамический критический индекс z с результатами ре-нормгруппового описания [97] (глава 3) критической динамики модели А для систем с пространственно некоррелированным распределением дефектов структуры.
Традиционное моделирование критического поведения системы взаимодействующих частиц методом Монте-Карло наталкивается на трудности, связанные в основном с явлением критического замедления, характеризующимся тем, что время релаксации системы, как и время корреляции состояний неограниченно растут по мере приближения к критической температуре и степенной характер их асимптотической зависимости от приведенной температуры определяется динамическим индексом z. Для структурно неупорядоченных систем эта проблема еще более существенна, т. к. их неравновесное критическое поведение определяется индексом z, принимающим большие значения, чем для однородных систем. Для уменьшения эффектов влияния критического замедления применяют кластерные алгоритмы Вольфа или Свендсена-Ванга, но эти алгоритмы столь существенно меняют динамику системы по сравнению с алгоритмом Метрополиса, что для получения информации о характеристиках критической динамики их применять нельзя. В связи с этим в данной работе был применен метод коротковременной динамики (МКД) для получения значений как динамического, так и статических критических индексов. Особенностью МКД является то, что информация об универсальном критическом поведении может быть получена на относительно малых макроскопических промежутках времени (от 1000 до 2000 шагов Монте-Карло на спин (MCS)) на ранней стадии развития системы в критической точке или ее окрестности.
МКД был обоснован результатами аналитических и численных исследований, проведенных в работах [127, 128]. Так, в работе [127] на основе ренормгруппового анализа было показано, что после микроскопически малого промежутка времени tm\c для к-го момента намагниченности системы реализуется скейлинговая форма где t - время, т = (Т — Тс)/Тс - приведенная температура, L - линейный размер решетки, Ь - произвольный масштабный фактор, /?, и, z - известные критические индексы, XQ - новый независимый критический индекс, задающий скейлинговую размерность начального значения намагниченности ГП().
