Содержание к диссертации
Введение
1 Критические явления 12
1.1 Введение 12
1.1.1 Критические индексы 14
1.1.2 Теория самосогласованного поля 15
1.2 Учет флуктуации 16
1.2.1 Уравнения реиормгруппы 19
1.2.2 Критические индексы с учетом флуктуационпых эффектов 21
1.3 Модель Изинга. Алгоритмы 23
1.3.1 Модель Изинга. История и значение. 23
1.3.2 Основные определения модели 24
1.3.3 Алгоритм Метрополиса 26
1.3.4 Алгоритм Вольфа 28
1.4 Влияние примесей 30
1.4.1 Влияние примесей: случайные немагнитные примеси 31
1.4.2 Влияние примесей: случайные немагнитные примеси. Теоретико-полевой подход 33
1.4.3 Компьютерное моделирование неупорядоченных систем 39
1.5 Влияние примесей: случайные магнитные поля 45
1.5.1 Фазовые переходы в системах со случайными магнитными полями 47
1.5.2 Скейлинговые соотношения 48
1.5.3 Ренормгрупповое описание беспорядка типа случайное магнитное поле 50
1.6 Спиновые стекла 52
1.7 Выводы и задачи исследования 54
2 Исследование неупорядоченной антиферромагнитной модели Изинга с эффектами случайных магнитных полей методом Монте - Карло 56
2.1 Введение 56
2.2 Модель 59
2.3 Результаты 63
2.4 Анализ результатов и выводы 75
3 Исследование влияния случайных магнитных полей при фазовых переходах на примере точно репіаемой модели 85
3.1 Введение 85
3.2 Учет влияния случайных магнитных полей 86
3.2.1 Гауссово распределение случайных магнитных полей 88
3.2.2 Бимодальное распределение 91
3.3 Критические индексы системы со случайными полями 93
3.4 Феноменологическое обобщение модели 96
3.5 Анализ результатов. Выводы 101
4 Определение критических параметров слабо неупорядоченной трехмерной модели Изинга 103
4.1 Введение 103
4.2 Модель 106
4.3 Методика компьютерного моделирования критического поведения неупорядоченной модели Изинга 107
4.4 Результаты компьютерного моделирования 111
4.5 Анализ результатов и основные выводы 121
Заключение 124
- Учет флуктуации
- Влияние примесей: случайные магнитные поля
- Учет влияния случайных магнитных полей
- Методика компьютерного моделирования критического поведения неупорядоченной модели Изинга
Введение к работе
Фазовый переход - сложное и многогранное явление. Согласно Ландау фазовые переходы с качественной стороны характеризуются изменением симметрии системы а с количествениой-параметром порядка, соответствующим данному изменению симметрии.
Теория Ландау [1, 2] была первой теорией, позволяющей с единой точки зрения подходить к проблеме критических явлений, независимо от их природы. Однако большинство количественных результатов этой теории не соответствовали реальному поведению критических систем. Так в 1944 году Л. Онсагером [3] было найдено точное решение модели Изинга. Полученные им результаты резко отличались от результатов предсказываемых теорией Ландау. Эксперименты на различных физических объектах также показывали отличие критического поведения от результатов теории Ландау,
Начало современной теории критических явлений, учитывающей крупномасштабные долгоживущие флуктуации было заложено в работах А.З. Паташинского и В.Л. Покровского [4, 5, 6]. Ими была сформулирована гипотеза подобия критических флуктуации. Кадапов [7] сформулировал идею масштабной инвариантности термодинамических свойств систем в окрестности критических точек.
Основываясь на гипотезе подобия Вильсон [8, 9] развил метод ренор-мализациошюй группы, применительно к исследованию критических явлений. Все критические индексы были получены Вильсоном в виде ряда по малому параметру є (є = 4 — d, где d - размерность пространства).
Поляков и Мигдал [10, 11] указали на существование аналогии между статистическим описанием поведения систем при фазовых переходах второго рода и квантовой теорией поля. Основываясь на этом Ди Кастро и Иона-Ласинио [12] впервые использовали теоретико - полевой подход для решения проблем фазовых переходов.
Проблема влияния замороженных дефектов структуры на критическое поведение является важной как с теоретической так и практической точек зрения.
Исследования показали, влияние замороженных дефектов, проявляющиеся как случайное возмущение локальной температуры приводит к смене режима критического поведения, описываемого новым набором критических индексов. Это связано с тем, что присутствие точечных дефектов вызывает нарушение трансляционной инвариантности системы, что приводит к рассеянию критических флуктуации на дефектах структуры и дополнительному взаимодействию флуктуации параметра порядка посредством поля дефектов.
В работе [13] сформулирован критерий, определяющий существенность влияния замороженных примесей на критические явления, называемый обычно критерием Харриса. В соответствии с ним присутствие замороженных точечных дефектов (например, примеси немагнитных атомов в ферро- или антиферромагнитных материалах) изменяет критические свойства систем, теплоемкость которых в однородном состоянии испытывает расходимость в критической точке с показателем а 0. Как показали исследования [14, 15,16, 17] данному критерию удовлетворяют только изин-гоподобные системы.
Ренормгрупповой подход с использованием є - разложения позволил получить значения критических индексов для неупорядоченных систем [18, 19, 20]. В следствии плохой сходимости рядов є - разложения для систем содержащих замороженные примеси был применен теоретики - полевой подход непосредственно в пространстве d 3 [15, 16, 21], что позволило получить критические индексы в высоких порядках теории возмущений. С рекордной точностью в шестипетлевом приближении для слабонеупорядоченных систем критические индексы были получены в работе [22].
Экспериментальные исследования [23] показали хорошее согласие теоретических результатов для слабонеупорядоченных систем с беспорядком типа случайная температура с опытными данными. Однако по-прежнему много вопросов здесь остаются открытыми. В частности меняется ли значения критических показателей в зависимости от концентрации примесей и возникает ли новая перколяционная фиксированная точка в системах с большой концентрацией примесных атомов. Однозначного ответа на данные вопросы пока не существует.
Для систем с беспорядком типа случайное магнитное поле наблюдается противоположная ситуация. Не смотря на многочисленные исследования продолжающиеся с 1975 после работ [24], где впервые был описан данный тип беспорядка в настоящее время существует совсем немного надежно установленных фактов о поведении систем со случайным магнитным беспорядком. В частности, природа фазового перехода в модели Изинга со случайными полями все еще остается невыясненной, а получаемые как теоретически так и при компьютерном моделировании таких систем результаты являются противоречивыми. Практически единственным надежно установленным фактом является то, что верхняя критическая размерность для этого фазового перехода (размерность системы, выше которой критические явления описываются теорией среднего поля) равна шести, в отличие от однородных систем, где она равна четырем. В последнее время в вопросе о нижней критической размерности перехода di в модели Изинга со случайными полями (размерность системы, выше которой осуществляется дальнее упорядочение при температурах отличных от нуля) при существующих аргументах как в пользу dj=2 [24], так и в пользу di=2, [25] после работ [26, 27] исследователи пришли к заключению, что di=2.
Для описания влияния случайных полей на поведение магнитных систем используются две на качественном уровне эквивалентные модели: ферромагнитная модель Изинга со случайным магнитным полем (RFIM) [28] и неупорядоченная антиферромагнитная модель Изинга во внешнем однородном поле (DAFF) [29].
Реальные магнитные системы с эффектами случайных полей являются антиферромагнетиками с замороженными примесями немагнитных атомов, в поведении которых наряду с антиферромагнитным взаимодействием ближайших атомов проявляются эффекты влияния ферромагнитного взаимодействия атомов, следующих за ближайшими. В модели DAFF не учитывается конкуренция ферромагнитного взаимодействия, поэтому область ее реального применения, как и модели RFIM, довольно ограничена.
Природа фазового перехода в трехмерной модели Изинга до сих пор еще не ясна. Так в [30] было найдено что для модели RFIM при бимодальном распределении случайных магнитных полей существует трикритическая точка. Однако для случая гауссовского распределения случайного магнитного беспорядка трикритическая точка не была выявлена, и т.о. в данной системе реализуется фазовый переход второго рода.
Методом высоко температурного разложения в [31] было найдено что фазовый переход в системах со случайными магнитными полями первого рода. Однако в более поздней работе [32] учет разложения до 15 - го порядка выявил непрерывный фазовый переход для обоих типов распределения.
Использование методов численного моделирования также не дало однозначного ответа. В работе [33] был выявлен фазовый переход первого рода, но в работах [34, 35] фазовый переход второго рода. Позднее в работах [36, 37] как для бимодального так и для гауссовского распределения было найдено логарифмическое поведение спонтанной намагниченности (0 ж 0), что подтверждается также ренормгрупповыми исследованиями с учетом преобразований Мигдала - Каданова [38, 39, 40], Но среди полученных значений других критических показателей наблюдается существенное несоответствие. Так в ранних ренормгрупповых исследованиях систем со случайными магнитными полями [25] был открыт сдвиг размерности пространства d t d—2, переводящий значения индексов для модели со случайными полями в значения индексов однородной модели. Позднее была обоснована необходимость использования дополнительного независимого критического показателя 9 [41, 42] для описания неупорядоченных систем со случайными магнитными полями. Однако разработанный в работе Брая и Мура [43] метод realspace ренормгруппы с использованием преобразования Мигдала - Каданова [44, 45], учитывающий три независимых критических показателя не позволил получить адекватные значения основных критических индексов. Найденные данным методом значения основных критических показателей оказались существенно завышенными [38, 39, 40, 46].
Объяснение неадекватности результатов, получаемых пертурбативны-ми методами дано в работе [47], где показана необходимость учета поправок во всех порядках теории возмущений для получения корректных результатов при исследовании неупорядоченных систем со случайными магнитными полями. В связи с этим резко возрастает роль непертурбативных методов исследования данных неупорядоченных систем в частности методов компьютерного моделирования а также использование различных точно решаемых моделей.
В связи с вышеизложенным цель настоящей диссертации является:
1. Исследование неупорядоченной антиферромагнитной модели Изинга с эффектами случайных магнитных полей методом Монте - Карло. В рамках данного исследования провести:
- компьютерное моделирование методом Монте - Карло 3- х мерной антиферромагнитной модели Изинга со случайными магнитными полями с учетом конкурирующего взаимодействия спинов, следующих за ближайшими соседями в широкой области концентраций примесных атомов и внешних магнитных полей.
- определить тип возникающих в системе фазовых переходов в зависимости от концентрации примесей и магнитных полей с учетом спинового порога перколяции посредством анализа поведения различных физиче ских величин таких как спонтанная намагниченность, шахматный параметр порядка, восприимчивости, кумулянтов Биндера и других. Исследовать условия возникновения спин - стекольных состояний.
- построить результирующую фазовую диаграмму модели.
- сопоставить полученные результаты с результатами других исследований систем со случайными магнитными полями.
2. Исследование влияния случайных магнитных полей при фазовых переходах на примере точно решаемой модели.
В рамках данного исследования провести:
- развитие методики и осуществление решения модели Шнейдера -Штола - Бека с учетом гауссовского и бимодального распределения случайных магнитных полей.
- определение значений основных критических индексов в данной системе с учетом влияния случайных магнитных примесей.
- осуществить феноменологическое обобщение данной точно решаемой модели с учетом критического индекса нарушения масштабной инвариантности в.
- сопоставление полученных результатов с другими теоретическими, экспериментальными а также результатами компьютерного моделирования систем со случайными магнитными полями.
3. Определение критических параметров слабо неупорядоченной трех мерной модели Изинга.
В рамках данного исследования провести:
- развитие методики и осуществление компьютерного моделирования с использованием алгоритма Вольфа 3- х мерной модели Изинга с немагнитными примесями с концентрациями р = 0.95; 0.8.
- определение значений критических параметров эффективного гамильтониана системы, задающих фиксированную точку ренормгрупповых преобразований модели с учетом влияния немагнитных примесей.
- определение значений критических показателей в данной системе с использованием метода конечно - мерного скейлинга.
- сопоставление полученных значений критических параметров с теоретическими и экспериментальными результатами.
Учет флуктуации
Для систем с беспорядком типа случайное магнитное поле наблюдается противоположная ситуация. Не смотря на многочисленные исследования продолжающиеся с 1975 после работ [24], где впервые был описан данный тип беспорядка в настоящее время существует совсем немного надежно установленных фактов о поведении систем со случайным магнитным беспорядком. В частности, природа фазового перехода в модели Изинга со случайными полями все еще остается невыясненной, а получаемые как теоретически так и при компьютерном моделировании таких систем результаты являются противоречивыми. Практически единственным надежно установленным фактом является то, что верхняя критическая размерность для этого фазового перехода (размерность системы, выше которой критические явления описываются теорией среднего поля) равна шести, в отличие от однородных систем, где она равна четырем. В последнее время в вопросе о нижней критической размерности перехода di в модели Изинга со случайными полями (размерность системы, выше которой осуществляется дальнее упорядочение при температурах отличных от нуля) при существующих аргументах как в пользу dj=2 [24], так и в пользу di=2, [25] после работ [26, 27] исследователи пришли к заключению, что di=2. Для описания влияния случайных полей на поведение магнитных систем используются две на качественном уровне эквивалентные модели: ферромагнитная модель Изинга со случайным магнитным полем (RFIM) [28] и неупорядоченная антиферромагнитная модель Изинга во внешнем однородном поле (DAFF) [29]. Реальные магнитные системы с эффектами случайных полей являются антиферромагнетиками с замороженными примесями немагнитных атомов, в поведении которых наряду с антиферромагнитным взаимодействием ближайших атомов проявляются эффекты влияния ферромагнитного взаимодействия атомов, следующих за ближайшими. В модели DAFF не учитывается конкуренция ферромагнитного взаимодействия, поэтому область ее реального применения, как и модели RFIM, довольно ограничена. Природа фазового перехода в трехмерной модели Изинга до сих пор еще не ясна.
Так в [30] было найдено что для модели RFIM при бимодальном распределении случайных магнитных полей существует трикритическая точка. Однако для случая гауссовского распределения случайного магнитного беспорядка трикритическая точка не была выявлена, и т.о. в данной системе реализуется фазовый переход второго рода. Методом высоко температурного разложения в [31] было найдено что фазовый переход в системах со случайными магнитными полями первого рода. Однако в более поздней работе [32] учет разложения до 15 - го порядка выявил непрерывный фазовый переход для обоих типов распределения. Использование методов численного моделирования также не дало однозначного ответа. В работе [33] был выявлен фазовый переход первого рода, но в работах [34, 35] фазовый переход второго рода. Позднее в работах [36, 37] как для бимодального так и для гауссовского распределения было найдено логарифмическое поведение спонтанной намагниченности (0 ж 0), что подтверждается также ренормгрупповыми исследованиями с учетом преобразований Мигдала - Каданова [38, 39, 40], Но среди полученных значений других критических показателей наблюдается существенное несоответствие. Так в ранних ренормгрупповых исследованиях систем со случайными магнитными полями [25] был открыт сдвиг размерности пространства d t d—2, переводящий значения индексов для модели со случайными полями в значения индексов однородной модели. Позднее была обоснована необходимость использования дополнительного независимого критического показателя 9 [41, 42] для описания неупорядоченных систем со случайными магнитными полями. Однако разработанный в работе Брая и Мура [43] метод realspace ренормгруппы с использованием преобразования Мигдала - Каданова [44, 45], учитывающий три независимых критических показателя не позволил получить адекватные значения основных критических индексов. Найденные данным методом значения основных критических показателей оказались существенно завышенными [38, 39, 40, 46]. Объяснение неадекватности результатов, получаемых пертурбативны-ми методами дано в работе [47], где показана необходимость учета поправок во всех порядках теории возмущений для получения корректных результатов при исследовании неупорядоченных систем со случайными магнитными полями. В связи с этим резко возрастает роль непертурбативных методов исследования данных неупорядоченных систем в частности методов компьютерного моделирования а также использование различных точно решаемых моделей.
В связи с вышеизложенным цель настоящей диссертации является: 1. Исследование неупорядоченной антиферромагнитной модели Изинга с эффектами случайных магнитных полей методом Монте - Карло. В рамках данного исследования провести: - компьютерное моделирование методом Монте - Карло 3- х мерной антиферромагнитной модели Изинга со случайными магнитными полями с учетом конкурирующего взаимодействия спинов, следующих за ближайшими соседями в широкой области концентраций примесных атомов и внешних магнитных полей. - определить тип возникающих в системе фазовых переходов в зависимости от концентрации примесей и магнитных полей с учетом спинового порога перколяции посредством анализа поведения различных физиче- ских величин таких как спонтанная намагниченность, шахматный параметр порядка, восприимчивости, кумулянтов Биндера и других. Исследовать условия возникновения спин - стекольных состояний. - построить результирующую фазовую диаграмму модели. - сопоставить полученные результаты с результатами других исследований систем со случайными магнитными полями. 2. Исследование влияния случайных магнитных полей при фазовых переходах на примере точно решаемой модели. В рамках данного исследования провести: - развитие методики и осуществление решения модели Шнейдера -Штола - Бека с учетом гауссовского и бимодального распределения случайных магнитных полей. - определение значений основных критических индексов в данной системе с учетом влияния случайных магнитных примесей. - осуществить феноменологическое обобщение данной точно решаемой модели с учетом критического индекса нарушения масштабной инвариантности в. - сопоставление полученных результатов с другими теоретическими, экспериментальными а также результатами компьютерного моделирования систем со случайными магнитными полями. 3. Определение критических параметров слабо неупорядоченной трех мерной модели Изинга. В рамках данного исследования провести: - развитие методики и осуществление компьютерного моделирования с использованием алгоритма Вольфа 3- х мерной модели Изинга с немагнитными примесями с концентрациями р = 0.95; 0.8. - определение значений критических параметров эффективного гамильтониана системы, задающих фиксированную точку ренормгрупповых преобразований модели с учетом влияния немагнитных примесей.
Влияние примесей: случайные магнитные поля
Кроме моделей с немагнитными примесями существует другой класс неупорядоченных статистических моделей, в которых беспорядок присутствует в виде случайных магнитных полей. Поскольку магнитное поле нарушает симметрию по отношению к изменению знаков спинов, статистические свойства таких систем существенно отличаются от свойств систем с немагнитным беспорядком. Несмотря на интенсивные теоретические и экспериментальные усилия в течение последних двадцати лет [50], в настоящее время существует совсем немного надежно установленных фактов о поведении данных систем. В частности, природа фазового перехода в модели Изинга со случайными полями все еще остается невыясненной, а получаемые при компьютерном моделировании таких систем результаты являются противоречивыми. Практически единственным надежно установленным фактом является то, что верхняя критическая размерность для этого фазового перехода (размерность системы, выше которой критические явления описываются теорией среднего поля) равна шести, в отличие от однородных систем, где она равна четырем. В последнее время в вопросе о нижней критической размерности перехода rfj в модели Изинга со случайными полями (размерность системы, выше которой осуществляется дальнее упорядочение при температурах отличных от нуля) после работ [26, 27] исследователи пришли к заключению, что dj=2. Для описания влияния случайных полей на поведение магнитных систем обычно используются две на качественном уровне эквивалентные модели: ферромагнитная модель Изинга со случайным магнитным полем (RFIM) [28] и неупорядоченная антиферромагнитная модель Изиига во внешнем однородном поле (DAFF) [29]. В модели DAFF не учитывается конкуренция ферромагнитного взаимодействия, поэтому область ее реального применения, как и модели RFIM, довольно ограничена. Реальные магнитные системы с эффектами случайных полей являются антиферромагнетиками с замороженными примесями немагнитных атомов, в поведении которых наряду с антиферромагнитным взаимодействием ближайших атомов проявляются эффекты влияния ферромагнитного взаимодействия атомов, следующих за ближайшими. Структуру анти-ферромагиетика можно представить в виде нескольких ферромагнитных подрешеток, вставленных друг в друга таким образом, что суммарная намагниченность антиферромагнетика остается равной нулю, несмотря на то что при температуре ниже температуры Нееля в рамках каждой ферромагнитной подрешетки происходит магнитное упорядочение.
Примерами двухподрешеточных антиферромагнетиков являются следующие материалы: NiO, МпО, -РегОз, MnF2 и др. В качестве примеров реализации неупорядоченных систем со случайными магнитными полями можно привести кристаллические одноосные изингоподобиые антиферромагнетики MnFb, FeF-i с примесями атомов цинка Zn во внешнем магнитном поле [104], где комбинация неупорядоченности и внешнего магнитного поля дают случайно полевой эффект для шахматной намагниченности. Также был обнаружен ряд других систем с беспорядком типа случайное магнитное поле. К ним относятся различные структурно неупорядоченные вещества [105, 106, 107], классические [108], квантовые жидкости [109, ПО, 111] и жидкие кристаллы [112, 113] в пористых матрицах, водород в металлах [114], а также вихревые фаз грязных сверхпроводников [115,116]. Недавно была представлена случайнополевая модель Изинга для объяснения кооперативных особенностей свертываемости протеинов [117]. Как уже упоминалось для описания фазовых переходов в системах со случайными магнитными полями обычно используются две эквивалентные по свойствам модели: ферромагнитная RFIM и аитиферромагнитная DAFF, учитывающие взаимодействие только ближайших соседних спинов. Общий гамильтониан систем с беспорядком типа случайное магнитное поле имеет вид [29]: где Si = ±1, hi случайное поле с вероятностным распределением Р(Ы). Данное поле ненулевое в RFIM и равно нулю в DAFF. Н - внешнее магнитное поле. Jij - описывает обменное взаимодействие соседних спинов. Для ферромагнетика со случайным магнитным полем Зц = J, в модели DAFF J — —JejCi. Здесь Cj = 1 если j-й атом имеет спин и равен нулю в противоположном случае. Для модели RFIM обычно используются гауссово или бимодальное распределение случайного магнитного поля P{h{). А - примесный коэффициент, задающий влияние случайных полей, пропорциональный концентрации примеси. До настоящего времени нет однозначного ответа о типе фазового перехода в системах со случайными магнитными полями. В [30] было найдено что для модели RFIM при бимодальном распределении случайных магнитных полей существует трикритическая точка. Т.о. выше некоторого кри- тического значения внешнего магнитного поля Нс происходит смена типа фазового перехода со второго на первый. Однако для случая гауссовского распределения случайного магнитного беспорядка трикритическая точка не была найдена, и т.о. в данной системе реализуется фазовый переход второго рода. Методом высоко температурного разложения в [31] было найдено что фазовый переход в системах со случайными магнитными полями первого рода.
Однако в более поздней работе [32] учет разложения до 15 - го порядка выявил непрерывный фазовый переход для обоих типов распределения. Использование методов численного моделирования также не дало однозначного ответа. В ранних работах [33] был выявлен фазовый переход первого рода, но в работах [34, 35] фазовый переход второго рода. Позднее в работах [36, 37] как для бимодального так и для гауссовского распределения было найдено логарифмическое поведение спонтанной намагниченности (/? %: 0), что подтверждается также ренормгрупповыми исследованиями с учетом преобразований Мигдала - Каданова [38, 39, 40]. С другой стороны в работе Свифта [118] с учетом точного определения основного состояния в высших размерностях (d — 4) предсказывались фазовый переход первого рода для систем с бимодальным распределением случайных магнитных полей и непрерывный фазовый переход для гауссовского распределения при d = 3. 1.5.2 Скейлинговые соотношения Известно, что случайные магнитные поля оказывают существенное влияние на поведение систем, имеющих размерность d 6. Для d 4 из скейлинговых соотношений (1.5) для систем со случайными магнитными полями следует нефизический результат 7 0. В работах [41, 42] было сделано предположение, что влияние случайного магнитного беспорядка меняет скейлиноговое соотношение (1.5) на с новым показателем в для которого справедливо неравенство: Данное неравенство было доказано в [119]. (1.64) можно обосновать с учетом дополнительного слагаемого в выражении для свободной энергии [118]. Для чистых систем свободная энергия квТ, магнитные примеси дают вклад he. откуда немедленно следует (1.64) Из ранних аргументов Имри-Ма следовало в = d/2, позднее 9 стал рассматриваться как новый независимый показатель. Использование 3-го критического показателя имеет отношение к существованию двух различных корреляционных функций которые масштабно независимы. В частности при Т = Tc(h) Очевидно что для чистых систем Cdu стремится к нулю. Кроме неравенства (1.65) доказаны также другие неравенства. При /3 О с учетом (1.64) и (1.69) следует г} 4 — d. Другие неравенства: у О [42] и d— 1 в [41]. Последнее неравенство следует из факта, что энергия доменных стенок порядка и с fi = f(d — 1 — ) 0. Также следует учесть неравенство Харриса v 2/d.
Учет влияния случайных магнитных полей
Проблема фазовых переходов в неупорядоченных системах со случайными магнитными полями, не смотря на усилия многих исследователей в последние два десятилетия [50], по-прежнему остается открытой. Большинство теоретических результатов, полученных репормгрупповыми или другими приближенными методами являются противоречивыми. В связи с этим представляет интерес исследование поведения системы со случайными полями в рамках точно решаемой модели. Одной из наиболее удачных является модель предложенная Шнейде-ром, Штолом и Беком [135]. Данная модель частично учитывает взаимодействие флуктуации параметра порядка. Плакидой и Тоичевым [136] было показано, что модель [135] является точно решаемой, ими же были исследованы квантовые эффекты в этой модели [137]. В работе [138] рассматривалось влияние конечности объема на критическое поведение данной модели, а в [139] была указана возможность нетривиального критического поведения, связанного с наличием нескольких связанных параметров порядка. В работе [140] произведено обобщение модели Шнейде-ре - Штола -Бека на случай функционала Гинзбурга -Ландау достаточно произвольного вида, исследованы различные варианты критического (трикритического) поведения, рассмотрены соответствующие кроссовер-ные явления. Кроме того в работе [140] произведено феноменологическое обобщение модели [135], в результате которого она приводит к нулевому значению критического показателя а, а индексы /?, у, 8 при d = 3 с хорошей точностью воспроизводят значения, полученные с помощью метода -разложения или высокотемпературных рядов. Также в [140] изучено влияние вмороженных примесей типа "случайная температура"на критическое и трикритическое поведение рассматриваемой модели. В данной работе исследовалась модель Шнейдера - Штола - Бека с учетом влияния эффектов случайного магнитного поля. Рассматривалось как гауссовское так и бимодальное распределение случайных магнитных примесей.
Найдены значения критических показателей. Произведено феноменологическое обобщение модели с учетом дополнительного критического индекса в, связанного с нарушением масштабной инвариантности. 3.2 Учет влияния случайных магнитных полей. Рассматриваемая модель отличается от модели фА: где Т - температура, т — (Т ТС)/ТС, Тс - критическая температура, ф -параметр порядка, тем что в ней 6(qi + ,..+) обеспечивающая закон со- хранения импульса, редуцируется в [$(qi+q2)8(Q3+Q4)+ перестановки]. Т.о. в этой модели учитывается только взаимодействие флуктуации с равными и противоположно направленными импульсами. Если модель с гамильтонианом (3.1) принадлежит к изинговскому классу универсальности, то после редукции она переходит в класс универсальности сферической модели [141]. Основным приближением модели является замена всех интегралов типа /rfr 2fc(r) следующими интегральными выражениями [140] Поскольку 2к различных функций ф(г) можно попарно объединить (2к — 1)!! способами, то это приведет к следующиму комбинаторному изменению вершин Щк- В принятом приближении модель задается гамильтонианом (к = 2): где d - размерность пространства, V - объем системы, h - однородное внешнее поле, сопряженное параметру порядка. Учтем влияние случайных полей вводя добавку к функционалу Гинзбурга-Ландау Himp = \ j ddr f (r)h(r) как возмущение, где h(r) - случайное поле, создаваемое замороженными примесями. Добавка к статистической сумме для неоднородной системы Zimp = ZZ определяется как Гауссово распределение для случайных магнитных примесей имеет вид: причем h(r) 0, h(r)h(r ) = AS(r — г ), где Д- примесный коэффициент, задающий влияние случайных полей, пропорциональный концентрации примеси. Осуществляя усреднение ехр[— {Н -\-Н{тр)/Т(\ по всем возможным примесным конфигурациям с учетом приведенного выше правила усреднения случайных полей получаем следующее выражение для эффективного гамильтониана "однородной" системы: Так как для вычисления статистической суммы Z необходимо провести функциональное интегрирование по переменным ф(г), удобно для выражений типа ехр[— (f ddr f (r)2)n) предварительно осуществить представление в виде интеграла Фурье: где конденсирующаяся при фазовом переходе мода фч=0 = фоуУ выделена явно и оставлена недоинтегриро ванной. В полученном соотношении 88 интегрирование по всем ф легко выполняется и при замене переменных x/V —У х , Іїу — у получаем следующее выражение для статистической суммы: где штрих при сумме по q означает отсутствие в ней моды q = 0. Т.к. выражение в показателе экспоненты содержит множителем объем V, интегрирование может быть проведено методом перевала.
В пределе V — оо полученный результат будет точным выражением для статистической суммы, В выражение (3.10) сумма по импульсам формально расходится на верхнем пределе. Этот предел, строго говоря, должен быть выбран конечной величиной, определяемой естественной константой обрезания ( в твердом теле величиной порядка обратной постоянной решетки ). Тем не менее, для исследования универсального критического поведения необходимо сделать соответствующие вычитания из суммы , адсорбировав по возможности зависимость от импульса обрезания в перенорированных вершинах v%k: После осуществления процедуры вычитания расходимостей зависимость суммы по импульсам от верхнего предела оказывается несущественной, и его можно устремлять к бесконечности. Все вычтенные слагаемые необходимо добавить в показатель экспоненты (3.10). Второе и четвертое слагаемые представляют собой аддитивную добавку и далее не существенны. Третье слагаемое уц (/І = - = 2х іи-2)ву гДе &d njI0inAAb поверхности d - мерной сферы единичного ра- диуса ) может быть исключено путем замены х - х = х — /І. Данная замена приводит к перенормировке всех вершин: Изменяя порядок суммирования и учитывая, что & = (2 к — 1)Ии2 получаем окончательно В работе [140] показано, что полученная перенормировка соответствует учету только петлевых перенормировок. С учетом вычитания и перенормировки получим следующее выражение для показателя экспоненты в (3.10): Случай малых концентраций примеси позволяет выделить аддитивную добавку примеси к свободной энергии F = F0 + 6Fimp Седловая точка по переменным х и у, определение которых позволяет осуществить интегрирование статистической суммы методом перевала, задается уравнениями: Выявляемая при этом зависимость хо и у0 от параметра порядка ф0 и перенормированных вершин т и д позволяет представить статистическую сумму в виде Z fd f 0e F№\ где і оЬФункциоиал Ландау, задающий характер и параметры фазового перехода в системе. В состоянии равновесия при температуре фазового перехода функционал свободной энергии характеризуется минимумом. В результате к уравнениям (3.10)-(3.11) следует добавить уравнение dF/d0o = 0, позволяющее определить термодинамическое поведение параметра порядка фа:
Методика компьютерного моделирования критического поведения неупорядоченной модели Изинга
Значения эффективных амплитуд взаимодействия флуктуации могут быть получены методами компьютерного моделирования путем вычисления различных корреляционных функций или моментов функций распределения для параметра порядка. Монте-Карло результаты в критической области для нетривиальной фиксированной точки однородной модели Изинга [145, 146] находятся в хорошем соответствии с результатами теоретико -полевого подхода. В настоящей работе впервые методом Монте-Карло определены координаты фиксированной точки эффективного гамильтониана (4.3) для концентраций спинов р=0.95, 0.80. Рассматривается трехмерная модель неупорядоченной спиновой системы в виде кубической решетки с размерами L и наложенными периодическими граничными условиями. С узлами решетки связаны спины т$, принимающие значения ±1, и немагнитные атомы примеси (пустые узлы с Gi = 0). Данная система описывается гамильтонианом: где Jij - константа обменного ферромагнитного взаимодействия, pi - случайная переменная, описываемая функцией распределения с р=1-с, где с - концентрация примеси. Примесь равномерно распределяется по всей системе и ее положение фиксируется для отдельной примесной конфигурации в процессе моделирования системы. Концентрация спинов определяется суммированием абсолютных значений спинов по всем узлам решетки При создании спиновой конфигурации со случайно распределенными примесями в решетке возникают геометрические кластеры узлов со спинами. При концентрации спинов р больших порога спиновой перколяции рс в системе практически всегда существует спиновый кластер, характеризующийся общей связностью (протеканием) с одной грани решетки на другую грань, и какое-то количество изолированных кластеров, содержащих относительно небольшое число спинов. В пределе бесконечно большого размера решетки вклад в магнитные характеристики системы будут давать только скоррелированпые спины бесконечного перколяционного кластера, поэтому при вычислении критических характеристик имеет смысл не учитывать вклад от узлов, не связанных с перколяционным кластером. Такая процедура позволяет уменьшить "шум"от спинов кластеров конечного размера.
Для распределения спинов с заданной концентрацией р по узлам решетки использовался алгоритм выращивания перколяционного кластера Хаммерсли - Лиса - Александровица [147]. Практические детали реализации данного алгоритма следующие. В центре кубической решетки размещается затравочный спин. Шесть соседних узлов образуют "периметр "затравочного спина. Случайным образом выбирается узел из "периметра ". Затем с вероятностью р этот узел занимается спином, а его соседи добавляются в "периметр ". В противном случае узел остается свободным (примесным). Чтобы узлы решетки оставались свободными с вероятностью 1 — р, данный узел больше не проверяется. Если узел уже занят спином, то определяется нет ли новых непроверенных узлов "периметра ". Процедура повторяется до тех пор, пока не будут просмотрены все узлы периметра. Среди выращиваемых в соответствии с данным алгоритмом спиновых конфигураций выбирались для последующего моделирования только те из них, у которых концентрация примесей с отличалась от заданной с = 1 — р не более чем на десять процентов. В основе компьтерного моделирования статистических процессов лежит метод Монте-Карло, суть которого заключается в использовании случайных чисел для машинной имитации вероятностных распределений. В данной работе для получения последовательных спиновых конфигураций был применен однокластерный алгоритм Вольфа [56], который по сравнению с традиционным для метода Монте-Карло алгоритмом Метрополиса позволяет получать значительно менее скоррелированную последовательность спиновых конфигураций, что особенно важно для моделирования критического поведения систем большого размера. Известно, что время коррелляции между двумя состояниями системы с линейным размером L вблизи критической температуры ведет себя как tear — Lz. При этом, для алгоритма Метрополиса показатель гм — 2, а для алгоритма Вольфа zw — 0,5. Примененный в работе вариант алгоритма Вольфа состоял в следующем. Затем рассматриваются ближайшие соседи спина, и если они сонаправ- лены с этим "центральным"спином (неперевернутым), то с вероятностью 1 — ехр( 2р), где /? = 1/Т они также переворачиваются, а их координаты заносятся в стек. После того, как проведена проверка всех соседних спинов, спин, координаты которого были занесены в стек последними, выбирается "центральным", и вся процедура затем повторяется. По данному алгоритму реализуется марковский процесс и с соответствующей вероятностью генерируются конфигурации спинов. Для уменьшения корреляций спиновых конфигураций вычисление намагниченности и других термодинамических величин осуществлялось через три переворота кластера Вольфа, что условно можно назвать одним Монте-Карло шагом.
В самом начале процесса все спины полагались сонаправленными (что соответствует состоянию системы при Т=0). Процедуре установления термодинамического равновесия в системе, соответствующего температуре Т, отводилось 1Q4 шагов Монте-Карло. Поскольку моделируемая система являлась неупорядоченной, кроме усреднения по спиновым конфигурациям проводилось усреднение по различным примесным конфигурациям. В данной работе использовалось 500 примесных конфигураций. Для проведения статистического усреднения каждой примесной конфигурации сопоставлялось 105 спиновых конфигураций или Монте-Карло шагов. В процессе моделирования при усреднении по всей совокупности спиновых и примесных конфигураций осуществлялся расчет корреляционной длины и восприимчивости х по формулам [148], обобщенным на случай неупорядоченных систем: (4.7) ( і,і) 2,і) з,і) - координаты і-го узла решетки, .... означает статистическое усреднение по шагам Монте-Карло, а черта сверху - усреднение по примесным конфигурациям. Эффективные амплитуды взаимодействия флуктуации параметра порядка UR и дл в гамильтониане (4.3) вычислялись в результате усреднения по всей совокупности примесных конфигураций следующих выражений для кумулянтов и корреляционных функций: Индексы а и /? в (4.9) характеризуют спиновые конфигурации для различных реплик неупорядоченной системы размера L, моделируемых одновременно при одной и той же температуре и отличающихся различными начальными конфигурациями. 4.4 Результаты компьютерного моделирования Для системы со спиновой концентрацией р = 0,95 измерения проводились при температурах Т=4,275; 4,285; 4,295; 4,315; 4,335, а для системы с р = 0,80 при температурах Т=3,51; 3,52; 3,53; 3,55; 3,57, т.е. в интервале изменения приведенной температуры т —\Т — Тс(р)/Тс(р) = 10 3 — Ю-2, в которой наиболее ярко проявляются флуктуационные эффекты влияния дефектов структуры [154]. При этом использовались значения критической температуры фазового перехода Тс — 4,2571 для р — 0,95 и Тс = 3,4959 для р = 0,80, определенные в работе [73]. В табл. 4.1 - 4.2 приведены найденные при вышеперечисленных температурах значения кор- реляционной длины , восприимчивости X) вершин д и и для решеток с размерами —20 - 130 для системы с р = 0,95, и размерами L=20 - 170 для р — 0,80.
