Содержание к диссертации
Введение
2 Хаос в динамических системах. Стабилизация хаотической динамики 12
2.1 Общие положения 12
2.2 Гомоклинические структуры 14
2.3 Управление хаотическими динамическими системами . 17
2.3.1 Метод резонансных возбуждений 18
2.3.2 Метод Гребоджи-Отта-Йорка 20
2.4 Подавление хаоса 24
2.4.1 Параметрическое возбуждение 24
3 Модели динамических систем с хаотическим поведением. Инструмент исследования возникновения хаоса в окрестности сепаратрисы 27
3.1 Осциллятор Дюффинга 28
3.2 Нелинейный маятник 33
3.3 Метод Мельникова 36
4 Стабилизация хаотической динамики в окрестности сепаратрисы [125-127] 42
4.1 Общий подход 42
4.2 Частные случаи 46
4.2.1 Случай 1 46
4.2.2 Случай 2 47
5 Приложение к физическим системам [125,127—129] 50
5.1 Осциллятор Дюффинга-Холмса 50
5.2 Нелинейный маятник 54
5.3 Численные результаты 55
Заключение 63
Литература 69
Введение к работе
В настоящее время, когда говорят о таком широко распространенном явлении, как хаос, помимо фундаментальных вопросов статистической физики обычно подразумевают также всевозможные приложения и конкретные задачи механики, астрофизики, физики плазмы, оптики, биологии и т.д. Возникновение хаотичности в различных физических системах не вызвано действием каких-либо случайных сил. Суть природы хаотического поведения заключена в том, что системы обладают свойством приобретать экспоненциальную неустойчивость траекторий при определенных значениях параметров. Исследования в этой области, имеющие фундаментальное значение, раскрывают природу случайного, дополняя известную гипотезу молекулярного хаоса гипотезой динамической стохастичности.
Анри Пуанкаре [1] был первым, кто обратил внимание на связь между неустойчивостью и статистикой. Одновременно Л.Больцман [2] предложил статистический подход к описанию систем со многими степенями свободы. Им была выдвинута гипотеза о том, что в разряжен-
ном газе движение частиц должно рассматриватся как случайное и каждой частице доступна вся энергетически разрешенная область фазового пространства. Подобное предположение о движении систем многих частиц получило название эргодической гипотезы [2-4], которая и послужила основой классической статистической механики. Но долгое время ее строгое обоснование не находило подтверждения. Благодаря работам П.Эренфеста [5,6] (см. также [7,8]) в этом направлении был достигнут некоторый прогресс. Эти работы также позволили выявить рамки применимости законов статистической механики. Но все трудности обоснования статистической физики вновь вышли на первый план после известной работы Э.Ферми, Дж.Паста и С.Улама [9] (более подробно см. [10,11]), где впервые была предпринята попытка проверки эргодической гипотезы.
Основываясь на работах А.Пуанкаре (см. [12]), в которых было показано, что в окрестности неустойчивых неподвижных точек движение имеет чрезвычайно сложный характер, можно получить частичное решение данной проблемы. Это стало первым указанием на то, что нелинейные динамические системы могут проявлять хаотические свойства. В дальнейшем Д.Биркгоф [13] обнаружил, что при рациональном отношении частот (резонанс) всегда существуют устойчивые и неустойчивые неподвижные точки. Резонансы более высокого порядка последовательно изменяют топологию фазовых траекторий и приводят к образованию цепочки островов в фазовом пространстве. Как впослед-
ствии выяснилось, теория возмущений не описывает подобные резо-нансы, поскольку регулярные решения вблизи них сильно возмущены, что влечет появление малых знаменателей и расходимость рядов.
Детальное исследование статистических законов было проведено Н.С.Крыловым [14]. Им было показано, что в их основе лежат свойство перемешивания и связанная с ним локальная неустойчивость почти всех траекторий соответствующих динамических систем. В связи с этим М.Борн [15] (см. также [16]) высказывал гипотезу о непредсказуемости поведения систем классической механики. В дальнейшем вызванная такого типа неустойчивостью динамика стала называться детерминированным (динамическим) хаосом или динамической стоха-стичностью .
Детерминированное описание заключается в том, что начальное состояние процесса задается некоторым вероятностным распределением в силу неизбежных флюктуации. Проблема состоит в том, чтобы зная известное начальное распределение суметь предсказать его эволюцию. Если с течением времени малые возмущения начального условия не нарастают (т.е. имеет место устойчивость), то поведение такой системы является предсказуемым. Иначе процесс может быть описан только вероятностным образом. Именно эти соображения легли в основу современного представления о динамическом хаосе.
После работ А.Н.Колмогорова и Я.Г.Синая [17-19] наметился новый этап в развитии понимания хаотичности и ее зарождения в детерми-
нированных системах. В этих работах, положивших начало созданию теории стохастических динамических систем, было введено понятие энтропии.
Значительную роль в развитии теории детерминированного хаоса сыграли различного рода абстрактные математические конструкции. В частности, чтобы опровергнуть гипотезу о плотности систем типа Морса-Смейла в пространстве Сг-диффеоморфизмов, С.Смейл [20] построил пример ("подкова Смейла"), показывающий, что если д — диффеоморфизм плоскости, обладающий трансверсальной гомоклиниче-ской траекторией, то он должен иметь инвариантное множество типа подковы. Из существования подковы в свою очередь вытекает, что отображение д должно иметь бесконечное число как периодических точек различного периода, так и несчетное число апериодических траекторий [20,21]. Вскоре после "подковы Смейла"появились у-системы Аносова [22,23], которые характеризуются наиболее выраженными свойствами перемешивания. Обобщение таких систем — введение "аксиомы А" Смейла [21] (см. также [24-26] и цитируемую там литературу) и гиперболических множеств [21,25-27], — выделило важный класс динамических систем, обладающих свойством экспоненциальной неустойчивости траекторий.
Таким образом, было найдено, что хаотическое поведение является типичным свойством систем с небольшим числом степеней свободы. В то же время оказалось, что хаотические динамические системы
оказываются весьма податливыми и чрезвычайно чувствительными к внешним воздействиям. Это явилось одним из основных критериев, на основе которого была обнаружена возможность управлять поведением хаотических систем, т.е. посредством достаточно слабых возмущений переводить такие системы из режима хаотических колебаний на требуемый регулярный режим и тем самым стабилизировать их поведение.
Под стабилизацией неустойчивого или хаотического поведения динамических систем обычно подразумевается искусственное создание в изучаемой системе устойчивых (как правило, периодических) колебаний посредством внешних мультипликативных или аддитивных воздействий. Иными словами, для стабилизации необходимо найти такие внешние возмущения, которые вывели бы систему из хаотического режима на регулярный. При внешней простоте формулировки этой проблемы, ее решение для ряда динамических систем оказывается достаточно сложной задачей. Более того, хотя в настоящее время имеется большое число работ, посвященных этому вопросу, развить последовательную теорию и строго обосновать возможность стабилизации хаотического поведения удалось пока только для достаточно общих семейств динамических систем (см. [28,29] и цитируемую там литературу).
Стабилизация хаотического поведения может быть осуществлена двумя различными способами. Первый из них обеспечивает выведение системы из хаотического на регулярный режим посредством внешних возмущений, реализованных без обратной связи. Другими словами,
этот метод не учитывает текущее состояние динамических переменных системы. Качественно отличный от данного метод реализуется посредством корректирующего воздействия в соответствии с требуемым значением динамических переменных и, таким образом, вовлекает обратную связь как необходимую компоненту динамической системы. По установившемуся соглашению первый способ стабилизации хаотической динамики называется подавлением хаоса или контролированием (иногда управлением или регулированием) хаотической динамики без обратной связи. Второй способ носит название контролирование хаоса с обратной связью (controlling chaos). В свою очередь, реализация каждого из этих методов может быть проведена параметрическим или силовым способами.
По-видимому, первое исследование стабилизации хаотического поведения было проведено в работах [30,31]. Однако данное направление получило широкое распространение только после публикации работ [32,33], где было показано, что при помощи достаточно слабых параметрических возмущений возможно стабилизировать выбранный седловой предельный цикл вложенный в хаотический аттрактор. Эти и некоторые другие результаты стимулировали изучение вопросов стабилизации хаотического поведения и вызвали большой интерес к вопросам управления неустойчивыми системами (см., [28,29,34-37] и приводимые там ссылки).
Одним из стандартных и эффективных инструментов, позволяющих
аналитически рассмотреть проблему подавления хаоса, является метод Мельникова [38]. Он основан на сравнении членов первого порядка в разложении решения на устойчивой и неустойчивой сепаратрисах в ряды по параметру возмущения. Так как при влиянии на систему внешнего возбуждения происходит "расщепление" устойчивого и неустойчивого многообразий сепаратрисы, это ведет к весьма запутанной картине на фазовой плоскости. Наиболее исследованным до сих пор была проблема подавления хаоса варьированием значений параметров исходной системы. Однако более актуальным представляется вопрос о нахождении в явном виде внешних стабилизирующих возмущений к уже проявляющим хаотичность системам достаточно общего вида. В данной работе на основе критерия Мельникова получена аналитическая форма таких возмущений для динамических систем, обладающих гетеро-и гомоклиническим хаосом.
В качестве объекта исследования были выбраны неавтономные системы, которым присуще явление расщепления сепаратрис и, таким образом, хаотическая динамика. В качестве физических примеров рассмотрены система Дюффинга с возмущенным кубическим членом (т.н. уравнение Дюффинга-Холмса) и уравнение классического нелинейного маятника с диссипацией под действием внешней силы.
Цель диссертационной работы
Целью работы является нахождение достаточно общего аналитического вида внешних стабилизирующих возмущений, приводящих к
смене режима динамических систем с хаотического на регулярный. Научная новизна
Получены в явном виде выражения для внешних стабилизирующих возмущений для класса диссипативных систем на плоскости и более высоких размерностей.
Исследовано влияние внешних стабилизирующих возмущений на динамические системы на примере уравнений Дюффинга-Холмса и нелинейного маятника с диссипацией.
Показано, что для систем, у которых возможно смещение с критического значения мельниковской функции через аддитивный сдвиг внешнее стабилизирующее возмущение имеет характер серии ударов.
Найдено, что в пространстве всех динамических систем, обладающих свойством гетеро- или гомоклинического хаоса, системы для которых существуют стабилизирующие возмущения, топологически эквивалентны регулярным системам. Сформулирован основной результат о подавлении хаоса.
Структура диссертации является следующей. После настоящего введения дается обзор литературы, касающейся актуальных проблем, затронутых в работе, а также смежных направлений, которые не могут быть опущены вследствие их тесной связи с рассматриваемыми
вопросами. Наряду с обычным обзором детально представлены геометрические методы, необходимые для понимания гомоклинических структур и возможности подавления хаоса в динамических системах. В главе 3 описан метод Мельникова, являющийся в настоящий момент единственным аналитическим инструментарием, позволяющим получить критерий возникновения и исчезновения хаоса. В главе 4 описаны полученные в общем виде результаты, которые в главе 5 применяются для анализа физических систем. В заключении суммируются и обобщаются результаты, полученные в диссертации.
Гомоклинические структуры
Пусть Та : М — М — некоторое преобразование множества М в себя. Точка р Є М называется гиперболической неподвижной точкой отображения Та, если Тар = р и DTa\ не имеет собственного значения равного единице. При этом устойчивое и неустойчивое многообразия точки р определяются соответственно следующим образом: Ws(p) = {х Є М\ Г х - р, t - +оо} и Wu(p) = {х Є М\ Г х - р, t - —со}. Предположим, что р — гиперболическая неподвижная точка отображения Та. Точка q называется гомоклинической к точке р, если рф q Є Ws(p) f] Wu{p). Это означает, что lim T q = p. t—)-±oo Одномерное отображение имеет гомоклинические точки, если оно обладает периодической орбитой, период которой отличен от 2г, ъ — 0,1,2,... [43-45]. В свою очередь, наличие гомоклинических точек гарантирует положительность энтропии [45], т.е. существование хаотичности. Более того, недавно были получены достаточно общие утверждения, касающиеся сложного поведения двумерных отображений [46-48]. Основной их смысл кратко сводится к следующему. Одно-параметрическое семейство диффеоморфизмов поверхности, имеющее гомоклиническую структуру, на множестве значений параметра положительной меры порождает странные аттракторы. Пусть Та — однопа-раметрическое семейство диффеоморфизмов класса С00, заданных на поверхности. Предположим, что То имеет гомоклиническое касание в некоторой периодической точке р$. Тогда при достаточно общих предположениях существует положительная лебегова мера множества Лс параметрических значений, близких к а = 0, таких, что для а 6 Лс диффеоморфизм Та проявляет хаотическое поведение, обусловленное наличием странного аттрактора. Следствие из этого важного утверждения справедливо для одномерных каскадов достаточно общего вида [48]: Пусть Та — гладкое отображение интервала / или отображение окружности S1 и точка ро — гиперболическая периодическая точка для То- Допустим, что отрицательная орбита точки ро пересекает неустойчивое множество невырожденной критической точки отображения TQ. Тогда, если такая гомоклиническая структура имеет место в случае общего положения, то мера множества параметрических значений а, близких к а 0, для которых Та проявляет хаотическое поведение, положительна. Еще один значимый результат получил Ньюхауз [49,50] , показавший, что семейство двумерных диффеоморфизмов, имеющее гомокли ническое касание устойчивых и неустойчивых сепаратрис, обладает весьма сложным поведением. Подобная динамика действительно была обнаружена на примере уравнения Дюффинга [41,51,52] посредством обобщенной теории Мельникова [38].
Также, при образовании гомокли-нических траекторий всегда происходят глубокие перестройки динамики системы, которые включают появление подков Смейла [21], каскадов удвоения периода [53], седло-узловых циклов [54], неограниченного количества сосуществующих периодических аттракторов [49,55]. Обобщение этих результатов на семейство диффеоморфизмов произвольной размерности было описано в работах [54,56-58]. Основное утверждение, полученное в этом направлении, сводится к следующему. Пусть Та — семейство диффеоморфизмов многообразия М, dimM 2, имеющее гомоклиническое касание при а = а. Тогда существует множество Ас С R такое, что Та обладает странным аттрактором для каждого а Є Ас и Аср[Й — є, о + е] имеет положительную меру Лебега для всех є 0. Если рассматривать вместо отображений потоки, то можно получить новые интересные утверждения, касающиеся развития хаотической динамики. Один из первых результатов в этом направлении был получен Л.П.Шильниковым [59]. Пусть поток Т в пространстве R3 имеет равновесную точку в начале координат с действительным положительным собственным значением А і и пару комплексно сопряженных собственных значений А2,з с отрицательными действительными частями. Тогда, используя теорему об устойчивом многообразии [41], можно ввести координаты так, что ось z будет содержать локально неустойчивое многообразие, а плоскость (ж, у) будет содержать локально устойчивое многообразие. Допустим, что траектория j является гомоклинической (к точке 0) типа седло-фокус, т.е. при 7 и(0) она имеет выходящую из 0 неустойчивую сепаратрису, которая при t — со по спирали стремится к 0 в плоскости (х,у). Тогда справедлив следующий точный результат [41,59]: Если К,еА2,з ь то существует возмущение потока Т такое, что возмущенный поток Т{ будет иметь гомоклиническую орбиту 7i вблизи 7) а отображение, порождаемое потоком Т , будет иметь счетное множество подков. Обобщение этого результата привело к существенному углублению понимания бифуркаций в динамических системах, имеющих гомоклинические структуры, и путей развития в них хаотического поведения (см., например, [41,42,47,51,60] и приведенную там литературу).
Метод резонансных возбуждений
Чтобы управлять поведением хаотических динамических систем в ряде работ было предложено использовать так называемые резонансные возбуждения [65-68]. Метод основан на том наблюдении, что благодаря нелинейным модовым взаимодействиям система, которая периодически возбуждается, в типичном случае не будет проявлять периодическое поведение. Поэтому для возникновения предписанного (т.е. заранее заданного) режима движения представляется естественным возмущать систему специальным образом. Таким образом, главную роль в этом методе играет допущение, что уравнение движения, на которое выходит система после введения возмущения заранее известно. Для того чтобы сделать возможным контроль посредством резонансных возбуждений в динамическую систему, находящуюся в хаотическом режиме, необходимо аддитивно включить внешнее возмущение F(t): Далее, пусть требуемая динамика задается функцией у (і), которая удовлетворяет так называемому уравнению предписанного движения, Теперь, выбирая возмущение в виде F = g(y(t)J — v(y(t),aj и подставляя его в (2.1), получим уравнение контролирования: Таким образом, если устремить х —у у при t —у со, то в конечном счете динамика будет представлена уравнением (2.2). Отличительной чертой метода управления при помощи резонансных возбуждений является то факт, что его практическое применение не ограничивается только хаотическими системами (что нельзя сказать о методе Гребоджи-Отта-Йорка, см. ниже). В то же время хаотические системы (в некотором диапазоне начальных условий) действительно можно "заставить"вести себя предписанным образом. Однако это могут быть преобразованы в неявные (зависящие от х) функции времени. Допустим, что в окрестности неустойчивого предельного цикла, который нужно стабилизировать, система задается отображением Пуанкаре xn+i = {(хп а). Для этого отображения предельный цикл будет представляться неустойчивой неподвижной точкой х . (Для сложного цикла, имеющего несколько оборотов, рассматривается соответствующая итерация отображения). В окрестности х для значений параметра а, близких к выбранному UQ поведение отображения дается линейным преобразованием где А — -мерная матрица Якоби, В — fc-мерный вектор-столбец, A = 5f/9xx=x,, В = df/da\x= , взятые в точке а — O,Q. Если от итерации к итерации параметр а изменяется, то, определяя хп через линейное отображение (2.4), можно задать подходящее малое отклонение в значении а от номинального ао- В линейном приближении это изменение параметра можно записать в виде где L — fc-мерный вектор-столбец и Т означает операцию транспонирования.
Следовательно, из (2.4) находим, что где Дх„ = х.п — х . Таким образом, неподвижная точка х будет стаби-лизирована, если определить L так, чтобы матрица [A — BL J имела собственные значения по модулю меньше единицы. Очевидно, возмущение параметра а вблизи его номинального значения не должно быть слишком большим. Максимально допустимое отклонение ЙОщах дается выражением Samax \LT(xn — х ) Рассмотрим поведение исходного отображения при малом отклонении управляющего параметра, —а! а а . Пусть возможно далеко не всегда, и существуют начальные условия, для которых поведение не будет задаваться функцией у(). Кроме того, этот метод контроля сильно зависит от знания динамики системы, и малые ошибки в модели (2.1) могут расти вследствие возмущения F(t) [68]. Тем не менее, нетрудно определенным способом усовершенствовать контролирование (2.1)-(2.3). Это приведет к большей эффективности использования метода резонансных возбуждений [69]. Известный параметрический метод с обратной связью, предложенный в работах [32,33] и получивший широкое продолжение во многих других публикациях (ссылки см. в [28,34-36,62-64,70,71]), основывается на предположении, что параметры а системы могут быть преобразованы в неявные (зависящие от х) функции времени. Допустим, что в окрестности неустойчивого предельного цикла, который нужно стабилизировать, система задается отображением Пуанкаре xn+i = {(хп а). Для этого отображения предельный цикл будет представляться неустойчивой неподвижной точкой х . (Для сложного цикла, имеющего несколько оборотов, рассматривается соответствующая итерация отображения). В окрестности х для значений параметра а, близких к выбранному UQ поведение отображения дается линейным преобразованием где А — -мерная матрица Якоби, В — fc-мерный вектор-столбец, A = 5f/9xx=x,, В = df/da\x= , взятые в точке а — O,Q. Если от итерации к итерации параметр а изменяется, то, определяя хп через линейное отображение (2.4), можно задать подходящее малое отклонение в значении а от номинального ао- В линейном приближении это изменение параметра можно записать в виде где L — fc-мерный вектор-столбец и Т означает операцию транспонирования. Следовательно, из (2.4) находим, что где Дх„ = х.п — х . Таким образом, неподвижная точка х будет стаби-лизирована, если определить L так, чтобы матрица [A — BL J имела собственные значения по модулю меньше единицы. Очевидно, возмущение параметра а вблизи его номинального значения не должно быть слишком большим. Максимально допустимое отклонение ЙОщах дается выражением Samax \LT(xn — х ) Рассмотрим поведение исходного отображения при малом отклонении управляющего параметра, —а! а а . Пусть Asj 1 и AU 1 — собственные значения, соответствующие устойчивому и неустойчивому направлениям на поверхности сечения в точке х , a es и еи — собственные векторы, отвечающие этим направлениям. Если отклонить параметр
Параметрическое возбуждение
Для обоснования возможности подавления хаоса рассмотрим два семейства одномерных унимодальных отображений: семейство квадратичных отображений, Та : [0,1] — [0; 1], частным случаем которого является хорошо известное логистическое отображение, где а Є (0,4] = А, и семейство экспоненциальных отображений, Та : где а ф 0. Эти семейства широко используются как модели многих физических, химических и других систем и поэтому привлекают большое внимание исследователей (см., например, [41,45,106-110]). Так, отображение (2.7) естественным образом возникает при исследовании ряда колебательных химических реакций. Более того, любое унимодальное отображение является полусопряженным квадратичному, и поэтому семейство (2.6) играет важную роль в теории унимодальных отображений. Для того, чтобы доказать, что хаотическое поведение, проявляемое отображениями (2.6) и (2.7) возможно стабилизировать параметрическим воздействием, каждому периодическому возмущению периода т параметра 1,2,.-..,г), поставим в соответствие вектор а = (ai, ...,0,-) из пространства RT. Тогда можно рассмотреть множество А = {а Є А (8 Л g Д : a = (ai,..., ar), щ ф щ, 1 г,і т, г j г times возмущениям периода т, оперирующих в А. Далее, следуя главе 2, возмущенные квадратичное и экспоненциальное семейства перепишем как ветственно. Для подмножества Ас параметрических значений а, соответствующих хаотическому поведению отображений, множество Ас = {а Ас 0 Ас - Лс : a = (ai,..., ar), Oj ai,..., ат Є Ac], будет соответствовать любым возмущениям периода г, оперирующим в Ас. Теперь можно показать [95-97,111], что существует подмножество Ad С Ас такое, что если а Є А , то возмущенные отображения (2.8), (2.9) будут обладать устойчивыми циклами конечных периодов. Доказательство данного утверждения проводится путем построения подмножества Н и нахождения устойчивых циклов в отображениях (2.8), (2.9). Таким образом, периодические параметрические возмущения на хаотическом множестве приводят к подавлению хаоса. При этом, очевидно, множество параметрических значений а Є А, для которых в периодически возмущаемых семействах (2.8), (2.9) существуют устойчивые циклы, открыто в А.
Идея подавления хаоса простым параметрическим воздействием рассматривалась многими авторами [70,112-116] (см. также обзоры [35,37,62]. В частности, были развиты довольно эффективные методы резонансной стабилизации [112-114] и методы высокочастотной (нере-зонансной) стабилизации [116] хаотического поведения. Они основаны на обобщенной теории Мельникова [38] (см. также [41,51,106]), которая заключается в оценке расстояния между устойчивой и неустойчивой сепаратрисами. В бифуркационном случае устойчивая и неустойчивая сепаратрисы образуют гомоклиническую петлю. При разрушении такой гомоклинической структуры возможны три случая: выходящая сепаратриса окружает входящую; входящая сепаратриса окружает выходящую; сепаратрисы пересекаются. В первых двух случаях расстояние между сепаратрисами соответственно Д 0 и А 0 для любого момента времени. И если только найдется момент to, когда А меняет знак, возникает хаотическое поведение. В данной главе диссертационной работы описаны два характерных примера, которые используются как базовые для анализа возможности подавления хаоса и стабилизации динамики: система Дюффинга-Холмса и уравнение нелинейного маятника. Эти примеры довольно универсальны по своей природе. После того как Дюффинг [117] в 1918 г. ввел в рассмотрение нелинейный осциллятор с кубическим по координате членом для описания эффекта жесткости пружины, наблюдаемого во многих механических задачах, эта система стала, наряду с уравнением Ван дер Поля, одним из наиболее популярных примеров нелинейных уравнений. В данном разделе обсуждается одна из модификаций традиционного уравнения Дюффинга, в которой линейная жесткость отрицательна. Такое уравнение описывает динамику прогиба балки или пластины при учете лишь одной моды колебаний. В свою очередь, модель нелинейного маятника, являясь элементарной в физическом смысле, может рассматриваться как некоторый обязательный элемент более сложных систем. Если в такой системе, как маятник, возмущаемый периодической силой, есть хаотическая компонента, то становится ясно, что подобное движение может быть обнаружено практически везде. Эта точка зрения отражает простое свойство типичности нелинейных колебаний, являющихся "элементарными ячейками" в огромном числе конструкций сложных физических процессов.
Нелинейный маятник
Обратимся к другому простому примеру консервативной системы с одной степенью свободы — математической модели маятника. Гамильтониан маятника единичной массы равен где q = х и р = х. Его уравнение движения суть Потенциал V = — UJQ COS Х И фазовый портрет приведены на рис.3.4, 3.5. Состояния равновесия маятника определяются уравнениями Это дает х3 = О, xs = тт,п = 0, ±1,... В положении равновесия скорость xs = 0, а потенциал V(xs) имеет минимум (четные п) или максимум (нечетные п). Соответствующие точки при четных п— эллиптические, при нечетных п—гиперболические. Траектории на фазовой плоскости при Н ц соответствуют "захваченным" частицам, совершающим финитные колебания в потенциальных ямах. При Н и о фазовые траектории относятся к "пролетным" частицам, движение которых инфинитно (рис. 3.4 и 3.5). Сепаратрисой является фазовая траектория, проходящая через точки х8 = О, xs = ±7г. Поэтому ей соответствует энергия Hs — WQ. Решения на сепаратрисе найти просто. Действительно, подставим Hs OJQ в уравнение (3.10) и выразим из него х: Выражение (3.14) есть не что иное, как уравнение сепаратрисы (вторая ветвь сепаратрисы получается из первой (3.14) обращением времени Однако более интересная информация о динамике частицы на сепаратрисе получается, если рассмотреть выражение для скорости v = х. Из (3.13) найдемобратимся, когда будем рассматривать явление разрушения сепаратрис у нелинейного маятника с диссипацией, находящегося под действием внешнего периодического возмущения. Уравнение движения такой системы можно записать как [122]: В данном разделе мы кратко опишем суть метода Мельникова [38] (см. также [41,123,124]), позволяющий аналитически получить необходимое условие существование гомо— и гетероклинического хаоса. Рассмотрим простую двумерную автономную систему под действием периодического возмущения, имеющую единственную гиперболическую точку XQ: где х = (жі,Ж2) а функция /і периодична по і с периодом Т. Допустим, что невозмущенная система (е — 0) имеет единую сепаратрису Xo(t) (рис. 3.6а), так что lira %o(t) = XQ. Возмущение приводит к ее расщеплению, т.е. входящая и выходящая ветви уже не будут совпадать. При этом имеются три возможности: сепаратрисы либо нигде не пересекаются, причем любая из них может полностью охватывать другую (рис. 3.66,в), либо пересекаются в бесконечном числе гомокли-нических точек. Хаотическое движение возникает только в последнем случае (рис. З.бг). Чтобы найти условие пересечения, необходимо ме ратрисами в некоторый момент времени to. Когда выходящая сепаратриса окружает входящую, это расстояние D(t, to) 0. Если входящая сепаратриса окружает выходящую, то всегда D(Mo) 0. И только если при каком-либо to сепаратрисы пересекаются, величина D(t}to) будет знакопеременной функцией.
Обоснованный в работе [38] метод позволяет определить размер щели D(t, to) между родственными ветвями сепаратрисы. Он требует простого интегрирования вдоль невозмущенных траекторий и основан на сравнении членов первого порядка в разложении решения на устойчивой и неустойчивой сепаратрисах в ряды по параметру возмущения є Для вычисления D(t,to) достаточно найти решения на устойчивом Xs неустойчивом хи многообразиях, соответственно: Решение (3.16) имеет вид уединенной волны — солитона. Характерная ширина профиля скорости І/wo- Его края экспоненциально спадают при t — ±оо. Знак плюс в (3.16) соответствует солитону, движущемуся вправо (верхняя ветвь сепаратрисы на фазовой плоскости — рис.3.5). Знак минус в (3.16) соответствует движению влево. К введенным понятиям мы обратимся, когда будем рассматривать явление разрушения сепаратрис у нелинейного маятника с диссипацией, находящегося под действием внешнего периодического возмущения. Уравнение движения такой системы можно записать как [122]: В данном разделе мы кратко опишем суть метода Мельникова [38] (см. также [41,123,124]), позволяющий аналитически получить необходимое условие существование гомо— и гетероклинического хаоса. Рассмотрим простую двумерную автономную систему под действием периодического возмущения, имеющую единственную гиперболическую точку XQ: где х = (жі,Ж2) а функция /і периодична по і с периодом Т. Допустим, что невозмущенная система (е — 0) имеет единую сепаратрису Xo(t) (рис. 3.6а), так что lira %o(t) = XQ. Возмущение приводит к ее расщеплению, т.е. входящая и выходящая ветви уже не будут совпадать. При этом имеются три возможности: сепаратрисы либо нигде не пересекаются, причем любая из них может полностью охватывать другую (рис. 3.66,в), либо пересекаются в бесконечном числе гомокли-нических точек. Хаотическое движение возникает только в последнем случае (рис. З.бг). Чтобы найти условие пересечения, необходимо ме ратрисами в некоторый момент времени to. Когда выходящая сепаратриса окружает входящую, это расстояние D(t, to) 0. Если входящая сепаратриса окружает выходящую, то всегда D(Mo) 0. И только если при каком-либо to сепаратрисы пересекаются, величина D(t}to) будет знакопеременной функцией. Обоснованный в работе [38] метод позволяет определить размер щели D(t, to) между родственными ветвями сепаратрисы. Он требует простого интегрирования вдоль невозмущенных траекторий и основан на сравнении членов первого порядка в разложении решения на устойчивой и неустойчивой сепаратрисах в ряды по параметру возмущения є Для вычисления D(t,to) достаточно найти решения на устойчивом Xs неустойчивом хи многообразиях, соответственно. Записывая где to — произвольный начальный момент времени, а ГЕ о — единая невозмущенная сепаратриса, и подставляя (3.19) в (3.18), получаем в первом порядке:
