Содержание к диссертации
Введение
1 Корреляционные функции xxz магнетика гейзенберга (нулевая и бесконечная ани зотропия) и комбинаторика 18
1.1 XXZ Магнетик Гейзенберга, плоские разбиения и решеточные пути 18
1.1.1 Гамильтониан XXZ модели при нулевой и бесконечной анизотропии, векторы состояния и функции Шура 18
1.1.2 Форм-факторы и корреляционные функции типа выживания ферромагнитной струны и доменной стенки при нулевой анизотропии 27
1.1.3 Форм-факторы и корреляционная функция типа выживания ферромагнитной струны при бесконечной анизотропии 37
1.1.4 Плоские разбиения, g-биномиальные определители и производящие функции плоских разбиений и самоизбегающих путей 44
1.1.5 Асимптотики корреляционных функций при убывающей температуре 60
1.2 XX магнетик Гейзенберга и случайные блуждания недружественных пешеходов 63
1.3 XY магнетик Гейзенберга и производящие функции корреляторов третьих компонент спинов 70
2 Слабонеоднородные бозе-газ в гармоническом потенциале и а-фаза гелия -3 82
2.1 Сверхтекучий одномерный бозе-газ в гармоническом потенциале. Эффективное действие 82
2.2 Корреляционные функции бозе-газа и их асимптотики 89
2.2.1 Вариационный принцип В. Н. Попова 89
2.2.2 Пространственно-однородный бозе-газ 93
2.2.3 Бозе-газ в гармоническом потенциале при квТ ^> hv/Rc 97
2.2.4 Бозе-газ в гармоническом потенциале при квТ <С hv/Rc 99
2.2.5 Многоточечная корреляционная функция неоднородного газа 103
2.3 Сверхтекучая А-фаза гслия-3 и ток частиц 105
2.3.1 Представления для тока частиц в виде сумм и интеграла .107
2.3.2 Предельные случаи и вычисления для конкретных текстур параметра порядка 111
2.4 Спектр возбуждений в антиферромагнитной фазе трехзон-
ной двумерной модели Хаббарда со слабым отталкиванием 118
3 Калибровочная модель несингулярных дислокаций и перенормировка упругих модулей 124
3.1 Калибровочный подход и геометрические соотношения теории дислокаций 124
3.2 Модифицированная винтовая дислокация и квадратичные поправки к тензору напряжений 127
3.3 Перенормировка упругих модулей и влияние ядер дислокацийІЗб
Заключение 155
- Гамильтониан XXZ модели при нулевой и бесконечной анизотропии, векторы состояния и функции Шура
- XY магнетик Гейзенберга и производящие функции корреляторов третьих компонент спинов
- Многоточечная корреляционная функция неоднородного газа
- Модифицированная винтовая дислокация и квадратичные поправки к тензору напряжений
Введение к работе
Актуальность темы
Квантовый метод обратной задачи рассеяния, разработанный в лаборатории математических проблем физики ПОМИ под руководством Л. Д. Фаддеева, является основным подходом к решению интегрируемых моделей квантовой теории ПОЛЯ и статистической физики [А1—А6]. Вычисление корреляционных функций является актуальной задачей теории квантовых интегрируемых систем [ А7]. Квантовый метод обратной задачи позволяет находить корреляционные функции в конечном объеме и при различных граничных условиях. Большой интерес при этом вызывают точные ответы, связанные с представлениями в виде определителей, [А7], которые позволяют эффективно исследовать асимптотическое поведение корреляционных функций. Квантовый метод обратной задачи (а также его важная составляющая часть алгебраический анзац Бете) связан с такими бурно развивающимися областями современной математики и математической физики как теория квантовых групп, маломерная топология и конформная теория поля. Кроме того, возникают связи квантовой интегрируемости с теорией суперсимметричных калибровочных моделей [ А8], а также удается установить связи с перечислительной комбинаторикой, симметрическими функциями и случайными матрицами [1-4].
Функциональное интегрирование позволяет исследовать корреляционные функции систем, для которых точное решение не найдено. С помощью функционального интегрирования, в сочетании с техникой температурных функций Грина, вычисляются как статистические суммы, так и корреляционные функции. Формулировка функционального интегрирования (интегрирования по путям) восходит к Р. Фейн-ману [А9] и М. Кацу [А 10]. Подход плодотворен во многих разделах теоретической физики, включая статистическую физику, квантовую теорию поля и теорию суперструн. Многочисленные современные приложения подхода отражены в монографиях [А11-А15].
В современной теоретической и математической физике особое место занимают исследования низкоразмерных моделей статистической физики. Информацию о моделях дают как точные корреляционные функции (функции Грина), так и их асимптотические оценки. При этом интерес к точнорешаемым моделям связан с достижениями в области практической реализации маломерных систем конечного размера (например, при моделировании огрубления (плавления) кристаллов). Прогресс в квантовой оптике и в нано-приборостроении стимулирует интерес к пространствен-
но неоднородным системам. При этом неоднородность может обуславливаться либо конечностью объема или внешним потенциалом, либо дефектами (дислокациями, дисклинациями). Неоднородные системы связаны, в частности, с атомными газами в магнито-оптических ловушках, а также, например, с нанотрубками и графеновыми пленками. Атомные газы в ловушках удается реализовать как квазиодномерные системы, в которых проявляются черты либо фермионного, либо бозонного поведения.
Переходя к конкретным моделям, выделим следующие проблемы и подходы к их решению. Например, вычисление температурных корреляционных функций некоторых операторов для спиновой XXZ цепочки Гейзенберга позволяет установить связи с перечислительной комбинаторикой. Дело в том, что при анизотропии, стремящейся к нулю (ХХО магнетик, свободные фермионы) или бесконечности (изинговский предел, бозоны с твердой сердцевиной), бетевские векторы состояния могут быть выражены с помощью симметрических функций Шура. В результате, форм-факторы соответствующих операторов, вычисленные в так называемой ^-параметризации, выражаются через g-биномиальные определители, которые приводят к производящим функциям как плоских разбиений в ящике, так и самоизбегающих путей на решетке. Низкотемпературные асимптотики корреляторов в случае длинных, но конечных цепочек связаны с матричными интегралами гауссовых ансамблей. Случайные блуждания недружественных пешеходов на одномерной решетке и проблема перечисления их путей также вызывают интерес как в комбинаторике, так и в статистической физике. При этом для ХХО магнетика на периодической цепочке можно построить корреляционные функции, играющие роль производящих функций путей недружественных пешеходов.
Реализация бозе-эйнштейновской конденсации для атомных газов, удерживаемых магнито-оптическими ловушками, вызвала интерес к одномерным системам, описываемым |-0|4-моделью бозе-поля во внешнем (гармоническом) потенциале. Функциональное интегрирование позволяет получить однопетлевое эффективное действие и исследовать многоточечные температурные корреляционные функции в приближении Томаса-Ферми. Для оценки корреляторов используется вариационный метод В. Н. Попова [А16]. В одномерном случае и для внешнего гармонического потенциала обобщаются результаты для квантового нелинейного уравнения Шредингера.
Возникновение топологических вихрей, калибровочных симметрии и аналогий с физикой элементарных частиц поддерживает интерес к сверхтекучим фазам гелия-3. Необычные свойства А-фазы связаны с обращением сверхпроводящей щели в нуль в полюсах сферы Ферми. Для тока частиц слабонеоднородной А-фазы получены в
лондоновском пределе ведущие члены асимптотического разложения по степеням первых производных от параметра порядка.
Топологически нетривиальные нарушения упорядоченных состояний (вихри, дислокации) имеют значение для фазовых переходов в двумерных системах. Дислокации, как нарушения кристаллического порядка, существенны для понимания структурных и электронных свойств твердых тел, а также интересны в связи с физикой нанотрубок. Поля напряжений классических дислокаций Вольтерры характеризуются вблизи линии дефекта полюсной особенностью первого порядка. Нефизическая особенность сглаживается в рамках теоретико-полевого подхода, приводящего к модифицированным дислокациям с конечным ядром. С помощью функционального интегрирования вычисляются корреляторы компонент модифицированного тензора напряжений, позволяющие затем исследовать перенормировку модулей упругости. Конечность размера ядер приводит к видоизменению закона перенормировки. Цель работы:
Вычисление температурных корреляционных функций и их асимптотик для низкоразмерных моделей статистической физики, характеризующихся пространственной неоднородностью вызванной либо конечностью объема (длиной цепочки), либо наличием внешнего потенциала или дефектов. Рассмотрены следующие конкретные проблемы:
Развитие подхода, основанного на использовании симметрических функций Шура для представления бетевских iV-частичных состояний спиновой XXZ цепочки Гейзенберга в пределах нулевой и бесконечной анизотропии. Применение подхода к вычислению температурных корреляционных функций типа выживания ферромагнитной струны и выживания доменной стенки. Установление связи форм-факторов и асимптотик корреляторов с комбинаторикой плоских разбиений в ящике и самоизбегающих решеточных путей.
Использование функционального интегрирования для вычисления производящих функций некоторых корреляторов спиновых ХХО и XY цепочек Гейзенберга. В качестве приложения рассмотривается задача перечисления траекторий случайных блужданий недружественных пешеходов.
Применение функционального интегрирования для получения и исследования корреляционных функций одномерного бозе-газа с отталкиванием в гармоническом потенциале и слабонеоднородной А-фазы гелия-3, а также для вычисления спектра коллективных возбуждений в антиферромагнитной фазе двумерной модели Хаббар-да со слабым отталкиванием.
Построение трансляционно-калибровочной лагранжевой модели модифицированных дислокаций в упругом континууме, в рамках которой компоненты тензора напряжений дефектов не имеют особенности на оси, а сами дефекты характеризуются областью ядра конечного размера.
Применение функционального интегрирования для вычисления статистической суммы и температурных корреляционных функций компонент напряжений в модели, рассматривающей модифицированные дислокации в упругом цилиндре как термодинамический ансамбль. Вывод закона перенормировки упругих констант, который демонстрирует влияние конечности размера ядер дислокаций.
Методы исследования
В работе используются соотношения квантового метода обратной задачи и Бете-анзаца, применяется метод функционального интегрирования, а также активно привлекаются специальные функции и их асимптотики. Теоретическая и практическая ценность
Работа имеет чисто теоретический характер. Разработанные в ней методы и полученные результаты могут быть применены для дальнейшего изучения как указанных систем статистической физики, так и других родственных задач. Основные результаты работы и научная новизна
На основании единообразного подхода получены следующие новые научные результаты:
Вычислены для XXZ модели Гейзенберга (пределы нулевой и бесконечной ани
зотропии) на конечной цепочке температурные корреляционные функции типа вы-
ферромагнитной струны и выживания доменной стенки. Установлено, что для достаточно длинной, но конечной цепочки и большого, но умеренного числа частиц асимптотики корреляторов связаны с матричными интегралами теории случайных матриц. Показано, что при стремящейся к нулю абсолютной температуре асимптотики корреляторов принимают вид произведения статистической суммы гауссова унитарного ансамбля на квадраты чисел плоских разбиений в ящике.
Показано, что при специальной ^-параметризации форм-факторы операторов ферромагнитной струны и доменной стенки выражаются через g-биномиальные определители. Вычисление последних приводит к производящим функциям плоских разбиений в ящике. В пределе q —> 1 возникают биномиальные определители, имеющие интерпретацию в терминах самоизбегающих путей на решетке (случайные блуждания) и возникают формулы типа формулы Мак-Магона для плоских разбиений.
Получены асимптотические оценки для числа путей пешехода, перемещающегося
в среде с переменным числом недружественных соседей из некоторого фиксированного узла в другой достаточно удаленный узел решетки XXО модели. Для производящей функции корреляторов третьих компонент спинов XY цепочки Гейзенберга получено представление в терминах функциональных интегралов по переменным с квазипериодической зависимостью от мнимого времени.
Показано, что двухточечная температурная корреляционная функция для слабонеоднородного бозе-газа с отталкиванием в гармоническом потенциале убывает степенным образом в случае стремящейся к нулю температуры и растущего объема. Для критического индекса, характеризующего убывание, найдена зависимость от пространственных аргументов.
Для тока частиц в слабонеоднородной Aфазе гелия-3 в лондоновском пределе доказано наличие поправок второй степени по градиентам параметра порядка, а также методом Лапласа получены поправки третьей степени содержащие логарифм.
Получено новое интегральное представление николсоновского типа для произведения функций параболического цилиндра с противоположными аргументами и одинаковыми комплексными значками, вещественная часть которых отрицательна.
Получено эффективное действие для антиферромагнитной фазы трехзонной модели Хаббарда с отталкиванием как в критической области, так и вблизи нулевой температуры. Получен спектр возбуждений квазичастиц.
Построена трансляционно-калибровочная полевая модель модифицированных дислокаций, обладающих ядром конечного размера. В первом и втором порядках малости по модулю вектора Бюргерса получены компоненты тензора напряжений винтовой дислокации в цилиндре, которые определены как вне, так и внутри ядра дефекта.
Развит подход к вычислению перенормировки упругого модуля сдвига, вызванной зарождением диполей модифицированных винтовых дислокаций. Выявлена зависимость закона перенормировки от отношения радиусов ядра дислокации и поперечного сечения цилиндра.
Апробация работы
Результаты докладывались на семинарах ПОМИ, С.-Петербургского Политехнического университета, Международного центра теоретической физики в Варшаве, Лаборатории низких температур Хельсинкского технологического университета, на международных конференциях по теоретической и математической физике:
Summer School on Geometry, Topology, and Gauging (Jablonna, Poland, 1989);
Symposium on Vortices, Interfaces and Mesoscopic Phenomena in Quantum Systems (Jyvas-kyla, Finland, June 4-9, 1994);
Workshops on Condensed Matter Physics: ICTP (Trieste, Italy) 1994, 1995; ISI (Torino, Italy) 1995;
Third International Seminar POMI-Florence on Quantum Groups and Integrable Systems (St.-Petersburg, July 2-6, 2001);
The 6th International Conference "Path Integrals from pe V to Те V" (Florence, Italy, August 25-29, 1998); The 8th International Conference "Path Integrals from Quantum Information to Cosmology" (Prague, Czech Republic, June 6-Ю, 2005); The 9th International Conference "Path Integrals - New Trends and Perspectives" (Dresden, Germany, September 23-28, 2007);
International Workshops on "Classical and Quantum Integrable Systems" CQIS-08 (IHEP, Protvino, Russia, January 21-24, 2008), CQIS-11 (IHEP, Protvino, Russia, January 24-27, 2011), CQIS-12 (JINR, Dubna, Russia, January 23-27, 2012); International Conference "Conformal Field Theory, Integrable Systems, and Liouville Gravity" (Chernogolovka, Russia, June 27 -July 2, 2009);
III, IV International Conferences "Models in Quantum Field Theory" (St.-Petersburg, Physical Department of St.-Petersburg State University), MQFT-2010 (October 18-22, 2010), MQFT-2012 (September 24-27, 2012);
Marcel Grossmann Meeting MG13 on Recent Developments in General Relativity, Gravitation, and Relativistic Field Theory (Stockholm University, Stockholm, Sweden, July 1-7, 2012);
Конференция "Квантовый и классический методві обратной задачи" (МИАН-ПОМИ, 19-21 декабря, 2012)
Публикации
В ходе исследований по теме диссертации опубликовано 30 статей в ведущих отечественных и зарубежных рецензируемых научных журналах из списка ВАК. Личный вклад автора
Все основные результаты, выносимые на защиту, принадлежат соискателю. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь материал, который был получен непосредственно соискателем. Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, четырех приложений и списка литературы. Объем диссертации - 184 страницы. Библиография включает 195 наименований.
Гамильтониан XXZ модели при нулевой и бесконечной анизотропии, векторы состояния и функции Шура
Система атомов, размещенных на узлах одномерной решетки и имеющих спин 1/2, которая широко известна как квантовая XYZ цепочка Гейзенберга [135], привлекла к себе значительное внимание как в теоретической, так и в математической физике [5,34-36,136-138]. Квантовый метод обратной задачи рассеяния, развитый для решения интегрируемых моделей квантовой теории поля и статистической физики, был успешно применен в [1,2] к исследованию XYZ цепочки Гейзенберга. Важный частный случай XYZ модели, так называемая спиновая XXZ цепочка Гейзенберга, также привлекает значительное внимание [23,37-42]. Гамильтониан XXZ магнетика был диагонализован методом координатного анзаца Бете в работах [34-36]. В работе [1] для решения XXZ модели был использован алгебраический анзац Бете. Вычисление корреляционных функций рассматриваемой модели в формализме алгебраического анзаца Бете потребовало серьезных усилий: [3,4,23,37,42].
Гамильтониан XXZ модели на одномерной решетке, которая состоит из М + 1 узла, М+ 1 = 0 (mod 2), пронумерованного элементами множества Лі = {0 к М, к Є Z}, имеет вид: где Д 6І- внутренняя анизотропия, h Є К - магнитное поле. Например, А = ±1 соответствует, так называемой, изотропной XXX спиновой цепочке, решение для которой построено в работе [5]. Локальные спиновые операторы ак = \{рк ± гаук) и ак, зависящие от решеточного аргумента к Є Л4, определены как (М + 1)-кратные тензорные произведения:
Введем некоторые соглашения. Будем считать, что жирными буквами обозначаются любые наборы чисел следующего вида: например, и означает набор из N произвольных (комплексных) параметров (ui,U2,. -и ), И Т.Д.. Далее, пусть N - число состояний со спином "вниз" ("частиц"), занимающих на цепочке узлы с номерами ЦІ, 1 N. Пусть координаты "частиц" образуют строго убывающее разбиение ц = (//1,//2, ,I N), где М Ці ц2 Им 0. Будем также рассматривать разбиение Л = (Лі, Аг,..., Адг), являющееся iV-элементной последовательностью нестрого убывающих положительных целых чисел: L Х\ Х2 ... Адг 0. Элементы Xj называются частями А. Длина разбиения /(А) равна количеству его частей. Сумма всех частей называется весом разбиения, Л = 2І=1 \І [30]. Любое строгое разбиение /л связано с нестрогим разбиением А, М + 1 —iV Ai A2 --- Ajv 0c помощью соотношения Xj = \ij — N + j, где 1 j; N. Иными словами, соотношение имеет вид Л = /л — SN, где SN - строго убывающее разбиение (N — 1, N — 2,...,1,0).
С каждым разбиением Л свяжем множество 65 (Л) iV-наборов следующего вида [139]:
Каждое нестрогое разбиение А можно изобразить прямоугольной таблицей (таблицей Юнга), состоящей из N таких колонок, что Aj, Vz, есть высота г-ой колонки (Рис. 1). Сдвинем каждый элемент множества 65(A) на N — \ и присвоим полученные значения проекциям "вершин" столбцов вдоль вертикальных пунктирных линий на горизонтальую ось. На горизонтальной оси возникают элементы строго разбиения (і, соответствующего нестрогому разбиению А. Например, диаграмма на Рис. 1 отвечает М = 8 and N = 4: А = (5, 3, 2, 2) и /л = (8, 5, 3, 2) (А М = М - N + 1).
Будем следовать работам [31-33] и рассмотрим XXZ модель для двух пределов анизотропии: А — О (ХХО магнетик, эквивалентный свободным фермионам) и А — — оо (изинговский предел). Гамильтониан XX (= ХХО) модели описывает взаимодействие состояний со спинами, направленными "вверх" ) и "вниз" Ц.}, которые размещены на ближайших узлах периодической цепочки и в нулевом магнитном поле имеет вид:
Система, описываемая (9), эквивалентна системе свободных фермионов [50] и может быть также получена из бозонной модели Хаббарда в результате предельного перехода к случаю бесконечного отталкивания на узле (бозоны с "твердой сердцевиной") [31]. Таким образом, XX модель интересна как для исследования (квантовой) фазовой диаграммы модели Хаббарда, так и для описания экситонов Френкеля [48]. В последние несколько лет XX модель привлекла к себе внимание в связи с изучением теории квантовой информации и квантовых вычислений [49,140].
Для получения вектора состояния Ф (и)) и уравнений Бете XX модели выполняется переход А — 0 в соотношениях (6) и (7). В результате получаем, что гамильтониан (9) диагонализуется на векторах состояния (4), где волновая функция, с точностью до несущественного общего множителя, выглядит как а уравнения Бете имеют вид [46]: Замена Uj = el8j переводит эти уравнения в экспоненциальную форму, приводящую к решениям: где Ij - целые или полуцелые числа в зависимости от того, является N четным или нечетным. Достаточно рассматривать N различных чисел Ij, удовлетворяющих условию: М Д 12 IN 0. Обозначение 0 для iV-элементной совокупности (9i,02,,0N) решений (13) будет активно использоваться в дальнейшем, чтобы подчеркнуть использование решения уравнения Бете. В противном случае уместно сохранять и = («і, «2, им) ИЛИ и2 = {и\, и\, u2N) как указание на то, что имеется ввиду набор произвольных параметров. Из (8) следует, что собственные значения энергии XX модели имеют вид:
Основное состояние модели характеризуется энергией основного состояния E x(0g), которое отвечает параметрам (13) при Ij = N — j:
Менее изученным случаем XXZ модели оказывается предел сильной анизотропии А — — оо (аббревиатура SA) [35,138,141,142]. Этот предел называется изингов-ским так как простейший гамильтониан в этом пределе оказывается гамильтонианом одномерной модели Изинга [138]:
Как предложено в [32], будем изучать предел сильной анизотропии с помощью эффективного гамильтониана Н$А, который формально эквивалентен XX гамильтониану (9), снабженному требованием, запрещающим двум состояниям со спинами "вниз" занимать любую пару ближайших узлов [141,142]:
XY магнетик Гейзенберга и производящие функции корреляторов третьих компонент спинов
В работах [63-67] развит подход к вычислению некоторых корреляционных функций с использованием функциональных интегралов по переменным, зависящим от мнимого времени квазипериодически. В качестве модели рассматривается XY магнетик Гейзенберга в постоянном однородном магнитном поле и вычисляется ("продольная") корреляционная функция оператора третьей компоненты спина на узле сг. Вычисление корреляционных функций сводится к производящим функциям, которые можно представить в виде функциональных интегралов по антикоммутирующим переменным с квазипериодической зависимостью от мнимого времени. Требование квазипериодичности учитывается как связь, которая ограничивают область интегрирования. Для XX магнетика Гейзенберга рассматривается модификация подхода на случай двухточечного коррелятора третьих компонет спинов с явной зависимостью от времени. Возможно обобщение на более сложные производящие функции, возникшие в разделе 1.2.
Рассмотрим XY магнетик Гейзенберга, который является предельным случаем XYZ цепочки так же, как XX магнетик является пределом XXZ цепочки Гей зенберга. Молель описывается спиновым гамильтонианом в магнитном поле где Sz - третья компонента полного спина, 7 параметр анизотропии и М = 0 (mod 2). Операторы локального спина а = ( т ± ia%) и ozn определены в (2), п Є Л4 = {1, 2,... , М}. Перестановочные соотношения имеют вид: [с ,С ] = Зк,і&ї, [ak,crf} = ±25k,i jf. Матричные элементы А в (158), (159) задаются (141) [69], и = 0, ±. Наложены периодические граничные условия и +м = Gni п -М- Гамильтониан Н (158) при 7 = 0 сводится к ХХ-гамильтониану (9). где /3 = 1/Т, Н - гамильтониан (158), и Z - статистическая сумма. Кроме того, qk = (1 — al) есть число частиц на kth узле. Производящая функция G({ak}) (160) зависит от М комплексных параметров: {ак} = {«fc Є С fc Є Лі}. При а\ = а = = Q!m = а я am+\ = am+2 = = ам = 0, G{{ak}) (160) сводится к производящей функции G(a,m), которая изучалась в [37,38,46,47,154-156]. Двухточечная статическая корреляционная функция третьих компонент спинов возникает из G(a,m): где T m и V = T m о T m обозначают решеточные производные первого и второго порядков, соответственно (т.е., Vmf{m) = f(m+ 1) — f{m)). Средние произведений операторов плотности qk возникают из G{{ak}) (160):
Многоточечные корреляторы операторов ozk выражаются через средние (162) (формулы приведения можно найти в [157]). Соотношение (162) отличается от (161) тем, что нет решеточных дифференцирований и присутствуют только частные производные, например, при / = 2 для (cf r l+1) = 1 - 2{ql) - 2{qm+l) + A{qxqm+i).
Теорема Вика позволяет установить, что (q\ q2 ) есть определитель теплице-вой матрицы размера 1x1 [49]. Вычисление G({ak}) в предлагаемом подходе приводит к ответу, выражающемуся через определители матриц размера М х М и при этом обобщаются формулы полученные в [144,155]. Кроме того, представление (162) позволяет установить, что (ф qu2 ... %) есть определитель матрицы, возникающей из теплицевой матрицы.
Наша цель - вычислить G{{o k}) (160), воспользовавшись представлением в терминах функционального интеграла фермиевского типа. Совершим преобразование
Йордана-Вигнера от ак к каноническим фермионным переменным Cfc, ск [158]:
Переменные Cfc, c\ подчиняются алгебре {ск,сп} = {cl, } = 0, {cfc, 4} = 8kn, где скобка { , } - антикоммутатор. Периодические условия для спиновых переменных эквивалентны граничным условиям для фермионных переменных: - проекторы на состояния с четным (+)/нечетным (—) числом фермионов: Р = (1 ± (—1) ). Индекс s = ± указывает на соответствие между Hs (166) и граничным условием: см+і = —sc\, См+i = sc\- Оператор Af перестановочен с операторами Яхх (158) и Sz (159). Оператор четности (—1)" перестановочен с Я и анти-перестановочен с ск и ск.
С учетом (165) и (166), статистическая сумма Z (160) принимает вид: Аналогично, G({an}) (160) принимает вид: Различие между Я+ и Я (166) исчезает в термодинамическом пределе и вклады, помеченные В, сокращаются в Z (167) и G (169). В связи с этим, более детально рассмотрим вычисление GF. Перейдем к выводу представлений в виде функциональных интегралов. Введем грассмановы когерентные состояния [18]. Для фермионных операторов существует фоковский вакуум 0): сп\0) = (0с = 0, (00) = 1, \/п Є М = {І,..., М}. Определим 2L независимых когерентных состояний, которые помечены независимыми комплексно-значными грассмановыми параметрами ж(а7), Хк(сц) (І Є {1, 2,... ,L}): \x(ai)) = ес x(-ai l\0}, (x (ai)\ = (0еж (-аі-)с, где а7 Є { ai}l I L независимые комплексные числа г. Для этих состояний выполняются соотношения:
Многоточечная корреляционная функция неоднородного газа
В жидком гелии-3 при достаточно низких температурах возникает притяжение двух фермионов с противоположными импульсами (эффект Купера), приводящее к сверхтекучести. Из-за сильного отталкивания атомов гелия-3, имеющих спин s = -, спаривание происходит в состояние с ненулевым орбитальным моментом, при котором возможны сверхтекучие фазы: А, В, и А\ [83,84]. Соответствующие волновые функции пар отвечают спин-триплетному р-спариванию и характеризуются относительным угловым моментом L = 1 (Lz = 0,±1) и полным спином S = 1 (Sz = 0,±1). В частности, сверхтекучая А-фаза может рассматриваться как двухкмпонентная смесь жидкостей, куперовские пары которых имеют Lz = +1 и Sz = ±1 [83,84].
В работах [90-93] для сверхтекучей А-фазы гелия-3 развит подход к вычислению и исследованию тока частиц j при условии о \д 1 (лондоновский предел), где о длина когерентности и \д 1 - масштаб изменения орбитального параметра порядка. Полученное представление для j позволяет получить формально все члены асимптотического разложения по степеням частных производных параметра порядка. При этом формальность связана с тем, что сам слабо меняющийся параметр порядка рассматривается только в линейном приближении. Практически, в [90-93] получены в пределе нулевой температуры поправки второго и третьего порядков.
Сверхтекучая А-фаза гелия-3 (3Не — А) при абсолютной температуре Т, квТ = - (кв - постоянная Болыгмана) есть нерелятивистская система Ферми-частиц спина s = \i занимающих область пространства V. Чтобы описать 3Не —А в подходе функционального интегрирования, рассмотрим антикоммутирующие комплекснозначные функции ф1(т,г) и ф3(т,г) (элементы бесконечной грассмановой алгебры с инволюцией, [18]), где s =-1Л - спиновый индекс, г Є V и г Є [0,/5]. Ток частиц j возникает как усреднение функционала, отвечающего оператору импульса: где Т (ф ,ф3) - мера функционального интегрирования по ф (т,т), ф3(т,т), es - вес и S - функционал действия, описывающий 3Не — А (выражение для S можно найти в [13]). Для вывода (303) применяется подход производящего функционала, само функциональное интегрирование при этом проводится последовательно по "быстрым" и по "медленным" переменным [13]. В результате ток j выражается через нормальную фермионную функцию Грина, которая удовлетворяет уравнению Дайсона-Горькова [10].
Ток j линеен в ведущем приближении по производным параметра порядка [84]. Отсутствие ясности по вопросу о старших поправках к ведущему вкладу jo, [86-89], привело к тому, что в работах [90-93] был предложен подход к выводу асимптотического разложения для j. В приближении слабой неоднородности параметра порядка, в работах [90-93] получено новое интегральное представление для нормальной функции Грина и, таким образом, для j при нулевой температуре:
В соотношении (304), jo есть известное выражение первого порядка при Т = 0 [84]: где p - плотность жидкости, vs - сверхтекучая скорость, / - поле слабо неоднородного вектора орбитального углового момента (шляпка означает единичный вектор), Со р. Два первых слагаемых в правой части (306) стандартны для бесщелевой сверхтекучей жидкости с р-спариванием, а возникновение третьего слагаемого jan происходит [83,85] благодаря существованию двух полюсов (т.е. двух нулей параметра щели) на сфере Ферми для 3Не - А.
Модифицированная винтовая дислокация и квадратичные поправки к тензору напряжений
Подход [113], приводящий к несингулярным дефектам, рассматривается более детально в [121] на примере модифицированной винтовой дислокации. А именно, в рамках модели, предложенной в [113], развивается подход к вычислению квадратичных по модулю вектора Бюргерса вкладов в тензор напряжений. Дело в том, что в известной классической работе [118] предложен подход к определению квадратичных поправок к тензору напряжений. Задача двумерна (плоская задача теории упругости) и поправки определены внутри кольца в плоскости, перпендикулярной линии дефекта. Внешний радиус кольца соответствует границе цилиндра, содержащего дефект. Внутренний радиус соответствует искусственному обрезанию на условной границе ядра дислокации. При этом как на внешней, так и на внутренней границах задаются условия типа свободной поверхности. В подходе, развиваемом в [113,121], использование калибровочного лагранжиана Гильберта-Эйнштейна интерпретируется как учет энергии ядра дислокации. Соотношения, возникающие в [121] обобщают [118] в том смысле, что возникающие квадратичные напряжения определены внутри диска, и могут рассматриваться как регулярные продолжения классических решений внутрь ядра конечного радиуса. При этом самосогласованно возникают радиусы, которые выделяют область ядра и которые зависят от упругих модулей второго и третьего порядков, то есть определяются рассматриваемой средой. На основе подхода, учитывающего конечность ядер, может быть построено термодинамическое описание твердых тел (кристаллов) с большим числом несингулярных дефектов.
Пусть начальное и конечное состояния тела рассматриваются по отношению к координатным системам {хг} и {ха}, характеризующимся квадратами длин dx% = aldxa. Компоненты аг ортогональны триадам е", определенным с помощью дг = е" 9а, дг = д/дхг. Компоненты аг определены 1-формой dx% = aldxa. Выполняются соотношения ортогональности для аг и е": е"ьг = 8%, e Sj = 8\. Пусть отображение х і— (х) задает деформацию начального состояния, и смещение — х параметризуется следующим образом: г — хг = иааг. Задачу о квадратичных поправках будем рассматривать, следуя [118], в терминах эйлерова тензора деформаций {е)аь = Єаь, характеризующего отклонение от плоской метрики г]аь конечного состояния: где gab = QijB BbJ - тензор Копій, и компоненты Ваг определяются 1-формой dx% = Bald a. Для учета дислокаций рассматриваем 1-форму с коэффициентами Ваг = Ш; — Ф , которые при неоднородных Т(3)-преобразованиях хг — хг + rf(x) инвариантны так же, как Ваг = С - при однородных сдвигах хг — хг + rf. При этом 1-форма Bald a теряет свойство замкнутости, а преобразование калибровочных потенциалов Ф обеспечивает инвариантность Ваг:
Ключевым шагом рассматриваемого подхода является решение калибровочного уравнения (357), которое обобщает и заменяет соотношения несовместности классического подхода [118]. В работе [118] был предложен метод функций напряжений, применимый к широкому классу задач о дефектах в рамках несовместной теории упругости. Для удобства сопоставлений с соотношениями, возникающими в [118], уравнение (357) также будет решаться с использованием функций напряжений. При этом уравнения равновесия в напряжениях (см. (357)) удовлетворяются автоматически. Деформации и напряжения рассматриваются в двух низших приближениях:
Каждое из слагаемых е, у [г = 1,2) состоит из фонового и калибровочного вкладов. Будем решать задачу в напряжениях. Подставляя указанные разложения в (357), получим уравнения первого (г = 1) и второго (г = 2) порядков (см. [120]):
