Содержание к диссертации
Введение
1.1 Библиографический обзор 17
2 р-Адические ПДО и всплески 23
2.1 Введение 23
2.2 р-Адические всплески 26
2.3 Связь со всплесками на вещественной прямой 29
2.4 р-Адические ПДО: снятие вырождения 34
2.5 р-Адические ПДО: дальнейшее снятие вырождения 40
3 Ультраметрические ПДО и всплески 49
3.1 Введение 49
3.2 Направленное дерево Т(Х) шаров 51
3.3 Направленные деревья и ультраметрика 57
3.4 Пополнение направленных деревьев 61
3.5 Связь со стандартным определением абсолюта 64
3.6 Ультраметрические всплески 66
3.7 Связь со всплесками на вещественной прямой 69
3.8 Ультраметрические ПДО 73
3.9 Аналог оператора Владимирова 76
3.10 Обобщенные функции на ультраметрическом пространстве . 76
3.11 Ультраметрическое случайное поле 79
3.11.1 Приложение 84
4 Репличные матрицы и ультраметрические ПДО 86
4.1 Введение 86
4.2 Параметризация матриц Паризи 88
4.3 Новое семейство решгачных матриц 90
4.4 Ультраметрические ПДО и репличные матрицы 92
4.5 Анализ на деревьях 94
4.6 Связь с g-анализом 97
4.7 Вычисления с репличными матрицами 98
4.8 Сравнение с анзацем Паризи 103
5 Решения с нарушенной репличной симметрией и предел п -> 0106
5.1 Введение 106
5.2 Предел п -> 0: определение 107
5.3 Предел п -» 0: расчёты 109
5.4 Уравнение нарушения репличной симметрии 112
5.5 Постоянное решшчное решение 115
5.6 Следствия из уравнения нарушения репличной симметрии 116
5.7 Решение с нарушенной репличной симметрией 120
6 Связь некоммутативного и р-адического анализа 122
6.1 Введение 122
6.2 Свободные когерентные состояния 123
6.3 Связь с р-адическими числами 126
6.4 Оснащенное гильбертово пространство СКС 130
6.5 р-Адическое представление алгебры Кунца 133
6.6 р-Адическое представление как ГНС-представление 135
6.7 Представление алгебры Кунца в пространстве СКС 136
7 Межбассейновая кинетика и ультраметрическая диффузия 138
7.1 Введение 138
7.2 Межбассейновая кинетика как ультраметрическая диффузия 140
7.3 Ландшафт и дерево бассейнов 142
7.4 Случайное блуждание на ландшафте
и межбассейновая кинетика 144
Литература
- Связь со всплесками на вещественной прямой
- Пополнение направленных деревьев
- Сравнение с анзацем Паризи
- Уравнение нарушения репличной симметрии
Введение к работе
Настоящая диссертационная работа посвящена развитию теории р-адических и ультраметрических псевдодифференциальных операторов и всплесков. Показана связь всплесков и спектральной теории псевдодифференциальных операторов. Построено применение этих математических результатов к методу реплик в статистической физике неупорядоченных систем. Также обсуждается связь между некоммутативным и р-адическим анализом. р-Адические числа широко применялись в алгебраической геометрии, теории чисел и теории представлений. Начиная с 80-х годов прошлого века и работ В.С.Владимирова и И.В.Воловича, р-адические числа получили широкое применение в математической физике. Были получены применения р-адических чисел в теории струн и теории неупорядоченных систем.
Важным разделом математической физики является анализ псевдодифре-циальных операторов, или ПДО. Псевдодифференциальными операторами называются операторы, диагонализуемые преобразованием Фурье, а также получаемые из таких путём естественных преобразований. Все основные уравнения классической математической физики записываются при помощи таких операторов (уравнение Лапласа, волновое уравнение, уравнение теплопроводности, и другие).
Теория р-адических псевдодифференциальных операторов была развита B.C. Владимировым, см. [18], большой вклад внесли также А.Н.Кочубей [183] и другие авторы. В частности, был определен оператор Владимирова р-адического дробного дифференцирования Da. Было отмечено, что этот оператор диагона-лизуется не только преобразованием Фурье, но также имеет базисы из собственных функций с компактным носителем. Пример такого базиса можно найти в [18]. Функции из данного базиса являются р-адическими аналогами сферических функций. Другие примеры базисов из собственных функций оператора
Владимирова были построены в [243], [14], [183], [21]. Эти базисы состоят из локально постоянных функций с компактным носителем.
В работе [48] был построен еще один пример ортонормировашюго базиса из собственных векторов оператора Владимирова, названный базисом р-адических всплесков. Такой базис состоит из сдвигов и растяжений локально постоянной функции с компактным носителем гР(х) = Х(р-1х)П(\х\р) где х{х) есть комплекснозначный характер р-адического аргумента (аналог осциллирующей экспоненты) и О, (\х\р) есть характеристическая функция диска единичного радиуса с центром в нуле.
При обобщении конструкции базиса всплесков на пространства функций р-адического аргумента невозможно использовать сдвиги на целые числа. Связано это с тем, что в р-адическом случае целые числа не образуют решетку, а образуют плотное множество в единичном шаре, и сдвиги на целые числа не могут быть полны в L2(QP). Тем не менее, базис р-адических всплесков оказалось возможным определить, используя вместо сдвигов на целые числа сдвиги на элементы факторгруппы Qp/Zp поля р-адических чисел по кольцу целых р-адических чисел (точнее, на элементы из соответствующих классов эквивалентности).
Была доказана теорема [48].
Теорема Набор функций {ipinj}: %nj(x) =P~*x(py~lj(x -p~7n))ft(|p7rc - n\p),
7eZ, n Є Qp/Zp, j = l,...,p-l есть ортонормированный базис в L2(QP) из собственных векторов оператора Владимирова Da:
Здесь группа Qp/Zp параметризована как -і п = ^пу, п,- = 0,...,р-1
Более того, базис р-адических всплесков обладает замечательными свойствами: этот базис (для р = 2) эквивалентен базису всплесков в L2(R+), порожденному со всплеска Хаара. Эта эквивалентность задается р-адической заменой переменных: непрерывным отображением р р-адических чисел на вещественные числа, сохраняющим меру. Это означает, что теория всплесков (уже в вещественном случае) может рассматриваться как р-адический спектральный анализ (разложение функций по собственным векторам оператора Владимирова р-адического дробного дифференцирования).
Была доказана теорема [48].
Теорема Отображение р отображает ортоиормированный базис всплесков Хаара па L2(R+) на базис р-адических всплесков в L2(QP) из собственных векторов для оператора Владимирова:
Р* ' ^ір{п)зІх) *-> 'Фіпіі*)
В работе [50] был построен широкий класс р-адических интегральных операторов, которые не диагонализуются преобразованием Фурье, но диагональны в базисе р-адических всплесков, и были вычислены соответствующие собственные значения. В отличие от изучавшихся ранее операторов вида Tf(x) = JT{\x - y\p)(f(x) - НуШу) введенные операторы имеют более общий вид Tf(x) = fT(x,y)(f(x)-f(y))dfi(y)
Т(х, у) = const , если \х — у\р = const для фиксированного X Была доказана теорема [50].
Теорема Пусть ядро Т(х, у), удовлетворяющее свойствам
Т(х,у)-= const, если \х — у\р = const для фиксированного х оператора Tf(x) = JT(x,y)(f(x)-f(y))du.(y) положительно и удовлетворяет условию сходимости всех интегралов вида А7П ниже для любых 7, п. Тогда псевдодифференциальный оператор имеет плотную область определения в пространстве L2(QP) и р-адические всплески -ф^ являются собственными векторами для р-адического псевдодиффереициалыюго оператора: с собственными значениями
А7п = / Цр-Ч, y)dy + рЩр-Чп,р-і(п + 1)) J\n-Fy\p>\
Это показывает, что в р-адическом (и шире, в ультраметрическом) случае класс псевдодифференциальных операторов значительно шире, чем в вещественном: естественно называть псевдодифференциальными операторы, диагональные в базисе р-адических всплесков.
Кроме того, в работах [51], [191] были изучены псевдодифференциальные операторы с более общими ядрами Т(х,у), которые симметричны и положительны, и для фиксированных х и у выполнено: T(x,y) = T{x,y + z), для \z\p<\x-y\p
Была изучена спектральная теория таких операторов (применением метода р-адических всплесков).
Изложению данных (также близких к ним) результатов о р-адических всплесках и р-адических ПДО посвящена глава 2 настоящей работы.
В главе 3 настоящей работы мы обобщаем результаты главы 2 на случай широкого семейства ультраметрических пространств. Мы описываем семейство ультраметрических пространств регулярного типа. Такие пространства в некотором (описанном в главе 3) смысле являются двойственными направленным деревьям (где направление удовлетворяет некоторым свойствам). Направленное дерево есть дерево с направлением на множестве вершин, то есть таким частичным порядком, для которого для любых двух вершин /, J существует единственным образом определенная верхняя грань sup(/, J), то есть такая минимальная вершина sup(J, J), которая больше или равна /, J. Тогда для ультраметрического пространства регулярного типа X соостветствующее ему дерево Т(Х) задаётся через взаимно однозначное соответствие между вершинами дерева и шарами в данном ультраметрическом пространстве. Вложение шаров определяет направление на дереве.
На пространства регулярного типа естественным образом обобщается теория обобщённых функций на поле р-адических чисел.
Пусть v есть положительная борелевская счётно аддитивная мера со счётным базисом. Мы вводим базисы ультраметрических всплесков в пространствах L2(X, v) на ультраметрических пространствах регулярного типа. Рассмотрим конечномерное пространство V? — пространство локально постоянных функция с нулевым средним с носителем в неминимальном шаре /, постоянных на максимальных подшарах в этом шаре. Ультраметрические всплески фц из пространства V}0 вводятся как ортонормированный базис в пространстве V}0. Была доказана теорема [52], [175], см. также [192]:
Теорема 1) Пусть мера v(X) ультраметрического пространства X регулярного типа бесконечна. Тогда набор функций {фі^\, где I пробегает множество всех неминимальных вершин в дереве Т, есть ортонормированный базис в L2(X,u).
2) Пусть мера v(X) ультраметрического пространства X регулярного типа конечна и равна А. Тогда набор функций {фі^А'ї}, где I пробегает множество всех неминимальных вершин в дереве Т, есть ортонормированный. базис в L\X,v).
Мы вводим семейство операторов на пространстве комплекснозначных (квадратично интегрируемых) функций на X формулой Tf(x) = JT(sup(x,y))(f(x) - f(y))du(y) (1.1) где sup (я, у) есть вершина в дереве Т, соответствующая минимальному шару, содержащему х, у, Т{1) есть некоторая функция на дереве, мера v описана выше.
Операторы такого вида мы в дальнейшем будем называть псевдодифференциальными операторами на ультраметрических пространствах регулярного типа.
Мы показываем, что при выполнении определённых условий сходимости операторы вида (1.1) диагональны в базисах ультраметрических всплесков, то есть имеет место теорема [52], [175], см. также [192]:
Теорема Пусть X есть ультраметрическое пространство регулярного типа, v есть положительная борелевская счётно аддитивная мера со счётным пли конечным базисом, Т(1) есть комплекснозначная функция на дереве Т(Х). Пусть следующий ряд сходится абсолютно: ZT(J)(v(J)-v(J-l,R))
Тогда оператор Tf(x) = І' T(sn?(x,y))(f(x) - f{y))dv{y) имеет плотную область определения в L2(X, v) и диагоналей в базисе ультраметрических всплесков: с собственными значениями вида: A, = T{I)v{I) + T{J){v{J) - v{3 - 1,/)) j>i
Оператор T самосопряжен, если функция Т(1) вещественнозпачпа, и положителен, если эта функция неотрицательна.
Здесь (J — 1,1) есть максимальная вершина, меньшая J и большая I (то есть (J — 1,I) есть максимальный подшар в J, содержащий шар I).
Также оператор Т уничтожает константы.
Суммирование в формуле для среднего значения ведётся по возрастающему пути в дереве Т, начинающемуся с вершины /.
Таким образом, можно говорить о достаточно простой и удобной теории псевдодифференциальных операторов на ультраметрических пространствах достаточно общего вида.
Такая теория ультраметрических псевдодифференциальных операторов применяется в главе 3 для введения гауссовского случайного поля на ультраметрическом пространстве регулярного типа, как решения псевдодифференциального стохастического уравнения
Тф(х) = ф(х) (1.2) где ф(х) есть белый шум на ультраметрическом пространстве, Т есть ультраметрический псевдодифференциальный оператор.
Для такого случайного поля вводится понятие ультраметрической марковости, как набора условий независимости для случайного поля на ультраметрическом пространстве. В то время как стандартное понятие марковости связано с линейным порядком на вещественных (либо целых) числах, понятие ультраметрической марковости связано с направлением на дереве Т(Х) шаров в ультраметрическом пространстве X. Мы показываем, что ультраметрическое случайное поле, определяемое стохастическим уравнением (1.2), является уль-траметрически марковским.
Естественной областью применения для ультраметрических псевдодифференциальных операторов является теория неупорядоченных систем. В работах [109], [220] было показано, что для блочной матрицы Паризи, применяемой для описания нарушения репличной симметрии в теории спиновых стекол, после соответствующей перенумеровки индексов матричный элемент будет зависеть только от р-адической нормы разности индексов (и следовательно, матрица Паризи диагонализуется р-адическим преобразованием Фурье). В работах [109], [ПО], [111] это наблюдение было применено для построения и анализа моделей релаксации в сложных системах.
В [109] была доказана теорема, см. главу 4:
Теорема Для матрицы Паризи, для которой размеры блоков равны степеням р, существует перенумеровка строк и столбцов (р-адическая параметризация, которая строится явным образом и зависит только от размеров блоков), после которой матричный элемент принимает вид Qij = Я(\г - j\P) где q(x) есть некоторая функция.
В главе 4 мы излагаем результаты о р-адической параметризации матрицы Паризи, а также вводим новый класс репличных блочных матриц, связанных с действием ультраметрических ПДО из главы 3 в конечномерных пространствах основных функций на ультраметрическом пространстве. Таким образом, в методе реплик оказывается важной теория основных и обобщенных функций на ультраметрических пространствах.
По сравнению с матрицами Паризи, вводимое семейство репличных матриц имеет существенно более общий вид Qij = фир(і, з))у/Щ (1-3) где q(I) есть некоторая функция на направленном дереве, i, j пробегают некоторое множество вершин в дереве (множество минимальных вершин в поддереве регулярного типа), щ, fj есть некоторые положительные числа (меры соответствующих ультраметрических дисков).
Далее, в главе 4 мы развиваем технику вычислений, небходимую для манипуляций с введенными репличными матрицами, используем эту технику для проведения важных для метода реплик расчетов в нашем более общем реплич-ном анзаце, и вводим приспособленный для наших целей вариант анализа на деревьях. Такой вариант анализа на деревьях содержит древесные производные и интегралы, а также древесный аналог правила Ньютона-Лейбница, который оказывается одним из наиболее существенных методов вычисления в вводимом обобщении нарушения репличной симметрии. Чтобы составить представление о введенном анализе на деревьях, можно упомянуть теорему об изоморфизме между пространством констант древесного дифференцирования, то есть решений уравнения AF(I) = О, V/ где Д есть древесная производная, и пространством обобщенных функций на абсолюте дерева.
В главе 5 мы продожаем разработку нового анзаца нарушения репличной симметрии. Эта глава посвящена исследованию двух вопросов.
Во первых, мы формулируем процедуру предела п —> 0, пригодную для произвольного ультраметрического пространства из рассматриваемого нами семейства. Мы показываем, что для рассматриваемого семейства репличных матриц существует как минимум два подсемейства, для которых существует предел п -> 0. Одно из этих подсемейств является обобщением семейства, рассмотренного Паризи. Матрицы из этого семейства определяются по формуле (1.3), где q(I) = F(u(l)) где v(I) есть мера диска в ультраметрическом пространстве, отвечающего вершине I, и F есть некоторая функция вешественного аргумента. Функционалы метода реплик в пределе п -> 0 для матрицы из такого подсемейства выражаются интегралами по отрезку [0,1] вида - /1 F(x)dv(x) Jo где dv{x) есть некоторая мера на отрезке [0,1].
Другое подсемейство является новым, и матрицы из него задаются (1.3) с q{I), удовлетворяющим уравнению
А (//(/МЛ) = 0, V/
Функционалы метода реплик в пределе п —> 0 для матрицы из такого подсемейства выражаются пределами нормированных интегралов по ультраметрическому пространству от некоторой обобщенной функции: - lim q(K) = - lim —r-r \ фд(х)ёц(х) 11 где обобщенная функция фд задается функцией на дереве q(I) по формуле J фд(х)<1ц{х) = n{I)q{I)
Здесь ц есть однородная мера на ультраметрическлм пространстве X. Таким образом, репличный анализ для различных семейств репличных матриц может принимать форму как вещественного, так и ультраметрического анализа.
Кроме этого, в главе 5 мы выводим уравнение нарушения репличной симметрии, получающееся варьированием свободной энергии по параметрам рассматриваемого репличного анзаца (поскольку репличное решение должно минимизировать свободную энергию). Мы получаем некоторые репличные решения и обсуждаем возможность их обобщения. Основным техническим методом расчетов главы 5 является введенный в предыдущей главе анализ на деревьях.
Связь со всплесками на вещественной прямой
В настоящем разделе кратко обсуждается литература, касающаяся основных идей и результатов р-адической и ультраметрической математической физики и её приложений. Данный обзор литературы ни в коей мере не претендует на полноту.
р-Адические числа были введены в 1899 году К. Гензелем. Поля р-адических чисел широко используются в теории чисел и алгебраической геометрии. Книги Коблица [44], Малера [200] и Шикхофа [226] могут служить введением в р-адические числа и в р-адический анализ. В качестве начального чтения по алгебре и теории чисел можно использовать книги: Боревич, Шафаревич [8], Виноградов [10], А.Вейль [9]. Введение в алгебраическую геометрию в том числе над р-адическими полями, можно найти в [82].
р-Адическая математическая физика была систематически изложена в книге Владимирова, Воловича и Зеленова [18]. Различные разделы р-адической математической физики обсуждаются в книгах Хренникова [167], [168], [79], Кочубея [183]. Приложения р-адического анализа к когнитивным наукам и психологии изучаются в книгах Хренникова [80], [172], [170] и его работах [169], [93], [173], [81]. Различные вопросы р-адического анализа (в том числе функционального) рассматриваются в [112], [117], [181], [142], [144], [145], [240]. Применение р-адического анализа в теории алгебраических групп рассмотрено в [65]. Связь р-адического анализа и анализа на деревьях изучалась в [230]. р-Адические обобщённые функции рассматривались в [28].
р-Адическому анализу посвящены многочисленные работы. Гомеоморфизм поля р-адических чисел на некоторое канторово подмножество поля вещественных чисел был построен Зеленовым [258]. При описании аддитивных характеров Qp мы книге Понтрягина [66]. Теория обобщенных функций над произвольной локально компактной группой была развита в работе Брюа [124] и над локально компактным несвязным полем Гельфандом, Граевым и Пятецким-Шапиро [28]. Элементы этой теории были изложены в [13]. Отличительной чертой теории р-адических обобщенных функций по сравнению с обобщенными функциями Соболева-Шварца над полем вещественных чисел [11] является непрерывность любого линейного функционала (из линейности следует непрерывность). Теория свертки и произведения обобщенных функций, использующая преобразование Фурье, была впервые развита Владимировым [13]. р-Адические функции Грина рассматривались Бикуловым [6] и Кочубеем [57]. По поводу р-адических групп Шоттки и р-адической униформизации см. Манин [59] и Гер-рицин и Ван дер Пут [155]. Жесткая аналитическая геометрия была введена Тейтом [238], см. также Геррицина и Ван дер Пута [155]. Теория р-адических дифференциальных уравнений представлена в книге Дворка [142]. Конструкция Брюа-Титса действия р-адических групп на деревьях построена в [125], [126]. Двойственность между направленными деревьями и ультраметрическими пространствами обсуждалась Леминым [196]. Ультраметрические пространства, являющиеся границами деревьев, рассматривались в [131], [130]. Различные аспекты р-адического функционального анализа обсуждались в [144], [145], [240], [136], [239], [227]. р-Адический анализ применялся в различных задачах алгебраической геометрии [161], [162], [165], [260], [59]. Различные результаты по р-адической математической физике докладывались на Первой международной конференции по р-адической математической физике, имевшей место в Математическом Институте им В.А.Стеклова [84].
Понятие псевдодифференциалыюго оператора на поле Qp было введено Владимировым [14]. Нелокальный оператор дробного дифференцирования и интегрирования Da был определен и изучен Владимировым [13] (см. также [219]). Спектральная теория оператора Da, а 0, действующего на Qp, была построена Владимировым [243], при этом был найден явный вид собственных функций (см. также [15]). Спектральная теория псевдодифференциалыюго оператора вида Da + V(x) на открыто-замкнутом множестве G была построена в [14]. Были найдены также явные выражения для собственных функций и собственных чисел оператора Da, а 0, в шаре и на сфере [18]. Метод построения инвариантных собственных функций р-адического оператора Шредингера Da + V(x) был развит Владимировым [18]. Дальнейшее развитие спектральной теории оператора Da + V(x) без условий на бесконечности было сделано Кочубеем [56]. Стационарные и нестационарные р-адические уравнения Шредингера рас сматривались Владимировым и Воловичем [245]. Характеры расширений поля Qp и соответствующих групп иделей и их применение к р-адическому анализу расматривалось в [21]. Случайные блуждания на р-адических числах рассма-ривались в книге [18], и также Альбеверио и Карвовским [96], [95]. Случайное поле на р-адических числах (р-адическое броуновское движение), являющееся решением стохастического псевдодифференциалыюго уравнения с оператором Владимирова, было введено Бикуловым и Воловичем [7]. Различные примеры р-адических псевдодифференциальных операторов рассматривались [182]. р-Адические всплески были введены Козыревым [48]. Конструкция р-адических всплесков была обобщена Бенедетто и Бенедетто [115], [114] на широкий класс абелевых локально компактных групп. Для обзора различных методов и приложений анализа всплесков см. [38], [68], [187], [98]. В работах Козырева и соавторов были введены новые классы р-адических псевдодифференциальных операторов, которые не диагонализуются преобразованием Фурье, но диаго-нализуются всплеск преобразованием [50], [51], [191]. В работах Козырева и Хренникова [52], [175] и Козырева [192] была разработана теория псевдодифференциальных операторов и всплесков на широком классе ультраметрических пространств (пространствах регулярного типа). В [179] эта теория была применена для построения случайных полей на ультраметрических пространствах и введения понятия ультраметрической марковости.
Пополнение направленных деревьев
Определение 35 Для направленного дерева Т рассмотрим множество Х(Т), являющееся пополнением Т по ультраметрике, заданной теоремой 33. Пространство Х(Т) будем называть пополненным деревом, отвечающим дереву Т. Также введём множество Х(Т) = Х(Т)\ (Т\7 шП) (где Tmin есть множество минимальных вершин в Т), то есть Х(Т) есть Х(Т), из которого выкинуты все вершины дерева Т, кроме минимальных. Пространство Х(Т) мы будем называть ультраметрическим пространством, связанным с направленным деревом Г.
Множества Х(Т) и Х(Т) являются полными ультраметрическими пространствами. Здесь мы понимаем вычитание дерева из его пополнения следующим образом: вершина А дерева очевидным образом отождествляется с классом эквивалентности последовательностей вершин, совпадающих с А, начиная с некоторого элемента.
Определение пространства Х(Т) эквивалентно, см. следующий раздел, стандартному определению абсолюта дерева (точнее, определению абсолюта с выколотой точкой, отвечающей возрастающему пути).
Назовём бесконечно продолженным путь в направленном дереве Т с описанным в разделе 2 направлением, который либо бесконечен, либо заканчивается в вершине с индексом ветвления 0, либо заканчивается в максимальной вершине в Т (если такая вершина существует).
Лемма 36 Множество Х(Т) находится во взаимно однозначном соответствии с множеством классов эквивалентности путей в Т, содержащих убывающие пути. Множество Х(Т) находится во взаимно однозначном соответствии с множеством классов эквивалентности путей в Т, содержащих убывающие бесконечно продолженные пути.
Доказательство Убывающему пути в дереве Т можно сопоставить бесконечную последовательность вершин в дереве следующим образом: если путь
бесконечен, то последовательность выберем как последовательность вершин пути; если путь конечен, то последовательность выберем как последовательность вершин пути, дополненную бесконечной последовательностью, состоящей из конечной вершины пути.
Применяя данную конструкцию к классу эквивалентности, содержащему убывающий путь, получим набор эквивалентных фундаментальных последовательностей в смысле ультраметрики (3.1). Таким образом, множество классов эквивалентности, содержащих убывающие пути, есть подмножество в Х(Т).
В свою очередь, из (3.1) нетрудно видеть, что любой класс эквивалентности фундаментальных относительно метрики (3.1) последовательностей в Т содержит последовательность, определённую убывающим путем. Следовательно, множество Х(Т) изоморфно множеству классов эквивалентности убывающих путей.
Аналогично, класс эквивалентности бесконечно продолженных убывающих путей отвечает некоторой точке Х(Т), и в любом классе эквивалентности последовательностей точек дерева, отвечающем точке Х(Т), содержится последовательность, отвечающая бесконечно продолженному убывающему пути. Это завершает доказательство леммы.
Введённое пополненное дерево Х(Т) совпадает с Х[)Т(Х), где X — Х(Т). Это показывает наличие двойственности между ультраметрическими пространствами регулярного типа и направленными деревьями с конечным индексом ветвления ф 1, направлением, удовлетворяющим Свойству 1, и с максимальной вершиной (если она существует) имеющей индекс ветвления 2. Руководствуясь этим, будем называть такие направленные деревья деревьями регулярного типа.
Вершине І Є Т соответствует шар / в ультраметрическом пространстве Х(Т), являщийся минимальным шаром, содержащим все вершины, меньшие /. Аналогично, шаром I в пространстве Х{Т) назовем результат вычитания из / С Х(Т) соответствующих вершин Т. Шар / содержит pi максимальных подшаров, где pi есть индекс ветвления вершины /.
Определим однородную меру ц на пространстве Х(Т), которая для случая дерева Брюа-Титса сведется к мере Хаара на р-адических числах. Чтобы определить меру fi, достаточно определить эту меру на шарах /. Определим диаметр dj = diam(7) шара как верхнюю грань расстояния d(x, у) между точками хну в шаре /. Определение 37 Однородная мера ц на Х(Т) шара I ненулевого диаметра равна его диаметру ц(1) = diam(J) в ультраметрике (3.2). Для шара нулевого диаметра I, отвечающего минимальной вершине I, мера ц(1) определяется как pjliV{I + 1). Здесь 1 + 1 есть минимальная вершина, большая I, pi+i и /z(J + 1) есть соответственно индекс ветвления и мера шара (с ненулевым диаметром), соответствующие этой вершине.
Поскольку неминимальный шар I содержит pj максимальных подшаров, которые по определению ультраметрики и меры имеют меру pfVCO» то мера \i аддитивна. Лемма 38 Эквивалентно, однородная мера fi задаётся следующими условиями: 1) Для шара R, отвечающего корню дерева Т, n(R) — 1; 2) Для каждого неминимального шара I выполнено условие: меры максимальных подшаров в I равны.
Сравнение с анзацем Паризи
Мы находим уравнение нарушения репличной симметрии, решения которого минимизируют свободную энергию модели Шеррингтона-Киркпатрика. Также мы вводим приспособленный для наших нужд вариант предела п — О и строим семейства репличных матриц, для которых такой предел существует.
Мы показываем, что в рамках введенного репличного анзаца существует по крайней мере два существенно разных семейства репличных матриц, для которых возможно проведение процедуры п — 0. При этом для одного семейства, являющегося обобщением семейства могут выражаться как интегрированием по вещественным, так и матриц Паризи, функционалы метода реплик принимают вид (как и в случае Паризи) интеграла по единичному отрезку - / F(x)dii{x) Jo где F есть некоторая неотрицательная функция на отрезке. Для другого (существенно нового) семейства репличных матриц соответствующие функционалы принимают вид предела нормированных интегралов по возрастающему семейству шаров в ультраметрическом пространстве, где ф есть некоторая неотрицательная обобщенная функция на ультраметрическом пространстве. Таким образом, для различных примеров репличных матриц функционалы по ультраметрическом параметрам.
Настоящая глава устроена следующим образом. В разделе 2 мы формулируем процедуру предела п - 0, пригодную для произвольного ультраметрического пространства регулярного типа.
В разделе 3 мы показываем, что для рассматриваемого семейства реплич-ных матриц существует как минимум два подсемейства, для которых существует предел п - 0. Одно из этих подсемейств является обобщением семейства, рассмотренного Паризи. Функционалы метода реплик для матрицы из такого подсемейства выражаются интегралами по отрезку [0,1] от некоторой функции. Другое подсемейство является новым, функционалы метода реплик для матрицы такого подсемейства выражаются пределами нормированных интегралов по ультраметрическому пространству от некоторой обобщенной функции.
В разделе 4 мы, варьируя свободную энергию модели Шеррингтона-Киркпатрика в окрестности фазового перехода по параметрам репличной матрицы, выводим уравнение нарушения репличной симметрии, задающее репличную матрицу, минимизирующую свободную энергию.
В разделе 5 мы строим постоянное решение уравнения нарушения репличной симметрии из раздела 4. В отличие от случая Паризи, данное решение будет нетривиальным.
В разделе б мы преобразуем уравнение нарушения репличной симметрии и находим более простое уравнение на репличную матрицу.
В разделе 7 мы находим решение найденного в предыдущем разделе уравнения, которое обобщает решение Паризи на случай ультраметрических пространств регулярного типа.
В данном разделе мы описываем обобщение определения предела п - 0 в методе реплик, отвечающее введённому способу нарушения репличной симметрии, связанному с псевдодифференциальными операторами на ультраметрических пространствах регулярного типа. Напомним, что мы рассматриваем меру v на ультраметрическом пространстве X регулярного типа.
Рассмотрим отображение т], действующее на меры v(J) ультраметрических шаров по следующим правилам: 1) Нормировка: 4{v{R)) = 1 (5.1) где R есть корневая вершина дерева (выбранная произвольным образом). 2) Монотонность: для I J. 3) Инфинетизимальность: dri{v(J)) = r){v(J)) — r]{y{J + 1)) есть положительная бесконечно малая (5.3) где J + 1 есть наименьшая вершина, большая чем J. 4) Исчезновение предела: Свойство (5.1) мы будем понимать также в следующем более сильном смысле: для поддерева S С Т регулярного типа, такого, что R Є Smjn, мы потребуем, что T){V{J)) для J Є Smin должна быть равна 1 с точностью до инфинитезималь-ных поправок, которыми мы пренебрегаем.
Свойство (5.4) означает, что предел п -» 0 связан с пределом I —» оо в направленном дереве. Таким образом, наша конструкция согласуется с обычным определением п — 0, поскольку в нашем подходе и(1) совпадает с размером п репличной матрицы (когда / есть максимальная вершина в поддереве S регулярного типа).
Условие (5.3) может обсуждаться как следствие того факта, что в пределе п — 0 для любого J имеет место pj - 1 — є j, где є j инфинитезимально (поскольку шар J + 1, грубо говоря, в pj+i раз больше, чем шар J). Некоторый вариант аналогичной конструкции для р-адического случая рассматривался в работе [220], где обсуждался предел п — 0 как отображение что является аналогом формулы (5.3).
Далее, предел п — 0 для рассматриваемого репличного анзаца мы вводим как отображение р, действующее на полиномы по переменной, равной мере ультраметрических дисков v(J). Это отображение линейно относительно сложения и умножения на числа, и действие на мономы от u(J) определено следующим образом:
Формулы (5.1)-(5.4) являются прямыми аналогами определения предела п - 0 для репличного анзаца Паризи, и формула (5.5) является новым условием, которые было тривиальным для анзаца Паризи, но становится нетривиальным в рассматриваемом случае.
Уравнение нарушения репличной симметрии
Методы межбассейновой кинетики применяют для описания динамики систем, соответствующей блужданию на сложных ландшафтах. Модели межбассейновой кинетики разрабатывались разными авторами, например, F.H.Stillinger, T.A.Weber [235], [236], K.H.Hoffmann, P.Sibani [158], .... р-Адические модели межбассейновой кинетики обсуждались в [109], [ПО].
Модели сложных энергетических ландшафтов и спектры времен релаксации изучались в связи со спиновыми стёклами [256], [211], [121], [122], [111], [2] [225], [185], [116], [159], [225], [185], [116], [186]. Стёкла пространственно однородны, в том смысле что каждый участок стекла (в статистическом смысле) не отличается от прочих. В отличие от стёкол, протеины и пептиды существенно пространственно неоднородны, неоднородность связана с пространственной конформацией и неоднородностью первичной структуры (последовательности аминокислот).
Аналогии между релаксационными процессами для белков и спиновых стёкол обсуждались Фраунфельдером [149]. Экспериментальное подтверждение сложности энергетического ландшафта системы может быть получена из наблюдения спектра времён релаксации. В частности, в работах Фраунфельдера и соавторов [100], [160], [149] был получен спектр времен релаксации для связывания СО и миоглобина, который обсуждался в терминах иерархии бассейнов минимумов энергетического ландшафта и иерархии барьеров.
Для исследования случайного блуждания по сложным ландшафтам используется аппроксимация ландшафта локальными минимумами и переходными областями, соединяющими эти минимумы. Стилинджер и Вебер [235], [236] предложили процедуру характеризации ландшафтов энергии для систем, исследуемых методами молекулярной динамики. Такая процедура включает перечисление локальных минимумов ландшафта. Знание набора минимумов энергетического ландшафта системы, а также информация о переходных состояниях между минимумами позволяет описать систему кинетических уравнений, описывающих динамику системы на сложном ландшафте. Метод молекулярной динамики (численное решение ньютоновских уравнений движения для атомистической или подобной модели молекулярной системы) является важным методом исследования в современной молекулярной физике, химии, и молекулярной биологии, см. например [231], [232], [233] для обсуждения некоторых примеров.
Исследование энергетических ландшафтов белков показало, что в окрестности основного (нативного) состояния белка имеется очень большое число локальных минимумов. Более того, эти минимумы группируются в подмножества (бассейны) по кинетической связности, то есть внутри одного бассейна минимумы разделены более низкими энергетическими барьерами, чем минимумы из разных бассейнов [210]. Для белков невозможно экспериментально различить переходы между различными минимумами, и наблюдаются только межбассейновые переходы.
Перечисление локальных минимумов и переходных состояний для тетрапептида было проведено в работах [133], [134]. Беккер и Карплус [113], исследуя движение тетрапептида методами молекулярной динамики, построили модель межбассейновой кинетики. В работе [194] исследовалась межбассейновая кинетика для 16-пептида. В подходе Беккера-Карплуса для описания кинетики пептида использовался подход межбассейновой кинетики. Форма и кинетическая связность (вероятность перехода в единицу времени между группами состояний) энергетического ландшафта в этом подходе [113] описывается графом связности (disconnectivity graph). Этот граф есть направленное дерево бассейнов, в котором минимальные вершины отвечают локальным минимумам энергии, вершины объединяются в бассейны и бассейны объединяются в супербассейны по кинетической связности (то есть по вероятности переходов между ними).
В настоящей главе мы показываем, что достаточно общая модель межбассейновой кинетики описывается методами анализа ультраметрических псевдодифференциальных операторов. Затем мы обсуждаем и формализуем на языке направленных деревьев процедуру Стилинджера-Вебера-Беккера-Карплуса построения иерархии бассейнов и межбассейновой кинетики, приближающей случайное блуждание на сложном ландшафте. Используя такую формализацию и приближённо оценивая вероятность перехода между группами состояний для случайного блуждания на дереве, мы вводим ультраметрическое псевдодифференциальное уравнение межбассейновой кинетики, соответствующее иерархии бассейнов общего вида. Такое уравнение обобщает р-адические псевдодифференциальные уравнения, использовавшиеся для описания межбассейновой кинетики в [109], [110], [111], [2].
Настоящая глава устроена следующим образом. В разделе 2 обсуждается общая модель межбассейновой кинетики, связанная с деревом произвольного вида, и показывается, что такая модель межбассейновой кинетики эквивалентна ультраметрической диффузии на ультраметрическом пространстве общего вида.
В разделе 3 по энергетическому ландшафту строится направленное дерево бассейнов, которое затем будет использоваться для построения межбассейновой кинетики. Такая конструкция есть вариант конструкции, использованной в работах [235], [ИЗ], модифицированный с целью применения ультраметрического анализа.
В разделе 4, используя дерево бассейнов из раздела 3, мы строим межбассейновое приближение для кинетики системы на сложном ландшафте. Затем, используя результаты раздела 2, мы строим уравнение ультраметрической диффузии, описывающее данный вариант межбассейновой кинетики.
