Содержание к диссертации
Введение
Часть I. Основные состояния и спектральные свойства слабовза имодействующих динамик на решетках 20
Глава 1. Введение 21
Глава 2. Существование основного состояния и спектральной щели — "операторный" подход 30
2.1. Введение и результаты 30
2.2. Доказательство теоремы 2.1 35
2.3. Доказательство теоремы 2.2 49
2.4. Доказательство теоремы 2.3 55
Глава 3. Единственность основного состояния 60
3.1. Введение 60
3.2. Возмущения, сохраняющие основное состояние 64
3.3. Доказательство теоремы 3.1 в общем случае 69
3.4. Основные состояния открытых квантовых систем з
Глава 4. Существование основного состояния и спектральной щели — "траекторный" подход 85
4.1. Введение и результаты 85
4.2. Доказательство теоремы 4.1 91
4.3. Доказательство теоремы 4.2 98
Глава 5. Малые возмущения модели AKLT 107
5.1. Введение 107
5.2. Доказательство теоремы 5.1 111
Глава 6. Переход между "соизмеримой" и "несоизмеримой" фаза ми в модели AKLT 117
6.1. Введение 117
6.2. Представление динамики случайными блужданиями и аппроксимация минимальными траекториями 121
6.3. Строгое доказательство для модифицированной модели AKLT 135
Глава 7. Теория рассеяния многочастичных возбуждений 156
7.1. Введение 156
7.2. Спектральные щели 163
7.3. Одночастичные подпространства 165
7.4. Теория рассеяния 174
7.5. Высокотемпературная стохастическая ХУ-модель 187
Часть II. Оптимизация с помощью "ожидаемого улучшения" и интерполяция экспоненциальными функциями 191
Глава 8. Введение 192
Глава 9. Пример несходимости к глобальному оптимуму 202
9.1. Введение 202
9.2. Новые результаты данного раздела 209
9.3. Численный пример 214
9.4. Доказательство теоремы 9.1 215
9.5. Доказательство теоремы 9.2 218
9.6. Доказательство теоремы 9.3 224
Глава 10. Интерполяция экспоненциальными функциями и сходимость оптимизации для одномерного гауссовского ядра 231
10.1. Введение 231
10.2. Явные формулы для ошибки интерполяции 234
10.3. Сходимость интерполяции для аналитических функций 241
10.4. Оптимизация методом ожидаемого улучшения для аналитических функций 245
Часть III. Предельные теоремы для локально-неоднородного
случайного блуждания 249
Глава 11. Введение 250
Глава 12. Принцип инвариантности для неоднородного случай ного блуждания на одномерной решетке 255
12.1. Формулировка основного результата 255
12.2. Доказательство теоремы 12.1 256
12.3. Дуальная задача 272
12.4. Пример 279
Глава 13. Центральная предельная теорема для многомерного неоднородного блуждания 282
13.1. Формулировка результата 282
13.2. Доказательство теоремы
Основные состояния квантовых решетчатых систем 291
Оптимизация на основе случайных процессов 293
Список литературы 295
- Доказательство теоремы 2.1
- Доказательство теоремы 3.1 в общем случае
- Представление динамики случайными блужданиями и аппроксимация минимальными траекториями
- Высокотемпературная стохастическая ХУ-модель
Доказательство теоремы 2.1
Случайное блуждание с локальной неоднородностью естественным образом возникает при рассмотрении простейшей модели локального взаимодействия пары блуждающих частиц. Исследование асимптотических свойств такого блуждания было инициировано Е. Жижиной и Р. Минлосом, установивших для него локальную предельную теорему [4], а также показавших [99], что в случае одномерного пространства в пределе малого масштаба это блуждание сходится к некоторому обобщенному диффузионному процессу (т.н. процессу с "эластичным экраном в нуле" [8]), в том же смысле, в котором пределом обычного однородного блуждания является винеровский процесс. Исследования Жи-жиной и Минлоса оставляли открытыми ряд вопросов. Во-первых, сходимость блуждания к диффузионному процессу была установлена Жижиной и Минло-сом в смысле сходимости конечномерных распределений. Можно ожидать, что сходимость имеет место в более сильном смысле теоремы Донскера [2, 44], т.е. в смысле сходимости вероятностных мер на пространстве непрерывных траекторий. Во-вторых, предельный диффузионный процесс характеризуется скалярным параметром, определяющим эластичность экрана в нуле. В работах Жижиной и Минлоса этот параметр был найден в виде сложного аналитического выражения, и оставалось неясным, как его значение можно интерпретировать в терминах исходного блуждания. В-третьих, естественно рассмотреть обобщение одномерного локально-неоднородного блуждания на случай произвольной размерности, предполагая при этом, что неоднородность сконцентрирована на подрешетке некоторой произвольной коразмерности. Верно ли, что если коразмерность больше 1, то предельный процесс является тривиальным (винеров-ским)? На большинство этих вопросов автором были даны ответы в кандидатской диссертации [13]. В настоящей диссертации мы дополняем эти результаты рассмотрением задачи об инвариантной мере случайного блуждания, дающей альтернативный способ нахождения параметра эластичного экрана.
Диссертация носит теоретический характер; ее результаты могут быть полезны специалистам в области теории случайных процессов, математической физики, теории аппроксимации и математической оптимизации. Часть II диссертации может быть полезна инженерам в области авиа- и машиностроения, занимающимся практической оптимизацией на основе вычислительно затратных расчетных моделей.
Во всех трех разделах диссертации центральную роль играют асимптотические методы исследования различных объектов (трансфер-матрицы в главе 6, волновых операторов в главе 7, дисперсии условного гауссовского процесса в главе 9, инвариантных векторов оператора случайного блуждания в главе 13) на основе анализа Фурье-представлений. В частях I и III мы используем некоторые методы теории сильно-непрерывных однопараметрических полугрупп (теорема Хилле-Иосиды, аппроксимационная теорема 12.2) и вспомогательные результаты типа обобщенной леммы Шварца. В большинстве глав части I мы используем кластерные (полимерные) разложения или аналогичные конструкции. Кроме того, в части I мы существенно используем методы спектрального анализа, в особенности связанные с относительно ограниченными возмущениями ограниченных снизу операторов. Анализ основных состояний в главах 2, 3 использует некоторые методы теории локальных С -алгебр. В главе 7 мы применяем стандартные методы теории рассеяния (метод Кука, метод стационарной фазы). В связи с применением нами формулы Хариша-Чандры-Ициксона-Зубера в главе 10, мы используем там элементы техники интегрирования по мере Хаара на унитарной группе. В главе 9 мы подтверждаем теоретические результаты вычислительным экспериментом с применением библиотек численной арифметики повышенной точности.
Доказательство теоремы 3.1 в общем случае
Впоследствии метод был обобщен на большие значения спина и использован Мацуи для доказательства единственности трансляционно-инвариантного основного состояния в работах [94, 95]. В работе [36] Датта и Кеннеди упростили метод и использовали его для нахождения квазичастичных состояний. В частности, они показали, что уравнение Кирквуда-Томаса удобно рассматривать как уравнение на неподвижную точку для некоторого сжимающего отображения. См. также работу [37] с применением метода к интерфейсным состояниям.
В настоящей главе мы устанавливаем дальнейшее обобщение метода. В то время как в предыдущих публикациях предполагалось, что гильбертово пространство модели реализовано как функциональное пространство, а основное состояние — как гиббсовская мера, мы показываем, что это необязательно и что метод применим в рамках общего С -алгебраического подхода (хотя значительную роль в доказательствах играет некоторая коммутативная подалгебра).
Отметим, что сходный подход к представлению основных состояний, однако с помощью другого семейства операторов, применил Албанезе в работе [17].
Перейдем теперь к точным формулировкам. Мы рассматриваем квантовую систему на решетке Z . Предположим, что для каждого узла х Є Z" задано некоторое гильбертово пространство 1 LX (вообще говоря, бесконечномерное), приписанное к этому узлу. Тогда в любом конечном объеме Л С 1/ модель описывается гильбертовым пространством Т/д, являющимся тензорным произведением элементарных гильбертовых пространств
Напомним, что под основным состоянием понимается состояние, минимизирующее энергию гамильтониана. В случае гамильтониана в конечном объеме основное состояние определяется матрицей плотности (неотрицательным оператором со следом), действующей в собственном подпространстве, отвечающем минимуму спектра гамильтониана. Элементы этого подпространства мы называем векторами основного состояния. В следующей главе мы дадим более общее, абстрактное алгебраическое определение основного состояния, применимое к формальным гамильтонианам на всей решетке.
Пополнение Аоо алгебры Аоо по норме называется квазилокальной алгеброй; состояния UJA{A) продолжаются по непрерывности до состояний на этой большей алгебре. Будем обозначать через Л/Z" сходимость множеств Л ко всей решетке в том смысле, что начиная с некоторого момента множества Л содержат любое конечное подмножество решетки.
Мы доказываем наш основной результат, теорему 2.1, в два этапа: сначала мы находим основное состояние (в некотором неявном виде), и затем доказываем спектральную оценку (2.5). На первом этапе мы пользуемся процедурой, развитой Даттой и Кеннеди в работе [36]. Мы переписываем уравнение Кирк-вуда-Томаса как уравнение на неподвижную точку для некоторого отображения, про которое доказывается что оно является сжимающим на подходящем множестве. Мы вводим, однако, другой, более общий анзац для основного состояния, который позволяет нам работать с абстрактными гамильтонианами без предположения специальной функциональной реализации.
Наш вывод спектральной оценки (2.5) частично основан на идеях метода Малышева-Минлоса изоляции инвариантных многочастичных подпространств кластерных операторов [92]. Но технически наше изложение несколько отличается от оригинального подхода Малышева-Минлоса и, более того, упрощает его. А именно, мы явно представляем перенормированный гамильтониан в виде суммы оператора, подобного свободному гамильтониану, и относительно ограниченного, в некотором специальном смысле, возмущения. Заключение о спектре тогда вытекает прямо из резольвентных разложений для относительно ограниченных возмущений, как в хорошо известных теоремах Като-Реллиха и KLMN.
В этом разделе мы фиксируем конечный объем AcZ" (во всей главе, все рассматриваемые собственные подмножества решетки конечны); зависимость различных величин от Л будем иногда опускать в обозначениях.
Согласно стандартной теории возмущений операторов в гильбертовом пространстве, оператор Н\ имеет невырожденное основное состояние, если supx \\фх\\ с для некоторой константы с, зависящей от Л. Мы покажем, что эту константу можно выбрать независящей от Л, и основное состояние можно найти в виде определенного мультипликативного выражения.
Представление динамики случайными блужданиями и аппроксимация минимальными траекториями
В этой главе мы развиваем альтернативный, по отношению к главе 2, подход к построению основных состояний, который позволяет получить строгие результаты для существенно более широкого класса моделей, а именно таких, в которых возмущение предполагается лишь относительно ограниченным в смысле квадратичных форм. Как мы уже видели в предыдущих главах, представление возмущенного гамильтониана в виде некоторого относительного ограниченного возмущения оператора, подобного невозмущенному гамильтониану, естественным образом возникает в доказательствах даже тогда, когда изначально предполагается лишь обычная ограниченность возмущения (см. формулу (2.46)). В работе [75] Кеннеди и Тасаки развили общую теорию возмущений для моделей, в которых возмущение предполагалось относительно ограниченным в некотором специальном смысле. Более того, они применили эту общую теорию к димеризо-ванной модели AKLT, являющейся подлинно квантовой, 577(2)-инвариантной моделью. Рассмотренный ими тип относительной ограниченности, однако, по всей видимости не применим к недимеризованной, полностью трансляционно-инвариантной модели AKLT. Предлагаемое же нами определение относительной ограниченности в смысле квадратичных форм является, с одной стороны, очень естественным и удобным и, с другой стороны, достаточно широким для того, чтобы, в частности, охватить случай недимеризованной модели AKLT. В настоящей главе мы изложим общую теорию, а ее применению к модели AKLT будет посвящена следующая глава.
Как и ранее, мы рассматриваем квантовую "спиновую" систему на решетке HI. В этой главе мы будем рассматривать только трансляционно-инвариантные взаимодействия. Каждый узел х Є И предполагается снабженным гильбертовым пространством 7ix-, возможно бесконечномерным. Мы используем обозначение для гильбертовых пространств, отвечающим конечным подмножествам решетки. Мы предполагаем, что в каждом пространстве 7іх имеется выделенный вектор, обозначаемый Qx. Произведение выделенных векторов в конечном объеме мы обозначаем через Г2л,о:
Мы фиксируем некоторое конечное множество Ло С Z1", которое будет отвечать области взаимодействия спинов.
Приведенные выше предположения совпадают с использовавшимися нами в главе 2; отличие будет заключаться в следующих далее предположениях. Мы считаем, что (формальный) гамильтониан имеет вид Но = 2_ hx Здесь hx — самосопряженный, возможно неограниченный оператор, действующий на пространстве Нло+ж, где Ло + ж — сдвиг множества Ло. Гамильтониан Щ является классическим в следующем смысле. Если пространство 7ix конечномерно, то мы предполагаем, что в каждом 7ix имеется ортонормированный базис, содержащий Vtx-, и произведение этих базисов в 71А0+Х диагонализует hx. Мы расширяем это предположение естественным образом на случай бесконечномерных пространств 7ix, предполагая что для каждого 7ix задано ортогональное разбиение единицы, содержащее проектор на вектор Г2Ж, и оператор hx является функцией тензорного произведения этих разбиений в Нло+ж- Более того, мы предполагаем, что Г2д0+Ж — невырожденное основное состояние оператора hx со спектральной щелью: где фх — (возможно неограниченная) симметричная квадратичная форма на %л0+ж, ограниченная относительно квадратичной формы, соответствующей опе 1 /2 с некоторыми а,/3. Мы предполагаем, что а 1. Форма 0Ж не обязательно замкнута и порождена оператором, хотя это будет так в тех примерах, которые мы рассмотрим.
Из теоремы KLMN следует, что Н\ = H Q + Фд — корректно-определенный самосопряженный оператор, заданный своей квадратичной формой [71, 111]. В этой главе неограниченные операторы будут возникать только как относительно ограниченные возмущения положительно определенных операторов, поэтому во избежание чрезмерного загромождения рассуждений и усложнения обозначений мы как правило не будем делать различия между операторами и соответствующими квадратичными формами.
Высокотемпературная стохастическая ХУ-модель
В общем случае, полимер включает теперь часть "большой" траектории и несколько "малых" траекторий. Нетрудно проверить, что вес кластера факторизуется в произведение весов участков минимальных траекторий и полимеров, так что мы можем определить операторы Т and W s . Экспоненциальные оценки (6.35) по прежнему имеют место при достаточно малых \6\.
Удобно сделать Т независящим от д: поэтому мы слегка модифицируем данное выше определение, включая весь вклад возмущения в полимеры W s . Точнее, траектория может быть минимальной, но при этом содержать звенья, чей вес включает 6V. В этом случае мы рассматриваем такие звенья как принадлежащие полимерам и соответственно корректируем W s . В частности, самое нижнее горизонтальное звено на рис. 6.4 должно принадлежать полимеру, поскольку соответствующий переход может произойти лишь под действием 6V.
Полное разложение для довольно сложно, но для нашей качественной теории возмущений первого порядка нам по существу нужно будет рассмотреть лишь главный член в Wl, , задаваемый простейшим разворотом, как в нижнем звене рис. 6.4. Асимптотика корреляционной функции: сведение к "одночастинному" главному члену
Для нахождения асимптотики корреляционной функции мы разделяем множество дуальных переменных р на два подмножества: ограниченную окрестность Q начала координат, и дополнительное множество IR \ Г2, чей вклад будет пренебрежимо мал. Для импульсов из Q возмущение мало. Если бы операторы в разложении (6.32) были скалярами, а не 2 х 2 - матрицами, то fn{p) можно было бы представить с помощью статистической суммы разреженного газа полимеров W на отрезке [0,п], что влекло бы fn(p) = СіуРс% (1 + 0(єп)) с некоторым є 1 (см. [73]). Получим теперь аналог этой асимптотики в наших условиях 2x2- матриц.
Лемма 6.1. Пусть Q С К. — фиксированное ограниченное открытое множество, содержащее начало координат. Для любого е\ О, можно выбрать такое достаточно большое L, что при достаточно малых 5 выполнены следующие утверждения:
Замечание. Часть а) говорит, что при р Є Vt главным членом асимптотики является первый член в правой части (6.37), поскольку он фактически имеет порядок (а(1 +р2) 112)п согласно (6.38) и (6.30). С другой стороны, часть Ь) гарантирует, что вклад импульсов р ф Q мал по сравнению с р около 0, поскольку при р ф Q выполнено (1 + 2)-1 2 CQ С некоторым CQ
Пользуясь обратимостью оператора Т (равномерной по импульсам р Є Q) и экспоненциальной малостью операторов W s\ легко доказать, что J- — сжатие в малой окрестности оператора Т. Следовательно, итерации отображения Т порождают последовательность, экспоненциально быстро сходящуюся к неподвижной точке G отображения J- . Разница между Т и преобразованием, определенным правой частью (6.40), имеет порядок 0(єг), откуда легко видеть, что Вг экспоненциально быстро сходится к G. Теперь запишем Аг в виде
Чтобы увидеть, что т)іп,р,Щп,р и Gp аналитически продолжаются в независящие от L комплексные окрестности множества Q и точки 6 = 0, заметим, что все совершенные нами для нахождения т)т,р,Щп,р р операции сохраняют аналитичность, и что экспоненциальные оценки (6.33), (6.34) гарантируют, что (6.35) выполняется в независящей от L комплексной окрестности множества Q. Это завершает доказательство части а).
Рассмотрим первый интеграл в левой части. Пользуясь леммой 6.1 и с помощью деформации пути интегрирования, соединяющего — ро иро, мы можем показать, что этот интеграл имеет порядок 0((c/3)Ln) с некоторым с 1. Действительно, по лемме 6.1, g jP — малое возмущение матричного элемента T\ jP = а{1 — ip) l, так что мы можем сделать \д р\ меньше чем 3 L, немного изгибая путь около р = 0 в верхнюю полуплоскость.
То же самое относится ко второму интегралу в левой части, только в этом случае путь нужно деформировать в нижнюю полуплоскость. Теперь рассмотрим последний интеграл. Поскольку д :о = дц,о, подынтегральное выражение имеет ноль в знаменателе при р = 0. Это ноль первого порядка, так как д р и д о — возмущения соответственно матричных элементов Т р = а{1 — гр) 1 и Т р = a{l+ip) l. Мы можем разбить подынтегральное выражение на две части, соответствующие двум членам в числителе, а затем деформировать путь интегрирования в получаемых двух интегралах в разных направлениях, компенсируя это добавлением вычета в одном из двух случаев:
