Введение к работе
Актуальность работы. Разработка методов реконструкции систем, порождающих наблюдаемые процессы, на основе данных измерений, является одной из актуальных проблем современной нелинейной динамики. Реконструкция динамической системы означает построение параметризованной математической модели ее оператора эволюции (ОЭ) по временному ряду, представляющему собой результаты последовательных измерений некоторой физической величины, связанной с фазовыми переменными моделируемой системы. Важность исследования данной проблемы обусловлена необходимостью построения относительно простых моделей сложных природных объектов (динамических систем), изучаемых в различных областях науки. Известно, что динамика подавляющего большинства природных (например, климатических) динамических систем (ДС) меняется с течением времени (другими словами, система является неавтономной). Поэтому одной из важнейших целей задачи реконструкции ДС является прогноз дальнейшего поведения исследуемой ДС. Это означает, в том числе, возможность смены типа поведения системы в процессе ее эволюции. Поскольку смена типа поведения (бифуркация, или критический переход), как правило, влечет за собой существенные (порой катастрофические) изменения количественных характеристик наблюдаемого процесса, то возникает задача прогноза бифуркаций, или, другими словами, задача прогноза качественного поведения неавтономных ДС.
Очевидно, что построение такого прогноза должно базироваться на использовании какой-либо математической модели изучаемой ДС. К настоящему моменту наиболее развиты два способа построения таких моделей: (1) построение так называемых моделей "из первых принципов" (уравнений движения среды или отдельных частиц, уравнений для силовых полей, переноса излучения, химической кинетики, тепло и массопе-реноса и пр.) [1] и (2) построение эмпирических моделей ДС, т.е. моделей, построенных путем прямого анализа наблюдаемых данных (см. [2-4] и цитируемую там литературу).
Прогностический анализ моделей из первых принципов состоит в исследовании фазового пространства и пространства параметров модели. Такой анализ, в принципе, позволяет получить исчерпывающую информацию о типе поведения системы при любых значениях параметров, в том числе предсказать всевозможные бифуркации системы при заданных (или ожидаемых) плавных изменениях параметров. Очевидным необходимым условием использования любой модели является ее адекватность моделируемой ДС. В случае, когда реконструируемая ДС имеет высокую размерность, а таких, если говорить о природных системах, подавляющее большинство, то и модель из первых принципов, описывающая ее динамику, будет высокоразмерной. Например, современные глобальные
модели климатической системы Земли, являющиеся характерным примером детальных моделей, построенных из первых принципов, оперируют более чем 106 степенями свободы. Очевидно, что детальное изучение пространств с такой размерностью технически невозможно. Кроме того, возникает принципиальная сложность: чрезвычайно высокая размерность фазового пространства неизбежно приводит к высокой чувствительности модели по отношению к вариациям начальных и граничных условий и параметров, что неблагоприятным образом сказывается на качестве прогноза. Наконец, использование моделей из первых принципов может приводить к грубым прогностическим ошибкам даже при исследовании будущей эволюции низкоразмерных ДС. Корректная модель из первых принципов правильно воспроизводит динамику реконструируемой системы лишь до тех пор, пока справедливы сделанные при ее построении допущения. Поскольку прогноз качественного поведения слабонеавтономных систем 1 является по сути своей долгосрочным, то существует вероятность, что в прогнозируемый период эволюции системы существенную роль будут играть процессы, не учтенные, вследствии их недостаточной изученности, при построении модели. Таким образом, вне зависимости от размерности реконструируемой системы, прогноз качественного поведения, построенный на основе моделей из первых принципов, чреват ошибками.
Построение эмпирических моделей ДС не требует наличия полной и детальной априорной информации о процессах, протекающих в системе. Математическая модель исследуемой ДС строится путем прямого анализа наблюдаемых данных, вообще говоря, без каких-либо допущений о природе изучаемого явления. Однако при эмпирической реконструкции таких сложных, пространственно-распределенных ДС, как региональные климатические системы (например, Эль-Ниньо), или глобальная климатическая система Земли, возникает проблема, которая заключается, как это ни парадоксально, в обилии доступных экспериментальных данных. Данные наблюдений обычно представляют собой пространственные поля различных климатических характеристик (таких как ПТ океана, давление, скорость ветра, влажность и т.д.), измеренные с той или иной степенью детализации. Фактически, в руках у исследователя имеется набор временных рядов, число которых равно числу узлов пространственной сетки, умноженному на число климатических характеристик, принимаемых во внимание. С одной стороны, большое число динамических переменных (временных рядов), доступных наблюдениям, существенно увеличивает информативность обучающей выборки данных, по сравнению с ситуацией, когда модель строится по рядам, измеренным в одной или нескольких отдельно взятых пространственных точках. С другой
1Т.е. систем с медленно изменяющимися, по сравнению с характерными временами динамики наблюдаемого процесса, управляющими параметрами.
стороны, задача построения пространства динамических переменных эмпирической модели по таким пространственно-распределенным данным усложняется: не существует универсального рецепта выделения эмпирических мод, подлежащих моделированию, из имеющегося массива данных. Именно успешность выбора набора таких мод (динамических переменных) предопределяет эффективность эмпирической модели, поскольку тем самым задается проекция аттрактора системы, на которой строится оператор эволюции. Поэтому оптимальность такого выбора, включающего в себя как способ конструирования эмпирических мод по полям данных, так и количество этих мод, определяющее размерность модели, является ключевой проблемой эмпирического моделирования распределенных ДС.
Основной целью диссертации является разработка и реализация эффективного и максимально универсального подхода к построению эмпирических моделей сложных (высокоразмерных, пространственно-распределенных) ДС для решения задачи глобальной реконструкции. В частности, для достижения основной цели работы были поставлены и решены следующие задачи:
-
Разработка методики оптимизации стохастических моделей на базе случайных функций с нейронно-сетевой параметризацией.
-
Разработка методики выделения динамических переменных из многомерного массива данных, пригодных для создания низкоразмерных эмпирических моделей пространственно-распределенных динамических систем.
-
Прогноз качественного поведения динамической системы, описывающей динамику явления Эль-Ниньо, на модельных примерах и по данным реальных наблюдений.
Научная новизна работы заключается в следующем:
-
Предложен и успешно опробован последовательный Байесов подход к глобальной реконструкции ДС по данным наблюдений, заключающийся в построении и оптимизации низкоразмерных стохастических моделей на базе случайных функций с нейронно-сетевой параметризацией. Показано, что Байесова обоснованность, использовавшаяся в работе для оптимизации модели, позволяет выбрать такие параметры, чтобы при достаточно высоком правдоподобии модель была максимально проста, и, тем самым, минимально чувствительна к конкретной реализации шума.
-
Предложенный подход к построению эмпирических моделей был успешно применен при реконструкции ДС в виде дифференциальных уравнений с задержками (ДУЗ), описывающих динамику явления Эль-Ниньо. Показано, что построенные эмпирические модели способны прогнозировать последовательности критических переходов, связанных с
резкими изменениями характеристик плотности состояний как детерминированных, так и стохастических систем, на времена, превышающие продолжительность выборки данных, используемой для обучения модели. В частности, удается предсказывать критические переходы, связанные с разрушением более простого, охватывающего меньшую область фазового пространства, аттрактора, и переходом системы в более сложный динамический режим поведения.
3. На модельных и реальных данных в рамках Байесова подхода продемонстрирована возможность построения эмпирических моделей динамических систем по пространственно-распределенным временным рядам климатических характеристик.
Практическая ценность. Эмпирическая реконструкция сложных ДС кроме фундаментального (разработка методики построения эмпирических моделей ДС любой природы и сложности), представляет значительный практический интерес. Как показано в работе, построенная по реальным данным простейшая эмпирическая модель климатической подсистемы, ответственной за эволюцию Южного колебания, может корректно описать и предсказать дальнейшее качественное поведение моделируемой подсистемы на примере такой грубой характеристики, как баланс между фазами Южного колебания (Эль-Ниньо и Ла-Нинья). Это позволяет полагать, что предложенная методика дает возможность строить эмпирические модели климатических подсистем (глобальных и региональных) .
Предложенная в диссертационной работе методика выбора оптимальных динамических переменных для построения эмпирической модели климатической системы Земли наглядно демонстрирует возможность разбиения глобальной системы на ансамбль климатических подсистем, чья эволюция происходит с существенно различными временными масштабами. Данная методика может быть использована для верификации современных глобальных климатических моделей путем ее применения к модельным данным и последующего сравнения получившихся ансамблей подсистем: модельного и реального.
Основные положения. На защиту выносятся следующие основные положения.
-
Использование Байесовой обоснованности, в качестве критерия оптимальности модели, позволяет выбрать эмпирическую модель, которая корректно описывает реконструирую систему и не подвержена эффекту переобучения.
-
Предложенный метод построения эмпирических моделей по нестационарным временным рядам позволяет строить корректный прогноз качественного поведения высокоразмерных динамических систем в виде дифференциальных уравнений с задержками, описывающих динамику явления Эль-Ниньо.
-
Использование пространственно-временных эмпирических ортогональных функций для формирования обучающей выборки (построения динамических переменных) позволяет строить низкоразмерные эмпирические модели сложных ДС по данным, представляющим собой зависящие от времени поля пространственно-распределенных характеристик.
-
Учет только мгновенных корреляций в имеющихся на сегодняшний день полях данных для аномалий поверхностной температуры океана позволяет сформировать обучающую выборку, пригодную для построения низкоразмерной эмпирической модели климатической подсистемы, ответственной за явление Эль-Ниньо. Построенная по такой выборке модель корректно предсказывает качественное поведение статистической характеристики, отражающей энергетический баланс между фазами Южного колебания (Эль-Ниньо и Ла-Нинья).
-
Учет запаздывающих временных корреляций при анализе пространственно распределенных данных для аномалий поверхностной температуры океана позволяет представить климатическую систему Земли в виде ансамбля взаимодействующих подсистем, чья эволюция происходит с существенно различными временными масштабами.
Достоверность. Научные положения и выводы диссертации достаточно аргументированы, соответствуют современным теоретическим и экспериментальным данным, опубликованным в научных журналах соответствующего профиля. Результаты получены с использованием апробированных подходов и численных методик в сериях численных экспериментов, показавших высокую повторяемость, и не вызывают сомнений. Полученные в диссертационной работе результаты неоднократно докладывались на российских и международных конференциях и обсуждались в дискуссиях с российскими и зарубежными научными сотрудниками, опубликованы в реферируемых научных журналах и трудах конференций. Все это позволяет считать представленные в диссертации результаты обоснованными и достоверными.
Апробация представленных в работе результатов. Основные результаты работы докладывались на семинарах ИПФ РАН, а так же на международных и российских научных конференциях: VIII и X Всероссийских конференциях молодых ученых «Состав атмосферы. Атмосферное электричество. Климатические процессы» (Борок, 2005, 2011), международной конференции "Topical problems of nonlinear wave physics" (Нижний Новгород, 2008), Всероссийской научной школе "Нелинейные волны" (Нижний Новгород, 2006, 2010), международных конференциях European Geosciences Union General Assembly (2006, 2007, 2008, 2009, 2010, 2011, 2012, 2013), международных конференциях Dynamics Days Europe (2009, 2012), международных конференциях American Geophysical Union Fall Meeting (San Francisco, 2011, 2012), международной конференции Davos Atmosphere and Cryosphere Assembly DACA-13 (Davos, 2013).
Результаты, полученные в ходе выполнения работы, рекомендованы в Отчет РАН за 2011 г. Результаты исследований также использовались при выполнении работ по грантам РФФИ (02-02-17080-а, 06-02-16568-а, 10-05-92519-ИК_а), CRDF CGP-RFBR 2009 Climate Change & Energy.
По теме диссертации опубликовано 54 работы, из которых 8 статей в реферируемых научных журналах из списка ВАК.
Личный вклад автора. Все приведенные в диссертации результаты получены либо лично автором, либо при его непосредственном участии.
