Введение к работе
Актуальность работы. Задача получения динамического описания систем по их реализациям^становится в последние годы все более актуальной в связи с развитием научных направлений, связанных с использованием методов нелинейной динамики в биологии, медицине, химии, астрономии и т.д.^ где возникает насущная* необходимость в предсказании поведёвм исйейуёмых систем.' Прогностические критерии, разработанные в перечисленных областях знания, опираются в основном на статистические методы и являются уже недостаточными. Развитие науки требует создания более точных критериев, основанных на использовании динамического описания исследуемых систем, одним из которых является метод глобальной реконструкции динамических систем по экспериментальным данным.
В отличие от задачи анализа, всегда имеющей однозначное решение, задача реконструкции динамической системы по экспериментальным данным, являющаяся задачей синтеза, некорректна и неоднозначна. Существует бесконечное множество динамических систем различного вида и различной сложности, способных воспроизвести имеющийся сигнал с заданной степенью точности, однако на настоящий момент невозможно с уверенностью заранее определить хотя бы их общий вид, даже если исследователь ограничил поиск некоторым классом динамических систем, например,, системами обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка. Метод глобальной реконструкции уравнений динамической системы по ее одномерной реализации, был впервые предложен в 1987 г. (Дж. Кремерс, А.Х. Хюблер; Дж. П. Кратчфилд, Б.С. Мак-Намара). Преложенный алгоритм состоит в следующем. По одномерной , реализации процесса, происходящего в некоторой системе, которая счи-г , тается "черным ящиком", восстанавливается фазовый портрет, топо-,--! логически эквивалентный аттрактору исходной системы (Ф. Такенс). Затем априорно задается вид описывающих ее уравнений с набором ,._, неизвестных коэффициентов, которые находятся методом наименьших квадратов.
Позже появилось несколько работ, развивающих и совершенствующих этот метод (Х.Д.И. Абарбанель, Р. Браун, Дж. Кадтке, Дж.Л. Бриден, А.Х. Хюблер, Н. Рульков, Е. Трейси). При этом не показаны - - существенные преимущества, даваемые каким-либо усовершенствованным (и, как правило, сильно усложненным алгоритмически) методом по сравнению с ранее введенной в работе Дж. Кремерса и А.Х. Хюблера методикой. Описываемые методы тестируются на ряде широко извест-
ных модельных систем (например, системе Хенона, Лоренца, Ресслера), имеющих малую размерность и достаточно простой вид правых частей уравнений, которые поддаются реконструкции и гораздо более простым способом (Дж. Кремерс, А.Х. Хгоблер). Поэтому аргументация в пользу новых сложных алгоритмов не кажется убедительной до тех пор, пока их работоспособность не продемонстрирована на примере сложных временных рядов, генерирумых реальными "черными ящиками". На настоящий момент существует малое количество публикаций, в которых бы описывалось применение данных методик к сигналам, порожденным реальными системами, об операторе эволюции которых ничего не известно, а значит, нет информации о том, какие уравнения должны получиться в результате. На основании анализа имеющихся работ (Е.Дж. КостеличаиДж.А.Йорке, Г. ГюсбеиДж. Маке, К. Лайнсцсеки Дж. Ка-дтке, О. Аносова и др., Грибкова и др.) можно утверждать, что при работе с реальными экспериментальным данными оказывается эффективным наиболее простой первоначально предложенный способ, подвергнутый самым незначительным модификациям. Поэтому представляет интерес исследование его возможностей в применении к экспериментальным зашумленным реализациям, порождаемым реальными системами, в том числе биологическими.
При исследовании динамической системы по ее реализациям возникает проблема восстановления структуры разбиения ее фазового пространства на траектории в области исследуемого аттрактора. Д. Пирсоном и Ф. Моссом, Ф.Кс. Витковским и др., П.И. Сапариным к др. были предложены способы нахождения седловых состояний равновесия и определения их собственных значений. В работе Г.Б. Миндлина, Х.Г. Сол ари и др. был описан способ нахождения седловых предельных циклов. Однако исходные предпосылки предлагаемых методик не всегда оказываются достаточно хорошо аргументированными и, в частности, допускают произвол при указании в первом приближении предполагаемого местонахождения неустойчивых решений, основанного в основном на трактовке косвенных признаков. Проблема разработки надежного способа восстановления по одномерной реализации изучаемой динамической системы структуры разбиения ее фазового пространства на траектории остается нерешенной, и единственной гарантией достоверности полученных на основании обработки реализации выводов остается знание динамических уравнений, описывающих поведение системы.
Успех глобальной реконструкции во многом определяется выбором способа восстановления аттрактора ДС. Существует класс процессов и систем, чьи реализации являются существенно неоднородными, т.е.
такими, в которых участки с быстрым движением чередуются с участками медленных движений (типичным примером является электрокардиограмма человека). Традиционные методы восстановления фазовых портретов приводят к получению неоднородных аттракторов из неоднородных реализаций. Применение К восстановленному аттрактору алгоритма глобальной реконструкции, при котором для нахождения неизвестных коэффициентов в уравнениях используется метод наименьших квадратов, оказывается неэффективным. Поэтому представляет интерес нахождение такого способа вложения неоднородных данных, который позволил бы применять к 'восстановленным аттракторам методику глобальной реконструкции.
Задача о медленном воздействии на параметры динамической системы некоторым сигналом и выделение этого сигнала из реализации данной системы посредством явления автосинхронизации была рассмотрена в работах У. Партлитца, Л. Косарева и др. в приложении к задаче скрытой передачи информации. Решение той же задачи, основанное на использовании метода глобальной реконструкции; было предложено в работах B.C. Анищенко и А.Н. Павлова. Наконец * наиболее простой случай был рассмотрен в работе Д.А. Грибкова, где иллюстрировалась возможность восстановления вида внёшнёгЬ йоздействйя на систему, подаваемого аддитивно в одно из уравнений. Однако во всех описанных случаях принцип выделения нужного сигнала из хаотической реализации основывался на знании исходной динамической системы, либо на использовании дополнительных сведений о виде базовой динамической системы, и в принципе не может быть применим при исследдвании реальных систем. Поэтому актуальной является проблема восстановления характера воздействия на параметры исходной системы по ее одномерной реализации.
Цель диссертационной работы заключается в детальном исследовании возможностей алгоритма глобальной реконструкции динамических систем по одномерным экспериментальным реализациям.
Для достижения указаной цели необходимо решить следующие основные задачи:
і і, і ^Применить алгоритм глобальной реконструкции к реализациям динамических систем, полученным^выходе биологических экспериментов, и исследовать йх^ фазовое пространство в непосредственной окрестности интересующих нас режимов; ""
2. Решить проблему восстановления фазовых портретов динамических систем по их одномерным существенно неоднородным реализациям, чтобы обеспечить возможность "применения к ним пёрвоначаль-
ного алгоритма глобальной реконструкции без его усложнения.
3. Исследовать способность алгоритма глобальной реконструкции восстанавливать закон внешнего воздействия на параметры систем, применив его для этого к дифференциальным автоколебательным системам с медленно меняющимися во времени параметрами и отслеживая поведение восстанавливаемых параметров во времени.
На защиту выносятся следующие положения.
1. По одномерной зашумленной реализации установившегося ре
жима динамической автоколебательной системы, записанной с конечной
точностью и на конечном отрезке времени, включающем порядка ста
характерных периодов колебаний, можно восстановить грубые динами
ческие уравнения, приближенно описывающие исходный режим колеба
ний при условиях, что размерность исходной системы мала (N < 5) и
поведение ее фазовых траекторий характеризуется не более, чем одним
положительным Ляпуновским показателем.
-
Метод последовательного интегрирования позволяет решать задачу глобальной реконструкции динамической системы по ее существенно неоднородной реализации без усложнения алгоритма аппроксимации правых частей модели.
-
Метод глобальной реконструкции позволяет восстановить характер модуляции параметра исходной динамической системы по одномерной реализации независимо от того, происходят в системе динамические бифуркации или нет, при условии, что размерность динамической системы мала (N < 5), а модуляция ее управляющего параметра происходит медленно. Если происходит модуляция более, чем одного управляющего параметра по законам, описываемым одной и той же динамической системой, то метод глобальной реконструкции позволяет восстановить характер изменения всех управляющих параметров.
Достоверность научных выводов работы подтверждается воспроизводимостью результатов численного моделирования динамических систем, использованием при создании алгоритмов моделирования строгих результатов теории динамических систем.
Научная новизна работы заключается в следующем:
Впервые получена приближенная маломерная модель, реализации которой обладают,статистическими и динамическими характеристиками, качественно совпадающими с соответствующими характеристиками электрокардиограммы здорового человека. При этом причиной возникновения хаотического аттрактора в ней является разрушение петли сепаратрисы седлофокуса.
Предложен и обоснован метод последовательного интегрирования
....COW..'."".- : -.!'...<>'". ' .:.г:Г'\ ' '"";''"."„
для восстановления Относительно однородного фазового портрета по существенно неоднфодной реализации. Разработанный метод интегрирования использован для глобальной реконструкции динамических моделей по реальным существенно неоднородным реализациям (ЭКГ,.вре-меннойзавйсимости координаты точки на поверхности изолировацногф сердца лягушки) с получением максимально простого вида динамичет ских уравнений
Впервые методом глобальной реконструкции получены динамические модели в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений, приближенно описывающие динамику RR интервалов
Впервые показано, что применение алгоритма глобальной реконструкции к реализациям динамических систем с медленно меняющие мися во времени параметрами позволяет восстановить характер модуляции параметров, независимо от амплитуды колебания их значений или наличия динамических бифуркаций в систеке.;;.': -~~:;..:" " ; ~~' .
Научно-практическое значение результатов работы.
-
Показано, что несмотря на некорректность постановки задачи реконструкции динамической системы по ее одномерной экспериментальной реализации существует возможность восстановить динамическую модель, с некоторым приближением описывающую исходный режим колебаний.
-
Предложенный метод интегрирования исходной реализации, позволяющий восстановить однородные аттракторы по существенно неоднородным реализациям и приводящий к наиболее простому виду рекон-. струируемых модельных уравнений, может быть использован как один из стандартных методов вложения экспериментальных данных.
-
Обнаруженные закономерности поведения коэффициентов в правых частях динамических уравнений, восстановленных по одномерным реализациям динамических систем с медленно меняющимися параметрами, являются основанием для применения метода глобальной реконструкции к исследованиям и диагностике реальных систем, адаптиру-ющихся-к внешнему воздействию.
Апробация работы и публикации. Основные материалы диссертации были доложены на международной конференции "Laser Volga Tour" ("Лазерный тур по Волге"; г; Саратов- г. Н. Новгород, 1993), международной конференции "Third technical conference on nonlinear dynamics and full spectrum processes" ("Зіей технической конференции по полному спектральному анализу", Мистик,' Коннектикут, США, 1995), международной конференции "Stochastic Dynamics of Mesoscopic Systems" ("Стохастическая динамика мезоскогшческих систем", Шмервитз, Германия,
1995), международной школе "Nonlinear Techniques in Physiological Time Series Analysis" ("Нелинейные методы в анализе физиологических временных рядов", Дрезден, Германия, 1995), международной научно - технической конференции "Физика и радиоэлектроника в медицине и биологии" (Владимир, 1996), международной конференции "International Conference on Nonlinear Dynamics" ("Международной конференции по нелинейной динамике ICND-96", Саратов, 1996) а также на научном семинаре лаборатории нелинейной динамики при кафедре радиофизики СГУ. Материалы диссертации использовались при чтении раздела спецкурса студентам специализации "Теория колебаний". По теме диссертации в центральной печати опубликовано и принято к публикации 13 работ (8 статей и 5 тезисов докладов). Результаты работы использованы при выполнении грантов RNO 000 и RNO 300 Международного научного фонда, гранта комитета РФ по высшему образованию (N 93-8.2-10) и госбюджетной НИР "Автоколебания".
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка цитированной литературы и приложения. Диссертация содержит 112 страниц текста, 65 рисунков, 22 таблицы, список литературы из 162 наименований на 17 страницах. Общий объем работы 2ІЗ страниц.
