Содержание к диссертации
Введение
1 Основные определения 8
1.1 Построение Каги 8
1.2 Стратегия Каги 11
1.3 Построение Ренко 13
1.4 Стратегия Ренко 15
2 Методология исследования 17
2.1 Метод Каги 17
2.2 Метод Ренко 21
3 Метод Каги 24
3.1 Дискретное время 24
3.1.1 Случайное блуждание 24
3.1.2 Биномиальная модель 39
3.2 Непрерывное время 48
3.2.1 Однородные диффузионные процессы 48
3.2.2 Броуновское движение 62
3.2.3 Геометрическое броуновское движение 76
4 Метод Ренко 83
4.1 Дискретное время 83
4.1.1 Случайное блуждание 83
4.1.2 Биномиальная модель 87
4.2 Непрерывное время 91
4.2.1 Однородные диффузионные процессы 92
4.2.2 Броуновское движение 95
4.2.3 Геометрическое броуновское движение 97
Список литературы
Введение к работе
Актуальность темы
Настоящая диссертация посвящена вероятностному исследованию моделей Каги и Ренко. Модели и построения Каги и Ренко являются одними из методов технического анализа, под которым понимается прогнозирование будущего поведения цен, основываясь на статистическом анализе изменений цен в прошлом.
На сегодняшний день технический анализ включает в себя огромное количество методов и техник для прогнозирования цен, определения трендов и построения трейдинговых стратегий. Одним из наиболее известных методов технического анализа является техника японских свечей, описанный в работах Р. Бенсигнора1 и С. Нисона2'3'4, во многом благодаря наглядности и простоте для понимания, а также более эффективному распознаванию поворотов рынка по сравнению с традиционными индикаторами. Альтернативным японским свечам методом анализа поведения цен служат графики трехлинейного прорыва, а также графики Ренко и Каги, которые являются объектом исследования настоящей диссертации.
Ключевое отличие графиков Каги и Ренко от японских свечей заключается в том, что эти методы учитывают только изменения цен, игнорируя время. В отличие от японских свечей графики Каги и Ренко позволяют акцентировать внимание трейдера только на значительных колебаниях цен и не рассматривать "шумы", а также дают лучшее представление об общих тенденциях рынка. В отличии от используемого в классических методах анализа "римановского подхода" построения Каги и Ренко реализуют "лебеговский подход", когда за единицу отсчета времени принимается случайный период времени, за который изменение цены превышает некоторое заданное пороговое значение.
Происхождение методов Каги и Ренко связано с появившимися в Японии в 1870-х годах методами технического анализа, основанных на анализе колебаний цен. Впервые в литературе подробное описание методов Каги и Ренко, а также связанных с ними трейдинговых стратегий, было дано в книге С. Нисона2. Следующий шаг в этом направлении был сделан в работах СВ. Пастухова5'6'7, где приводится строгая математическая формализация
^ensignor R. New thinking in Technical Analysis: Trading models for the masters. Bloomberg Press, Princeton, 2000
2Nison S. Beyond candlesticks: new Japanese charting techniques revealed. Wiley, New York, 1994.
3Nison S. Japanese Candlestick Charting Techniques: A Contemporary Guide to the Ancient Investment Techniques of the Far East, New York Institute of Finance, New York, 1991.
4Nison S. The candlestick course Wiley, New Jersey, 2003.
5Пастухов С.В. О некоторых вероятностно-статистических методах в техническом анализе. ТВП, 49:2(2004), 297-316.
6Пастухов СВ. Об Н-волатилъности в финансовой математике. Успехи мат. наук, 58:1 (2003), 191-192
7Пастухов СВ. О некоторых вероятностно-статистических методах в техническом анализе. Дис. канд. физ-мат. наук. Москва. 2004. 104 с.
построений Каги и Ренко, а также проводится статистический анализ соответствующих стратегий.
С построениями Каги и Ренко связаны трейдинговые стратегии, используемые на финансовых рынках. Основная идея стратегий Каги и Ренко состоит в том, что решения о продаже или покупке актива принимаются только в моменты смены тренда, которые, в свою очередь, определяются как моменты, когда отклонение цены от тренда превышает определенный порог. Этот подход позволяет акцентировать внимание инвестора только на достаточно больших колебаниях цены. На каждом шаге инвестор продает разницу в начале и конце восходящего тренда и покупает разницу посредством короткой продажи между началом и концом нисходящего тренда, надеясь на то, что эта разница будет отрицательной. Таким образом, стратегии Каги и Ренко ориентированы на получение прибыли на разнице в цене в начале и конце тренда, сигналы к смене которых поступают в случайные моменты времени, определяемые в дальнейшем как моменты Каги и Ренко.
Целью диссертационной работы является исследование методов Каги и Ренко теоретического характера, разработка методики для численного и аналитического анализа вероятностных характеристик моментов и стратегий Каги и Ренко, вывод свойств стратегий Каги и Ренко для наиболее известных в финансовой математике моделей для процесса цены.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми. В диссертации получены следующие результаты:
Получены выражения для математических ожиданий прибыли стратегий Каги и Ренко, и проведен качественный анализ полученных ответов для классических моделей финансовой математики.
Получены выражения для преобразований Лапласа для моментов времени Каги и Ренко, позволяющие обобщить выражения для ожидаемой прибыли на случай произвольного временного интервала.
Получены явные выражения для конечномерных распределений процесса цены в моменты Каги и Ренко, позволяющие найти распределение прибыли стратегий Каги и Ренко.
Методы исследования. В работе используются традиционные методы теории вероятностей, математического анализа и теории случайных процессов (теория марковских процессов, предельные теоремы, преобразование Лапласа).
Практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в финансовой математике, а также на практике при анализе доходности стратегий Каги и Ренко.
Апробация работы. Результаты работы докладывались автором на научных семинарах и конференциях:
Семинар "Случайные процессы и стохастический анализ и теория мартингалов" под руководством член-корр. РАН, проф. А.Н. Ширяева механико-математический факультет, МГУ им. М.В. Ломоносова, неоднократно в 2008- 2011гг.
"Большой семинар кафедры теории вероятностей", рук. Ширяев А. Н., механико-математический факультет, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2011 г.
"Visions in Stochastics", международный симпозиум, Москва, МИАН им. В. А. Стеклова РАН, 2010 г.
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 4 работах автора, в том числе в 3 журналах, входящих в список ВАК. Работ, написанных в соавторстве, нет. Список публикаций приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, разбитых на 16 параграфов, и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 115 страниц. Список литературы включает в себя 23 наименования, включая 4 работы автора по теме диссертации.
Построение Ренко
Под стратегией Каги будем понимать решающее правило, описанное в работах [4] и [6]. Пусть 7() задает количество актива, цена которого описывается процессом X, в портфеле инвестора в момент времени t О, тогда стратегия Каги на отрезке [0, км] задается следующим образом:
Таким образом, до момента KQ инвестор не совершает никаких транзакций, в этот период определяется первоначальное направление тренда. Так, например, в случае восходящего первоначального тренда, когда ХКа XQ, инвестор в момент времени к,о покупает единицу актива. Момент к\ является моментом смены тренда с восходящего на нисходящий, в этот момент инвестор продает имеющуюся у него единицу актива, а также совершает короткую продажу. Следовательно, в период времени между к\ и «2 в портфеле инвестора будет минус одна единица актива, то есть jK(l3l(t) = — 1, t Є [к\, кг). В момент времени кг следующей смены тренда инвестор вновь переформировывает портфель так, чтобы в нем была одна единица актива, и так далее.
В рамках настоящей работы для простоты вычислений будем полагать процентную ставку для долга и депозита, а также транзакционные издерж ки, равными нулю. Данная мера позволяет не загромождать вычисления, при этом качественно не влияет на полученные результаты. Тем не менее, все полученные утверждения очевидным образом могут быть обобщены на случай ненулевой процентной ставки и транзакционных издержек. Учитывая эти замечания, из приведенного выше решающего правила можно вывести (см. также [4]), что прибыль инвестора от стратегии Каги на интервале времени [0, км\ имеет вид:
Необходимо отметить, что определенная здесь стратегия Каги не является единственной возможной. Существует множество способов применения графиков Каги для торговли на финансовых рынках. Так, например, сигналы покупки и продажи могут поступать не в моменты времени (кп)п 0, а тогда, когда цена превосходит свой предыдущий максимум или падает ниже предыдущего минимума (см. [19, гл. 8]). Однако, все стратегии типа Каги ориентированы на улавливание трендов и предназначены для использования на направленных рынках. Выбор именно той стратегии Каги, которая описана выше, обусловлен тем, что указанная стратегия исследовалась ранее в работе [6], а также тем, чтобы провести аналогию со стратегией Ренко, которая получила широкое распространение на финансовых рынках (см. [19. гл.7[).
Под стратегией Ренко будем понимать правило, согласно которому сигналы на покупку или продажу подаются при смене тренда в моменты времени (рп)п о- Графики Ренко обычно изображаются в виде последовательностей из возрастающих белых и убывающих черных блоков. Каждый блок соответствует ПерИОДУ Времени Между ДВуМЯ СОСедіШМИ Моментами РеНКО рп И /2П+] .
Белый блок соответствует случаю ХРп ХРп+1 и обозначает рост цены, черный блок соответствует случаю ХРп ХРп+1 и обозначает падение цены. Сигналы к покупке подается тогда, когда последовательность из черных блоков сменяется белым, а сигнал к продаже подается, когда последовательность из белых блоков сменяется черным. В отличии от случая Каги, набор стратегий на основе построений Ренко ограничен, и, как правило, под стратегией Ренко всегда подразумевается описанное выше правило. Пусть, как и при определении стратегии Каги, -y(t) задает количество актива в портфеле инвестора в момент времени t 0, тогда стратегия Ренко на отрезке [0, рм] задается следующим образом:
В настоящей главе описываются общие методы решения задач, связанных с распределением моментов Каги и Ренко, а также распределением процесса цены в моменты времени (кп)п о и (рп)п20- Полученные результаты можно использовать для вычисления вероятностных характеристик прибыли инвестора, таких как математическое ожидание и вероятность получения положительной прибыли при нулевом начальном капитале. В данной главе о процессе цены X будем предполагать только то, что он является однородным марковским процессом.
Метод Ренко
Таким образом, до момента KQ инвестор не совершает никаких транзакций, в этот период определяется первоначальное направление тренда. Так, например, в случае восходящего первоначального тренда, когда ХКа XQ, инвестор в момент времени к,о покупает единицу актива. Момент к\ является моментом смены тренда с восходящего на нисходящий, в этот момент инвестор продает имеющуюся у него единицу актива, а также совершает короткую продажу. Следовательно, в период времени между к\ и «2 в портфеле инвестора будет минус одна единица актива, то есть jK(l3l(t) = — 1, t Є [к\, кг). В момент времени кг следующей смены тренда инвестор вновь переформировывает портфель так, чтобы в нем была одна единица актива, и так далее.
В рамках настоящей работы для простоты вычислений будем полагать процентную ставку для долга и депозита, а также транзакционные издерж ки, равными нулю. Данная мера позволяет не загромождать вычисления, при этом качественно не влияет на полученные результаты. Тем не менее, все полученные утверждения очевидным образом могут быть обобщены на случай ненулевой процентной ставки и транзакционных издержек. Учитывая эти замечания, из приведенного выше решающего правила можно вывести (см. также [4]), что прибыль инвестора от стратегии Каги на интервале времени [0, км\ имеет вид:
Необходимо отметить, что определенная здесь стратегия Каги не является единственной возможной. Существует множество способов применения графиков Каги для торговли на финансовых рынках. Так, например, сигналы покупки и продажи могут поступать не в моменты времени (кп)п 0, а тогда, когда цена превосходит свой предыдущий максимум или падает ниже предыдущего минимума (см. [19, гл. 8]). Однако, все стратегии типа Каги ориентированы на улавливание трендов и предназначены для использования на направленных рынках. Выбор именно той стратегии Каги, которая описана выше, обусловлен тем, что указанная стратегия исследовалась ранее в работе [6], а также тем, чтобы провести аналогию со стратегией Ренко, которая получила широкое распространение на финансовых рынках (см. [19. гл.7[).
Под стратегией Ренко будем понимать правило, согласно которому сигналы на покупку или продажу подаются при смене тренда в моменты времени (рп)п о- Графики Ренко обычно изображаются в виде последовательностей из возрастающих белых и убывающих черных блоков. Каждый блок соответствует ПерИОДУ Времени Между ДВуМЯ СОСедіШМИ Моментами РеНКО рп И /2П+] .
Белый блок соответствует случаю ХРп ХРп+1 и обозначает рост цены, черный блок соответствует случаю ХРп ХРп+1 и обозначает падение цены. Сигналы к покупке подается тогда, когда последовательность из черных блоков сменяется белым, а сигнал к продаже подается, когда последовательность из белых блоков сменяется черным. В отличии от случая Каги, набор стратегий на основе построений Ренко ограничен, и, как правило, под стратегией Ренко всегда подразумевается описанное выше правило. Пусть, как и при определении стратегии Каги, -y(t) задает количество актива в портфеле инвестора в момент времени t 0, тогда стратегия Ренко на отрезке [0, рм] задается следующим образом:
В настоящей главе описываются общие методы решения задач, связанных с распределением моментов Каги и Ренко, а также распределением процесса цены в моменты времени (кп)п о и (рп)п20- Полученные результаты можно использовать для вычисления вероятностных характеристик прибыли инвестора, таких как математическое ожидание и вероятность получения положительной прибыли при нулевом начальном капитале. В данной главе о процессе цены X будем предполагать только то, что он является однородным марковским процессом.
Для описанной выше биномиальной модели будем использовать согласующееся с ценой изменяющееся во времени пороговое значение //. То есть вместо фиксированного значения Н будем использовать фиксированный процентный порог а Є (О,1) (см. [19, глава 8]). В этом случае вместо одного порогового значения Н имеем последовательность пороговых значений (Н„)п о, которая задается следующим образом:
Непрерывное время
В настоящем параграфе рассматриваются вопросы, связанные с распределением моментов Каги и поиском ожидаемой прибыли от стратегии Каги для моделей с непрерывным временем. В качестве процесса цены X принимается однородный диффузионный процесс. В общем случае находится распределение приращений процесса цены между двумя соседними моментами времени Каги. Поскольку стратегия Каги ориентирована на получение прибыли от разницы в цене в начале и конце тренда, сигналы к смене которого подаются в моменты (кп)п 0) то распределения приращений цены между соседними моментами Каги играют ключевую роль в поиске ожидаемой прибыли. Явный вид решения и качественный анализ поведения стратегии Каги в рамках данной модели будет приведен на примере частных случаев броуновского движения и геометрического броуновского движения.
Приведенные ниже леммы связаны с характеристиками величин "падения" и "размаха" процесса X. В Леммах 3.7 и 3.8 выводятся преобразования Лапласа для моментов остановки 7max, Tmin и KQ, определенных в (2.3) и (1.4). соответственно, а также приводятся выражения для функций распределения величин sup Xs, inf Xs и XKo. Полученные результаты используются для решения задач о распределении приращений процесса X между двумя соседними моментами Каги. Метод решения задач, связанных с "падением" и "размахом", основан на дискретизации непрерывных траекторий процесса X, позволяющей свести данные задачи к решению задач о выходе процесса X из заданного интервала.
Доказательство. Доказательство этой леммы для процесса, выходящего из нуля (хо = 0), было также дано в работе [18]. Используя аналогичные рассуждения, можно обобщить результаты этой работы на случай произвольного ха, а также получить выражения для 7mm Для краткости будем использовать следующие обозначения:
Для произвольного х хо рассмотрим разбиение отрезка [XQ, Х] на п равных частей длины Д. Используя строго марковское свойство процесса X, можно показать, что вероятность события {57тах х) можно представить в виде следующего предела:
Замечание. Распределения величин ymax,7min, Slmax и I7min можно получить и в случае, если не выполнены условия (3.43). Действительно, предположим, что не выполнено первое условие, то есть P(liminf Xt хо — Я) 0. В этом случае момент 7тоз; первого падения процесса X можно представить в виде:
Подставляя выражение для плотности fxKg в (3.50), получим утверждение леммы. Аналогично доказывается второе равенство в (3.49), Преобразование Лапласа момента остановки ко при условии ХКо хо можно представить в следующем виде: где через fxK обозначена функция плотности величины ХКо. Используя приведенные выше рассуждения, можно показать, что находящееся под знаком интеграла условное математическое ожидание можно найти следующим образом:
В дальнейших рассуждениях для удобства будем полагать, что процесс X неограничен сверху и снизу. В случае, когда это требование не выполняется, приведенные ниже выводы могут быть соответствующим образом модифицированы (см. замечание к Лемме 3.7). Обозначим через fmax,x0 плотность распределения процесса X в момент fmax в предположении, что X начинает движение из точки XQ. Тогда из Леммы 3.7 следует, что где функции /щах и /mjn определены в (3.53) и (3.54), соответственно. Подставляя найденные математические ожидания приращений цены между двумя соседними моментами Каги в (3.57), можно получить выражение для ожидаемой прибыли от стратегии Каги. Полученный результат, хотя и выводится в явном виде, достаточно сложен для качественного анализа и интерпретации стратегии Каги. Поэтому оставшаяся часть данной главы посвящена анализу поведения стратегии Каги на примере двух частных случаев рассматриваемой модели: случаю броуновского движения и геометрического броуновского движения. 3.2.2 Броуновское движение
Определения величин F±, Dmax и mm даны Результаты, приведенные в Теореме 3.1, можно получить непосредственно из приведенных ранее рассуждений для случая диффузионных процессов. В частности, утверждение о распределении приращений процесса X на промежутке [кт_і, кт] можно вывести из формулы для плотности конечномерных распределений (ХКо,... ,ХКт) в (3.56). Преобразование Лапласа Ее Ак" можно получить из (2.6).
В данной главе будет рассмотрен другой способ доказательства Теоремы 3.1, а также сопутствующих свойств величин "падения" и "размаха" для броуновского движения, изложенный автором в работе [8]. Доказательство для непрерывного случая будем проводить с помощью предельного перехода от случая случайного блуждания.
Однородные диффузионные процессы
В настоящем параграфе рассматриваются вопросы, связанные с поиском ожидаемой прибыли от стратегии Ренко для моделей с непрерывным временем. В качестве процесса цены X принимается однородный диффузионный процесс. В общем случае находятся конечномерные распределения процесса цены X в моменты времени Ренко. Явный вид решения и качественный анализ поведения стратегии Ренко в рамках данной модели приводится на примере частных случаев броуновского движения и геометрического броуновского движения.
Основным объектом для изучения является дискретный процесс Xd, определенный в Главе 2. Процесс Xd является случайным блужданием с вероятностями успеха и неудачи на каждом шаге р(к) и q(k), где к - текущее положение траектории Xd: Согласно Лемме 3.6 вероятности р{к) и q(k) для определенного выше процесса X записываются следующим образом:
Подставляя математические ожидания (4.19) и (4.20) в (4,17), можно получить выражение для ожидаемой прибыли от стратегии Ренко. Так же, как и в случае Каги, полученный результат являются слишком громоздким для проведения дальнейшего анализа прибыльности стратегии Ренко. Поэтому оставшаяся часть настоящей главы посвящена анализу стратегии Ренко для частных случаев броуновского движения и геометрического броуновского движения.
Поскольку вероятности р(к) и q(k) не зависят от положения к, то процесс Xі является обычным бернуллиевским случайным блужданием. Следовательно. в дальнейшем анализе можно использовать свойства моментов Каги для случайного блуждания из Главы 3, а рассуждения, приведенные ниже, совпадают с аналогичными выводами для случая Ренко для случайного блуждания. По аналогии со случаем Ренко для случайного блуждания показывается, что где последовательность (pd)n o является последовательностью моментов Каги (Ренко) для процесса Xd и порогового значения Hd = 1. Поскольку момент времени р\ определяется как момент выхода процесса X на границу отрезка [—Н, Н], то математическое ожидание р\ находится из Леммы 3.11:
Далее найдем ожидаемую прибыль от стратегии Ренко. Как показано в Главе 2, прибыль от стратегии Ренко для процесса X равняется Я, умноженное на прибыль от стратегии Каги для процесса Xd с пороговым значением Hd = 1 (см. 2.20):
Рассмотрим случайное блуждание Xd, определенное в Главе 2. В настоящем параграфе удобнее рассматривать процесс Xd как дискретный процесс, который начинает движение в точке XQ И на каждом шаге совершает скачки, равные ±Н. То есть аналог формулы перехода (2.16) между процессами X, X и Xі выглядит следующим образом: Х Рп = Х Рп = ХІ (4.27)
Данное представление процесса Xd удобно для наглядности, поскольку в дальнейшем исследуется поведение этого процесса вблизи нуля с использованием аналогичных свойств исходного процесса X. Преобразование (4.27) отличается от приведенной в Главе 2 формулы перехода (2.16) только заменой системы координат, поэтому методология, изложенная в Главе 2, сохраняется в применении к случаю геометрического броуновского движения, исследуемому в настоящем параграфе.
Стратегия Ренко описывается определенной ранее функцией т , которая задает количество единиц актива в портфеле трейдера на та-ом шаге где моменты (Рп)п о являются моментами Каги для процесса Xd и порогового значения Я, которые по построению совпадают с моментами Ренко для процесса Xd. Доход от стратегии, определяемой 7d, равен
При этом, мера тех траекторий, которые поглощаются в некоторый момент времени в точке хо + птіПН, равна единице. Поэтому при положительном в построение Ренко и, следовательно, стратегия Ренко с вероятностью единица не определены. Рассмотрим три способа разрешения этой итуации:
При вычислении математического ожидания и распределения прибыли от стратегии Ренко на интервале [0, рм] можно предполагать, что все моменты pt определены. То есть рассматривать условное распределение прибыли при условии, что процесс X и, соответственно, Xd не поглощаются до того, как наступит момент рм- В этом случае граница XQ + птыН играет роль отражающего экрана для процесса Xd, а вероятность успеха в этой точке р(птіП) равна единице при любом 9.
Если процесс Xd поглощается до того, как наступает момент рм, то это можно интерпретировать как разорение эмитента актива, цена которого описывается процессом X. В этом случае можно считать цену после момента поглощения равной нулю. Прибыль инвестора в этом случае имеет вид:
На практике Н обычно выбирается равным доле в процентах от начальной цены. Поэтому естественно предполагать, что в моменты времени р;, когда цена актива принимает некоторое значение Хр., трейдер выбирает пороговое значение НІ равным ocXpv где а Є (0,1) играет роль мультипликативного порогового значения. Таким образом, вместо одного значения Н имеем набор различных пороговых значений НІ ДЛЯ каждого
