Введение к работе
Актуальность работы Исследование координатных асимптотик обобщенных собственных функций дифференциальных операторов Шредингера и матриц Якоби тесно связано со спектральными свойствами этих операторов. Диссертация посвящена разработке новых методов нахождения асимптотик дифференциальных и разностных уравнений и систем в случае, когда матрица системы стремится к постоянной на бесконечности. Если матрица системы является близкой к диагональной, асимптотики решений даются классической теоремой Ле-винсона или ее аналогами. Если собственные значения предельной матрицы совпадают (случай двойного корня, критический случай), возможно появление жордаиовой клетки. Исследование асимптотик решений дискретных линейных систем в случае двойного корня в недавнее время вызвало значительный интерес, поскольку в этом случае возникают новые эффекты. В качестве примера можно привести работы Келли, Янаса, Набоко, Шероно-вой и Даманика. В диссертации сделан шаг в разработке методов для этого важного случая: развит метод последовательных преобразований системы в случае двойного корня, позволяющих в конечном итоге свести задачу к теореме Левинсона. Критический случай часто соответствует явлению спектрального фазового перехода: изменению спектральных свойств оператора. Выход на критический случай связан с изменением характера асимптотики обобщенных собственных функций на бесконечности. Выяснение механизма этого явления на языке обобщенных собственных функций требует содержательного анализа.
Известно так называемое явление резонанса, приводящее к изменению типа асимптотики собственных функций и появлению у оператора Шредингера собственных значений внутри абсолютно непрерывного спектра. После появления теории субординации это явление вызвало всплеск интереса, что привело к разработке новых подходов, а также к развитию классических методов Харриса-Лутца. В качестве примера стоит упомянуть работы Венке, Клауса, Хинтона, Шо, Саймона, Даманика и Курасова. Явление резонанса, вызванное потенциалом Вигнера-фон Неймана у дифференциального оператора Шредингера, имеет связь со спектральными свойствами и в некоторых случаях приводит к появлению псевдолакуны (нуля спектральной плотности).
В диссертации рассмотрено явление резонанса в его дискретном варианте в достаточно общей постановке. Это потребовало разработки нового метода анализа двойной асимптотики (по координате и по адиабатическому параметру) решений некоторой модельной дискретной линейной системы.
Этот метод позволил изучить псевдолакуны и асимптотику спектральной плотности сразу для двух различных по своей природе моделей: для дискретного оператора Шредингера с потенциалом Вигнера-фон Неймана и для дифференциального оператора Шредингера с фоновым периодическим потенциалом и потенциалом Вигнера-фон Неймана.
Научная новизна работы В диссертации впервые решены следующие задачи:
Разработан метод получения асимптотики решений "гиперболической" дискретной линейной системы в случае двойного корня.
Описано изменение характера асимптотики решений дискретной линейной системы (модельной задачи) вблизи критической точки, вызванного явлением резонанса.
Техника, полученная для разностных задач, успешно перенесена на аналогичный случай дифференциальных систем.
Исследованы нули спектральной плотности периодического оператора Шредингера с потенциалом Вигнера-фон Неймана и дискретного оператора Шредингера с потенциалом Вигнера-фон Неймана, получена асимптотика спектральной плотности этих операторов вблизи критических точек.
Апробация работы и публикации Результаты работы докладывались на семинарах кафедры Высшей математики и математической физики Физического факультета СПбГУ, на семинарах краковского отделения Института Математики Польской Академии Наук, на семинаре Технического Университета Лунда (Швеция) и на шести международных конференциях: в Крыму ("КРОМШ-2007, 2008, 2009"), в Польше ("ОТАМР-2008"), в Санкт-Петербурге (Конференция памяти М.С. Бирмана) и Московском государственном университете ("Spectral problems and related topics"). Основные материалы диссертации отражены в 7 публикациях, приведенных в конце автореферата.
Структура и объем работы Диссертация состоит из введения и пяти глав, содержит 140 страниц и 2 рисунка. Список литературы включает 43 наименования.
