Введение к работе
Актуальность темы
Диссертация посвящена доказательству корректности скалярной задачи о падении плоской волны на прозрачный клин (скорости распространения волн внутри клина и вне его разные) Построения работы тесно связаны с идеями монографии [1] французских математиков Ж Лебо и П Круазиля
Начиная с 90-х годов XX в заметно возрос интерес к математическому исследованию задачи о прозрачном клине Однако, несмотря на достаточно большое количество работ по данной тематике, корректность соответствующей задачи в общей постановке не была доказана С Бернтсен и К Берлюнг в работе [2] рассматривали задачу о косом падении плоской волны на диэлектрический клин Для того, чтобы доказать корректность данной задачи они ввели ряд не вызванных существом дела ограничений в условия задачи В работе [3] рассматривался случай, когда скорости внутри клина и вне его одинаковые Много лет Б В.Будаев занимался задачами об упругом и прозрачном клине(см [4]) Однако, в его работах на первое место выходила вычислительная сторона задачи
Новый подход к решению задач рассеяния в угловых областях, т.н метод спектральных функций, разработали в начале 90-х годов Ж Лебо и П Круазиль Они рассмотрели задачу дифракции плоской волны, распространяющейся в жидкости на погруженном в нее упругом клине Постановка задачи в
[1] нетрадиционна, волна называется "уходящей" (outgoing), если ее можно представить в виде суммы специального вида потенциалов простого слоя с плотностями, принадлежащими достаточно сложно определяемому классу обобщенных функций Сингулярности этих плотностей соответствуют отраженным, преломленным и головным волнам
Задача об упругом клине при условии отсутствия нормальных напряжений на его сторонах была рассмотрена В В Камоцким (см [5]) Он впервые четко сформулировал для этой задачи условия излучения и доказал корректность соответствующей задачи Построения В В Камоцкого тесно связаны с методикой монографии [1] Таким образом, тематика диссертации актуальна
Цель работы
Целью работы является доказательство корректности задачи о падении плоской волны на прозрачный клин с помощью метода спектральных функций
Основные результаты работы
В работе излагается метод спектральных функций в применении к задаче о прозрачном клине Пусть прозрачный клин имеет угол раствора (р, где <р Є (0, 27г) Обозначим клин через О, = {(х,у) = (г cos в, rsmG),0 < 0 < ср} Пусть Qext -внешняя область по отношению к ft. Стороны угла обозначим через Гі, Г 2 Будем считать, что волновое поле в Г2 удовлетво-
ряет уравнению Гельмгольца с волновым числом к\, а в lext уравнению Гельмгольца с волновым числом &2- Мы предполагаем, что зависимость от времени гармоническая и множитель еші будем опускать Пусть плоская волна падает на клин Q Падающая волна такая, что вектор ее скорости, если его "кончик" совместить с вершиной клина, находится целиком в области iext В качестве граничных условий рассмотрим условия сопряжения, т е условия отсутствия скачка решения и его нормальной производной на границе Будем искать решение задачи, предполагая что полное поле вне клина есть сумма падающей плоской волны и рассеянного поля Ключевой момент этого метода состоит в представлении решения в виде суммы "уходящей" и падающей волн Уходящая волна имеет вид потенциала "простого слоя", плотности которого принадлежат специальному классу
В работе доказана теорема об изоморфизме - центральная теорема для этого метода В том варианте теоремы об изоморфизме, который требуется в наших рассмотрениях, основные рассуждения во многом аналогичны рассуждениям в [1,5] (хотя и не во всем например, нам приходится вводить пространство #++, отсутствующее в указанных работах) Задача сводится к некоторым интегральным уравнениям, разрешимость которых удается доказать с помощью теоремы об изоморфизме
В работе сформулирован и обоснован принцип предельного поглощения для задачи о прозрачном клине
Методика используемая в данной работе близка к методике Лебо и Круазиля (см [1]) и дает возможность доказать необходимые результаты
Научная новизна
Все основные результаты диссертации являются новыми
Теоретическая и практическая ценность работы
Работа носит теоретический характер Ее результаты могут быть использованы для дальнейшего исследования задач рассеяния в угловых областях и для численного их решения
Апробация работы и публикации
Результаты работы докладывались на семинаре по теории дифракции в Санкт-Петербургском отделении Математического Института РАН им В А Стеклова, на семинаре по вычислительной и теоретической акустике научного совета по акустике РАН в Институте проблем машиноведения РАН, Санкт-Петербург, а также на международной конференции 'Days on Diffraction 2007", Санкт-Петербург Основные результаты диссертации изложены в трех научных статьях [6,7,8]
Структура и объем диссертации
