Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Общая характеристика состояния теории детерминантов от истоков до середины XIX столетия 12
1.1. Предыстория теории детерминантов 13
1.2. Накопление элементарных сведений и формирование основных понятий 17
1.3. Построение теории детерминантов и систематическая разработка для приложений 33
1.4. Расширение понятия детерминанта и области его применения 35
ГЛАВА II. Основание теории детерминантов Ж.Бине и О.Коши 44
П. 1. Теорема умножения детерминантов в работах Ж. Бине 44
П.2. О. Коши - формальный основатель теории детерминантов 50
Ф ГЛАВА III. Развитие теории детерминантов К.Г.Я. Якоби 66
III. 1. К.Г.Я. Якоби и его научная деятельность 66
Ш.2. Общие теоретические результаты
в статье «О построении и свойствах детерминантов» 69
Ш.З. Работа К.Г.Я. Якоби «О функциональных детерминантах» 89
Ш.4. Исследование свойств знакопеременных функций и прикладных задач с помощью детерминантов 109
ГЛАВА IV. Обзор последующих достижений в области детерминантов 127
IV. 1. Первые результаты А. Кэли в области определителей 127
IV.2. Развитие теории Дж. Сильвестром 142
IV.3. Приложения теории детерминантов и ее преподавание 154
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 160
ЛИТЕРАТУРА 162
- Предыстория теории детерминантов
- Теорема умножения детерминантов в работах Ж. Бине
- К.Г.Я. Якоби и его научная деятельность
Введение к работе
На всех этапах истории естествознания для решения практических задач успешно применялись разнообразные вычислительные средства, в частности, детерминанты - предшественники современных матриц. Одним из них были детерминанты. К их появлению привели поиски рациональных приемов решения систем линейных алгебраических уравнений. Основанное, как известно, О. Коши учение о детерминантах получило распространение лишь благодаря выдающемуся деятелю науки и просвещения К.Г.Я. Якоби. Прежде чем определители и операции с ними обрели привычный для нас вид, они прошли долгий путь становления и развития. Актуальность темы диссертационной работы обусловлена необходимостью изучения закономерностей процесса их развития. Кроме того, его исследование позволило бы избежать ошибки при оценке вклада ученых в рассматриваемой области знаний и тем самым представить объективную картину состояния учения.
В настоящее время изучению определителей отводится важное место в вузовском курсе линейной алгебры. Анализ истории преподавания теории детерминантов позволил выделить несколько подходов: классический (Э. Безу [6], Ж. Жергонн [133-134], Н.И. Лобачевский [59]), функциональный (О. Коши [56], К.Г. Якоби [144], О. Гессе [141]), «грассмановский» (Г. Грассман, К.Г. Валеев [20]), векторно-геометрический (A.M. Лопшиц [61], А.И. Узков [90]). Большинство авторов учебных пособий, изданных в середине XIX столетия, исходили из общего определения детерминанта как полилинейной функции нескольких переменных. Более удачным оказался классический подход, который соответствовал первоначальному назначению детерминантов и был обусловлен, по мнению многих ученых, развитием самой теории, связанной с решением системы линейных алгебраических уравнений. Два других имели геометрическую направленность. Они появились намного позднее учения о детерминантах.
Первые работы, затрагивающие вопросы истории детерминантов, появились во второй половине XIX в. В трудах М. Кантора [118], 3. Понтера [137] и других в некоторой степени освещен этап их формирования. Это же относится к книгам и очеркам по истории математики Н. Бурбаки [16], Г. Вилейт-
4 нера [24], А. Даан-Дальмедииэ и Ж. Пейффер [36] на русском языке. Сведения о некоторых открытиях в рассматриваемой области приводились и в отечественной литературе, в частности, СП Ярошенко [108], В. Шифф [99], АЛ Юшкевичем [101], ИГ. Баїпмашюй, ПС Смирновой [5], Т.Д. Тарановской [87]. Фрагменты истории, касающиеся введения понятия детерминанта в теории линейных уравнений, изучались Г.М. Гусак [35], А.П. Юшкевичем, И.Г. Башмаковой [103].
В работах А.Н. Колмогорова [54], К.А. Рыбникова [78], Б.В. Болгарского [13], Д.А. Граве [34], Ф. Клейна [53], Д.Я. Стройка [84], О. Беккера [112], Э.Т. Белла [112], А. Гитлемана [135], Г. Ханкеля [138], Г. Кроппа [159], Д.Е. Смита [182] получили освещение вопросы истории математики в целом и линейной алгебры в частности. Таким образом, можно утверждать, что история рассматриваемого учения излагалась в ходе развития самой линейной алгебры или какой-нибудь ее части, касающейся оценки конкретного вклада ученых.
В связи с отмеченным выше заслуживает внимания труд Т. Мьюира [165-169], опубликованный впервые в 1890 году. Автор собрал многочисленные публикации о детерминантах, имевшиеся к тому времени в Западной Европе, и представил их в хронологическом порядке. Им приведены на языке оригинала отрывки из статей многих ученых, внесших свой вклад в историю учения. Эти фрагменты касались понятий, обозначений, свойств детерминантов и являлись, по его мнению, важными для их развития. В целом же богатые фактами исследования ученого служат эмпирическим базисом для изучения истории детерминантов.
Однако воспроизведенный Мьюиром материал требует теоретического осмысления, потому что предложенный им подход не способствует формированию целостного представления о развитии детерминантов, а также созданию объективной оценке вклада ученых. При этом целесообразно не только уделить внимание хронологическому и кумулятивному обзору достижений, но и проследить изменение содержания. На наш взгляд, при рассмотрении истории детерминантов наряду с научными фактами должны учитываться законы развития математики, в частности, линейной алгебры. Кроме того, позднее опубликования монографии Мьюира стали известны новые сведения о детерминантах. Ввиду сказанного нами были проанализированы многие
5 первоисточники с учетом появившихся фактов для получения более полной картины формирования этого учения.
Необходимо отметить, что в историко-математических исследованиях перечисленных выше авторов не ставилась проблема изучения процесса развития определителей с единых позиций, соответствующих рассмотрению истории любой теории. К тому же не получили должного освещения малоизвестные, тем не менее важные, на наш взгляд, исторические факты, а также вопросы, касающиеся содержания названной теории на разных этапах ее развития. В частности, представляет интерес завершение формального построения учения о детерминантах в сочинениях О. Коши и Ж. Бине, благодаря чему началась систематическая разработка нового вычислительного аппарата. До сих пор не получила должной оценки многогранная деятельность К.Г.Я. Якоби в этой области. К тому же не выяснено значение созданных им трех основополагающих для теории трудов (1841) и многочисленных статей прикладного характера. Настоящая диссертационная работа в известной мере восполняет этот пробел.
Объектом предпринятого диссертационного исследования является учение о детерминантах. Предмет исследования - история его развития, в ходе которой изменялось содержание знания о детерминантах.
Цель работы - представление процесса развития теории детерминантов с момента их появления до середины XIX столетия в виде единой исторической картины и оценка на этом фоне научного вклада в теорию К.Г.Я. Якоби и других ученых. Для достижения цели необходимо было решить следующие задачи:
отыскать в первоисточниках и сопоставить факты, касающиеся изучаемой тематики,
проанализировать различные учебные пособия по теории детерминантов и линейной алгебре;
изучить материалы, относящиеся к накоплению элементарных сведений о детерминантах, в частности, соответствующие работы Г.А. Роте и К.Ф. Хаубера - представителей комбинаторной школы К.Ф. Гинденбурга;
познакомиться с результатами К.Ф. Гаусса, опубликованными в его «Арифметических исследованиях» и повлиявшими на построение теории детерминантов О. Коши;
реконструировать и проанализировать доказательство теоремы умножения двух детерминантов одинакового порядка, предложенное Ж. Бине, О. Коши; оценить их вклад в завершение формального построения учения;
изучить статьи К.Г.Я. Якоби «Ueber die Bildung und Eigenschaften der Determinanten», «Ueber die functionalen Determinanten» и «Ueber die alternier-enden Functionen und ihre Theilung durch das Product aus den Differenzen der Elemente» и опубликованные им прикладные работы с целью выяснения их места в исторической картине развития детерминантов;
дать краткий обзор результатов в рассматриваемой области, полученных к середине XIX в. А. Кэли, Дж. Сильвестром;
выделить основные этапы развития учения о детерминантах, определить его содержание на каждом из них, систематизировать предпосылки возникновения исходного понятия и первые задачи в теоретическом обосновании;
наметить направления в дальнейшем развитии теории детерминантов и ее приложений.
В основу диссертационного исследования положено изучение оригиналов на европейских языках. Их содержание подвергалось анализу с учетом литературы, не попавшей в поле зрения исследователей. В некоторых случаях в качестве хрестоматии приходилось пользоваться монографией Мьюира. При этом основной подход к изучению работ осуществлялся с современных историко-научных позиций, освещенных, в частности, в трудах К.А. Рыбникова [79], Н. Бурбаки [16], А.Л. Никифорова [68] и других ученых.
Методы, использованные при выполнении диссертации, включали, прежде всего, историко-научный анализ первоисточников; монографий, в которых излагались вопросы учения о детерминантах; а также очерков и статей, посвященных его становлению. Это позволило осуществить первичный эмпирический анализ собранных фактов.
Следующий этап исследования составил элементарно-теоретический анализ полученных результатов для их систематизации, выявления законо-
7 мерностей развития учения о детерминантах и поиска возможных их приложений. На базе историко-методологического анализа процесса развития учения о детерминантах были синтезированы фрагменты истории, касающиеся описания этапов формирования, а также освещен конкретный вклад в нее ряда ученых.
Научная новизна диссертационного исследования заключается в следующем:
Выделены основные этапы развития учения о детерминантах и определено содержание каждого из них.
В свете выделенных этапов изложен новый взгляд на факты, составляющие первоначальный этап формирования учения.
Представлено завершение формального построения теории детерминантов О. Коши и Ж. Бине.
Оценен многогранный вклад К.Г.Я. Якоби в развитие рассматриваемого учения.
Показаны направления дальнейшего его развития, а также способы изложения в процессе обучения.
На защиту выносятся следующие положения:
1. В развитии детерминантов выделены четыре основных этапа:
1. Предыстория определителей (II в. до н.э. - середина XVIII в.).
П. Накопление элементарных сведений, формирование основных понятий и символики (вторая половина XVIII в. - начало XIX в.).
Построение теории детерминантов и систематическая разработка их для приложений (1815-1841 гг.).
Расширение понятия детерминанта и области его применения (с 40-х годов XIX в.)
Первое изложение теоретических основ учения о детерминантах выполненное О. Коши завершило ее формирование (1812), подведя итог исследованиям предшественников. Оно включало предложенное им и Ж. Бине доказательство теоремы умножения двух определителей одинакового порядка, построенное на основе разных подходов, т.е. отличавшихся степенью общности, схемой умножения и назначением.
Вклад К.Г.Я. Якоби в развитие учения заключался в том, что он доступно изложил теорию алгебраических детерминантов, на ее основе впервые
8 определил функциональные - якобианы, изучал и систематизировал их свойства, а также выяснял возможные приложения. Как ученый и преподаватель, он в значительной степени способствовал распространению нового вычислительного средства среди учеников и коллег, благодаря чему были решены многие прикладные задачи того времени;
Практическая ценность диссертации видится в том, что ее результаты могут быть предложены для использования в исследовательской и преподавательской деятельности, касающейся освещения вопросов истории детерминантов и смежных теорий.
Результаты научного исследования нашли отражение в 15 публикациях общим объемом 1,5 п.л. (1997-2003). Основные положения диссертации докладывались автором на XVIII годичной конференции Санкт-Петербургского отделения Национального комитета по истории науки и техники «Санкт-Петербург как научный центр (к 275-летию Академии наук и 300-летию Санкт-Петербурга)» (Санкт-Петербург, ноябрь 1997), заседаниях семинара по истории и методологии математики и механики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова (Москва, декабрь 1999, ноябрь 2000), научно-практической конференции «Современные подходы в формировании будущих специалистов по физическим и математическим дисциплинам» Башкирского государственного педагогического института (Уфа, апрель 1999), заседании семинара по истории и методологии науки Оренбургского государственного педагогического университета (Оренбург, ОГПУ, март 2003), ежегодных методических семинарах Пермского государственного педагогического университета (Пермь, 1997-2003), регулярных заседаниях Уральского центра истории науки и образования, Пермского межвузовского семинара по истории и методологии науки (Пермь, ПТУ, 1997-2003), ежегодных научно-практических конференциях сотрудников Пермского государственного педагогического университета (1997-2003).
Работа насчитывает 175 страниц. Она состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка использованной литературы, содержащего 189 наименований, а также 6 иллюстраций и 7 таблиц.
Во введении обоснована актуальность выбранной темы, сформулированы цель и задачи исследования, дан обзор основной литературы, относя-
9 щейся к рассматриваемому вопросу, а также приведена структура работы и ее краткое содержание.
В главе I «Общая характеристика состояния теории детерминантов от истоков до середины XIX столетия» представлено их развитие в виде единой исторической картины. Предложен новый взгляд на факты, составляющие начальный этап формирования рассматриваемого учения. Выделены основные этапы истории детерминантов в свете общей периодизации математики, выполненной А.Н. Колмогоровым, и, в частности, периодизации алгебры, предпринятой И.Г. Башмаковой. Выяснены также предпосылки возникновения понятия детерминанта, а также причины, по которым некоторые из открытий остались неизвестными.
Правило решения систем линейных алгебраических уравнений, введенное Г. Крамером, получило широкое применение, в частности, в работах К.-Ф. Гинденбурга и его последователей Г. Роте и К.Ф. Хаубера. В диссертации раскрыта связь исследований последнего с учением о детерминантах. Нами также выделены результаты, полученные К.Ф. Гауссом и опубликованные в его «Арифметических исследованиях», которые оказали влияние на построение теории О. Коши. Здесь же представлен обзор основных понятий и обозначений, введенных разными исследователями на первых этапах истории учения, приведены образцы записи детерминантов. Введенные ими новшества в рассматриваемой области оформлены в виде таблицы.
Предыстория теории детерминантов
Предполагается, что у математических истоков учения об определителях лежат древнекитайские методы решения систем линейных уравнений, представленные в самом раннем сочинении «Математика в девяти книгах» [45] во II в. до н.э. В книге VII «Избыток - недостаток» [45; также 9; 63] решение специальной системы двух уравнений с двумя неизвестными сводилось к вычислению дробей с одинаковыми знаменателями, как получили бы по правилу Крамера. Для систем с большим числом уравнений существовал метод «фан-чэн», описанный в одноименной книге VIII [45; также 9]. Он назван так по счетной доске, на которой выкладывались палочками в виде таблицы коэффициенты при неизвестных в уравнениях и свободные члены. Использование матрицы, а также наличие специальных терминов для указания местоположения числа в ней, заменявших китайским математикам современную индексацию, позволило придать процессу решения систем абстрактный характер и рассматривать эти приемы как начало зарождающейся теории [напр., 9; 96]. Как отмечено Д. Смитом [напр., 182, ТЛІ], в XVII в. способ «фан-чэн» был усовершенствован и доведен до метода определителей. Эта заслуга принадлежит японскому математику Секи Шинсуке Кова. Япония долгое время находилась в полной изоляции от Запада, поэтому наука развивалась там своими, отличными от европейских, путями [напр., 32; 161-162]. Тем не менее, территориальное соседство с Китаем повлияло на ее школьное образование, в частности, математическое. Интересы С. Кова как ученого были весьма разносторонними. Талантливый педагог, он придавал огромное значение умению решать системы алгебраических уравнений. Об этом говорил тот факт, что по окончании руководимой им школы ученики получали пять дипломов различных степеней. Последний из них свидетельствовал о постижении некой проблемы Fucudai, включающей определители.
Труд о решении системы уравнений является одним из достижений Секи Кова. Описание метода появилось в 1683 г. за десять лет до открытия детерминантов Лейбницем. Историками математики Дж. Миками и Д. Смитом [162] описано решение системы двух уравнений второго порядка вида
ах2 + bx + с = 0, а х2+Ь х+с =0.
Исключение членов, содержащих х2, приводило к линейному уравнению
(a b-ab )x + (a c-ac )=0. (1.1)
Секи Кова умножал первое уравнение исходной системы на с , затем вычитал из него второе, умноженное на С. Полученное квадратное уравнение (ас - а с) х2 + (be - b c) х + (се - с с) = 0 после упрощения - понижения степени - становилось линейным относительно х (ae -a c)x + (bc -b c)=0. (1.2)
Процесс понижения порядка был назван им «tatamu», что в переводе означало складывание или скрещивание, которое можно рассматривать как специальную функцию, зависящую от коэффициентов системы, согласно которой исходная система уравнений второй степени сводилась к системе линейных уравнений (1.1) и (1.2). Таким образом, решение системы осуществлялось в два этапа: san и shi. Первый заключался в составлении коэффициентов результирующего уравнения по столбцам так, как образовали бы определители степени другого уравнения за счет исчезновения свободного члена и последующего упрощения, т.е. получали (1.2).
К сожалению, на Западе долгое время ученые не были знакомы с результатами математиков древнего Китая и Японии, поэтому открытие детерминантов произошло независимо от них. Эта заслуга принадлежит Готфриду Вильгельму Лейбницу. Он ввел новое понятие, использующее двойную числовую индексацию и обозначающее любую из заданных величин по положению в группе [подробнее об этом 58; 155; см. также 101; 137; 165]. Рассмотренный ученым вопрос об общем способе решения системы линейных уравнений остался вне поля зрения математиков того времени, в том числе, его научного оппонента - Исаака Ньютона, несмотря на то, что современная алгебра ведет начало от его «Всеобщей арифметики». А.П. Юшкевич писал об этом: «Было бы чрезвычайно затруднительно указать в алгебре XVIII века те области, в исследовании которых развитие открытий Ньютона не сыграло большой роли, за исключением разве лишь теории определителей и общей проблемы разрешимости уравнений в радикалах» [105, С.389].
Определители были переоткрыты спустя полсотни лет. Анализ истори-ко-математической литературы [5; 16; 25; 34; 35; 36; 38; 47; 78; 84; 101; 111; 112; 118; 137; 165] позволил отметить причины задержки развития учения о детерминантах, изначально связанного с теорией линейных уравнений. Они заключались, во-первых, в предвзятом мнении математиков о том, что относительно уравнений все возможное изучено; во-вторых, в открытии анализа бесконечно малых, вызвавшем бурный интерес к дифференциальному и интегральному исчислению. Вследствие этого алгебра некоторое время находилась в тени. Несмотря на гордость математики XVI в. - буквенную символику - с течением времени появилась необходимость записывать решения систем алгебраических уравнений посредством коэффициентов при неизвестных. Это давало возможность избегать длинных расчетов.
Первый важный труд по теории определителей 1750 г.- приложение к «Введению в анализ алгебраических кривых» [126] - принадлежал, как известно [напр., 26], Габриэлю Крамеру. С этой работы начались исследования нового понятия и его свойств. Для упрощения громоздких вычислений при исключении неизвестных из системы уравнений, составленных как условие принадлежности точек заданной кривой, он предложил новое правило. Как писал 3. Гюнтер [137], Крамер обратил внимание на то, что его способ уступает в некоторых случаях, например, когда числитель и знаменатель дроби одновременно равнялись нулю. Он также заметил, что новшество было введено без доказательства, а сам автор к своему изобретению относился лишь как к средству вычислений и не считал это зачатками новой теории.
Проблемой исключения неизвестных из системы линейных уравнений в зависимости от их коэффициентов, занимались также К. Маклорен (1748), несколько позже Г. Фонсене (1748), А. Клеро (1746), А. Зегнер (1760). Однако, их результаты, как отмечали историки науки [118; 165; также 101], по разным причинам практически не оказали никакого влияния на развитие теории
Теорема умножения детерминантов в работах Ж. Бине
Французский математик и астроном Жак Филипп Мари Бине родился в Ренне 2 февраля 1786 года. Восемнадцатилетним юношей поступил в Политехническую школу, по окончании которой в разные годы служил репетитором (помощником профессора) по начертательной геометрии, экзаменатором. Позднее он был назначен профессором механики и инспектором этой школы. С 1823 года ученый работал на кафедре астрономии в одном из высших учебных заведений Франции - Коллеж де Франс, где читал лекции по теории движения планет. Еще через несколько лет Бине был избран членом Парижской Академии наук на место, освободившееся после смерти С. Лакруа.
В 1843 году за результаты научных исследований по астрономии ученый получил премию в 15000 франков, назначенную Палатой депутатов [см. об этом 173]. О работах Ж. Бине в области определителей стало известно благодаря историко-математическим исследованиям 3. Гюнтера, который спустя более полувека назвал его имя в связи с рассматриваемой теорией [137]. Одним из важнейших достижений, полученных ученым, является доказательство теоремы умножения детерминантов, названных им термином П.-С. Лапласа «результантами». Еще ранее Ж.Л. Лагранжем были приведены частные случаи и примеры их умножения. Бине обобщил исследования своих предшественников [см. также 174; 175].
Впервые ученый обратился к определителям в ноябре 1811 года при решении одной из задач о нахождении сопряженных осей и момента инерции тела относительно осей вращения [113]. Полученные результаты были опубликованы через четыре года. Іім была использована формула алгебраической суммы моментов отдельных частей составного тела относительно той же оси вращения. Напомним, момент инерции является мерой инертности тела по отношению к вращательному движению и играет ту же роль, что и его масса при поступательном. Главные, т.е. взаимно перпендикулярные, оси инерции примечательны тем, что при вращении тела вокруг любой из них все силы, действующие на него, уравновешиваются. Вычисляя сумму моментов в прямоугольной системе координат, ученый записал вспомогательное выражение
50 Бине также изучал свойства симметрических определителей, прежде всего потому, что такой вид возник из рассмотрения квадратов детерминантов, точнее как их эквиваленты. Среди доказанных ученым свойств многие выполняются только для умножения по схеме «строка на строку». Результаты, полученные им, считаются важным расширением исследований Ж.Л. Ла-гранжа относительно умножения определителей второго и третьего порядков, в частности, возведения их в квадрат [напр., 137]. Ученый указал также на возможность применения формул в исследованиях, касающихся метода наименьших квадратов при вычислении центра гравитации, начатых Лагранжем, продолженных Лапласом и Гауссом [см. также 115; 116].
На основе анализа работ Бине мы выделяем своеобразие его подхода к изучению детерминантов. Во-первых, он рассматривал их как алгебраические суммы всевозможных произведений и образовывал их так, как мы составляли бы из элементов, расположенных в виде таблицы. Во-вторых, для него характерно умножение по схеме «строка на строку». В-третьих, при доказательстве теоремы умножения определители изначально являлись самостоятельным объектом. В-четвертых, Бине мог записать выражения для сумм любого порядка, включая и те, которые соответствовали бы прямоугольной матрице из элементов. В-пятых, следуя П.-С. Лапласу и Ж.Л. Лагранжу, он больше руководствовался желанием применить детерминанты к методу наименьших квадратов для решения ряда задач небесной механики.
Как отмечал 3. Гюнтер [137], исследования Ж. Бине, более общие, но громоздкие по сравнению с выкладками О. Коши, долгое время оставались в тени, тогда как присущие второму изящные выводы теорем и аналитический характер рассуждений с учетом всех законов композиции, сыграли немаловажную роль для дальнейшего развития теории определителей.
К.Г.Я. Якоби и его научная деятельность
«Приступая к изображению научной деятельности величайшего из математиков... мы живо представляем себе всю трудность задачи очертить, как следует, все значение произведений человека, который черпал могучей рукой почти во всех областях науки..., который всюду, куда он направлял свой творческий дух, выводил на свет часто глубоко скрытые истины, который, наконец, вводя в науку новые основательные мысли, возвышал математическое умозрение и при том более, чем в одном направлении,... более высокую степень» [43, С.25-26]. Эти слова были произнесены другом и коллегой К.Г.Я. Якоби - П.Г.Л. Дирихле - на заседании Берлинской Академии наук 1 июля 1852 г. по случаю его смерти.
Из многочисленных работ Якоби, имеющих отношение к рассматриваемому вопросу, три посвящены теоретическим основам детерминантов. Ко времени их опубликования автор уже был всемирно известным ученым. Написание статей было продиктовано объективной необходимостью более рацио-нального использования теории в качестве вычислительного инструмента математики. Они были призваны стать базой для решения прикладных задач, дать возможность глубже ознакомиться с определителями и облегчить трудоемкие подсчеты в исследованиях.
Карл Густав Якоб Якоби родился в Потсдаме 10 декабря 1804 г. в семье банкира. У него было два брата - Мориц (старший) и Эдуард, а также младшая сестра - Тереза. После окончания гимназии Карл учился в Берлинском университете (1821-1825). Там, постигая алгебру и анализ, он самостоятельно познакомился с трудами Л. Эйлера, Ж.Л. Лагранжа, A.M. Лежандра. Якоби не был удовлетворен простым собиранием знаний, поэтому всегда чувствовал потребность в глубоком понимании и изучении предмета, которым занимался. Отказ будущего ученого от филологии и выбор в пользу математики имел благоприятные последствия для науки. Сам он по этому поводу писал: «Громадный колосс, созданный трудами Эйлера, Лагранжа, Лапласа, требует огромнейшей силы и чрезвычайного напряжения мысли от всякого, кто только захочет проникнуть в его внутреннюю природу, а не ограничится одним поверхностным ознакомлением. Стремление стать выше этих мастеров, чтобы не опасаться каждую минуту быть ими подавленными, не дает ни покоя, ни отдыха, до тех пор, пока действительно не станешь выше и не будешь в состоянии одним взглядом окинуть все возведенное здание. Покойно работать над усовершенствованием его отдельных частей и по мере сил вести созидание далее возможно только при условии постижения его духа» [цит. по 43, С.32]. Литературная деятельность интересовала его не меньше математики, для ее продолжения представился удобный случай - публиковать статьи во вновь созданном научном журнале Крелля (1826).
Ученому принадлежат открытия во многих областях математики таких, как линейная алгебра, вариационное и интегральное исчисления. За свою диссертацию, посвященную вопросам разложения алгебраических дробей на элементарные, связанным с теорией эллиптических функций, он получил степень доктора философии (1825). Через год Якоби был назначен приват-доцентом Кенигсбергского университета, став через пять лет его профессором. Там ему довелось читать лекции по теории поверхностей и элементарной геометрии. Кроме разработок по теории эллиптических функций, он занимался также некоторыми открытыми им трансцендентными, в том числе, тета-функциями [см. также 39-41; 25-26].
Пользуясь своими приемами, Якоби решил много важных проблем аналитической и небесной механики. В связи с этим он изучал вопросы интегрирования дифференциальных уравнений, выявив связь между уравнениями динамики и уравнениями в частных производных первого порядка. Для их решения, а также для замены переменных в кратных интегралах важную роль, по его мнению, играли функциональные определители, позже названные Дж. Сильвестром и А. Кэли «якобианами» в честь научных заслуг ученого. Таким образом, им умело применялись новые тенденции анализа в сочетании с удивительным вычислительным искусством.
Якоби поддерживал научные связи со многими учеными: Н.И. Фуссом, Н.Д. Брашманом, М.В. Остроградским, И.И. Сомовым, Ф.Г. Миндингом благодаря своему брату Морицу - петербургскому академику, которого в России звали Борисом Семеновичем Якоби (1801-1874). В 30-40-е годы К.Г. Якоби руководил занятиями учеников М.В. Остроградского - И.Д. Соколова, О.М. Тихомандрицкого, М.Ф. Спасского, Е.И. Бейера, Х.З. Слонимского [см. об этом 23]. В письме к брату [154] он очень хорошо отзывался о своих новых подопечных.
Неотъемлемой чертой разностороннего характера Якоби был педагогический талант и стремление во что бы то ни стало научить молодых ученых всему тому, что знал сам. «Влияние, оказанное Якоби на успехи науки, представится в неполном виде, - писал о нем Дирихле, - если не упомянуть об его деятельности как публичного преподавателя. Его делом не была передача готового и уже переданного ранее. Его лекции вращались во всем своем объеме вне области учебников и охватывали только те части науки, в которых он сам являлся творцом, вследствие чего лекции выходили у него полными разнообразия» [цит. по 43, С.43-44]. Он отмечал также, что результаты необыкновенного способа преподавания, способного находиться только в распоряжении творческого духа, были по истине необычайными.
Якоби в сотрудничестве с коллегой, Ф. Нейманом, основал научный семинар - «Кенигсбергскую школу математиков». Школе принадлежит существенная заслуга в том, что большое количество молодых математиков, его учеников, распространяли и обогащали науку по многим направлениям.
Научная, литературная, педагогическая деятельность Якоби была успешной и плодотворной, однако, несмотря на это, он оставался недовольным своими результатами, жалуясь на злой рок, тяготевший над его последними исследованиями, прерывавшимся из-за болезней или семейных несчастий. Сам он говорил: «Трудна работа, которую я совершил, и трудна работа, которой я занят... упорное, терзающее мозг размышление требует более сил, чем самое настойчивое прилежание. Поэтому, если постоянным упражнением в размышлении я приобрел в нем некоторую силу, то пусть не думают, что мне это досталось легко помощью какого-либо счастливого природного дара» [цит. по 43, С.45].
До появления работ ученого в области детерминантов сведения о них уже были известны, но успешно применять их в качестве вычислительного инструмента умели немногие математики. Начиная с 1827 г., Якоби использовал определители для вычислений в задачах прикладного характера. Все его научные исследования публиковались на страницах журнала Крелля по чистой и прикладной математике и посвящались задачам аналитической геометрии, преобразованиям кратных интегралов путем замены переменных, методу Пфаффа интегрирования систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с двумя и тремя неизвестными, линейным преобразованиям переменных, разложению алгебраических дробей на элементарные, решению систем линейных уравнений.
Вслед за Коши Якоби стал употреблять термин «детерминант», что сыграло немаловажную роль в дальнейшей судьбе этого понятия. Все необходимые для теоретического изучения сведения относительно определителей как известные ему по опубликованным материалам предшественников, так и полученные им самостоятельно были изложены в трех статьях: «О построении и свойствах детерминантов», «О функциональных детерминантах», «О знакопеременных функциях и их разложении на произведение из разностей своих элементов» (1841). Автор уделял детерминантам огромное внимание, отмечая их значение для развития математики. В 40-е годы XIX в. после выхода в свет названных работ Якоби они получили быстрое распространение.
