Содержание к диссертации
ВВЕДЕНИЕ 4
ГЛАВА I. ИТОГИ РАЗВИТИЯ ТЕОРИИ ОШКШВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . 32
ГЛАВА 2. ПРОБЛЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИВСТНЗЕНООТИ . 38
X. Работы Кош 38
2. Развитие метода мажорант . 47
3. Метод Кош-Липшица . 49
4. Метод последовательных приближений . 52
ГЛАВА 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ" В КВАДРАТУРАХ . 57
1. Лиувилль и уравнение Риккетж . 57
2. Новые классы интегрируемых уравнений . 63
3. Софус Ли и проблема интегрируемости дифференциальных уравнений в квадратурах . 74
4. Особые решения 83
ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 9I
1. Общая теория . 92
2. Краевые задачи. Теория Штурма-Лиувилля . Ю4
3. Решение уравнений в виде рядов ж специальные функции 115
ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДИШІІРЕНЦИАЛЬШХ УРАВНЕНИЙ 133
1. Начало теории Кош. Работы Брно и Буке , . 133
2. Б.Риман 135
3. Л.Фукс . 140
4. А.Пуанкаре 145
5. Нелинейные уравнения 149
6. Исследования русских математиков . 150
7. П.Пенлеве 152
ГЛАВА 6. КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОГИЯ ДИФФЗРШ ПИЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ 156
1. Качественная теория Пуанкаре . 156
2. Теория устойчивости Ляпунова . 174
3. Дальнейшее развитие качественной теории дифференпдальнык: уравнений . 188
ГЛАВА 7. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Г90
1. Основные этапы исследований . ^®
2. Формально-аналитический период ™^
3. Теория Лагранжа . 201
4. Теория Якоби 213
5. Теория Ли 221
ЗАКЛЮЧЕНИЕ . 232
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 234
Введение к работе
Общие соображения о теш исследования ж ее актуальности
Еще в 1900 году на Втором международном конгрессе математиков в Париже (том самом, на котором Давид Гильберт выдвинул свои двадцать три знаменитые проблемы) вддашщйоя немецкий историк математики иностранный член- корреспондент Российской академии наук Морйц Кантор (1829-1920) указал, как на одно из самых важных направлений исследований, на историю отдельных математических ДИСЦИПЛИН. Ибо именно они являются важнейшими структурными единицами математики и в их развитии и взаимодействии находит свое выражение жизнь математики, как целого.
Как бы в ответ на призыв Кантора, в цервой половине ве- ка появляется целый ряд замечательных работ такого рода. Б качестве примеров назовем трехтомную историю теории чисел ЛДиксона, опубликованную в I919-1927 гг. ]_257 L сочинения по историй геометрии Д»Кулиджа (1940 1235]} к Дж, Лориа (1921 435], 1931 _438])t арифмеичш ЛЛарпинокого (1925 348aj) f статистических методов Г.Уокера (1929 _559). Из русских работ укажем на книги В.Ф.Кагана по истории исследований оснований геометрии (1907 [74]) и А.В.Васильева о целом числе (1919 [2о]).
После второй мирово! войны интенсивность таких исследований начинает возрастать. Особенного размаха они достигают в последние два десятилетия. Здесь их список становится особо внушительным. MB воздержимся от его воспроизведения.
Отметим только, что видное место в нем занимают работы советских авторов. Обратим также внимание на то обстоятельство, что в последние десятилетия чрезвычайно возрос удельный вес исследований, посвященных истории математического анализа, в частности, такой важной его ветви как теория дифференциальных уравнений, обыкновенных и с частными производными.
Актуальность исследований по истории теории дифференциальных уравнений объясняется, в первую очередь, той важной ролью, которую они играют в современной математике и ее приложениях, прежде всего, конечно, в естественнонаучных. Знание истории - представление о генезисе теории, о путях ее развития, об источниках ее понятий и задач, о роли практики (мате-матической, естественнонаучной и технической) в ее истории, о ее взаимодействии с другими разделами математики и теоретическим естествознанием, о ее месте в математике, об изменениях в ее "идеологии" в связи с кардинальными перестройками всей математики и об обратном ее влиянии на остальную математику - помогают правильно понять настоящее положение дел, сознательно подходить к оценке новейших тенденций в ее разви -тии. Исторический анализ представляется тем более важным, что теория дифференциальных уравнений переживает в наши дни, судя во всему, период кардинальных перемен. Если двадцать лет тому назад такие вопросы, как, например, интегрирование уравнений в квадратурах, теоретико-групповой подход к уравнениям -находились на обочине ее основного пути, ибо "точно" интегрируемые уравнения рассматривались как исключительная редкость в океане мыслимых уравнений, то теперь они вновь выходят на передний план - развитие современной физики показало, что именно эти редкие случаи и представляют наибольший физический интерес. Если двадцать лет тому назад построение общей гео метрической теории дифференциальных уравнений с частными производными рассматривалась как задача бесперспективная и похороненная в прошлом веке (неизвестно почему еще продолжающая, однако, привлекать внимание отдельных крупных ученых!), то успехи, достигнутые в послевоенные года в ряде разделов математики, в первую очередь, в алгебраической топологии, дифференциальной геометрии и коммутативной алгебре, развитие их языка и упрощение соответствующего аппарата предоставили в распоряжение общей теории более выразительные возможности Появились надежды на то, что общая теория уравнений с частными производными будет построена.
Столь существенные перемены, намечающиеся в самой направленности теории дифференциальных уравнений, обыкновенных и с частными производными, требуют осмысления, которое возможно лишь в историческом контексте.
Настоящая работа посвящена развитию теории обыкновенных дифференциальных уравнений в XIX веке - теме, серьезная разработка которой только начинается. Несколько ниже мы точнее очертим объект нашего исследования, укажем его цели и выскажем некоторые методологические соображения. Но прежде дадим обзор имеющейся историко-математической литературы по теории дифференциальных уравнений в ХУШ-Ш вв.
