Введение к работе
Актуальность темы. Со времени своего зарождения на рубеже ЭТ1-ШПвекоо и до нашего времени теория обыкновенных диффе-шшальных уравнений играет вакнуи роль в процессе решения иогочисленных проблем, которые естествознание и техника ста-)ят перед математическим анализом. Линейные дифференциальные 'равнения привлекли к себе внимание математиков еще в конце !VII столетия-, а уже в первой половине XVIII века они были «делены в отдельный класс. Спектр проблем, разреааемых с по-ющью линейных уравнений, столь широк, что интерес к ним не юлабевает и по сей день. На протяжении двух столетий - XVIII і XIX - теория линейных уравнений интенсивно развивалась: с ідной стороны, под воздействием все возрастающих запросов практики, побуждающих математиков к поиску методов решения сонкретшх задач ( задача ЛаламОера о движении нити, нагруженной несколькими грузами, задача л". Эйлера о распростра-іении пульсаций в упругой среде и т.д.); с другой сторони, следствие решения своих внутренних проблем. Тоория линейных дафференшальшн уравнений активно взаимодействовала с различим разделами математики (в частности с линейной алгеброй), шрпая из них идеи, следуя который пополнялась новыми результатами, и, в свою очередь, обогащая другие разделы математики звоими идеями.
Актуальность исследования по истории развития теории тинейшх обыкновенных дифференциальных уравнений определяется грежде всего значением, которое лішейнне уравнения шеют в латемятике и ее приложениях.
Анализ историко-матемэтической литературы показывает, что з начала XIX века и по наша время было опубликовано большое юличество исследований, освещающих с разной степенно точности различные аспекты истории развития теории линейных дійСференци-альных уравнений в действительной области. Однако до сих пор ш прослежен путь ее развития в целом.
Целью работы является воссоздание целостной картшш развития общей теории линейных обыкновенных дифференциальных уравнений в действительной области в XVIII - XIX веках. В связи с этим были поставлены следующие задачи: изучить период зарождения теории линейных обыкновенных дифференциальных уравнений; исследовать методы интегрирования линейных уравнений и систем линейных уравнений в квадратурах, разработанные в XVIII веке, и дать оценку их значимости как с позиции современников, так и с точки зрения современного нам уровня знаний; показать становление основных проблем общей теории дифференциальных уравнений в трудах ведущих математиков XVIII века; определить и уточнить авторскую принадлежность ряда терминов, понятий и теорем; проследить историю формирования фундаментальных понятий теории линейных, дифференциальных уравнений (понятий "линейная зависимость" и "линейная независимость" частных решений линейных однородных уравнений); исследовать процесс качественного изменения понятия "интегрирование дифференциального уравнения", а именно: переход от построения общего решения в квадратурах к решению задачи Кош и изучению аналитических свойств функции,, определяемой дифференциальным уравнением; рассмотреть результаты, полученные в общей теории линейных дифференциальных уравнений в XIX веке, индуцированные аналогичными результатами теории алгебраических уравнений; изучить решение' проблемы интегрирования систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, показать ее связь с достижениями в разработке теории систем линейных алгебраических уравнений в XIX веке, теорией определителей, матриц и тесно связанной с ними теорией билинейных форм; выявить приемственность идей в работах ученых XVIII и ПХ веков по теории линейных дифференциальных уравнений; рассмотреть теорию Э.Пикара и Э.Вессио как наиболее ванное достижение в разработке аналогии между алгебраическими и линейными дифференциальными уравнениями, разрешившее проблему интегрируемости в квадратурах линейных дифференциальных
уравпений.
В цели настоящей работы не входило рассмотрение следующих вопросов теории линейных дифференциальных уравнений: символических методов решения линейных дифференциальных уравнений; решения линейных уравнений в виде рядов и специальных функций; исслэдования методов решения линейных уравнении второго порядка; краевых задач линейных дифференциальных уравнений.
Методы исследования. В соответствии с поставленными целями в работе использовались методы историко-научнаго и математического анализа.
Работа написана на основе изучения оригинальных математических источников (включая малоизвестные и неизвестные историкам математики), большей частью не переведенных на русский язык.
На защиту выносятся следующие положения:
-
Определено авторство термина "линейное уравнение".
-
Выявлены истоки одной из самых плодотворных идей теории линейных дифференциальных уравнений - идеи интегрирующего множителя.
-
Проведено полное исследование возникновения и развития метода постоянных множителей Даламбера. Дана оценка метода Даламбера и метода интегрирования линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэф&щиентахи Эйлера, исходя из современного уровня знаний и с точки зрения математиков XVIII века. При этом обнаружено характерное для первой половины XVIII столетия негативное отношение к алгебраическому подходу решения дифференциальных уравнений, включая и самого его основателя Эйлера.
-
Обнаружен новый метод интегрирования линейных неоднородных дифференциальных уравнений произвольного порядка с постоянными коэффициентами, разработанный Лагранжем, не упоминающийся ни в современной математической литературе, ни в историко-математичеоких исследованиях.
5. Выявлены истоки идеи метода вариации постоянных
Лагранжа, и причини, побудившие Лагранка к его созданию.
-
Установлено, что центральные теоремы общей теории линейных дифференциальных уравнений - теоремы о структуре общего решения линейного однородного и линейного неоднородного уравнений были впервые сформулированы и доказаны Даламбером.
-
Прослежена история формирования понятий "линейная зависимость" и "линейная независимость" частных решений линейных однородных дифференциальных уравнений в трудах Дэламбера, Брас-сина, Кристоффеля. Установлено, что первая попытка определить существо различий между частными решениями, используемыми для построения общего решения, принадлежит Даламберу, а современный критерий был сформулирован и доказан Э.Б.Кристоффелем.
-
Исследовано решение проблемы интегрирования систем линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Выяснено, что проблема полностью разрешена в трудах Вейерштрасса и Жордана. Попутно выявлен следующий факт: Вейерштрасс не был первым, кто ввел в рассмотрение и оцепил роль множителей, названных им "элементарными делителями". За 17 лет до него это сделал Д.Д.Сильвестр.
9. Выявлена приемственность идей в трудах Эйлера,
Даламббра, Лагранка, Якоби. Показано, как реализация идеи
интегрирующего множителя различными учеными привела к созданию
эффективных методов интегрирования линейных дифференциаль
ных уравнений.
Научная новизна диссертационного исследования определяется следующим. Воссоздана целостная картина развития обще? теории линейных обыкновенных дифференциальных уравнений е действительной области ( в рамках поставленных задач ). Решеш проблема авторской принадлежности важнейших теорем общей теории линейных уравнений: теоремы о структуре общего решенш линейного однородного дифференциального уравнения и теоремы о структуре общего решения линейного неоднородной дифференциального уравнения. Изучена проблема определент
существа различий" между частными решениями однородного уравнения, которые используются для построения общего решения, в трудах крупнейших математиков XVIII века и установлено, что первая попытка определения их сути принадлежит Даламберу. Показано, что современное толкование этих различий было дано Кристоффелем, который ввел термины "линейная зависимость", "линейная независимость" и впервые сформулировал и доказал критерий линейной зависимости и линейной независимости частных решений линейного однородного дифференциального уравнения п-го порядка.
Практическая ценность исследования. Результаты диссертации могут быть использованы:
в дальнейших исследованиях в облвсти истории дифференциальных уравнений;
при разработке курсов истории математики для студентов университетов и педагогических институтов;
в учебных курсах теории дифференциальных уравнений.
Апробация работы. Содержание и основные результаты диссертационного исследования докладывались на 26-30-я научных конференциях аспирантов и молодых специалистов по истории естествознания и техники в институте истории естествознания и техники АН СССР (Москва, I983-I9B7 гг.); на Всероссийской конференции, посвященной 40-летию победы в Великой Отечественной войне, проводившейся АН СССР (Ленинград, 1935 г.); на Всесоюзной научно-методической конференции "Актуальные вопросы преподавания математического анализа в вузах" (Ленинград, 1985 г.); на ежегодных научных конференциях "Герценовские чтения" в Ленинградском педагогическом институте им. А.И. Герцена (Ленинград, 1983-1937гг.); на семинаре по истории математики при Институте математики АН УССР ( Киев, 1987г.).
Объем и структура работы. Работа состоит из введения, трех глав и заключения, изложенных на 160 страницах, в также из списка литературы, включающего 119 наименований.
