Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Творчество Л.Эйлера по диофантову анализу 17
I. Неопределенные уравнения к началу ХУІІІ века ... 17
2. Леонард Эйлер и его исследования по диофантову анализу. 29
3. Неопределенный анализ в "Алгебре" Эйлера.. 34
4. Решение неопределенных уравнений 3-ей и 4-ой степеней в статьях Эйлера... 54
5. Двойные равенства у Эйлера 63
Глава II.Неопреде ленные уравнения в поздних работах и в рукописях Эйлера. 70
I. Поздние работы Эйлера /решение неопределенных уравнений 3-ей и 4-ой степеней в работах 1780 г. 70
2. Поздние работы Эйлера /новый метод решения уравнений и Методы касательной, секущей и парабол в рукописях Эйлера. - 1
Глава III. Развитие арифметики алгебраических кривых после Эйлера /по работам Лагранжа, Кожи:, Люка 122
I. Метод касательной в статье Лагранжа "О некоторых проблемах анализа Диофанта" 123
2. Работа Коши "О решении некоторых неопределенных уравнений в целых числах" *26
3. Введение геометрической интерпретации в диофантов анализ.
4. Заключительные замечания к третьей главе. 143
Заключение 148
Литература 156
- Неопределенные уравнения к началу ХУІІІ века
- Поздние работы Эйлера /решение неопределенных уравнений 3-ей и 4-ой степеней в работах 1780 г.
- Метод касательной в статье Лагранжа "О некоторых проблемах анализа Диофанта"
Неопределенные уравнения к началу ХУІІІ века
Начало науке о неопределенных уравнениях было положено Диофантом Александрийским /III в./. Его основное произведение "Арифметика" [IOj представляло собой сборник задач, сводившихся к решению неопределенных уравнений в рациональных числах. Как показано в [4], Диофант применял для решения целого ряда конкретных неопределенных уравнений вполне общие методы. В XVI веке с "Арифметикой" познакомились европейские ученые. После усвоения методов "Арифметики" /Бомбелли, Виет/ подход Диофанта на долгое время /вплоть до XLX в./ становится определяющим в исследованиях по диофантову анализу. Выдающимся последователем Диофанта был П.Ферма /I60I-I665 гг./. Его знаменитые замечания на полях "Арифметики" показывают, что он хорошо изучил Диофанта и глубоко усвоил его методы, применив их к решению новых задач. В сочинении " Зме-гСІим. novu m ,., t написанном Ж. де Билли по письмам Ферма, впервые были даны общие словесные формулировки восходящих к Диофанту методов решения неопределенных уравнений 3-ей и 4-ой степеней, а также двойных равенств.
В диофантовом анализе начала ХУІІІ в. полностью господствовала традиция Диофанта. Диофантов анализ представлялся по существу как собрание различных задач, сводящихся к решению систем неопределенных уравнений. Эти задачи формулировались обычно как задачи о треугольниках или числах /например: найти такие два рациональных числа, чтобы их сумма была квадратом рационального числа, а сумма их квадратов - биквадратом; та же задача в геометрической формулировке: найти прямоугольный треугольник, гипотенуза которого и сумма катетов являются квадратами/. Характерной чертой диофантова анализа того времени был чисто алгебраический подход к трактовке неопределенных уравнений. В зависимости от задачи подбиралась замена переменных, накладывались дополнительные условия, упрощающие задачу, осуществлялись подстановки, которые приводили бы к рациональному решению. Каждая задача решалась своим путем, однако для решения неопределенных уравнений 2-ой - 4-ой степеней и двойных равенств могли быть использованы общие методы, тоже алгебраического характера, разработанные Диофантом и Ферма. Эти методы составляли: основную теоретическую часть диофантова анализа начала ХУІІІ века. Рассмотрим эти методы подробнее. Решение неопределенных уравнений 2-ой степени: с двумя неизвестными?
Тщательный анализ приемов решения различных неопределенных уравнений 2-ой степени в "Арифметике" [Ю], проведенный И.Г. Баш-маковой [I, 4J, позволил сделать вывод о том, что Диофант владел общим методом нахождения всех рациональных решений уравнения где - многочлен 2-ой степени от X и Ц. с рациональными коэффициентами, при. условии, что известно одно его рациональное решение.
Задача решения уравнения (і) в рациональных числах является частью более общей задачи, об исследовании: множества рациональных точек плоской кривой рода 0, поскольку уравнение (I) задает в декартовых координатах Х & кривую второго порядка рода 0. Как известно, кривые рода 0, обладающие хотя бы одной неособой рациональной точкой,униформизируемы в рациональных функциях над полем (ц , т.е. координаты всех рациональных точек такой кривой могут быть представлены в виде рациональных функций параметра. Общий метод получения этого представления для кривой 2-го порядка, если его сформулировать геометрически, состоит в проведении пучка прямых с рациональными, угловыми коэффициентами- через известную рациональную точку (х0 и. ) кривой и рассмотрении точек пересечения кривой и прямых этого пучка /см. [81]/. К этому методу можно придти и сформулировать его и аналитически. Приемы решения неопределенных уравнений вида (І) у Диофанта представляют сосбой просто случаи применения этого метода в его аналитической формулировке.
Наиболее часто в "Арифметике" встречаются неопределенные уравнения второй степени вида
Нетрудно проверить, что в обоих случаях в итоге получается линейное уравнение относительно ОС- , дающее выражение для X как рациональной функции параметра К . Уточним, что у Диофанта вместо параметра К фигурировали конкретные числа, которые играли роль произвольных числовых параметров /см. [I, 4].
Поздние работы Эйлера /решение неопределенных уравнений 3-ей и 4-ой степеней в работах 1780 г.
Среди множества работ Эйлера по диофантову анализу особое место занимает ряд статей [49-53, 56, 57], которые были представлены в Петербургскую Академию наук в 1780 году и почти все увидели свет в 1830 году /работа [49] была напечатана в 1824 г., а [50] - в 1826 г./. В работе [50] этого цикла при: решении одной задачи Ферма Эйлер приходит к новому приему решения неопределенных уравнений 3-ей и 4-ой степеней, который потом использует для решения различных частных задач в [49-53]. Через некоторое время он излагает в [56] этот прием в общем виде, а в [57] на его основе получает новые методы решения уравнений з и Н ( it" Как мы уже отмечали в главе I, именно в [57] содержатся, по-видимому, наиболее значительные результаты Эйлера в области арифметики эллиптических кривых. Более того, по нашему мнению, работа [57] является вообще одной из самых интересных работ, созданных в период алгебраической трактовки: задач диофантова анализа. В ней с помощью элементарных алгебраических соображений были получены весьма непростые результаты о решении неопределенных уравнений 3-ей и 4-ой степеней. Так в 2 настоящей главы мы покажем, что в [57] Эйлер пришел к методу секущей в ситуации, когда обе известные рациональные точки конечны. Но, пожалуй, самым удивительным является то, что Эйлер алгебраическим путем пришел и к итерированию метода секущей Ё2, 57]. С помощью разработанной им процедуры можно было чисто алгебраически получать элементы подгруппы группы всех рациональных точек кривой третьего порядка, порожденной одной рациональной точкой! Мы также покажем это в 2.
Отметим, что в историко-математической литературе исследования Эйлера [49-53, 56, 57] были проанализированы недостаточно. Кроме беглых упоминаний об этих работах или пересказа их содержания, имеются только две статьи - Л.Шлезингера [80] и И.Э.Гофмана [70] - в которых довольно подробно рассмотрены методы Эйлера из [57]. Однако, как мы покажем в 2, смысл и значение этих методов не были выяснены в [80] и [70] до конца. Тем более никто из историков математики не анализировал всех работ [49-53, 56, 57] в совокупности. Поэтому мы ставили своей целью систематически рассмотреть эти работы в целом, чтобы выяснить ход мысли Эйлера, приведший его к новым результатам. Кроме того, нашей целью было выяснить смысл этих результатов с современной точки зрения. В настоящем параграфе мы рассмотрим работы [49-53, 56], а в 2 - работу [57].
Прежде всего отметим, что толчком к рассматриваемым исследованиям Эйлера послужила конкретная теоретико-числовая задача, поставленная Ферма, о разыскании двух целых чисел, сумма которых была бы квадратом, а сумма квадратов которых - биквадратом. Если обозначить через и искомые числа, то задачу Ферма можно представить в виде
Ферма утверждал, что наименьшее решение в целых положительных числах будет Х= 4565486027761, = I06I652293520 /см. [69] /. Эйлер рассматривал эту задачу в "Алгебре"[28, с.539], а затем в статье [41], представленной в Петербургскую Академию наук в 1773 году, но опубликованной только в 1783 г.. В [28] Эйлер сводил задачу к неопределенному уравнению 4-ой степени, для решения- которого применял метод парабол. В [4l] он разработал метод получения последовательности рациональных решений (I), основанный на методе спуска. В 1777 г. вышло в свет исследование Лагранжа С 31, построившего оригинальный алгоритм последовательного получения всех целых решений системы (I), также основанный на методе спуска. Там же он доказал, что числа,указанные Ферма, в самом деле дают наименьшее целое положительное решение системы (I). Возможно, появление работы [ 3] послужило причиной того, что в 1780 г. Эйлер снова обращается к задаче Ферма /во всяком случае, в его статьях встречаются упоминания о работе Лагранжа/. Вначале Эйлер пишет статью №] , в которой повторяет решение системы (I), данное им в "Алгебре", и затем обобщает задачу на случай трех, четырех и т. д. чисел. Через три недели он представляет, в Академию наук еще одну работу " /"Решение задачи Ферма о двух числах, сумма которых была бы квадратом, а сумма квадратов которых - биквадратом..."/ t$0j , На этот раз, исследуя систему (I), Эйлер и приходит к новому приему решения неопределенных уравнений 3-ей и 4-ой степеней.
Кратко охарактеризуем содержание работы CS"0] и последовавших за ней работ [ 9,51] . В [5"0} Эйлер сводит решение системы (I) к решению уравнения где -, 3 - неизвестные целые числа /на том, как он это делает, мы останавливаться не будем/. Для получения целых решений (2) он развивает новый метод, на самом деле применимый к любому уравнению вида где а.
Метод касательной в статье Лагранжа "О некоторых проблемах анализа Диофанта"
В 1777 г., еще при жизни Эйлера, Ж.Л.Лагранж сделал важный для арифметики; алгебраических кривых шаг: он перешел к рассмотрению общего уравнения 3-ей степени с двумя неизвестными. В работе [9-3] он изложил общий метод нахождения нового рационального решения уравнения если одно его рациональное решение ос- рэ Уг Ъ известно.
Рассмотрим, в чем состоял метод Лагранжа. Прежде всего он:полагает в (I) To есть заменой (2) он добивается того, что свободный член в уравнении обращается в нуль. Лагранж замечает, что коэффициенты D ,
С , ..., L можно найти, подставив формулы (2) в (I) и раскрыв скобки, но еще легче их найти "с помощью дифференциального метода", после чего приводит формулы
Влесто обозначений Лагранжа мы используем современные обозначения частных производных/.
Чтобы получить из уравнения (3) рациональные значения для LL и Лагранж полагает откуда
Таким образом, Лагранж первый отказался от узкоалгебраического подхода, связывающего метод решения уравнения 3-ей степени прежде всего с видом уравнения. В своем выводе метода касательной оа основывался не на виде многочлена о (ос?IL), который может быть любым, а на общих свойствах многочлена и на факте существования рационального решения уравнения (I). Заметим, что Лагранж по существу использует те же идеи, которые лежат в основе методов Диофанта-Шерма и которые в действительности применимы к общему уравнению 3-ей степени. Только если- в методах Диофанта-Ферма для случая, когда известно одно рациональное решение (з о » исходное уравнение вначале преобразуется с помощью подстановки X = = ос + "Ь и затем в преобразованном уравнении осуществляется под-становка u, = y 0+cLt или VL- &,+ o ,-f-j3f t , то Лагранж сразу делает в уравнении (I) подстановку (2), в которой затем полагает 11= к t . Коэффициенты , о4, и Д и коэффициент dK определяются из одного и того же условия, чтобы в результате получилось линейное уравнение относительно t . Другими словами, Лагранж получил метод касательной, выделив из методов Дио-фанта-Ферма общую идею и применив ее к уравнению (I). Об этом пишет и сам Лагранж. Приступая к изложению метода, он замечает, что собирается показать, "как можно упростить и обобщить в некоторых отношениях обычный метод для равенств, которые превосходят вторую степень, а именно тот, в котором, зная одно решение, можно находить много других". Подчеркнем, что хотя сам подход оставался по сути, алгебраическим, Лагранж использовал для получения формул и средства математического анализа. любопытно, что Зйлер никак не отреагировал на изложенный Ла-гранжем метод решения (І). В [50] он упомянул работу [?3] только в связи с содержанием ее первой, большей части, в которой дается полное решение задачи Ферма, сводящейся к системе метод касательной Лагранж излагает во второй половине работы/. Как мы уже отмечали во 2-ой главе диссертации, именно это рассмотрение Лагранжем задачи Ферма, по-видимому, послужило толчком к появлению цикла работ Эйлера
Итак, исследование Г З] знаменовало собой переход к новому уровню общности в арифметике алгебраических кривых, когда начинают рассматриваться методы для общего уравнения данной степени /с несколькими неизвестными/. После Лагранжа такое рассмотрение было дано Коши в работе [2-5] , содержащей одну из первых попыток построения общей теории, неопределенных уравнений. Мы проанализируем эту работу в следующем параграфе.
