Содержание к диссертации
Введение с. 4
Глава I. ТЕОРИЯ КВАТЕРНИОНОВ В ТРУДАХ ГАМИЛЬТОНА И ТЭТА I.I. Предыстория исчисления кватернионов с.18 1.2. Обоснование комплексных чисел в трудах
Гамильтона - теория "числовых пар";
создание теории "триплетов", переход к
кватернионам с.24
1.3. Элементы векторного анализа в
исчислении кватернионов с.33
1.4. Обсуждение вопроса о квадрате вектора с.46 1.5. Линейные операторы в теории кватернионов с.49 1.6. Методы теории кватернионов в трудах
Гамильтона с.55
1.7. Теория кватернионов в трудах Тэта и
приложения к физике с.59
Глава П. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ В "ЛИНЕЙНОМ
УЧЕНИИ О ПРОТЯЖЕННОСТИ" ГРАССМАНА
П.І. Общие замечания с.75
П.2. Алгебра точек с
П.З. Векторное исчисление как часть алгебры
точек с
Глава Ш. СОЗДАНИЕ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА
Ш.І. Система векторного анализа в трудах
Максвелла с
Ш.2. Первое изложение векторного анализа -
"Элементы векторного анализа" Гиббса с
Ш.З. Теория диад Гиббса с
Ш.4. Векторная система Хевисайда с
Глава ІУ. ОТДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА ОТ
ТЕОРИИ КВАТЕРНИОНОВ с
Заключение с
Литература с
Введение к работе
"Геометрическое исчисление" или исчисление направленных отрезков вошло в математику вместе с геометрической интерпретацией комплексных чисел. В работах конца ХУШ - начала XIX вв., посвященных этому вопросу, были рассмотрены операции с направленными отрезками, лежащими в одной плоскости, и таким образом построена алгебра компланарных векторов. В некоторых из этих работ предпринимались естественные попытки развить исчисление, оперирующее с направленными отрезками в пространстве. К ним относятся книги, статьи и заметки К.Вес-селя, Л.Карно, Ж.Аргана, М.Бюэ, Дж.Уоррена, Дж.Беллавитиса, К.Гаусса.
В алгебре необходимость обосновать действия с комплексными числами явилась причиной пересмотра основных понятий: алгебраического числа, алгебраической операции - и сыграла значительную роль в формировании новой алгебры /и в частности, теории алгебр/ и аксиоматического метода в алгебре. Именно к этому направлению принадлежали работы У.Р.Гамильтона 30-х годов XIX века, в том числе важная для векторного исчисления работа ТЛеои/ f ^оп/-и^а^е 7tt/7czie>fi4 - ог -^фе-ьъсис &>uf>ck$ ; rriftu а, г-^г^и^^ипал^ am/ d./*besz.^&ty
йи си a Set&nee. & Тім/. TZ/ne "CfPZZj.
Здесь содержится обоснование действий с комплексными числами и попытка аксиоматического построения их теории как исчисления пар действительных чисел.
Уже в 1830 г. Гамильтон делает первые попытки построить теорию троек таких чисел, "триплетов", ^, /«^зЛ через несколько лет он стал записывать триплеты в форме x+it/tj[ Триплеты соответствуют направленным отрезкам в пространстве. Гамильтон пытался определить произведение триплетов таким образом, чтобы имела место аналогия с произведением "пар чисел", то-есть, чтобы операции произведения соответствовало растяжение и вращение множителя вокруг некоторой оси. Это удалось сделать только в конце 1843 г.
Гамильтон пришел к заключению, что нужно рассматривать четверки чисел /то-есть, не триплеты, а кватернионы/ и считать, что числа oc+
то-есть (ос,ч-іу( +j,+ мл,)C*2+ +^2+/^ * *иг) =
Всю остальную жизнь /до 1865 г./ Гамильтон посвятил развитию теории кватернионов.
Он был уверен, что создал универсальное исчисление. В "bzctuics on Qtiaivtsuonj им рассматривается связь теории кватернионов с аналитической геометрией, теорией детерминантов и т.д.; согласно Гамильтону, эта "связь" состоит в том, что теория кватернионов включает в себя различные разделы матема-
тики как частный случай и заменяет их. Уже в книгах Гамильтона можно заметить тенденцию, которая впоследствии была провозглашена как принцип, - исключить из исследований координаты.
Хотя теория кватернионов и не заменила собой всю математику /и тем более физику/, она связана многочисленными нитями с несколькими математическими и физическими науками, она доставила им важные идеи и стимулировала исследования по важнейшим направлениям. Назовем некоторые из них.
I. Теория гиперкомплексных чисел и теория ассоциативных алгебр.
Уникальное место исчисления кватернионов в этой теории определено теоремой Фробениуса: "Единственными ассоциативными алгебрами над полем реальных чисел, в которых произведение равно нулю только при равенстве нулю хотя бы одного множителя, являются поле реальных чисел, поле обыкновенных комплексных чисел и алгебра реальных кватернионов" 9, с.18J . Доказательство этой теоремы было опубликовано в 1878 г.
Ассоциативные алгебры исследованы американскими математиками - отцом и сыном - Б.Пирсом и Ч.С.Пирсом; последний доказал, что все линейные ассоциативные алгебры могут быть выражены в матричной форме. В частности, теория кватернионов с
2. Линейная алгебра.
Многие основные понятия этой теории развились не из линей ных уравнений, а из теории кватернионов: Гамильтон ввел и развил теорию линейных сопряженных и самосопряженных операторов; он вывел характеристическое уравнение, которое называлось в XIX веке "уравнением Гамильтона-Кэли", установил существование собственных векторов линейного преобразования и т.д.
3. Векторный анализ.
Поскольку теория кватернионов содержала векторы и правила оперирования с ними, постольку она включала большую часть современного векторного исчисления, а именно: в теории кватернионов были введены многие основные понятия векторного анализа, развиты векторные методы, получены важные результаты, в значительной части создан язык векторного исчисления. Деление величин на векторные и скалярные /вместе с этими названиями/, алгебра векторов, приложения к геометрии прямой в плоскости и в пространстве ... перенесены в современное векторное исчисление с изменениями, относящимися главным образом к форме и методам изложения. Теория векторной функции скалярного аргумента /вместе с ее терминологией/, эскизно изложенная Гамильтоном /впервые в 1846 г./, была детально изложена и проиллюстрирована примерами в 60-х годах XIX в. П.Г.Тэтом. В результате этот раздел теории приобрел вид, сохранившийся до нашего времени. Наряду с многочисленными другими операторами, Гамильтон ввел в рассмотрение "символический вектор ^'^ых* JcU +ка& " /1846^ Гамильтон применил его к скалярной функции. В статьях Тэта этот оператор был применен к векторной функции; Тэт впервые привел примеры его использования в физике.
4. Теория электричества и магнетизма.
"Экспериментальные исследования по электричеству"/1839-1855/ Фарадея ждали математической обработки и соответствующего изложения. Максвелл был как раз тем человеком, который мог математически описать и обобщить эксперимент, так как он "владел обоими языками" /по его выражению/ - и проникся идеями Фарадея, и был математически образован, а главным образом, был знаком с теорией кватернионов; он мог перевести теорию Фарадея на язык "математических символов". Векторное исчисление, перенесенное в электромагнитную теорию, позволило на основании экспериментальных данных создать теорию и развить эту ветвь физики.
Вторым источником создания современного векторного анализа был труд Г.Грассмана "Я*е UlissmseLa^i с&ь exie^slven, fytosse е>с/е*. dee, Ji^tU/ъи &#&<*, &ІГ& net/e тг&6А&тагі&/&
В нем исчисление векторов было частным случаем построенного Грассманом геометрического исчисления над точками, над параллелограммами, тетраедрами и т.д. По оценке Кроу/47, с.80/, это -"наименее характерная часть" учения Грассмана: "Его сочинение., созданное почти в полной духовной изоляции, долгое время оставалось мало известным вследствие своей оригинальности, а также вследствие философских неясностей, которыми оно изобиловало..V Некоторые идеи Грассмана стали известными после их толкования и комментирования его последователями. Знаменательно, что Пеа-но, излагая учение Грассмана в 1888 г./997# уже не захотел обойтись без языка векторов: его язык - скорее язык векторного анализа /частично Гиббса, частично Хевисайда/ - чем теории
кватернионов.
Исчисление Грассмана, не понятое и не оцененное по достоинству при жизни автора, имело свои преимущества, среди них надо прежде всего отметить то, что теория развита вне связи с комплексными числами и для случая ft переменных; важно также, что она использовала аппарат теории определителей.
Побудительным толчкоїм для введения векторных методов в физику, а затем для отделения векторного анализа от теории кватернионов послужили работы Максвелла, особенно '7ї.е.о,і$е on. ^Cecltbcitv and Мм/гей-sm')'1873/'. Он показал, что векторное исчисление может быть математическим аппаратом теории электричества и магнетизма. Но в середине прошлого века исчисление векторов существовало только как часть теории кватернионов. Из этой теории Максвелл целесообразно и экономно отобрал необходимое и создал удобный и эвристически продуктивный инструмент для описания физического поля. Он выделил ту часть теории кватернионов, которая должна быть включена в векторный анализ, и наметил направление, в котором желательно развитие методов. Это было сделано настолько ясно, что Гиббс и Хевисаид, начавшие создавать свои векторные системы после изучения Treatise , развили исчисления, отличающиеся лишь в деталях.
Гиббс развил метод диад и дал совершенно новое изложение теории линейных операторов, тем самым он изменил язык, технические приемы доказательств и "дух исчисления", существенно приблизив его к современному. Хевисаид же приспособил векторный анализ для решения проблем электричества и магнетизма и для изложения этой теории, открыв ему широкую дорогу и в другие фундаментальные области физики.
-ю-
В 1890-94 гг. на страницах журнала J/
1?ъыи* Qu-cuie^cntmi j по выражению Хевисайда. В ней Гиббс и Хевисайд проявили полное единодушие. Гиббс опубликовал четыре обстоятельные статьи [ы! - /бо7, где он анализировал методы теории кватернионов и векторного анализа, сравнивал теорию кватернионов и учение Грассмана. Участие Хевисайда выразилось не только в двух статьях, опубликованных в этом журнале, его научные публикации также изобилзпот выпадами против сторонников теории кватернионов.
Позиции последних заключались /в основных чертах/ в следующем: они были против каких-либо изменений в теории кватернионов, разрывающих связи теории с алгеброй и с теорией комплексных чисел. Основные протесты их были вызваны "догматическими и произвольными", по их мнению, определениями различных видов произведений векторов и положением
Полемика сыграла важную роль в распространении векторного исчисления, она обнаружила единомыслие многих ученых, развивших независимо более или менее равноценные векторные системы, обнародовала эти системы; и познакомила с ними математиков и физиков. Без векторных методов физика не могла успешно развиваться, решался вопрос о форме, в которой векторное исчисление должно быть применено в физике: "векторы с кватернионами" или "векторы без кватернионов".
Невозможно лишь "попутно" говорить о таком сложном вопросе, как взаимное влияние математики и физики, в данном случае -векторного исчисления и теории различных физических полей. Но еще более невозможно не заметить, что выделение векторного
-п-
анализа из теории кватернионов было вызвано потребностями тео-. рии электричества и магнетизма Фарадея-Максвелла, что современный векторный анализ в основном развит Гиббсом и Хевисайдом которые считали математику "не королевой, а служанкой науки". Знаменательно, что Гиббс же сыграл важную роль в математизации физики.
Некоторые понятия и операции, которые в дальнейшем вошли как необходимые элементы в векторное исчисление, впервые были введены в механике - сложение сил, а также в отдельных случаях те операции, которые мы теперь называем скалярным, векторным и смешанным произведениями. Естественно, что без неявного использования этих операций аналитическая механика не могла быть последовательно построена. Однако эти операции не только не были сколько-нибудь систематическими и не связывались в единую схему, но и тем более не рассматривались как элементы нового раздела математики, способного оказать существенную помощь в формулировании законов механики.
Несмотря на то, что все это происходило сравнительно недавно, возникновение исчисления и его борьба за место в науке быстро стали забытым эпизодом истории науки. До самого недавнего времени по истории векторного исчисления не было опубликовано ничего, кроме весьма кратких и беглых замечаний в монографиях; часто в них можно найти только отдельные строки, как у Н.Бур-баки [а, с.78-807 , Г.Вилейтнера/б, с.399, 4007 или немногим больше - у Ф.Клейна /іЗ, с.214-219, 222-2287 , у А.П.Юшкевича /ЗО, с.487, 509, 510, 519, 523, 5577- До сих пор, несмотря на всю ее важность для математики и физики, история векторного анализа не получила достаточного освещения в историко-матема-
тической литературе.
Совсем недавно опубликованы первые работы, посвященные специально истории векторного исчисления, это ~ Ф.Д.Крамар "Векторное исчисление конца ХУШ и начала XIX вв."[963,) и Сгои/е М A Mtsiotts of Vecioi Jncftuscs СІ967Л Автор первой работы ограничивается рассмотрением векторной алгебры и совершенно не касается вопросов истории векторного анализа.
Книга Кроу содержит богатый и уникальный материал - автор имел возможность ознакомиться с письмами Максвелла, заметками Гамильтона на полях книги Грассмана, перепиской Гиббса и т.д. Но даже в тех случаях, когда речь идет об опубликованных некогда материалах, автор вынужден приводить обширные цитаты, так как "многие источники для изучения - книги и журналы ограниченного обращения"/47, c.ixj. Кроу проследил историю многих геометрических исчислений, а не только современного векторного анализа; в книге охвачен огромный промежуток времени: в первых строках - Египет и Вавилон, в последних ~ начало XX века. Труд представляет собой слишком обширное полотно; чтобы составить представление о многих важных деталях, потребуются дополнительные исследования.
Некоторые отдельные вопросы истории векторного исчисления /главным образом, применение векторов в механике/ затронуты в [іб], [19/. Наконец, в серии статей Л.Н.Астраханцевой, обобщенных в ее диссертации /I/, рассмотрены алгебраические аспекты истории теории кватернионов. Этой стороны проблемы то~есть, развития теории алгебр, в частности, - линейных ассоциативных алгебр, формирования современных понятий "операции", "аксиомы", переход к построению алгебр, в которых не выполняется один из
законов "обычной алгебры" и т.п.) мы практически не касаемся.
Говоря об имеющейся литературе по истории векторного исчисления, нельзя не отметить, что исторические справки в математических работах, как правило, полны неточностей и ошибок. Даже работы, близкие по времени к рождению теории, обнаруживают незнание истории предмета. Их авторы часто приписывают те или иные результаты математикам, в работах которых они впервые встретили эти сведения. В.С.Игнатовский, например, считает создателями векторного анализа Хевисайда и А.Фёппля.
Это же относится к истории терминологии и обозначений. Потребность в такой информации есть - из учебника в учебник десятилетиями переходит разъяснение смысла названий "дивергенция" и "ротор". Этих и только этих терминов. И почти невозможно узнать что значат слова "вектор", "набла", "орт" и т.д. Встречаются неверные объяснения. Мифы возникают поразительно быстро, например, в учебнике 1936 года J26J Я.Н.Шпильрейн пишет, что термин "орт" - это "испорченное немецкое слово t/ttrt/ctcz". Даже в таком точном справочном издании, как Hisioty tf Rotations Кэджори, не обходится без ошибок, когда речь идет о векторном исчислении: обозначение длины вектора знаком модуля /%/ приписано Гансу /42, т.П, с.133/ , тогда как его ввел известный физик Г.А.Лоренц /88, c.7lj.
В связи с этим в настоящей работе уделено особое внимание истории формирования языка и обозначений векторного анализа.
Цель данной работы - проследить развитие теории кватернионов и ее связей, в основном, с векторным исчислением и линейной алгеброй, т.е. установить возникновение основных понятий векторного анализа в рамках теории кватернионов, рассмотреть
процесс формирования векторных методов, проследить появление многих важных понятий линейной алгебры в исчислении кватернионов, проанализировать дискуссии между сторонниками теории кватернионов и векторного анализа в конце XIX - начале XX вв. ,при-приведшие к выделению векторного анализа в самостоятельный раздел математики и показать развитие языка векторного анализа.
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.
В главе I кратко рассматривается история возникновения исчислений с направленными отрезками из поисков геометрической интерпретации комплексных чисел. Мы упоминаем только те работы, в которых были попытки рассматривать пространственный случай. Эти искания завершились созданием теории кватернионов Гамильтона. В главе I показано, какие элементы современного векторного анализа /и в какой форме/ содержала теория кватернионов. Устанавливается, что многие основные понятия векторного анализа и линейной алгебры восходят к трудам Гамильтона - деление величин на векторные и скалярные /вместе с этими названиями/, понятия скалярного, векторного, смешанного и др. произведений векторов, понятия коллинеарности и компланарности и условия коллинеарности и компланарности векторов, теория векторной функции скалярного аргумента, геометрический смысл ее производных, годограф векторной функции, оператор v , учение о линейных преобразованиях пространства, понятие симметрического преобразования, характеристическое уравнение, собственные значения и собственные векторы линейного преобразования и др. На примере работ Тэта показано, как под влиянием физики происходило развитие методов теории кватернионов. И одновременно демонстрируется
отличие этих методов от современного векторного анализа.
В главе П дается краткий очерк математического творчества Г.Грассмана и выявляются те черты его "Линейного учения о протяженности...", которые вошли в современное векторное исчисление. Эта глава, написанная для более полного освещения нашей темы, ни в коей мере не претендует на исчерпывающий анализ математического творчества Грассмана.
В главе Ш рассматриваются работы Максвелла, показано, что в них намечен отход от теории кватернионов, выделен из нее тот "векторный минимум", который впоследствии полностью вошел в векторный анализ; показано также, как в этих работах векторные методы привлечены на службу физике и как установлена связь с декартовыми координатами. Прослеживается, как под влиянием "Трактата об электричестве и магнетизме" Максвелла независимо друг от друга и почти одновременно /в 1872-1885 гг./ совершен переход к векторному анализу в трудах Гиббса и Хевисайда. Исследуется вклад Гиббса в развитие теории и создание Гиббсом и Хевисайдом системы новых обозначений.
В главе ІУ изложена история "юридического оформления" векторного анализа в самостоятельную ветвь науки, признания за ним статута "исчисления" в результате дискуссии с последователь ными кватернионистами /1890-1894 гг./. Изложены основные проблемы дискуссии, сделан вывод, что она познакомила ученых с новым исчислением и содействовала проникновению векторных методов в физические исследования. В связи с этим в I908-I9I4 гг. развернулась новая дикуссия об обозначениях векторного анализа. В этой же главе изложены основные аргументы соперничавших школ Дискуссия была прервана первой мировой войной; отчасти поэтому
некоторый разнобой в обозначениях сохранился до наших дней.
В заключении очень кратко говорится о дальнейшем развитии тех теорий, которые рассматривались в работе.
Работа написана на основании изучения оригинальных сочинений и перечисленных выше немногих историко-математических работ. История некоторых вопросов изучена и изложена впервые:
I. Показано, что векторное исчисление появилось как часть теории гиперкомплексных чисел.
2.Установлено, что многие понятия и методы векторного анализа имеют прообраз в теории кватернионов.
S. Дан генезис многих основных понятий линейной алгебры.
Рассмотрено формирование языка и обозначений векторного исчисления.
Показано, как под влиянием проблем теории электричества и магнетизма в трудах Максвелла использовалась система векторного исчисления, и тем самым были сделаны первые шаги к выделению векторного анализа из теории кватернионов.
Установлено, что векторный анализ оформился в самостоятельную ветвь математики, благодаря трудам Гиббса и Хевисайда. Проведено сравнение векторных систем Максвелла и Гиббса, Гиббса и Хевисайдаа.
Рассмотрена теория диад Гиббса; показано, что основную идею ее можно найти в теории кватернионов; проведено сравнение методов учения о линейной и векторной функции Гамильтона-Тэта и теории диад.
Дан общий обзор "Линейного учения о протяженности" Грас-смана, в частности той его части, которая содержит элементы векторного исчисления.
9. Изложены основные проблемы дискуссий "Векторы против кватернионов" и обсуждения обозначений векторного исчисления.
Основное содержание диссертации изложено в работах автора:
Формирование основных понятий векторного исчисления.-ИМИ, М.:Наука, 1982, вып.26, с.205-235.
Векторы против Кватернионов. -Сб. Истор. и методол. естественных наук. М., изд.МГУ, 1980, вып.25, с.45-56.
3. Влияние физики на формирование векторного исчисления. -Вопросы ист. естеств. и техн., М.: Наука, 1982, вып.1, с.85-89.
Элементы векторного исчисления в теории кватернионов. -Труды ХШ научной конференции аспирантов и научных сотр. ЙИЕиТ АН СССР. М., 1981. їукопись дЄп. в ВИНИТИ от 9.07.81 #34-16-81.
Теория кватернионов в трудах Гамильтона и Тэта. -Рукопись деп. в ВИНИТИ от 31.03.81 № 1433-81 Деп.
Отделение векторного анализа от теории кватернионов. -І^копись деп. в ВИНИТИ от 31.03.81 № 1434-81 Деп.
Математические термины.-М.: Высш. школа, 1978.- 168 с. Болгарский перевод: Математически термини.-София,: издателство наука и изкуство, 1984. -158 с.
