Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1 Вспомогательные определения и результаты 41
ГЛАВА 2 Проблема линеаризации непрерывных групп преобразований и обобщенные шейпы .
1. Эквивариантное обобщение теоремы Аренса —Иллза 55
2. Абстрактные К —шейпы 70
3. К — гомотопии 77
4. Топологические К —шейпы 85
ГЛАВА 3 Эквивариантная подвижность 88
1. Подвижность и эквивариантная подвижность 88
2. Подвижность пространств Н —неподвижных точек 92
3. Подвижность пространства Y—орбит 95
4. Пример подвижного, но не G —подвижного
пространства 99
ГЛАВА 4 Подвижные категории. скрученные произведения и эквивариантные шейпы 103
1. Подвижные категории 103
2. Эквивариантная подвижность плоских компактов 112
3. Эквивариантное обобщение теоремы Фрейденталя 118
4. Скрученные произведения и G —шейпы 122
ГЛАВА5. G -Шейповые морфизмы. слабая эквивалентность G -пространств 130
1. Эквивариантные расслоения 130
2. G — шейповые морфизмы, порожденные эквивариантными отображениями 137
3. Слабо — эквивалентные G — пространства 141
4. Канонические последовательности 145
ГЛАВА 6. Эквивариантная подвижность групп и свободных G -пространств 149
1. Эквивариантно — подвижные группы 149
2. Эквивариантная подвижность свободных G — пространств 151
3. Пример Z2 —неподвижного пространства с подвижным пространством орбит 155
ГЛАВА 7. Проблема существования мажоранты для эквивариантно - подвижных компактов 160
1. Критерие эквивариантнои подвижности в классах слабо эквивалентных G —пространств 160
2. Мажоранты в классах слабо — эквивалентных G —подвижных компактов 169
ГЛАВА 8. Подвижность относительно различных классов пространств 181
1. Предподвижность в pro — категории 181
2. Об А — подвижности топологических пространств 194
3. Эквивариантная п — подвижность 203
Литература 207
- Эквивариантное обобщение теоремы Аренса —Иллза
- Подвижность пространств Н —неподвижных точек
- Эквивариантное обобщение теоремы Фрейденталя
- Эквивариантная подвижность свободных G — пространств
Введение к работе
Теория шейпов это — общая теория спектральных гомотопических инвариантов. Основателем теории шейпов является известный польский математик К. Борсук. Основания этой теории были заложены в работах [42 — 47]. В этих работах Борсуком найдена естественная категория метризуемых компактов, более слабая чем гомотопическая категория и, тем самым, даны основы "геометрической" теории шейпов [7]. Важное понятие ассоциированного спектра, введенное Моритой [76], позволило Мардешичу с Сегалом [71, 72] распространить первоначальную теорию шейпов Борсука на класс хаусдорфовых компактов.
Теория шейпов в категории непрерывных групп преобразований и эквивариантных отображений, называемая эквивариантнои теорией шейпов, впервые была построена Ю.М. Смирновым [34, 35], для традиционных классов G — пространств (метризуемые пространства, метризуемые компакты, компактные пространства, р паракомпактные пространства, в основном в случае компактной действующей группы G). Метод Смирнова заключается в обобщении Фоксовского подхода к теории шейпов [56]. Модифицируя результаты Мориты [76], Поп [84] построил эквивариантную теорию шейпов для произвольных G —пространств, но только в случае конечной группы G. В работе [40] методом резолюций, в случае компактной группы G, была построена эквивариантная шейповая категория ShG для произвольных G — пространств. Последняя категория, в случае метризуемых G —пространств, совпадает с категорией, построенный Смирновым.
Одним из основных понятий теории шейпов является понятие подвижности. Это понятие первоначально, для метризуемых компактов, было введено К. Борсуком [44], на более общие случаи было перенесено Мардешичем и Сегалом [71], Сегалом [85], А.П.Шостаком [38]. Класс подвижных пространств существенно шире класса всех ANR -пространств. Это понятие, в частности, замечательно тем, что многие классические результаты алгебраической топологии, которые верны для CW — комплексов {ANR -пространств), в теории шейпов обобщаются для подвижных пространств. Так обстоит дело с теоремой Уайтхеда в теории шейпов, которая утверждает, что шейповый морфизм F : X — Y подвижных конечномерных метризуемых континуумов будет шейповой эквивалентностью, если все гомоморфизмы Ft :яп{Х)— жп{У) п — мерных шейповых групп являются изоморфизмами (Мощиньская [78], [79], Кисслинг [65], Дыдак [54]). Причем, свойство подвижности в этой формулировке существенно (Козловски и Сегал [67]). Другая важная теорема — теорема Гуревича об изоморфизме в теории шейпов — опять же доказана для подвижных метрических континуумов (Куперберг [69]). И здесь, как и в спектральной теореме Уайтхеда, подвижность существенна (Куперберг [68]). Перечень таких фактов можно продолжить. Все они говорят об особой роли подвижности в теории шейпов.
Данная диссертация посвящена сравнительно молодой и активно развивающейся области высшей геометрии и топологии — теории шейпов.
В диссертации дано систематическое изложение результатов относящихся к такому важному понятию эквивариантнои теории шейпов как подвижность непрерывных групп преобразований.
Подробное содержание диссертации по главам изложено ниже.
Эквивариантное обобщение теоремы Аренса —Иллза
Таким образом эквивариантная подвижность компактной группы со счетной базой эквивалентна ее лиевости. Отметим, что в не эквивариантном случае подвижность групп была исследована Кисслингом [66]. Им было доказано, что из подвижности компактной, связной группы G следует локальная связность, причем обратное — неверно: приводится пример компактной, связной группы G, которая локально — связна, но не подвижна.
Теорема 6.1.2 дает новые примеры подвижных, но не G — подвижных пространств. В самом деле, существуют примеры не лиевых компактных групп со счетной базой, пространства которых подвижны [47]. Эти группы не G —подвижны по теореме 6.1.2.
Глава 7 посвящена проблеме существования мажоранты в семействе всех G— подвижных компактов. Эта проблема в не эквивариантном случае была поставлена Борсуком и Голштиньским ([48], проблема 6.6) после того, как они доказали, что в семействе всех компактов мажоранты не существует. Спиж в своей работе [86] доказал, что в семействе всех подвижных компактов существует мажоранта. Оказывается, что такое утверждение в эквивариантном случае не верно(теорема 7.2.1). ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7.2.1. Пусть К — некоторый класс G — пространств. G —пространство Y называется мажорантой класса К, если shGX shGY для любого G —пространства X из К. ТЕОРЕМА 7.2.1. Если G нетривиальная группа, то в классе всех G —подвижных компактов нет мажорант. Однако оказывается, что утверждение последней теоремы верно в любом классе слабо — эквивалентных G —подвижных компактов: ТЕОРЕМА 7.2.3. Пусть G компактная группа со счетной базой. Тогда в любом классе слабо—эквивалентных G—подвижных компактов существует мажоранта. В случае, когда действующая группа G тривиальна, эта теорема превращается в известную теорему Спижа [86]. Теорема 7.2.3 дает исчерпывающий ответ на проблему существования мажоранты в эквивариантной теории шейпов, поскольку классы слабо — эквивалентных G — подвижных компактов — это те максимальные классы, в пределах которых могут существовать мажоранты: ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7.1.1. Если для класса К существует мажоранта, то все G—пространства класса К попарно слабо-эквивалентны. Из теоремы 7.2.3 в качестве следствия получается ТЕОРЕМА 7.2.4. Пусть G компактная группа со счетной базой. Тогда в классе всех G—подвижных компактов с неподвижными точками существует мажоранта. Для доказательства выше приведенных теорем устанавливаются ряд важных результатов, из которых выделим следующие: ЛЕММА 7.2.1. Пусть G компактная группа со счетной базой. Тогда существует счетная система М компактных G - ANR —пространств такая, что любое компактное G — пространство X можно представить в виде предела обратной G - ANR —последовательности \Xk, ркМХ, N], где каждое Хк є М. -31 ЛЕММА 7.2.2. Пусть G компактная группа со счетной базой. Тогда для любого класса К G —подвижных попарно слабо-эквивалентных компактов имеется такая счетная система Р компактных G - ANR —пространств из того же класса К, что любое G—пространство X из К можно представить в виде предела обратной G - ANR —последовательности \Xk, рк k+l, Nj, где каждое Хк є р. ТЕОРЕМА 7.,2.2. (обобщенная теорема Брауна [49]). Пусть X = \jm{Xk,pk k+l,N\, где {Xk,pkMl,N) обратная G-ANR последовательность из компактных G—пространств, а Qk, к = 1,2, такие семейства эквивариантных отображений из Хк+{ в Хк, что для любого 0 в Qk найдется такое q, что d[pkk+l, q) . Тогда имеется такая последовательность \qkk+l,Nj, Ще qkMieQk, k = \,2,--- , что X=\jm{Xk,qktk+i, N\. ЛЕММА 7.2.3. Для любого G —пространства X є К, где G — компактная группа со счетной базой, существуют такие последовательности (п],п2,---) и (mt,m2,---) натуральных чисел, что X эквивариантно гомеоморфно пределу обратной G - ANR — последовательности «1 "2 ") где Рп є Р, (ртп; є CG(Ри+і ,Рп) и для любого і є А т1 «,; mf ni+l; тм т.+2 ЛЕММА 7.2.4. Пусть К некоторый класс G—подвижных попарно слабо—эквивалентных компактов, где G — компактная группа со счетной базой. Тогда существует такая обратная G - ANR —последовательность \k,qkk+],N\, что -32 а) Yk — некоторое дизъюнктное объединение первых к элементов семейства Р = \РХ, Р2, Р3, }, удовлетворяющего условиям леммы 7.2.2, б) qk к+х — эквивариантные ретракции, в) каждое X из К является обратным пределом такой G - ANR —последовательности \Хк, рк к+1, Nj, что Хк =Р. czYk для некоторого і k и pk k+x = qk i+1 \Xk+l для любого k eN. Результаты первого параграфа главы 6 являются ключевыми для последних лемм. Однако эти результаты представляют и самостоятельный интерес. ЛЕММА 7.1.1. Пусть Y={Yk,qkk+l,N\ произвольная, а X - \Х k , р k _ А+, N } такая каноническая G - ANR — последовательности, что а) все qk i+1 эквивариантные отображения "на", б) Хк — непустая сумма некоторых компонент связности Yk для любого к є N, в) A,i+,W = M+,W для любого хеХк+], г) имеется эквивариантное отображение h:Yx\Xx I— Хх Тогда shGX shGY, где X = \jmX и Y = \jmY.
Подвижность пространств Н —неподвижных точек
Пусть X произвольное тихоновское G —пространство. Существует одна старая проблема — проблема линеаризации G — пространств, которая заключается в следующем: можно ли G — пространство X эквивариантно и замкнуто вложить в линейное G — пространство?
Классические результаты в случае, когда действующая группа G является компактной группой Ли, а пространства — компактным принадлежат Мостову [77] и Пале. [83]. На много позже Ю.М. Смирнов [33] и Ян де Врис [50] одновременно и независимо друг от друга доказали общую теорему о линеаризации тихоновских G — пространства даже в случае любой локально — компактной группы G1). В настоящем параграфе эти теоремы доказываются при произвольной группе G, но с некоторым ограничением на характер действия группы. Такое ограничение, когда X метризуемо, является инвариантная метризуемость пространства X, а когда X тихоновское, то вводится понятие инвариантного тихоновского G — пространства и доказывается, что такие пространства, при произвольной группе G,
Отметим, что в теореме линеаризации Ю.М. Смирнова [33] вложение является замкнутым. допускают эквивариантное и замкнутое вложение в некоторые локально — выпуклые линейные G — пространство (теорема 4). Инвариантные тихоновские G — пространства интересны уже потому, что все тихоновские пространства, взятые с действием произвольной счетно — компактной группы G, являются такими (лемма 6). Из этих результатов, как следствие, получается теорема об Н — неподвижных точках на случай произвольной группы G.
В работе [41] Аренсом и Иллзом были получены теоремы о замкнутом, равномерном (изометричном) вложении равномерного (метризуемого) пространства в локально — выпуклое (нормируемое) топологическое пространство. Наш метод решения проблемы линеаризации тихоновских (метризуемых) G — пространств заключается в эквивариантном обобщении этой классической теоремы Аренса и Иллза. Из теорем 2 и 4 в частных случаях получаются известные результаты Г. Мостова [77] и Р. Палле [83], в случае компактной группы Ли, Ю.М.Смирнова [33] и Ян де Вриса [50], в случае любой локально — компактной группы. Пусть X произвольное множество. Обозначим через М(х) множество действительных функций т:Х -» R следующего вида: ЯФО, для х = хі,і = \,...,п, а =0 0, во всех остальных то ч- ках. То есть каждый элемент множества М[Х) есть вещественнозначная функция т(х), удовлетворяющая следующим двум условиям: 1. функция т{х) обращается в 0 во всех точках множества X кроме (быть может) конечного числа точек хх, х2, хп На М(х) обычным образом определяются операции сложения двух функций и умножения функции на скаляр 1). Не трудно проверить, что эти операции замкнуты в множестве М(х), относительно которых оно превращается в вещественное линейное пространство. Условимся через Ах, где А єR, а хєХ обозначить ту функцию, определенная на X, которая принимает значение А в точке л; и 0 — в остальных точках. Тогда ясно, что всякую функцию т є М{х) можно представить в виде Пусть х єХ некоторая фиксированная точка множества X. Обозначим: Вх„={х-х &М{Х); хеХ&хФх0}, где х - х = 1 л: + (-1) х — функция, принимающая значение 1 в точке х, -1 — в точке х и 0 — во всех остальных точках. ЛЕММА 1 (А И) 2) В „ является базисом Гамеля линейного про стр ан ств а м(х). !) Имеется в виду поточечно определенные операции. 2) Результаты с индексом (А—И) принадлежат Аренсу и Иллзу [41].
Эквивариантное обобщение теоремы Фрейденталя
Рассмотрим К — гомотопическую категорию !К - НОМОТОР всех топологических пространств и К —гомотопических классов непрерывных отображений. Пусть Р полная подкатегория ANR — пространств категории К - НОМОТОР. Известно, что подкатегория Р является плотной подкатегорией категории Н — ТОР, то есть существует теория шеипов для пары (Н-ТОР,Р).
Наша задача выяснить для каких семейств 9С топологических пространств можно построить теорию шейпов для пары {К- НОМОТОР, Р). То есть, какому условию должно удовлетворять семейство !К для того, чтобы подкатегория Р была плотной в категории К-НОМОТОР. Учитывая плотность Р в категории Н-ТОР, из теоремы 2.2.1 непосредственно получим
ТЕОРЕМА 1. Подкатегория Р будет плотной подкатегорией категории !К - НОМОТОР тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие Для произвольных топологического пространства X, ANR — пространств Q, Q eP и непрерывных отображений rjx,rj2:Q - Q, f .X- Q , которые удовлетворяют условию Лх0 f 7?!0 f существует такое ANR—пространство Q"eP и такие непрерывные отображения TJ:Q" - Q и f :X- Q", что Шейповую категорию, построенной для пары {К - НОМОТОР\ Р), назовем !К — шейповой категорией топологических пространств и обозначим через !К-Sh. Очевидно, что существуют семейства для которых справедлива теорема 1. Тривиальным примером такого семейства К может служить семейство всех топологических пространств ТОР. Полученная в этом случае теория !К — шейпов совпадает с классической теорией шейпов топологических пространств. Другие примеры таких семейств, по существу, были построены в работах Чигогидзе [37] для метризуемых пространств, Джименеза, Рубина [62] и Иваншича, Рубина, Шапиро [61] для компактных топологических пространств. В этих работах фактически были доказаны ТЕОРЕМА 2. Пусть С={Х, \\тХ п) семейство топологических пространств, размерность которых не превосходит п. Тогда выполняется условие ( ) теоремы 1. ТЕОРЕМА 3. Пусть УСР={Х, dimX P} семейство топологических пространств, фундаментальная размерность которых не превосходит CW —комплекса Р. Тогда выполняется условие ( ) теоремы 1. Из теорем 1, 2 и 3 следует, что для семейств К =\Х, dimJf и} и КР={Х, 6лтХ Р) можно построить теории ІГ„ — шейпов и 9Ср — шейпов, соответственно. Не трудно заметить, что теория J?Tn—шейпов в нашем смысле совпадает с теорией п —шейпов Чигогидзе [37], а теория !K р —шейпов совпадает с теорией Р —шейпов, построенной Иваншичем, Рубиным и Шапиро [61]. Понятие эквивариантной подвижности определим, следуя Мардешичу и Сегалу [71]. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. G -пространство1) X называется эквивариантно подвижным или G —подвижным, если всякая G — ассоциированная с X обратная система Х = {Ха,раа,,А] подвижна в категории pro - Н - ANR[PG), то есть, если для любого а є А существует такое а е. А, а а, что для любого другого а"є А, а" а, имеется эквивариантное отображение гаа :Ха, Ха., делающий следующую диаграмму эквивариантно гомотопически коммутативной: 1) Далее в этой главе под пространством, если не оговорено противное, понимается р — паракомпактное топологическое пространство. Группа G всюду предполагается компактной и хаусдорфовой. -89 Отметим окрестностную форму определения G — подвижности метризуемых G —пространств, следуя Борсука. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Метризуемое G —пространство X называется G—подвижным, если при некотором (при всяком) замкнутом эквивариантном вложении X czY в G - AR(MG) — пространство Y для любой инвариантной окрестности U пространства X в Y найдется такая меньшая инвариантная окрестность V того же X (в Y), что для всякой еще более тесной инвариантной окрестности W, X czW czV aU, существует такое эквивариантное отображение rv:V - W, что rv и вложение iv:V\- W G—гомотопны в U, то есть существует такая эквивариантная гомотопия (pw:V х I —» U.
Эквивариантная подвижность свободных G — пространств
Понятие подвижности первоначально, для метризуемых компактов, было введено К. Борсуком [44]. На более общие случаи было перенесено С. А. Богатым [5], Мардешичем и Сегалом [71], Сегалом [85], А. П. Шостаком [38].
Следует отметить, что подвижность топологического пространства в указанных работах была определена либо с помощью окрестностей данного пространства (замкнуто вложенного в некоторое AR — пространство), либо с помощью обратных спектров, в зависимости от того какой подход к теории шейпов применяется. Однако, при категорном подходе Мардешича [73] к теории шейпов, не было дано подходящее категорное определение подвижности. Этот пробел восполняется в данном параграфе. Для этого вводится понятие подвижной категории и доказывается, что подвижность топологического пространства равносильна подвижности некоторой, соответствующей ему, категории wx, определенный Мардешичем [73]. Пусть К произвольная категория, а К произвольная ее подкатегория. -104 ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Скажем, что подкатегория К подвижна в категории К, если для произвольного объекта X єоЬ(К ) существуют такой объект Y Gob(K ) и такой морфизм f eK (Y,X), что для любого объекта Z eob(K ) и любого морфизма g EK (Z,X) существует такой морфизм h EK(Y,Z), что коммутативна следующая диаграмма: ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3 ([9]). Говорят, что К есть категория с нулевыми морфизмами, если для любой пары (А, В) объектов из категории К существуют морфизмы оВА: Л ь- В такие, что для всех морфизмов V:BH С и u\D\- А, где С и D произвольные объекты категорий К, выполняется BAll=BD -105 ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4 ([9]). Объект О Gob(K) называется инициальным, если для произвольного объекта X eob(K) множество Могк(0, X) состоит из единственного морфизма. ТЕОРЕМА 1. Всякая категория К с нулевыми морфизмами подвижна. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть X є ob{K) — произвольный объект. Оказывается, что в качестве искомого объекта (см. Определение 1) можно взять произвольный объект Y є ob(K), а в качестве морфизма f eK(Y,X) следует взять нулевой морфизм o .Yv- X. В самом деле: рассмотрим произвольный морфизм g є K(Z, X). Теперь очевидно, что нулевой морфизм oZY : Y ь- Z — искомый, то есть имеет место goZY - о , который следует из определения 3. ТЕОРЕМА 2. Всякая категория К, имеющая инициальный объект, подвижна. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть X є ob{K) — произвольный объект. Рассмотрим инициальный объект О категории К. Единственный морфизм из объекта О в объект X обозначим через их. Теперь нетрудно заметить, что объект О и морфизм их : О ь- X являются искомыми. В самом деле: пусть Y є ob(K) — произвольный объект, а g:Y\- X — произвольный морфизм. Очевидно, что единственный морфизм иу : О I— Y удовлетворяет условию: их = go uY. При категорном подходе Мардешича ([73]) к построению теории шейпов, каждому топологическому пространству X сопоставляется -106 некоторая категория wx, объекты которой: суть гомотопические классы / : X \- Q, а морфизмы — коммутативные треугольники Q Q" гАе Q-, Q ANR - пространства. Оказывается, что имеет место ТЕОРЕМА 3. Топологическое пространство X подвижно тогда и только тогда, когда подвижна категория wx. Последняя теорема есть простая переформулировка следующей теоремы. ТЕОРЕМА 4. Топологическое пространство X подвижно тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие: ( ) для произвольного ANR—пространства Q и любого гомотопического класса f:X\- Q существуют такие ANR — пространства Q, гомотопические классы f . X \-ь Q и rj\Q \-$Q с условием f = Tjof f что каковы бы не были ANR—пространство Q", гомотопические классы f" : X ь- Q" и л : Q h- Q с условием f - Л О f", существует такой гомотопический класс л" : Q ь- Q", что выполняется п = л о rj" (диаграмма 1).
