Предельные теоремы для потоков на поверхностях и групп преобразований Буфетов, Александр Игоревич

Введение к работе

Актуальность темы.

Перекладывания отрезков и потоки переноса на плоских поверхностях представляют собой классический пример динамических систем так называемого параболического типа, занимающих по своим свойствам промежуточное положение между полностью детерминистическими динамическими системами (например, сдвигами на компактных группах) и сильно хаотическими гиперболическими динамическими системами (например, геодезическими потоками на многообразиях отрицательной кривизны).

Самые простые примеры детерминистических динамических систем -отображение поворота окружности и его аналог в непрерывном времени — квазипериодический поток на торе. Если угол поворота иррационален, то отображение поворота строго эргодично: мера Лебега есть единственная инвариантная вероятностная мера. Как показал Герман Вейль в 1909 году, временные средние

-, п—1

1 х^-^ „/ ^h ч

п ^z—'

к=0

непрерывной функции / под действием поворота R_a : R/Z —> R/Z на иррациональный угол а равномерно сходятся к пространственному среднему

("1 f/ і г

функции, константе L t[x)ax. Если угол поворота диофантов, а / — глад-кая функция с нулевым средним, то временная сумма

п—1 к=0

равномерно ограничена по п. В частности, в этом случае дисперсия временной суммы не растет с ростом п.

Классические примеры гиперболических динамических систем - это системы Аносова, например, линейный гиперболический автоморфизм тора и геодезический поток на многообразии отрицательной кривизны. Семейство конечных инвариантных мер гиперболической динамической системы необозримо, в частности, ее периодические траектории всюду плотны в фазовом пространстве. Далее, гиперболические динамические системы удовлетворяют центральной предельной теореме теории вероятностей. Например, пусть М - компактное многообразие отрицательной кривизны, m -нормализованная мера Лебега на единичном касательном расслоении Т\М, g_s : Т\М —> Т\М - геодезический поток. Пусть / : Т\М —> R - гладкая

функция с нулевым интегралом по мере m, среднее которой вдоль хотя бы одной периодической геодезической отлично от нуля. В этом случае последовательность случайных величин

1 _r.

л/Т Jo

j{gtx)dt o

сходится по распределению к гауссовому нормальному распределению с ненулевой дисперсией. В частности, дисперсия временного интеграла

\

f(gtx)dt dm(x)

f(9t%)dt ] о

растет как T. Центральную предельную теорему для геодезических потоков на компактных поверхностях постоянной отрицательной кривизны получил Я.Г. Синай в 1961 году, и его результаты впоследствии обобщались и развивались многими авторами.

Потоки переноса и перекладывания отрезков занимают по своим динамическим свойствам промежуточное положение между детерминистическими и гиперболическими динамическими системами. С одной стороны, как одновременно и независимо показали Мазур¹ и Вич ²в 1982 г, потоки переноса и перекладывания общего положения строго эргодичны: мера Лебега есть единственная инвариантная вероятностная борелевская мера. С другой стороны, как показал А.В. Зорич ³ для перекладываний и Дж. Фор-ни ⁴ для потоков переноса, в случае систем общего положения уклонения временной суммы (или временного интеграла) гладкой функции общего положения растут как некоторая положительная степень времени. В частности, и дисперсия временной суммы (или временного интеграла) растет как положительная степень времени. Встает естественный вопрос об изучении предельных распределений для потоков переноса и перекладываний отрезков.

Основным методом исследования перекладываний отрезков и потоков переноса является ренормализация. Для потоков переноса ренормализу-

¹H. Masur, Interval exchange transformations and measured foliations. Ann. of Math. (2) 115 (1982), no. 1, 169–200.

²Veech, William A. Gauss measures for transformations on the space of interval exchange maps. Ann. of Math. (2) 115 (1982), no. 1, 201–242.

³Zorich, Anton. Deviation for interval exchange transformations. Ergodic Theory Dynam. Systems 17 (1997), no. 6, 1477–1499.

⁴Forni, Giovanni. Deviation of ergodic averages for area-preserving flows on surfaces of higher genus. Ann. of Math. (2) 155 (2002).

ющей динамической системой является поток Тейхмюллера на пространстве модулей абелевых дифференциалов с предписанными порядками нулей. Более точно, пусть S - замкнутая поверхность рода д > 2. Введем на S комплексную структуру а и голоморфный дифференциал ш. Пара (<т,ш) считается эквивалентной другой паре (<7і,бо>і), если существует диффеоморфизм поверхности S, переводящий (<т,ш) в (<7i,6g>i). Пространство модулей А4(д) состоит из классов эквивалентности, а поток {g_t} на А4(д) порождается действием на парах (сг,ш) по формуле д^сг,ш) = (о⁷, и/), где ш' = е^гИе(ш) + іе~Чт(ш), а комплексная структура а' определяется требованием голоморфности ш'. Если (<т, ш) и (о⁷, и/) эквивалентны, то дифференциалы шиш' имеют одинаковые порядки нулей и одинаковую площадь. Следовательно, эти порядки и площадь корректно определены на Л4(д). Кроме того, они сохраняются потоком Тейхмюллера {gt}. Возьмем произвольный неупорядоченный набор к = (&i,...,Av), где ki Є N, k\ + + k_r = 2g — 2, и обозначим символом Ті подпространство Л4(д), соответствующее дифференциалам единичной площади (т.е. (i/2) J ш/\ш = 1) с порядками нулей ki, і = 1,...,г; такое подпространство Л4_К называют стратом в Л4(д). Каждый страт является {(^{-инвариантным множеством. Пространство Л4_К допускает естественную топологическую структуру, относительно которой оно, вообще говоря, несвязно. Число его связных компонент не превышает трех и зависит от к. Каждая из компонент {gt}-инвариантна. Существует естественная {^{-инвариантная мера на Л4_К; эта мера конечна. Мы будем называть эту меру гладкой мерой Мазура-Вича. Именно конечность меры Мазура-Вича является ключевым соображением в доказательстве строгой эргодичности почти всех перекладываний и потоков переноса.

Исследование более тонких эргодических свойств перекладываний и потоков переноса требует более глубокого изучения динамических свойств ре-нормализующего потока Тейхмюллера. Такие исследования активно проводятся многими авторами. Основную роль играет специальный коцикл над потоком Теймюллера, называемый коциклом Концевича-Зорича. Дадим его определение. Пусть T~L — связная компонента Л4_К, пусть Ш¹{Т~С) - расслоение над 7i, слой которого над точкой (М,ш) есть группа кого-мологий H^l(M, R). В расслоении Н¹^) может быть задана связность Гаусса-Манина, которая однозначно определяется тем требованием, что горизонтальными сечениями являются непрерывные целочисленные сече-

ния расслоения H¹(H). Параллельный перенос по отношению к связности Гаусса-Манина вдоль орбит потока Тейхмюллера задает коцикл над потоком Тейхмюллера, называемый коциклом Концевича-Зорича и обозначаемый символом A = A_KZ.

Коцикл Концевича-Зорича удовлетворяет всем требованиях теоремы Оселедца по отношению к произвольной вероятностной эргодической инвариантной мере для потока Тейхмюллера. В последние годы чрезвычайно активно изучаются показатели Ляпунова коцикла Концевича-Зорича и отвечающие им оселедцевские подпространства.

В частности В.Вич⁵ и Дж. Форни ⁶ доказали, что старший показатель Ляпунова коцикла Концевича-Зорича прост по отношению к произвольной вероятностной эргодической инвариантной мере для потока Тейхмюллера. Форни ⁷ показал, кроме того, что по отношению к мере Мазура-Вича коцикл Концевича-Зорича неравномерно гиперболичен: все его показатели Ляпунова отличны от нуля. Авила и Виана⁸ показали, что по отношению к мере Мазура-Вича ляпуновский спектр коцикла Концевича-Зорича прост: каждому показателю Ляпунова отвечает одномерное оселедцевское подпространство. Активно изучались показатели Ляпунова также для других инвариантных мер потока Тейхмюллера. В частности, значительный интерес представляют такие вычисления для так называемых поверхностей Вича, то есть абелевых дифференциалов, задающих плоскую структуру, обладающую богатой группой симметрий.

Как отмечалось выше, потоки переноса общего положения строго эрго-дичны. Дж. Форни ⁹ исследовал пространство обобщенных функций, инвариантных относительно потока переноса общего положения (мы называем их далее инвариантными распределениями Дж. Форни). Форни доказал, что для потока переноса общего положения пространство инвариантных обобщенных функций, лежащих в соболевском классе H^-1, конечномерно и может быть естественно отождествлено с сильно неустойчивым подпространством коцикла Концевича-Зорича, отвечающего данному абелеву дифференциалу. Встает естественный вопрос о явном описании инвариантных распределений Дж. Форни, отвечающих абелевым дифференциалам

⁵Veech, William A. The Teichmuller geodesic flow. Ann. of Math. (2) 124 (1986), no. 3, 441–530. ⁶op. cit. ⁷op. cit.

⁸Avila, Artur; Viana, Marcelo. Simplicity of Lyapunov spectra: proof of the Zorich-Kontsevich conjecture. Acta Math. 198 (2007), no. 1, 1–56 ⁹op. cit.

общего положения.

Естественные динамические системы параболического типа возникают также в символической динамике. Рассмотрим простой пример. Пусть Л — конечный алфавит, с выделенной буквой а, и s : Л —> Л* есть некоторое отображение из Л в множество Л* конечных слов в алфавите А, причем слово s(a) начинается с буквы а. Продолжим s до отображения из Л* в Л* формулой s{(i\...a_n) = s(ai)...s(a_n) (для продолженного отображения мы сохраняем тот же символ s). Рассмотрим последовательность s(a), s(s(a)),... Так как в этой последовательности каждое слово есть префикс следующего за ним, мы можем рассмотреть возникающую бесконечную последовательность си. Рассмотрим далее семейство Q двусторонне бесконечных последовательностей и/ над алфавитом Л, удовлетворяющих такому условию: каждое конечное подслово и/ является также подсловом си. Множество Q по определению компактно в тихоновской топологии. Правый сдвиг о" на Q задает динамическую систему, называемую подстановочной динамической системой.

Другую символическую модель для динамических систем подстановочного типа предложил А.М. Вершик¹⁰ (см. также работу Ш. Ито¹¹). Преобразование Вершика (иногда также называемое адическим сдвигом) есть динамическая система специального вида, определенная в пространстве путей топологической цепи Маркова (это пространство путей, следуя А.М. Вер-шику, мы будем называть марковским компактом). Эргодические свойства подстановочных динамических систем и преобразований Вершика являются объектом активных исследований многих математиков. Встает естественный вопрос о взаимосвязи между гладкими и символическими параболическими динамическими системами и, в частности, о построении символических моделей для потоков переноса и перекладываний.

Таким образом, актуальной является задача об изучении асимптотики эргодических интегралов и получении предельных теорем для динамических систем параболического типа, в частности, для потоков переноса и перекладываний.

Первая теорема о сходимости временных наблюдаемых в динамических системах величин к их пространственным средним есть уже упоминавша-

¹⁰Вершик, A. M. Теорема о периодической марковской аппроксимации в эргодической теории, Записки научных семинаров ПОМИ, 115, 72-82 (1982).

¹¹Ito, Shunji. A construction of transversal flows for maximal Markov automorphisms. Tokyo J. Math. 1 (1978), no. 2, 305-324.

яся теорема Вейля о равномерном распределении орбит иррационального поворота окружности. Аналогичным образом, получению общих эргодиче-ских теорем для действий свободных групп предшествовало изучение конкретных примеров. В 1964-м году Арнольд и Крылов ¹² установили равномерное распределение орбит действия пары поворотов общего положения на сфере. В 1965-м году В.И. Оселедец предложил общий метод получения эргодических теорем для сохраняющих меру действий произвольных счетных групп. В 1969-м году Гиварш, развивая работу Арнольда и Крылова, доказал сходимость в среднем квадратическом для сферических средних действия свободной группы. В 1986-м году Р.И. Григорчук получил теорему о поточечной сходимости чезаровских средних сферических средних. В эргодической теореме Григорчука предполагается лишь интегрируемость функции. В более ограничительном предположении, что функция лежит в классе L_p, p > 1, в 1994 году Нево и Стейн доказали поточечную сходимость самих сферических средних. Таким образом, является актуальной задача об изучении максимально общих условий, в которых имеют место эргодические теоремы для действий свободных полугрупп и действий свободных групп.

Отметим, что в случае действия свободной группы вопрос о поточечной сходимости сферических средних функций, лежащих лишь в классе L₁, остается открытым.

Цель работы

Исследовать асимптотику временных интегралов для потоков переноса на плоских поверхностях и перекладываний отрезков общего положения. Получить предельные теоремы для потоков переноса на плоских поверхностях. Построить символическое кодирование для потоков переноса на плоских поверхностях и перекладываний отрезков. Исследовать инвариантные распределения Дж. Форни для потоков переноса на плоских поверхностях. Исследовать гиперболические свойства потока Тейхмюллера на пространстве модулей абелевых дифференциалов. Исследовать сходимость сферических средних для сохраняющих меру действий свободной группы. Исследовать сходимость по Чезаро сферических средних для сохраняющих меру действий свободной полугруппы.

Методы исследования.

¹²В.И. Арнольд, А.Л. Крылов, Равномерное распределение точек на сфере и некоторые эргодические свойства решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений в комплексной области. Доклады АН СССР, 1963, 148(1), 9–12.

Основные методы настоящей работы — метод ренормализации и метод символического кодирования. Строится новое символическое кодирование для потоков переноса и перекладываний, развивающее методы А.М. Вер-шика и Ш. Ито. Исследование построенной символической модели и позволяет получить основые результаты диссертации. При этом ренормализаци-онное действие потока Тейхмюллера является ключевым соображением в доказательстве предельных теорем. Методы символической динамики играют основную роль также и в исследовании потока Тейхмюллера. Здесь используется теория марковских разбиений, которые для рассматриваемых в работе динамических систем строятся явно. При доказательстве эрго-дических теорем для групповых и полугрупповых действий используется также теория марковских операторов.

Научная новизна.

Основные результаты диссертации являются новыми, получены автором и состоят в следующем.

1. Найдена асимптотика для эргодических интегралов потоков переноса, отвечающих абелевым дифференциалам общего положения. Построено пространство аддитивных голономно-инвариантных гельдеровских коциклов над потоками переноса. В терминах гельдеровских коциклов дано явное описание инвариантных распределений потоков переноса в смысле Дж. Форни. Установлена двойственность между инвариантными распределениями вертикального и горизонтального потоков фиксированного абелева дифференциала общего положения.

2. Построено новое символическое кодирование, развивающее конструкции Ш.Ито и А.М. Вершика, для потоков переноса на плоских поверхностях.

3. Найдена асимптотика роста дисперсии и получены предельные теоремы для потоков переноса.

4. Проведено исследование гиперболических свойств потока Тейхмюллера на пространстве модулей абелевых дифференциалов.

5. С помощью методов, развивающих конструкции Р.И. Григорчука, получены новые эргодические теоремы для сохраняющих меру действий конечнопорожденной свободной группы и свободной полугруппы.

Теоретическая и практическая научная ценность.

Работа носит теоретический характер. Ее результаты многут быть использованы в дальнейших исследованиях динамических систем параболического типа. В частности, результаты могут найти применения в исследованиях, проводимых в Математическом Институте имени В.А. Стеклова РАН, Петербургском отделении Математического Института РАН, Московском Государственном Университете им. М.В. Ломоносова, Нижегородском Государственном Университете им. Н.И. Лобачевского, других высших учебных заведениях и научных центрах.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях.

6. Международная конференция, посвященная 30-летию журнала “Ergodic Theory and Dynamical Systems”, Университет Варвика, Великобритания, сентябрь 2010.

7. Международная конференция по динамическим системам и уравнениям в частных производных, Институт Миттаг-Леффлера Королевской Шведской Академии Наук, Стокгольм, Швеция, май 2010.

8. Международная конференция Европейского математического общества по динамическим системам и теории чисел, Международный центр математических исследований, Эдинбург, Великобритания, май 2010.

9. Международная конференция “Dynamical Numbers”, Институт Макса Планка и Хаусдорфовский математический центр, Бонн, июль 2009.

10. Школа по комплексному анализу и алгебраической геометрии, Ярославль, Россия, май 2009.

11. Международная конференция по динамическим системам, Университет Мэриленда, США, апрель 2009.

12. Техасская конференция по геометрии и топологии, Хьюстон, США, февраль 2009

13. Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, Россия, 2008.

14. Международная школа по теории Тейхмюллера, Роскофф, Франция, июнь 2008.

10. XXVIII международная конференция по гармоническому анализу, Университет Перуджии, Перуджия, Италия, май 2008.

11. Международная конференция по дискретной математике и ее приложениям, Университет Тайской торговой палаты, Бангкок, Тайланд, март 2008.

12. Международная конференция “От динамических систем к статистической механике”, CIRM, Люмини, Франция, февраль 2008.

Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах:

1. Семинар по динамическим системам и геометрии, Университет Париж-6, Франция, ноябрь 2010.

2. Семинар по динамическим системам, Университет Париж-13, Франция, ноябрь 2010.

3. Общеинститутский семинар Математического института имени В.А. Стеклова, май 2010.

4. Семинар кафедры теоретической механики механико-математического факультета МГУ под руководством академика РАН В.В. Козлова, октябрь 2009.

5. Большой семинар кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ, октябрь 2009.

6. Общеинститутский семинар Петербургского отделения математического института имени В.А. Стеклова, сентябрь 2009.

7. Заседание Киевского математического общества, Киев, Украина, май 2009.

8. Коллоквиум, Университет Ратгерса, США, май 2009.

9. Коллоквиум, Университет Техаса в Остине, США, апрель 2009.

10. Семинар по математике и теоретической информатике, Университет Виктории, Веллингтон, Новая Зеландия, март 2009.

11. Коллоквиум, Корнельский Университет, США, ноябрь 2008.

12. Семинар по эргодической теории и действиям групп, Йельский университет, США, октябрь 2008.

13. Семинар по динамическим системам, Университет Кейо, Япония, Иокогама, июнь 2008.

14. Семинар по динамическим системам, Университет Киото, Япония, июнь 2008.

Публикации.

Результаты диссертации опубликованы в 7 работах автора, из которых одна в соавторстве. Список публикаций приводится в конце автореферата.

Структура и объем диссертации.

Похожие диссертации на Предельные теоремы для потоков на поверхностях и групп преобразований

Группы преобразования Ляпунова и устойчивость решений нелинейных дифференциальных уравненийЯкупов, Зуфар Ясавеевич

Условия голоморфности функций многих комплексных переменных, связанных с группами преобразований областиСеменов, Александр Михайлович

Типичные свойства абелевых групп преобразований с инвариантной мерой и спектральная дизъюнктность Тихонов Сергей Викторович

Представления вполне несвязных групп преобразований неархимедовых многообразийЛюдковский, Сергей Викторович

Исследование групп преобразований и состав радиационно-наведенных электронных дефектов в ЩГКСадырова Мухаббат Махмутовна

Свойства вербальных подгрупп, автоморфизмы и линейные представления некоторых групп преобразованийБардаков Валерий Георгиевич

Группы преобразований кривыхРогозинников Евгений Алексеевич

Обобщенная теория шейпов и подвижность непрерывных групп преобразованийГеворкян Павел Самвелович

Группы ЛИ с левоинвариантными связностями и группы конформных преобразований псевдоримановых многообразийПодоксенов, Михаил Николаевич

Комбинаторная структура группы вибрациональных преобразований плоскости Гизатуллин Марат Харисович