Введение к работе
Актуальность темы
Изучение интегральных неравенств берет начало в классических работах Д.Гильберта, Т. Карлемана, Г.Г.Харди, Э.Ландау, Д.Е.Литтлвуда, Г. Пойа и других авторов. К настоящему времени их роль и значение для многих разделов функционального анализа, интегральных и дифференциальных уравнений значительно возросло. Наиболее интенсивно развивающейся областью последних двух десятилетий является нахождение критериев выполнения интегральных неравенств в весовых пространствах Лебега, берущих начало с неравенства Харди.
Дадим необходимые определения. Пусть 0 < р < оо, и(х) > 0— измеримая функция на полуоси (0, оо). Весовое пространство Лебега LP {и) состоит из всех измеримых функций, таких что
\\f\\P,u = ( / \f(x)\pu(x)dx Неравенство Харди в весовом пространстве Лебега имеет вид
f{t)dt] u(x)dx) " < С ( [ fp(x)v(x)dx]* , f(x) > О,
0 / / \J0 J
(0.0.1) где 0
f*(t):=mf{y>0: Xf(y)
где А/— функция распределения
Xf(y) :=mes{:r Є X : \f{x)\ > у} .
Пространство Лоренца Ap(w), 0 < р < оо состоит из всех измеримых функций, таких что
ИЛи=Ц (f*(t))pw(t)dt) <оо.
Хорошо известная задача об исследовании ограниченности различных операторов, действующих в пространствах Лоренца, приводит к изучению неравенств на конусе неубывающих функций. Например, в гармоническом анализе важную роль играет максимальный оператор Харди-Литтлвуда
(Mf)(x):=sui>-±- [ \f(z)\dz, жєМп,
xeQ \Ч\ JO
'Q
где Q— куб в пространстве Мп, стороны которого параллельны координатным осям, a \Q\— его мера Лебега. Хорошо известно, что
{Mff{t)^- [ f*(s)ds, t>0. 1 Jo
Таким образом, задача характеризации весовых функций иии, для которых оператор
M:Ap{v)^Aq{u), 1<р,д<ос,
ограничен, эквивалентна задаче характеризации весовых функций и и -и, для которых интегральный оператор осреднения
{Pf)(t):=\ f f{s)ds, t>0, 1 Jo
ограничен из LPi^v) в Lq(u), 0 < p, q < оо на конусе неотрицательных убывающих функций 0 < / -J, . Это означает, что задача сводится к нахождению условий на весовые функции, для которых неравенство
{Г G lf{s)ds)u{t)dt)q -с ІГfp{t)v{t)dt)p (o--2)
выполняется для всех убывающих функций / > 0.
В отличие от неравенства (0.0.1) на множестве всех неотрицательных функций, неравенство (0.0.2) на конусе всех убывающих функций / > 0 оно имеет смысл для всех значений параметров 0 < р, g < оо и к настоящему моменту полностью изучено в работах М.Ариньо и Б. Мукенхаупта,
Г.Беннетта и К.Гроссе-Эрдмана, М.Л. Гольдмана, Е. Сойера, В.Д. Степанова и других авторов.
Основной задачей диссертационной работы является изучение неравенства
(X
(Kf)4fi)q < с ( f fPd\)Р, 0 < / |, (0.0.3)
,00) / \J[0,QO) J
где 0 < р, q < оо,
Kf(x):= [ k(x,y)f(y)dv(y), (0.0.4)
J[0,x]
А,/і и v— положительные а—конечные меры Бореля на Ш+ := [0,оо). Более того, мы рассматривем измеримое ядро к(х,у) > 0, удовлетворяющее условию Ойнарова, т.е. когда существует константа D > 1, для которой выполняется
D~l(k(x,z) + k{z,y)) < к{х,у) < D{k{x,z) + k{z,y)),x >z>y. (0.0.5)
Неравенства (0.0.3) с интегральным оператором (0.0.4) на конусах монотонных функций начали изучаться сравнительно недавно. В данной работе мы получаем необходимые и достаточные условия для случая 0 < р < оо, 1 < q < оо, дополняя уже известные результаты.
Кроме монотонных функций, особый интерес представляют конусы квазивогнутых функций, удовлетворяющих одновременно двум разным условиям монотонности.
Частным случаем функции, удовлетворяющей двум разным условиям монотонности, является такая функция u(t), что u{t) не убывает, а ^ не возрастает. Такие функции называются квазивогнутыми, поскольку было доказано, что они эквивалентны вогнутым функциям.
Анализ действия операторов на конусах вогнутых и квазивогнутых функций имеет большое значение, т.к. многие объекты гармонического анализа, теории интерполяции, теории операторов и других областей математики обладают свойством квазивогнутости, поэтому нашей второй задачей является изучение неравенств типа (0.0.3) на конусах квазивогнутых функций.
Определение 1. Пусть ф— непрерывная, строго возрастающая на [0, оо) функция, такая что ^(0) = 0 и Hindoo ^() = оо. Такая функция называется допустимой.
Определение 2. Функция / называется г/j—квазивогнутой, если / эквивалентна неубывающей функции на [0, оо), и 4 эквивалентна невозрас-тающей функции на (0, оо).
Очевидно, что класс функций, удовлетворяющих двум различным условиям квазимонотонности, и класс квазивогнутых функций являются частными случаями класса ф—квазивогнутых функций.
Задача нахождения условий на весовые функции v и w и параметров р и q, для которых выполняется вложение LViV в L(hU на множестве квазивогнутых функций, является основным вопросом для понимания свойств этих функций. Для случая 0 < р < q < оо эта задача была решена Л. Малиграндой :, а достаточные условия для случая 0 были получены В.Д. Степановым 2. Поскольку квазивогнутая функция u{t) может быть представлена в виде u(t) « J\Qnv(s)ds для некоторой невоз-растающей функции v(t), несложно увидеть, что характеризация вложения LViV <-л LqyU на конусе квазивогнутых функций эквивалентна характериза-ции вложения TpjV ^->- ^q,u- Необходимые и достаточные условия на весовые функции v и и и параметры 0 < р, q < оо для того, чтобы выполнялись вложения TpjV ^->- Tq^u и TpjV ^->- Лі;М, были получены в работе M.J1. Гольдмана, Х.П. Хайнига и В.Д. Степанова 3. Этот результат был получен посредством метода дискретизации, поэтому ответ дан в терминах дискретных последовательностей, что усложняет его проверку и использование. То же можно сказать и о критериях, полученных М.Л. Гольдманом и М.В. Сорокиной 4 для весовых неравенств типа Харди на конусе ф—квазивогнутых функций. Несколько лет спустя Г. Синнамон 5 смог получить условия на весовые функции в интегральной форме, используя совершенно другой метод. Он также представил метод редукции для операторов, действующих на конусе квазивогнутых функций (более точно, на конусах функций с двумя условиями квазимонотонности). Примерно в то же время А. Гогатишвили и Л. Пик6 представили подход, основанный не только на методе дискретизации, но и, что еще более существенно, на методе антидискретизации, что позволило им получить в интегральной форме критерии вложений меж-
1Maligranda L. Weighted inequalities for quasi-monotone functions. // J. London Math. Soc. (2) 1998. V. 57. № 2. P. 363-370.
2Stepanov V.D. Integral operators on the cone of monotone functions. // J. London Math. Soc. (2) 1993. V. 48. № 3. P. 465-487.
3Goldman M.L., Heinig H.P., Stepanov V.D. On the principle of duality in Lorentz spaces. // Canad. J. Math. 1996. V. 48. № 5. P. 959-979.
4Гольдман М.Л., Сорокина М.В. Трехвесовые неравенства типа Харди на конусе квазимонотонных функций. // Доклады АН. 2005. Т. 401. № 3. С. 301-305.
5Sinnamon G. Embeddings of concave functions and duals of Lorentz spaces. // Publ. Mat. 2002. V. 46. № 2. P. 489-515.
6Gogatishvili A., Pick L. Discretization and anti-discretization of rearrangement-invariant norms. // Publ. Mat. 2003. V. 47. № 2. P. 311-358.
ду пространствами Лоренца, в частности, TPiV --^ Aq^u и TPiV --^ Г^, при О < р, q < оо.
Цель работы
Целью работы является получение критериев выполнения интегральных неравенств на конусах монотонных и квазивогнутых функций.
Методика исследования
В работе используются методы теории функций, математического и функционального анализа.
Научная новизна
Основные результаты диссертации является новыми и обобщают или дополняют ранее известные.
Теоретическая значимость
Результаты диссертации носят теоретический характер и могут применяться во многих разделах функционального анализа и теории дифференциальных уравнений.
Аппробация работы
Основные результаты диссертации и отдельные ее части докладывались на научном семинаре РУДЫ по функциональному анализу под руководством чл-корр. РАН В. Д. Степанова, на Российской школе-конференции с международным участием "Математика, информатика и их приложения и роль в образовании, 2009 ".
Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы в 3 статьях, 2 препринтах и тезисах доклада на научной конференции.
Структура диссертации
Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы (96 наименований). Объем диссертации составляет 131 страницу.
