Введение к работе
Актуальность темы. Практически каждая ветвь математики в той или иной степени касается изучения полиномов. Диффернциаль-ные неравенства для полиномов и рациональных функций восходят к работам А.А. Маркова и С.Н. Бернштейна. Они неоднократно передоказывались и обобщались в разных направлениях. Обобщения касались различных классов алгебраических, тригонометрических полиномов, алгебраических дробей и рационально - тригонометрических функций. Значимый вклад в изучение экстремальных свойств полиномов, рациональных функций и их обобщений внесли Н.И. Ахиезер, С.Н. Берн-штейн, А.А. Марков, Р. Боас, B.C. Виденский, Т.Г. Генчев, К. И. Рахман, В.Н. Русак, Г. Полна, Г. Сеге, П. Туран, П.Л. Чебышев, И. Шур, П. Эр-деш.
В последнее время большое внимание уделяется неравенствам берн-штейновского типа для алгебраических и тригонометрических полиномов и рациональных функций на нескольких отрезках.
Актуальность исследований такого рода подтверждает большое количество публикаций на заданную тему. Отметим работы А. Азиза, В.В. Арестова, П. Борвейна, А.К. Вармы, Н.К. Говила, В.Н. Дубинина, А. Еременко, МА. Казн, Ксина Ли, А.Л. Лукашова, МА. Малика, Г.В. Ми-ловановича, Д. Мина, Р.Н. Мохапатры, А.В. Олесова, А.А. Пекарского, Ф. Пехерстофера, В. Тотика, Т. Шейл-Смолла, Т. Эрдейи. Общее представление о состоянии теории полиномов можно составить по недавним монографиям К. И. Рахмана и Г. Шмайссера 1 и Т. Шейл-Смолла 2
Вместе с тем, методы геометрической теории функций недостаточно полно представлены в литературе. В частности, имеется лишь небольпіое число работ по применению конформных и однолистных отображений,
Rahman Q.I., Schmeisser G. Analytic theory of polynomials. Oxford: Oxford University
Press. 2002. 742 p.
2Sheil-Small T. Complex polynomials. Cambridge: Cambridge University Press. 2002.
428 p.
а также принципов мажорации в теории полиномов. Развитие этого направления открывает новые возможности и представляется перспективным для изучения экстремальных свойств полиномов и рациональных функций.
Цели работы.
Развить новые подходы к получению неравенств для полиномов и рациональных функций, основаные на теории потенциала и геометрической теории функций комплексного переменного.
Получить новые неравенства для полиномов с заданными ограничениями на одном и двух отрезках вещественной оси.
Доказать теоремы бернштейновского типа для рациональных функций на нескольких отрезках. Исследовать случаи равенства в полученных оценках.
Методика исследования. В работе используются общие методы математического анализа и геометрической теории функций комплексного переменного.
Научная новизна работы заключается в следующем:
Установлен новый принцип мажорации для мероморфных функций с приложениями для полиномов и рациональных функций. Даны новые приложения теории конформных и однолистных отображений к неравенствам для полиномов с ограничениями.
Для алгебраических полиномов с криволинейными мажорантами на одном и двух отрезках получены новые неравенства, обобщающие и дополняющие соответствующие результаты СИ. Бернштейна, И.И. Ахи-езера, И. Шура, П. Борвейна, М.А. Лаченса, В.И. Дубинина, А. В. Оле-сова.
Доказаны новые теоремы о производных рациональных и рационально - тригонометрических функций на нескольких отрезках, уточняющие некоторые результаты А.Л. Лукашова и обобщающие неравенства СИ. Бернштейна - Г.Сеге, B.C. Виденского, В.И. Русака, М. Барана -В. Тотика и других математиков.
Теоретическая и практическая значимость работы. Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в Казанском, Саратовском, Дальневосточном, Ростовском государственных университетах, а также в институтах ПОМИ РАН и ИПМ ДВО РАН при решении экстремальных задач геометрической теории функций, задач теории аппроксимации и других задач математического анализа.
Апробация работы. Результаты диссертации были представлены в научных докладах на Дальневосточной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых по математическому моделированию (Владивосток, 2004), на Дальневосточных математических школах-семинарах имени академика Е.В. Золотова (Хабаровск, 2005, 2009, Владивосток 2006-2008), на XLIV Международной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс"(Новосибирск, 2006), на Международных конференциях APRU Doctoral students conference (Tokyo, 2007, Vladivostok, 2008), International conference on applied mathematics and approximation theory (Memphis, USA, TN, 2008), Computational methods and function theory (Ankara, Turkey, 2009), на семинарах по геометрической теории функций и функциональному анализу ИМКН ДВГУ (руководители: профессор В.Н. Дубинин, профессор Н.Н. Фролов).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 3 научные работы и 11 тезисов докладов. Две работы выполнены в соавторстве, где В.Н. Дубинину принадлежит постановка задач и общее руководство.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Компьютерный набор выполнен с использованием пакета М^Х. Общий объем диссертации 90 страниц. Библиография включает 120 наименований.
