Содержание к диссертации
Введение
I. Принципы выбора для функций одной переменной 15
1. Величина N(e, f, Т) и ее свойства 15
2. Принцип выбора в терминах величины N(e, f,T) . 25
3. Сравнение с известными принципами выбора . 35
4. Слабый поточечный принцип выбора 40
5. Мультиселекции ограниченной вариации 44
II. Принципы выбора для функций нескольких переменных . 59
6. Определения и обозначения 59
7. Свойства смешанных разностей 64
8. Свойства полной вариации 92
9. Принцип выбора типа Хелли 102
10. Слабый поточечный принцип выбора 108
Литература 113
- Принцип выбора в терминах величины N(e, f,T) .
- Слабый поточечный принцип выбора
- Свойства смешанных разностей
- Слабый поточечный принцип выбора
Введение к работе
Диссертация посвящена исследованию поточечных принципов выбора для функций одной и нескольких вещественных переменных со значениями в метрическом пространстве, а также нахождению условий, при которых заданная последовательность функций содержит всюду или почти всюду сходящуюся под последовательность.
Исторически первый принцип выбора был найден Хелли ([50]) в классе всех монотонных функций, определенных на отрезке [а, 6] вещественной оси Ж: равномерно ограниченная последовательность монотонных функций, определенных на отрезке [а, b], содержит под последовательность, которая поточено на [а, Ь] сходится к некоторой монотонной функции. Эта теорема Хелли справедлива и для произвольного непустого множества Т из Ш, как это установлено, например, в [36], и для равномерно ограниченной последовательности функций, жордановы вариации которых равномерно ограничены. Условие равномерной ограниченности последовательности функций и их обобщенных вариаций лежит в основе большинства обобщений принципа выбора Хелли (для вещественных функций — [46], [56], [61], [65]; для функций со значениями в метрическом или банановом пространстве— [14], [15], [25], [26], [29], [30], [31], [33], [34],[36]). Упомянутые принципы выбора имеют многочисленные применения ([7], [10], [14], [26], [25], [29], [31], [33], [34], [36], [51], [64]), поскольку являются эффективным инструментом при доказательстве теорем существования. Например, они широко используются в теории функций, функциональном анализе, теории оптимизации, комплексном анализе и теории стохастических процессов ([7], [10], [25], [51]). Обобщения теоремы Хелли также находят свое приложение в многозначном анализе при доказательстве существования регулярных селекции для мультифункций ограниченной обобщенной вариации и исследовании нелинейных операторов суперпозиции Немыцкого ([36]).
Принцип выбора в терминах величины N(e, f,T) .
В настоящем параграфе представлены основные результаты главы I и приведены примеры, иллюстрирующие точность предположений и заключений теорем. Следующая теорема представляет собой поточечный принцип выбора для функций одной переменной в терминах величины N(e, /, Т). Теорема 2.1. Если 0 Т С ffi, (X, d) — метрическое пространство и {fj} С ХТ — поточечно относительно компактная последовательность функций такая, что mo {fj} содержит подпоследовательность, которая сходится поточечно на Т к некоторой функции f Є ХТ, удовлетворяющей условию Щє, /, Т) N (є) для всех є 0. Доказательство. Обозначим через Моп(Г; N) множество всех неубывающих ограниченных функций, отображающих Т в N. Заметим, что для заданного є
О согласно лемме 1.1(b) функция t н- N(s, /j, (—00, t] ГіТ) является неубывающей по t Є Г для каждого j Є N. 1. Используя диагональный процесс, покажем, что существует подпоследовательность последовательности {fj}, снова обозначаемая через {fj}, и для каждого к Є N существует функция пк Є Mon(T;N) такие, что Из условия (2.1) вытекает, что для любого є 0 найдутся номера jo(e),K(e) Є N такие, что N{e,fj,T) К(є) для всех J jo{e). В силу леммы 1.1(c) последовательность {t 1— N(l,fj, (—oo,t] ПГ)} . , С Моп(Г; N) равномерно ограничена на Т постоянной К(1), так что в соответствии с принципом выбора Хелли для монотонных функций ([10, VIII, 4, лемма 2]) существуют подпоследовательность {/j )} ! в {fj}jL- ц\ (где J\ : N — N сторого возрастающая подпоследовательность последовательности {j o(l) + j — l}Li) и функция п\ Є Mon(T;N) такие, что Выберем наименьший номер ji Є N такой, что Ji(j i) .?о(1/2). Далее по индукции если О 2 и последовательность {/./,.. )}. С {fj} и номер j/;_i Є N такой, что Jk-i{jk-i) Зо(1/к), уже выбраны, то, применяя теорему Хелли к последовательности неубывающих функций {t ь- N(l/k, fj j), (—00,і] П )}j jfc_l5 равномерно ограниченных на Т постоянной К(1/к), найдем подпоследовательность {fjk{j)} i последовательности {/jfe_1(j)} jA._1 и функцию 7 Є Mon(T;N) такие, что Тогда диагональная последовательность {/j,-(j)}Lij которую снова обозначим через {/j} = {fj}jLi, удовлетворяет условию (2.2). 2. Обозначим через Q не более чем счетное всюду плотное подмно жество Т, так что Q С Т С Q, где Q — замыкание множества Q в R. Заметим, что любая точка t Є Т, не являющаяся предельной для Т, принадлежит Q (существование Q установлено в [20]).
Поскольку для каждого к Є N функция щ лежит в Mon(T; N), то множество Sk С Г ее точек разрыва (все из которых первого рода) не более чем счетно. По ложим S = Q U UfceN &к- Тогда S — не более чем счетное всюду плотное подмножество Т, причем если T\S Ф 0, то функция rik непрерывна в точках t Є T\S для всех А; Є N. (2.3) Так как последовательность {fj(t)} относительно компактна в X для всех t Є Т и множество S С Т не более чем счетно, то без ограничения общности можем считать (при необходимости переходя к подпоследовательности последовательности {fj} при помощи стандартного диагонального процесса), что {fj(s)} сходится в X при j — со к некоторому элементу из X, обозначаемому через f(s), s Є S. Таким образом, если S = Т, то доказательство завершено. 3. Пусть теперь S фТ. Покажем, что для любой точки t Є T\S после довательность {//()} сходится в X. Для этого зафиксируем произволь ное 0 є 1. Выберем и зафиксируем номер & = к (є) Є N такой, что 1/к г/3. Из определения множества S и свойства (2.3) вытекает, что t является предельной точкой множества Т и точкой непрерывности функ ции Пк, так что в силу плотности S в Т найдется точка s — s(k,t) Є S такая, что \щ(і) —rik{s)\ є или, эквивалентно, nk(t) = nk(s). Исходя из соотношения (2.2), выберем номера ji = ji(k,t), j 2 = J2(k,s) Є N, так, что если j max{ji,J2}, то Пусть для определенности s t (случай t s аналогичен). Тогда в силу леммы 1.1(e) для всех j maxlji, j 2} имеем: N(l/k, fj, [s, І]ПТ) N(l/k, fj, (-00, і] П T) - N(l/k, fj, (-00, S] П Г) =
Слабый поточечный принцип выбора
Цель данного параграфа — установить вариант теоремы 2.1 для слабой поточечной сходимости последовательности функций в важном случае, когда значения функций лежат в рефлексивном сепарабельном банаховом пространстве. В этом случае условие относительной компактности последовательности {fj(t)} при любом t Є.Т удается ослабить. Пусть (X, ) есть линейное нормированное пространство (над полем Ж, — Ж или С) и X его сопряженное пространство, т. е. пространство Ь(Х;Ж) всех непрерывных линейных функционалов на X. Напомним, что X есть банахово пространство относительно нормы ж = sup{x (a;): х Є X и ж 1} для всех х Є X . Естественная двойственность между пространствами X и X порождается билинейным функционалом (, ): X х X — К, определяемым по правилу: (ж, ж ) = х (х), х Є X, х Є X . Напомним также (см., например, [25, гл. I, 2, следствие 2.5]), что если последовательность {XJ} С X сходится слабо в X к х Є X, при этом пишем Xj — х в X при j — со (т. е. lim.j-,QQ(xj,x ) = (ж,х ) для всех х Є X ), то ж liminfj- o ж_,-. Понятие величины N(e, /, Т) для / Є ХТ вводится также, как и 1 (см. формулу (1.1)), относительно индуцированной метрики d на X, т. е. d(x,y) = \\x-y\l х,у ЄХ. Следующая теорема является обобщением теоремы 7 из [39]. Заметим, что рефлексивными сепарабельными банаховыми пространствами, сопряженные пространства к которым сепарабельны, являются, напри -і / мер, пространства lp = {х = {xt} С R; \\х\\р = (52і 1Ж»1Р) } 1 р со, ([7, гл. II, 1, 2, гл. IV, 2]), другие примеры см. в работе [57, гл. II, разделы 11 и 13]. Теорема 4.1. Пусть 0 Tciu (X, ) — рефлексивное сепарабель-ное банахово пространство, сопряоюенное пространство X к которому сепарабельно.
Предположим, что последовательность функций {fj} С ХТ такая, что supjN /j() оо для всех t Є Т и выполня ется условие (2.1). Тогда существуют подпоследовательность последовательности {fj}, снова обозначаемая через {fj}, и функция f Є ХТ, удовлетворяющая условию N(e, /, Т) N(e) для всех є 0, такие, что fj(t) — f(t) в X при j — со. Доказательство. Положим C(t) = supjeN \\fj(t)\\ со, t Є Т. Тогда для любых j Є N и х Є X имеем: Пусть {жд.} — счетное всюду плотное подмножество X . Полагая х = х\ в (4.1) и (4.2) и применяя теорему 2.1, найдем последовательность {fj }JLi С {fj} и функцию ух Є Кг, зависящую от ж, такие, что N(e,yx-,T) ЛГжї(є) для всех 0 и (fjl)(t),xl) - з/х.( ) в К при j —» со для всех t Є Т. Далее по индукции если fc 2 и подпоследовательность {/ f jLi последовательности {fj} уже выбрана, то в силу соотношений (4.1) и (4.2) для х = ж имеем и, следовательно, теорема 2.1 гарантирует наличие подпоследовательности {fj }JLi последовательности {/ sJLi и функции ух Є Кг, обладающей свойством N{e,yx k,T) Nx k(e) для всех є 0, таких, что (/ [t), x k) — 7/a; (t) в К. при j — со для всех t Є Т. Тогда диагональная подпоследовательность {/-} последовательности {/_/}, снова обозначаемая через {fj}, удовлетворяет условию: последовательность Коши в К. Для любого 5 0 в силу плотности последовательности {х%}=1 в X существует номер к = к(6) Є N такой, что о; — 07 . 5/(4С() + 1), а в силу соотношения (4.3) существует номер jQ — jo(5) Є N такой, что \{fj(t),x%) - (fi(t),x%)\ S/2 для всех З-, І Значит, найдется элемент yx (t) Є К такой, что (fj(t):x ) — yx (t) в К при j - оо. Другими словами, для каждого ж Є X существует функция ух Є Кт, удовлетворяющая условию (см. лемму 1.1(d) и (4.2)) N(e,ух ,Т) lim iV(e, (.),07 ),Т) і\Гж (є) для всех є О, и такая, что lim (Ш), 07 ) = ух (t) в К для всех teTmx еХ . (4.4) Убедимся теперь, что для любого t є Т последовательность {fj(t)} слабо сходится в X.
Поскольку пространство X рефлексивно, то fj(t) Є X = X = L(X ,K) для всех j Є N. Определяя функционал Yt: X — К. по правилу: Yt{x ) = yx (i): х Є X , из соотношения (4.4) получаем: т.е. последовательность {fj(i}} С Ь(Х ;Ж) сходится поточечно на X к функционалу Yt: X - К. В силу принципа равномерной ограниченности Банаха-Штейнгауза ([5, гл. VII, 1.2, теорема 2]) Yt Є L(X ;K) = X и \\Yt\\ Ит оо /j( )- Полагая f(t) = Yt,t Є Г, находим, что / Є Хт и т. е. fj(t) —» /() в X при j —» со для всех і Є Г. Осталось показать, что iV(e, /, Т) ЛГ(є) для всех є 0. Предположим, что N(e, f,T) 0. Пусть для п Є N существует набор {/г}" - такой, что Ii = {si, U} и \f(Ii)\ = /(« ) -/( ») є для всех г = 1,..., п. Поскольку fj(si) - fj(ti) Л f(si) - f(ti) в X при j — оо, то j-+oo а потому найдется номер jo(e,n) Є N такой, что nfj j0(e,n)\\fj(si) Л"( )Н є Для всех = 1,---) - Следовательно, в силу определения (1.1) получаем, что п N(e,fj,T) для всех j jo(e,n). Это в свою очередь означает, что для всех n, обладающих указанным выше свойством. Таким образом, что и требовалось доказать. П Повторяя доказательство теоремы 2.3 и применяя теорему 4.1 вместо теоремы 2.1, получаем Следствие 4.2. Пусть для Т и X выполнены предположения теоремы 4.1, а последовательность функций {fj} С ХТ удовлетворяет условиям: supjeN /j (і) оо для n.e.t Є Ти для каждого 5 0 су-ществует измеримое множество Е С Т меры Лебега 5 такое, что справедливо соотношение (2.5). Тогда существуют подпоследовательность последовательности {fj}, снова обозначаемая через {fj}, и функция f Є ХТ, обладающая свойством: для каоїсдого 8 0 найдется измеримое множество Е 6 С Т меры Лебега ; d/гл которого N(e, f, T \ E s) со для всех є 0, такие, что fj(t) Д f(t) в X при j —» oo для п. в. t Є Т. 5. Мультиселекции ограниченной вариации В настоящем разделе рассматриваются вопросы о существовании селекции многозначных отображений.
Свойства смешанных разностей
Принимая во внимание равенство определения (6.5) получаем: fZ((x+0(v-x))\ x) = f(z+a(x+9(y-x)-z)) = ПОСКОЛЬКУ mda(/ ,/La) = mda(/aJ- [a) ТО В СИЛУ (6 3) имеем: где в последнем выражении использован тот факт, что а9 = 9 тогда и только тогда, когда 9 а. Равенство (7.5) является следствием (7.3) при z = х. Теперь равенство (7.4) вытекает из (7.3) и (7.5): действительно, полагая х — а + а{х — а), находим для 9 а (т. е. 9а = 9), что #(?/ — х ) = 0(у - ж) и Лемма 7.2. Если f: 1ъа — М, ж, Ї/ Є 1%, х у; то Доказательство. 1. Для А; = 1,... ,п — 1 введем следующие обозначения (в силу соглашений со с. 64 сумма по \ос\ = /г обозначает сумму по всем 0 7 ос 1 таким, что а = А:): Для того чтобы оценить сумму в выражении (7.7), воспользуемся неравенством (6.2), так что если к = 1,... ,п — 1, то в силу обозначений (7.6) и свойства (7.5) имеем: Тогда из неравенства (7.7) вытекает, что Покажем, что .R(n) = mdn(/,/) = mdi(/f, 7[Д) поскольку это равество и неравенство (7.10) доказывают утверждение леммы 7.2. 2. Рассмотрим сначала случай, когда п = 1 нечетное. 2.1. Сравнивая выражения (7.1) и (7.8) и учитывая инвариантность метрики d относительно сдвигов, достаточно убедиться, что справедливы следующие два равенства: Для того чтобы убедиться в справедливости приведенных выше равенств, проверим сначала, что множества допустимых 9 (мультииндекс в называем допустимым, если слагаемое вида f(x + 9(у — х)) входит в рассматриваемое выражение) для левой и правой частей этих соотношений совпадают, а затем для фиксированного допустимого 9 вычислим количество членов вида f(x+9(y—xj), содержащихся в их левой и правой частях. Для этого нам потребуется следующая формула ([40, равенство где фА, как и выше, обозначает количество элементов в множестве А, а Сгт — обычный биномиальный коэффициент ,/ , для 0 і т (0! = 1). очевиден, поэтому далее считаем, что п 3 нечетное. Множество допустимых 9 в левой части равенства (7.11) имеет вид: а множество допустимых 0 в правой части равенства (7.11) равно Таким образом, С = 1Z = {п). Пусть теперь 9 Є С = 71 фиксировано.
Слагаемое f(x+9(y—x)j содержится в сумме левой части (7.11) только для тех 0 ф а 1, \а\ = 2г, где 1 і (п — 1)/2, для которых 9 а, т. е. когда \9\ \а\ = 2г или г тах{1, 0/2}, поэтому согласно формуле (7.13) количество таких членов равно Вычислим количество слагаемых вида f(x+9(y—ж)) в правой части (7.11). Если \9\ = п — 1, то слагаемое f(x+9(y—xj) встречается один раз только в последней сумме, т.е. столько же раз, как и в (7.14). Пусть \9\ четно и 0 \9\ п — 3. Слагаемое f(x+9(y—xj) содержится в первой сумме правой части (7.11) для тех 0 а 1, \а\ = 2% — 1, где 1 г (п —1)/2, для которых 9 си, так что 0 а = 2 — 1 или 2г 0 + 1 или, поскольку \9\ четное, (\9\ + 2)/2 г (n — 1)/2. Это же слагаемое входит в последнюю сумму правой части (7.11) sign0 (= 0, если \9\ = 0, и = 1, если \9\ 0) раз. Таким образом, по формуле (7.13) количество таких членов справа равно Равенство величин (7.14) и (7.15) является следствием формулы бинома Ньютона: 2.3. Докажем равенство (7.12). Будем считать, что п 3 нечетное (случай n = 1 очевиден). Множества допустимых в в левой и правой частях равенства (7.12) равны соответственно С = {в є 0(п): 3 а Є (п)\{0} такое, что в а} и 7Є = {0 Є 0{п) :Вае 0(п)\{1} такое, что 9 a}U U {9 є 0(п)\{1}} = 0(п)\{1}. Если 0 Є 72., т. е. 9 1, 0 1, и 0 нечетно, то найдется номер 1 і п такой, что 9І = 0. Положим а — (9i,..., 0j_i, 1,0г+і,..., 0П). Тогда а 1, Iа! = И + 1J т-е- Iа! четно, и 9 а, и, следовательно, 0 Є и 72 С , откуда получаем, что = 72. (включение С 72. очевидно). Пусть # Є = 72. фиксировано. Слагаемое f {x-\-9(y—xty содержится в сумме левой части (7.12) только для тех 0 а 1, \а\ = 2г, 1 і (п —1)/2, для которых 9 а, т. е. когда 0 \а\ = 2г или, поскольку 0 нечетно, (0 + 1)/2 і (n — 1)/2.
Применяя формулу (7.13), находим, что количество слагаемых вида f(x+9(y—xj) слева в (7.12) равно (п-1)/2 Е СД где И = 1,3,...,п-2. г=(0+1)/2 Выражение вида f(x+6(y—ж)) входит один раз в последнюю сумму правой части и содержится в первой сумме правой части (7.12) для таких О ф а 1, \а\ = 2i — 1, где 1 г (п — 1)/2, для которых в а, так что \в\ Н = 2г - 1 или (0 + 1)/2 г (n - 1)/2 (поскольку 0 нечетно). Таким образом, согласно формуле (7.13) количество слагаемых вида f(x+9(y—x)j справа в (7.12) равно (71-1)/2 Е СпЧ ГИ + 1 101 = 1,3,...,71-2. і=(б+1)/2 Для \в\ Є {1,3,..., п — 2} следующее равенство (п-1)/2 (п-1)/2 Е г2г--0 _ \ г2г-1-\в\ . і=( ?+1)/2 =(в+1)/2 левая и правая части которого представляют собой соответственно количество слагаемых вида f(x+6(y—xjj слева и справа в равенстве (7.12), вытекает из формулы бинома Ньютона (заметим, что (—1)п \в\ = 1);
Слабый поточечный принцип выбора
В этом разделе приводится вариант теоремы 9.1, связанный со слабой поточечной сходимостью, для случая, когда значения функций лежат в рефлексивном сепарабельном банаховом пространстве (см. с. 40), который обобщает слабый принцип выбора из [25, глава 1, теорема 3.5] для функций одной переменной ограниченной вариации по Жордану. Теорема 10.1. Пусть (М, ) — рефлексивное сепарабельное банахово пространство, сопряженное пространство М к которому сепарабель-но, и пусть {fj} — последовательность функций, отображающих 1\ в М. Если для {fj} выполняется условие (9.1) и то найдутся подпоследовательность в {fj}, обозначаемая как исходная последовательность через {fj}, и функция / Є BV(I ] М), TV(/, 1%) С, такие, что fj{x) сходится слабо в М к f{x) для всех х Є 1%. Замечание 10.2. В теореме 10.1 условие (10.1) можно условием: значение с(а) = supjeN //(а) конечно. В самом деле, как вытекает из леммы 8.4 и условия (9.1) ДЛЯ ВСЄХ X Є la И j Є N. Доказательство. Идея доказательства взята из [39, теорема 7]. 1. Покажем сначала, что для j Є N и и Є М выполняется следующее неравенство: где функция (fj(-),u ): 1% —» К определяется по правилу (//(), м )(ж) = (fj(x),u ), х Є /д, а С есть постоянная из условия (9.1). В самом деле, для 0 а 1 и г, / Є /д, ж /, из определения (7.5), где d(u,v) заменено на абсолютное значение \и — v\ в К, а далее — на норму в М, вытекает, что Если "Р = { [с]}"=о — сеточное разбиение 1%, ТО V\a = {х[] [а}а\а=0 есть сеточное разбиение /д[а:, поэтому, полагая х — х[о — 1] и у = х[а\ в приведенных выше вычислениях, находим, что здесь, как и выше, суммирование по о [а производится только по тем координатам тг-, 1 О І КІ, г Є {1,..., п}, для которых си; = 1. В силу произвольности разбиения V основного прямоугольника 1\ имеем: так что неравенство (10.2) вытекает из определения полной вариации. Более того, из неравенства (Ю.1) следует, что поэтому последовательность {(/ (-)) )1 1 функций, отображающих 1% в (метрическую полугруппу) К, поточечно ограничена на 1%, а потому, поточечно относительно компактна для каждого и Є М . Применяя теорему 9.1 к последовательности функций {{fj( ),u )} jLi для произвольного элемента и Є М , найдем подпоследовательность последовательности {fj}, которую обозначим через {fj,u } (вообще говоря, зависящую от it ), и функцию ди Є BV(/J; К), TV(gu ,I%) Cu , такие, что (fj,u (x)iu ) — 9и {х) в К при j — со для всех ж Є /ц. 2. Используя диагональный процесс и сепарабельность пространства М , избавимся от зависимости последовательности {fj,u } от элемента и Є М . Пусть {г .} ! — счетное всюду плотное подмножество М .
Из шага 1 для и = и найдем подпоследовательность {/ } = {fj iJ jLi исходной последовательности {fj} и функцию од Є BV(/ ;]K), удовлетворяющую условию ТУ(од,/ СЦиЩ такие, что (f \x):ul) - од (ж) в К при j — со для всех х Є 1а- Далее по индукции если А; 2 и подпоследовательность {/- sJLi последовательности {fj} уже выбрана, то в силу неравенств (10.2) и (10.3) имеем: является подпоследовательностью исходной последовательности и удовлетворяет условию: 3. Теперь для заданного и Є М и х Є 1% покажем, что последо вательность {{fj{x),u )}jL1 является последовательностью Коши в К. Принимая во внимание равенство (10.4), можно считать, что и ф ик для всех к Є N. Пусть є 0 произвольно. В силу плотности множе ства {tifclfcLi в М найдется номер к = к(є) Є N такой, что \\и — и к\\ є/(4с(х) + 1). Из соотношения (10.4) вытекает, что существует номер Зо = Зо{є) Є N такой, что \{fj(x),u%) - (ff(x),ul)\ є/2 для всех j jQ и j jo- Следовательно, для таких j и f имеем: Таким образом, {(fj(x),u )}(j.1 — последовательность Коши в К, а, значит, существует элемент ди (х) Є К такой, что (fj(x),u ) —» ди (х) в К при j —» со. Другими словами, показано, что для каждого w Є М существует функция gu : і —+ К, удовлетворяющая условиям (см. лемму 8.3 и (10.2)): (и потому ди. Є BV(iJ;&)) и 4. Покажем, что fj(x) сходится слабо в М для всех ж G /J. В силу рефлексивности пространства М, fj(x) Є М = М = L{M \ К) для всех j Є N.
Определим функционал Gx: М — К по правилу: Gx{u ) = ди {х) для всех и Є М . Тогда из соотношения (10.5) получаем, что lim т.е. последовательность {fj(x)} =l С L(M ;K) сходится поточечно на М к функционалу Gx: М —» К. По принципу равномерной ограниченности Банаха-Штейнгауза ([5, гл. VII, 1.2, теорема 2]) Gx Є L(M ]K) = М и (За-1 Ит оо II/і(ж) II- Полагая /(ж) = G ж для всех х Є /„, находим, что /: 7д — М и для всех и Є М и х Є /д, а потому, /j(#) —» /(ж) в М при j — оо для ВСЄХ Ж Є І . 5. Остается доказать, что / Є BV(/J; М) и TV(/, /J) С. Условие (10.6) означает, что если ж, у Є 1%, х у, и 0 ф а 1, то в М при j — оо, поэтому согласно (7.3) и замечаний, предшествующих теореме 4.1 (см. с. 40),
