Содержание к диссертации
Введение
Глава I. К разрешимости проблемы А. Н. Кожогорова 17
I. Допустимые наборы 17
2. Три вариационные задачи для норм функции и ее производных 21
3. Функции 28
Глава II. Неравенства колмогорова для низших 33
I. Случай П = 3 33
2. Случай Я=4 40
3. Оценки для норм промежуточных производных 54
4. О единственности экстремальной функции 61
Глава III. Неравенства кожогорова в случае К = П 66
I. Предварительный результат 66
2. Решение задачи Е> 77
3. Некоторые оценки для нормы производной 84
4. О единственности экстремальной функции 91
Список литературы 95
- Три вариационные задачи для норм функции и ее производных
- Оценки для норм промежуточных производных
- Некоторые оценки для нормы производной
- О единственности экстремальной функции
Введение к работе
Диссертация посвящена вопросу получения точных кон -стант в неравенствах между верхними гранями абсолютных величин функции и ее производных на конечном отрезке. Решение этого вопроса интересно не только само по себе, но и в связи со многими приложениями: в теории приближения, в теории краевых задач обыкновенных дифференциальных уравнений, в теории автоматического регулирования и т.д.
Приведем краткий обзор результатов, посвященных оценкам нормы промежуточной производной в случаях всей действительной оси, полуоси и конечного интервала.
Остановимся теперь более конкретно на содержании диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы.
Текст в каждой из трех глав разбит на параграфы. Леммы, теоремы, следствия, замечания и формулы нумеруются независимо в каждом параграфе каждой главы. Так, например, формула с номером ( - tj tK) является / -ой формулой у-ого параграфа г -ой главы.
В первой главе диссертации вводится понятие допустимых наборов, в терминах которых формулируется задача Колмогорова для конечного отрезка I C° сі в случае J = 2 . Переобозначив Ко-О , КІ-К, , Кг-/г і рассматриваются тройки чисел Мо ІМКІ ІП Доказанные для допустимых набо -ров свойства позволяют рассматриваемый в диссертации частный случай проблемы Колмогорова, когда 1 о -1 и j - 2. , свести к некоторой вариационной задаче. Во втором параграфе формулируются три вариационные задачи для норм функции и ее производных, к любой из которых редуцируется рассматривав -мая задача Колмогорова, и доказывается их эквивалентность между собой. На основании этих вариационных задач определяются функции TV/ {&) , исследование которых позволяет получать качественную картину решения задачи Колмогорова в зависимости от параметров
Вторая глава диссертации посвящена случаю низших /г=3,
4. Основными результатами этой главы являются теоремы 2.1.2 и 2.2.2 об оценке промежуточной производной. На основании этих теорем задача Колмогорова полностью решена для ft =3, а ,для П =4 решена при условии . Пока зано, что для решения задачи Колмогорова, как и в случаях всей действительной оси и полуоси, необходимо и достаточно выполнение неравенств типа Колмогорова, которые приведены или в параметрической форме или в явном виде. Исследован также вопрос о функциях, называемых экстремальными, для которых эти неравенства обращаются в равенства. Кроме того, установлены некоторые свойства функции ф у (?) , на основе которых получены неравенства между нормами функции и ее производных в аддитивной и мультипликативной формах с точ -ными константами. Отметим, что независимо от диссертанта іеорему 2.1.2 на год позже доказал японский математик М.Са то [I].
В третьей главе рассматривается случай Я = л / при произвольном натуральном П , большем единицы. В этом еду -чае получено решение задачи Колмогорова в неявном виде. А именно, показано, что задача Колмогорова сводится к вариационной задаче
которую в семидесятых годах решил С.Карлин [1-3J. Исследуется также вопрос о дифференцируемо сти функции Ф ІІ Г ) . До - ІЗ казаны оценки для нормы (/г-/)-ой производной, которые уточняют результат В.И.Буренкова [ij.
В диссертации рассматривается также вопрос о единст -венности экстремальной функции в задаче Колмогорова.
На защиту выносятся следующие результаты:
1. Сведение задачи Колмогорова в случае конечного интервала I=0, ] и трех чисел Mo ,/VK» Мп к трем эквива -лентным между собой вариационным задачам о нормах функции и ее производных.
2. Решение задачи Колмогорова для и тройки чисел А/о %МН%М в случаях т [Ъ,41 к / ,••• " / и rt{2,37...j , / =/?-/.
3. Оценки для первой, второй, третьей и (/?-/)-ой производной.
4. Введение функций Pij (1? ) и их свойства.
5. Получение условий единственности экстремальной функции в задаче Колмогорова. Основное содержание диссертации изложено в работах диссертанта l-4J и совместной с А.Я.Лепиным работе flj. Результаты, содержащиеся в диссертации, неоднократно докладывались на семинарах по обыкновенным дифференциальным уравнениям в Вычислительном центре Латвийского государственного университета (руководитель проф. Ю.А.Клоков), на семинаре профессора В.М.Тихомирова в Московском государственном университете (1983 г.), на ежегодных научных конференциях Латвийского государственного университета им.П.Стучки (1979-1982, 1984 г.г.), на заседаниях Воронежской зимней математической школы (1981, 1983 г.г.), Школы по теории операторов в функциональных пространствах (1981 г., Иркутск; 1982 г., Минск; 1983 г., Рига).
Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю Арнольду Яновичу Лепину, а также всем участникам семинара по обыкновенным дифференциальным уравнениям в Вычислительном центре ЛГУ им.П.Стучки, которые своими замечаниями и предложениями содействовали написанию диссертации.
Три вариационные задачи для норм функции и ее производных
Рассмотрим следующие вариационные задачи: Даны числа Задача А . Найти Задача В . Найти Задача С . Найти Известно (см.В.Н.Габушин 14J), что в задачах /1 ,В ,С существуют экстремальные функции, то есть функции из пространства Wo(I) , для которых минимизируемый (в задачах А и С ) или максюлизируемый (в задаче В ) функционал достигает соответственно нижней или верхней грани. Вместо задач А ,В ,С будем рассматривать эквива -лентные им задачи: Даны числа МсуМк 0 yr\h O. Задача А. Найти Задача В. Найти Задача С. Найти Докажем, что Jt7c =yt/o . Очевидно, что у4/ не превосходит о . Предположим уы0 уМо . Обозначив через /о (г) экстремальную функцию в задаче А, получим допусти -мый набор (fy JZ, /UflliJlfo%) . Так как //."% /% и llfl /li М» то из теоремы I.I.2 следует, ЧТО ( f,у Г, А/к , Mh )є) . Но тогда i/fio yUo , а это противоречит предположению. Аналогично доказываются равенства Ju -yt/ , / =М В дальнейшем везде полагаем, что уК , ,уіїк,уМн, определенные в задачах А,В,С числа. Так как для любых М0» А/к О , М ъ- О в задачах А,В,С существуют экстремальные функции, то наборы {,yti0 , МІС, Лін), (Л Мс ,jtt ,Ми), {/,М ,Мк tJ0 ) ДОПУС-ТИМЬЮ и в дальнейшем будут называться экстремальными. Теорема I.2.I. Пусть МОуМк 0 , /7« S-0 . 1)(,М уМкуМ $Ь тогда и только тогда, когда Mo yt/c ; % )(,Mo,Мк,М»)еЗ) тогда и только тогда, когда Мк к ; 3)( )Мо)Мк)Мп) д тогда и только тогда, когда /% у . Доказательство. Так как в задачах А,В,С экстремальные функции существуют для любых / , Ліс , Мк О , Ми 0 ,то наборы ( Лу о, Мк 9Л1« ), ( Л /»/. ,уе/, ,//и ), ( /, /Vo , Мт М ) допустимые. Используя теорему I.I.2 и определения величин о , / ,y i, заканчиваем доказательство теоремы. Таким образом, решение задачи А.Н.Колмогорова сводится к решению одной из задач А,В,С. Покажем, что задачи А,В,С эквивалентны между собой. Для этого потребуется следующая Лемма I.2.I. ЇЬсть Мо Ми 0 ) ґґ,М 9М ,Ми) 2 и выполнено одно из неравенств Тогда существуют 0 Мо Мо Ml МК О Лін М„ , для которых Доказательство. Пусть выполняется неравенство (I.2.I). ВоЗЬМеМ ЧИСЛО СС , удовлетворяющее Оценкам 1 С( гп Су(/- Мо Для оС= сх zn yJS-oc ft в силу леммы I.I.I имеем по теореме I.I.2 получаем Следовательно, можно положить Если выполняется неравенство (1.2.2), то : (/, Mo , Пусть справедливо неравенство (1.2.3) и f0 (і) - экстремальная функция в задаче С. Можно считать, что /0 () имеет на 1 только изолированные максимумы и минимумы. Действительно, если, например, 0()-Мо для z? /" V ZZJс Т » то определим функцию где
О выберем таким, чтобы Тогда fi ({) соответствует набору ( 9 Мо , Мк у уМи ) и имеет изолированные точки максимума f и c z Пусть функция j-Q(y t раз достигает значения М0 и/о раз значение - А/о «Не уменьшая общности, считаем Г, t ,..,y для -/,.-., . При достаточно малых , 5" О функция удовлетворяет на I оценкам Взяв положительную константу для функции имеем Наконец, если сС выбрать из промежутка то можно положить Лемма доказана. Теорема 1.2.2. І) В задаче А уи0 = Мо тогда и только тогда, когда в задаче В ,/Ык - Мк \ 2) В задаче В ик-Мн тогда и только тогда, когда в задаче с jt«-M« ; 3) В задаче С у/ц=Ми тогда и только тогда, когда в задаче А ./ = // . Доказательство. Проведем доказательство только для первого утверждения, так как остальные два доказываются аналогично. Пусть yrto = Мо в задаче А. Тогда в силу первых двух утверждений теоремы I.2.I ( /, Л/о , Мк ,М ) ) и Мк -у к . Предполагая Мк у к , по лемме I.2.I имеем ( Л Мо М! , /% ) 0 , где Ml уг/о , Мк Мк , Ми Мп . Используя теорему I.I.2, получаем ( ,/ , Л/к, М« )б% и Ml + jSo , что противоречит первому утверждению теоремы 1.2,1. Таким образом Мк=у // Пусть теперь у /к = Мк в задаче В. Тогда из теоремы 1. с.1 следует ( /, Л/. , Л/, , Л/« ) 0 и //о у/ . Если Mo yUo , то в силу леммы I.2.I {, Мо , /%/ » /#/ ) «0 и MUMc . Ли? у / , Л/» .
По теореме I.I.2 получаем ( /, Мо , Л// , М ) и Л/к / А- , что противоречит второму утверждению теоремы I.2.I. Теорема доказана. Лемма 1.2.2. Для любых ,/5 ( + ) , Мо у Мк О у Доказательство. Докажем только первое равенство, так как остальные два доказываются аналогично. Обозначил через jUK правую часть первого равенства. Из допустимости на бора ( /, Mv, j4i ,АІи ) по лемме I.I.I следует допустимость (/ь іуосМе fi K 7 fi"M» ) . Предположив ot/3"yU« /й к »по лемме I.2.I найдется допустимый набор 7з- Л/% МкуМІ ) , ГДЄ Мс +осМо , Мк oC/b"jS М fi»M» . (1.2.4) Заменяя оС и /ъ на оС и уз-/ , применим к набору (pr t, Mo , М, у Ml ) лемму I.I.I. Тогда В силу (1.2.4) и теоремы I.I.2 имеем и ьС 1 /ъ кПк t/2/A- , что противоречит второму утверждению теоремы I.2.I. Лемма доказана. Лемма 1.2.3. Пусть Е у %єГ}Є і} =ґс , 5 7, Mo ,Мк ОуМ» .0 . Тогда 1) в случае (\ М А ,Ми) 0 jtiK - 4ff/lf%:fr№m, IffcMo, І/Ґ"% -Mh / ; 2) в случае (Є\ jj0 M, 7 M«) ) 3) в случае (Ґ, Mo,Мк у&(„) є З Доказательство. Ввиду аналогичности рассуждений докажем только первое утверждение. По теореме 1,1,2 (",//о , jt/кіМ» ) 0 для любого о е су с J . Предположив в силу леммы 1.2.1 имеем (S y Mo , MH y Ми ) Є ) , где MJ Mo , Mj yt/. , Ml M» . По теореме I.I.2 получаем (Є, Mo , M! , M» ) а Я . Но неравенство Ml У противоречит второму утверждению теоремы 1.2.I. Лешла дока-зана. Теорема 1.2.3. Пусть Ъ}м0 ут, , т , - по ложительные ЧИСЛа, ! " Ми у (fr trto ,/Мку Мц) : Я) JMK - определенное в задаче В число. Тогда где С пк уМк Доказательство. Положим оС=/м0Ло у/з-(/?7ҐМо/7інГІн ) щ Так как ( у ҐУТС ,МК, Мп) Я) и оъ/ъ с , то по теореме І.І.2 (/$ №о 7№к, гг7„ ) Є %) .В силу леммы 1.2.2 ПОЛучаеМ (f»T у pi Mo } оС/ЪК 1 yC/S Mh) -(рГ уМо уМК; № ) и Теорема доказана. Доказанная в предыдущем параграфе лемма 1.2.2 позволяет за счет выбора оС и /ъ в задачах А,В,С два из параметров / , Мо , Мк , Ми нормировать на единицу. Положим 7" = оу /7 и определим функции
Оценки для норм промежуточных производных
Получение явных выражений или оценок для yU в задаче В представляет практический интерес с точки зрения приложений в теории приближений, в теории краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и т.д. В этой связи целесообразно изучение функции где Т =[0,lj. Доказанные в предыдущих двух параграфах теоремы позволяют исследовать функцию Фпи () и установить явные оценки для yU« в случае п =3,4. Теорема 2.3.1. Если /7=3, / {1,2-} , 2 0 , то функция ФЪнСг) дважды непрерывно дифференцируема, монотонно возрастает и выпукла вверх. Доказательство. При z / функция 4\K(Z) В силу теоремы 2.1.2 может быть представлена в параметрическом виде Неравенства (2.3.2)-(2.3.6) проверяются элементарно. Учи -тывая, что Z =81 при #=- , получаем для С =0,1,2 Отсюда и из соотношений (2.3.2)-(2.3.6) вытекает утверждение теоремы. Следствие 2.3.1. Для /г=3, / е[4yZ] в задаче Ё имеют место следующие оценки: D при ГМҐМ И констант с? , Л нельзя увеличить; и ни одну из зя уменьшить; где с?за = 55-2. Доказательство. Полагая ьС= Мо1 и /з=/ , согласно лемме 1.2.2 имеем Обозначим через . Выписав уравнение пря мой, пересекающей график ФгкС ) при Я =0 и г =81, в силу выпуклости функции Фзк(г) получим первое утверждение. Составив уравнения касательных к графику функции Фгк(2) в точках 2 =0 и =81, на основании теоремы 2.3.1 получим второе утверждение. Наконец, третье утверждение следует из (2.3.1). Следствие доказано. Теорема 2.3.2. Для п =4, K fi Z l , 2 еГоу2іоЗ] функция Фпк(я) дважды непрерывно дифференцируема, монотонно возрастает и выпукла вверх.
Доказательство. Согласно теореме 2.2.2 функция Ф„, (2) при г 48(/P+SZfz) параметрически выражается следую -щим образом где Си=2%3 + , с ,г 3 40 9 с г = Я 3 , причем в (2.3.7) равенство выполняется при 4g(j$+12?2) 4z 2103 Непосредственным дифференцированием получаем при от 48(41+12.72) до 0. Нетрудно проверить, что и V (г) непрерывны в точке = 48(/?+ /2. я?) при г =0,1,2. Отсюда, учитывая (2.3.8) и (2.3.9), заключаем, что теорема полностью доказана. Следствие 2.3.2. Для п =4, Ke[/yZ Sj в задаче В имеют место следующие оценки: Xi - 4ЇУІ-С6 #ъ =/92 и ни одну из констант а к 4 нельзя увеличить; Ач= jfl B2, = g Лгг = fa3-2 ) У &гг = 20(Ъ+г? 2) , Аг1 = Взі = /22 Аъг= Сг-Тг) , Взг = /z(fo + 7Z) и ни одну из констант /\кг , Вкс нельзя уменьшить; 3) при Є МҐМ 4 (тпУЕ) где С„=2?3- } c+z= Ъ /0 , С г= 2 ЗІ и ш Д из констант С ік нельзя уменьшить. Доказательство. Взяв /.-Мо и yS = , на основа -нии леммы 1.2.2 имеем Обозначим через z = % Первое утверждение следствия вытекает из выпуклости функции Ф к () , если написать уравнение прямой, пересекающей график Ф ,к() при z =0 и в = 4S(i?+1Ztfz) . Третье утверждение следует из (2.3.7). Уравнения касательных следует из (2.3.7). Уравне -ния касательных к графику функции Ф«к (г) в точках г=о и z = 48(f?+ /27z) имеют соответственно вид Прямая ZK(Z) является касательной в точке z=4#f/P+/2/2) для выпуклой вверх функции FK (Z) - С .
Тогда согласно третьему утверждению для & 48(/+ fZfT) полу -чаем Отсюда и в силу теоремы 2.3.2 устанавливаем второе утверждение. Следствие доказано. Так как при /V/ // 2,03 неравенство из третьего утверждения следствия 2.3.2 может быть строгим, то имеет смысл привести для у к оценку снизу. Известно (см.Шенберг И., Каваретта А.[і]), что в случае I = R+ в задаче у экстремальной функции К-ая производная принимает наи большее значение в нуле и /7К - . Взяв су жение этой экстремальной функции на [оу ] , получаем оцен ку цк /UH . Следовательно, если , то где численное значение константы 2)г,к можно найти в работе Шенберга И. и Каваретты А.[і]. дифференциальных уравнений и т.д. В этой связи целесообразно изучение функции где Т =[0,lj. Доказанные в предыдущих двух параграфах теоремы позволяют исследовать функцию Фпи () и установить явные оценки для yU« в случае п =3,4. Теорема 2.3.1. Если /7=3, / {1,2-} , 2 0 , то функция ФЪнСг) дважды непрерывно дифференцируема, монотонно возрастает и выпукла вверх. Доказательство. При z / функция 4\K(Z) В силу теоремы 2.1.2 может быть представлена в параметрическом виде Неравенства (2.3.2)-(2.3.6) проверяются элементарно. Учи -тывая, что Z =81 при #=- , получаем для С =0,1,2 Отсюда и из соотношений (2.3.2)-(2.3.6) вытекает утверждение теоремы. Следствие 2.3.1. Для /г=3, / е[4yZ] в задаче Ё имеют место следующие оценки: D при ГМҐМ И констант с? , Л нельзя увеличить; и ни одну из зя уменьшить; где с?за = 55-2. Доказательство. Полагая ьС= Мо1 и /з=/ , согласно лемме 1.2.2 имеем Обозначим через . Выписав уравнение пря мой, пересекающей график ФгкС ) при Я =0 и г =81, в силу выпуклости функции Фзк(г) получим первое утверждение. Составив уравнения касательных к графику функции
Некоторые оценки для нормы производной
Получение явных выражений или оценок для yU в задаче В представляет практический интерес с точки зрения приложений в теории приближений, в теории краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и т.д. В этой связи целесообразно изучение функции где Т =[0,lj. Доказанные в предыдущих двух параграфах теоремы позволяют исследовать функцию Фпи () и установить явные оценки для yU« в случае п =3,4. Теорема 2.3.1. Если /7=3, / {1,2-} , 2 0 , то функция ФЪнСг) дважды непрерывно дифференцируема, монотонно возрастает и выпукла вверх. Доказательство. При z / функция 4\K(Z) В силу теоремы 2.1.2 может быть представлена в параметрическом виде Неравенства (2.3.2)-(2.3.6) проверяются элементарно. Учи -тывая, что Z =81 при #=- , получаем для С =0,1,2 Отсюда и из соотношений (2.3.2)-(2.3.6) вытекает утверждение теоремы. Следствие 2.3.1. Для /г=3, / е[4yZ] в задаче Ё имеют место следующие оценки: D при ГМҐМ И констант с? , Л нельзя увеличить; и ни одну из зя уменьшить; где с?за = 55-2. Доказательство. Полагая ьС= Мо1 и /з=/ , согласно лемме 1.2.2 имеем Обозначим через . Выписав уравнение пря мой, пересекающей график ФгкС ) при Я =0 и г =81, в силу выпуклости функции Фзк(г) получим первое утверждение. Составив уравнения касательных к графику функции Фгк(2) в точках 2 =0 и =81, на основании теоремы 2.3.1 получим второе утверждение. Наконец, третье утверждение следует из (2.3.1). Следствие доказано. Теорема 2.3.2. Для п =4, K fi Z l , 2 еГоу2іоЗ] функция Фпк(я) дважды непрерывно дифференцируема, монотонно возрастает и выпукла вверх.
Доказательство. Согласно теореме 2.2.2 функция Ф„, (2) при г 48(/P+SZfz) параметрически выражается следую -щим образом где Си=2%3 + , с ,г 3 40 9 с г = Я 3 , причем в (2.3.7) равенство выполняется при 4g(j$+12?2) 4z 2103 Непосредственным дифференцированием получаем при от 48(41+12.72) до 0. Нетрудно проверить, что и V (г) непрерывны в точке = 48(/?+ /2. я?) при г =0,1,2. Отсюда, учитывая (2.3.8) и (2.3.9), заключаем, что теорема полностью доказана. Следствие 2.3.2. Для п =4, Ke[/yZ Sj в задаче В имеют место следующие оценки: Xi - 4ЇУІ-С6 #ъ =/92 и ни одну из констант а к 4 нельзя увеличить; Ач= jfl B2, = g Лгг = fa3-2 ) У &гг = 20(Ъ+г? 2) , Аг1 = Взі = /22 Аъг= Сг-Тг) , Взг = /z(fo + 7Z) и ни одну из констант /\кг , Вкс нельзя уменьшить; 3) при Є МҐМ 4 (тпУЕ) где С„=2?3- } c+z= Ъ /0 , С г= 2 ЗІ и ш Д из констант С ік нельзя уменьшить. Доказательство. Взяв /.-Мо и yS = , на основа -нии леммы 1.2.2 имеем Обозначим через z = % Первое утверждение следствия вытекает из выпуклости функции Ф к () , если написать уравнение прямой, пересекающей график Ф ,к() при z =0 и в = 4S(i?+1Ztfz) . Третье утверждение следует из (2.3.7). Уравнения касательных следует из (2.3.7). Уравне -ния касательных к графику функции Ф«к (г) в точках г=о и z = 48(f?+ /27z) имеют соответственно вид Прямая ZK(Z) является касательной в точке z=4#f/P+/2/2) для выпуклой вверх функции FK (Z) - С .
Тогда согласно третьему утверждению для & 48(/+ fZfT) полу -чаем Отсюда и в силу теоремы 2.3.2 устанавливаем второе утверждение. Следствие доказано. Так как при /V/ // 2,03 неравенство из третьего утверждения следствия 2.3.2 может быть строгим, то имеет смысл привести для у к оценку снизу. Известно (см.Шенберг И., Каваретта А.[і]), что в случае I = R+ в задаче у экстремальной функции К-ая производная принимает наи большее значение в нуле и /7К - . Взяв су жение этой экстремальной функции на [оу ] , получаем оцен ку цк /UH . Следовательно, если , то где численное значение константы 2)г,к можно найти в работе Шенберга И. и Каваретты А.[і]. дифференциальных уравнений и т.д. В этой связи целесообразно изучение функции где Т =[0,lj. Доказанные в предыдущих двух параграфах теоремы позволяют исследовать функцию Фпи () и установить явные оценки для yU« в случае п =3,4. Теорема 2.3.1. Если /7=3, / {1,2-} , 2 0 , то функция ФЪнСг) дважды непрерывно дифференцируема, монотонно возрастает и выпукла вверх. Доказательство. При z / функция 4\K(Z) В силу теоремы 2.1.2 может быть представлена в параметрическом виде Неравенства (2.3.2)-(2.3.6) проверяются элементарно. Учи -тывая, что Z =81 при #=- , получаем для С =0,1,2 Отсюда и из соотношений (2.3.2)-(2.3.6) вытекает утверждение теоремы. Следствие 2.3.1. Для /г=3, / е[4yZ] в задаче Ё имеют место следующие оценки: D при ГМҐМ И констант с? , Л нельзя увеличить; и ни одну из зя уменьшить; где с?за = 55-2. Доказательство. Полагая ьС= Мо1 и /з=/ , согласно лемме 1.2.2 имеем Обозначим через . Выписав уравнение пря мой, пересекающей график ФгкС ) при Я =0 и г =81, в силу выпуклости функции Фзк(г) получим первое утверждение. Составив уравнения касательных к графику функции
О единственности экстремальной функции
Теорема 3.4.1. Если п {гуъ,.. . \ 9 к-п- , то в задаче В 1) для Є"МҐМ» 2г чп/с ьл" & существует единственная экстремальная функции 2 ппМн (n.O Fn (zf 1-6 У), где Ft,(x) - полином Золотарева [I ] такой, что 2) для / - /c 2"J / fy 2 V существует бесконечно много экстремальных функций, каждая из которых на отрезке [O fy WMoM )" ссЛ2- /совпадает с Доказательство. При K=n-i задача В в силу теоремы 3.2.2 эквивалентна задаче (3.2.6). Из результатов С.Карлина [і-З] следует, что в задаче (3.2.6) функция где - полином Золотарева, является экстремальной, если выполнены условия Покажем, что при ограничении (3.4.1) 0 () является единственной экстремальной функцией в (3.2.6), а следова -тельно и в задаче В Сестественно, не считая функций — foft) Предположим, что в задаче (3.2.6) существует еще экстремальная функция ft) , отличная от /е ft) . Рас смотрим функцию Из свойств полинома Золотарева следует, что f0@) имеет П точек альтернанса 0=Го Г/,..., »-2 Fh-i = } Если существует оєІ такое, что то из и (3.4.2) следует, что (4 h 1 (ё) ка.Г0,ёо] не убывает, а Ы(6) не убывает на fo?j . Так как Ur" 4o) = (P ,то получаем и(ё) = 0 для г еГй, г У. Из получаем и(4) = О для ё efe0 J . Следовательно, и(ё) = 0 для
Предполагая, что (3.4.2) не выполняется, докажем, что #7 на I имеет по крайней мере П-2 перемен знака. Для этого достаточно показать, что для любого ёб[0 . .., rt-2j на интервале ( : "c+i) найдется 4 такое, что Для определенности рассмотрим интервал « = (%- , - ) . Если найдется еєЗ такое, что 0((-6) 0 t то ілзМ(? -г)&0 по теореме Лагранжа следует существование Ли-г такого, что и (Лп-г) + 0 . Если найдется ё = такое, что tffe) 0 , то из Ц(Еп-і) 0 по теореме Лагранжа следует существование V такого, что ts f S ,-z) О . Если Uft)-О для любого -6 $ , то получаем случай (3.4.2). Отсюда вытекает, что u fe) по крайней мере п-2 раз изменяет знак на I , причем точно /7-2 перемен знака возможно только в случае и (Є) 0 Так как U (+) 0 для 7 и c/f"- Yo) = o ,то и н ()ъО для -6єі . Отсюда следует, что и () на/ изменяет знак не более Н-2 раз. Получается, что tt ft) имеет на I ровно /г - 2 перемен знака. Но при этом должно вьшолняться неравенство U () О . Полученное противоречие доказывает, что (() = О у 1. Рассмотрим теперь случай Если fM - экстремальная функция в задаче В, то полагая аС=1 и fi = 2г fa/) crt2-— / А/о /?» , на основании леммы 1.2.2 от задачи В переходим к эквивалентной задаче в которой У- Lo,/fi 1l = 1 и экстремальная функция Очевидно, что Из работ С.Карлина [і-З] следует, что можно взять то полином Золотарева fi(x)=2f crt2 %(crt2 X - ) и экстремальной функцией в задаче В в силу вышедоказанного первого утверждения является единственно Так как IIп „ IIі II-г о l/i , то из теоремы 1.2.2 следует /I JIJ=MC , /1&с" /1т = 2 - п/се 2»- ; С"Mo . Таким образом ho (6) является экстремальной функцией в задаче В при условии (3.4.3) и, следовательно, /loft) = J () для Т . Отсюда получаем для Учитывая теперь, что (/ ) = А1о и f (fif) - О , можно для изменять с"] (т) в пределах от -А/ до+Л/ так, чтобы /fft)I Mo для /! ,] . Таким образом получим второе утверждение.
Теорема доказана. Заметим, что в случае п =2 второе утверждение теоремы 3.4.1 остается в силе и при Mo М ZZ""1H! Арестов В.В. 1. О наилучшем приближении операторов дифференцирования. -Матем.заметки, 1967, I, №2, с.149-154. 2. О точных неравенствах между нормами функций и их произ -водных. - Acta.Sci. Math. , 1972, 33, № 3-4, р.243 -267. 3. О некоторых экстремальных задачах для дифференцируемых функций одной переменной. - Труды МИАН СССР, 1975, 138, с.3-28. Ахиезер Н.И. I. Элементы теории эллиптических функций. - М.:Наука, 1970. - 304 с. Бабенко В.., Пичугов С.А. I. Замечание к неравенству А.Н.Колмогорова. - В кн.: Исслед. по соврем.пробл.суммир. и приближ.функции и их прилож. Днепропетровск, 1980, с.14-17. Бердышев В.И. I. Наилучшие приближения в L (о, ?) оператора дифферен -цирования. - Матем.заметки, 1971, 9, № 5, с.477-481. Бернштейн С.Н. I. 0 теореме В.А.Маркова. - Собр.соч., М., изд. АН СССР, 1952, т.2, с.281-286. Буренков В.И. I. 0 точных постоянных в неравенствах для норм промежуточных производных на конечном интервале. - Труды МИАН СССР, 1980, 156, с.22-29.
