Неравенства между нормами производных функций с ограничениями на старшую производную Зернышкина Елена Александровна

Редукция задачи о точной константе в неравенстве Колмогорова с односторонней нормой второй производной в L2(R) к задаче в L2(0,1) на классе выпуклых функций

Для обоснования оценки сверху для константы К+ нам понадобятся два вспомогательных утверждения. В следующей лемме мы покажем, что для нахождения точной верхней грани функционала Ф в (1.22) можно рассматривать кусочно-полиномиальные функции на заданном отрезке. Лемма 9. Пусть задана функция у Є W+, отрезок [а, Ь] и число 5 0. Тогда найдется кусочно-полиномиальная на [а, Ь] функция Р, обладающая следующими свойствами: 1) Р (а) = Р (Ь) = 0; 2)\Щу)- [аМ(Р)\ 5. Таким образом, Я+ = 8ирФ[а ц(Р), где верхняя грань берется по кусочно-полиномиальным функциям Р, обладающих свойством 1). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть у Є W+. Зафиксируем є Є (0,1). Из факта конечности константы в неравенстве (1.1) следует, что функция у принадлежит пространству L2(R). Кроме того, у — 0 и у — 0 при х — со. Следовательно, найдется число Т = ТЕ 1, такое, что выполняются свойства J у\х) dx є2, І (у (х))2 dx є2, J (у і(х))2 dx є2; \х\ Т \х\ Т \х\ Т \у(х)\ є, \у (х)\ є при \х\ Т. Функция у является локально абсолютно непрерывной, следовательно, функция у" суммируема на отрезке [—Т,Т]. Поэтому найдется число N О, такое, что Ь" - (y")N\\v(,T) , где (у")дг(ж) = max {у"(х), — N}. Функция (y")N принадлежит пространству L2(—Т, Т), т.к. она представима в виде суммы функции y"+ Є L2(—T,T) и ограниченной функции (y")N — y+-.

Таким образом, для произвольной функции у Є W+ и любого є Є (0,1) мы нашли отрезок А = [—Т — \/3\,Т + \а\] и построили на нем кусочно-полиномиальную функцию р = Ре-, производная которой обращается в нуль на концах отрезка. Полагаем р(х) = 0 вне отрезка А. Из леммы 9 следует, что для решения задачи (1.22) достаточно изучать на каком-либо отрезке Л кусочно-полиномиальные функции, производная которых обращается в нуль на концах отрезка. Пусть функция у удовлетворяет этим условиям на некотором отрезке А. Представим отрезок А в виде объединения конечного числа отрезков Aj, таких, что производная у обращается в нуль на концах этих отрезков и сохраняет знак внутри них. Обозначим J множество индексов j, таких что у ф О на Aj.

В силу свойства инвариантности (1.6) можем считать, что Aj0 = [0,1] и что функция у монотонно возрастает на Aj0. Напомним, что у (0) = у {1) — 0. Покажем, что выполняется неравенство Ф[од](2/) К (Ю Если у" 0 на отрезке [0,1], то у Є /, и требуемое неравенство очевидно. Предположим теперь, что у" не всюду положительна. Производная у непрерывна на отрезке [0,1], следовательно, она достигает своего наибольшего значения в некоторой точке XQ Є (0,1). Обозначим г = x + У{1у Ы 0) Из неравенства у(1) - у(х0) = у (0(1- а?о) 2/ Ы(1-яо) следует, что г 1.

Производная y[ построенной таким образом функции у\ неотрицательна, причем з/і(0) = 0, шаху[(х) = y[{f) и на отрезке [f, 1] у[(х) = y[(f). Предположим, что на некотором интервале (а, Ь) С (0, —) выполняется неравенство у [(х) 0, т. е. функция у[ убывает на интервале (а, 6). Тогда найдется точка d Є (6,1], такая, что у[(а) = y i(d) и для любого х в (a, d) у[(х) у[(а) = y[(d). Положим т = а+ Ча) — и ввеДем функцию Уі(х), х Є [0, а], 0і(ж)= у[(а) (х -а) +Ї/1 (а), ж Є [а, г], 2/1 (ж + d — г), ж Є [т, 1 — d + r]. Функция У2(х) = ді({1 — d + т) х) является непрерывно-дифференцируемой функцией, определенной на отрезке [0,1], с неотрицательной производной, равной нулю при х = 0. Сравнивая с помощью леммы 10 интегралы от функций у\ и т/2 и их производных, получим аналогично сделанному выше [0Д](Уі) - F1V2 п. ,л .,1/2 H llL O.l-d+r) IIV#IJ + IIL2(0,1-CM) _ 11 11 (0,1) _ ,, " !TnV2 и/ ,л „1/2 - Ф[0Д](У2). ІІУ2ІІ (о,і)ІІ(Й) + ІІ (о,1) При построении функций J/1 из у, 2/2 из 2/1 и т-Д-5 ясно, что при этом по крайней мере на один интервал выпуклости вверх становится меньше. Так как исходная функция у имела конечное число интервалов выпуклости вверх, то за конечное число N шагов мы построим функцию ум, монотонно возрастающую и выпуклую вниз на отрезке [0,1], производная которой обращается в нуль при х = 0. Следовательно, ум Є U., с учетом равенства K(U) = л/ (следствие 1 к теореме 2), и неравенство К+ л/. С учетом доказанной в лемме 8 оценки снизу для константы К+1 получаем утверждение теоремы 1.

Оценка снизу для точной константы в неравенстве между нормой периодической функции и нормой положительной срезки ее производной

Если функция у\ не является неубывающей на [—7г, 7г], то на интервале {х\,Х2) найдется точка а локального максимума функции т/і(ж). Предположим, что 2/1 (а) 0. Так как у\{а) уг(х2) — М, то на (a, XQ\ найдется точка 6, такая что у\(Ъ) — У\{р), причем Ї/І(Ж) І2/і(а) на интервале (а, Ъ). В случае, если у\{а) 0, то такая точка Ъ найдется на [хі,а). Тогда функция у2, определенная следующим образом , N уі(х), х t (М); 2/2 (я) = [ У\(а), х Е (а, 6), является непрерывной, обладает свойством (2.1), причем нетрудно полу-чить неравенство Ф+(уі) Ф+(у2). Повторяя при необходимости этот процесс, за конечное число шагов (так как исходная функция имеет конечное число точек экстремума) получим неубывающую на отрезке [—7Г, 7г] функцию у Є Vі, для которой Ф+(У) Ф+(3/) Учитывая неравенство Cp iV1) 2CPjq(Q1), доказанное в лемме 11, получаем при рф 0, 1 7 со CP,q(Ql) ZC Q1). (2.11) Перейдя в неравенстве (2.11) к пределу при р — +0 получим аналогичное неравенство и в случае р = 0. Докажем теперь, что аналогичное неравенство выполняется и для константы Cp q(Q+). Без ограничения общности (в силу периодичности) можем считать, что для функции у Є Q\ справедливо у {—їх) = у(п) = 0. Рассмотрим функцию ( у(2х-тг), жє[0,7г]; [ -у(-2х-тг), хе [-тг,0]. Функция (ж) — нечетна, а следовательно, удовлетворяет условию (2.1) и принадлежит классу Q _. Значит, для функции д выполняется неравенство (18) на классе Q+, из которого, в силу равенств \\д\\ьр — Ы\ьр, \\9+\\L = ЧУ +WLI получаем \\y\\Lv 2Cp,q(Q\)\\y +\\Lq. А значит, верно неравенство Cp,q(Ql) 2CPlff(Qi) = IC Q1) = 2Cp,q(Q2). С учетом неравенства (2.6), доказанного в лемме 13, доказательство теоремы 3 завершено. 2.3.2 Оценка сверху для константы в неравенстве Виртин-гера—Стеклова В данном параграфе будет приведена оценка сверху для точной константы Cp,q(Q\) и тем самым, с учетом доказанных в п. 2.2 оценок снизу, доказано следующее утверждение. Теорема 4. При всех 0 со, 1 7 оо справедлива оценка снизу Cp,q{Q+) — 2CPjq,(Q ). При всех 1 р оо, 1 7 оо справедлива оценка сверху Cp,q{Q+) 2CPyq(Q ). При этом в случаях р = 2, 1 q оо и р — оо, 1 q оо имеет место равенство Cp,q{Q + ) — 2CPjq(Q ). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В случае q = оо справедливость теоремы следует из доказанного в [10] равенства CP)00(Q+) = 2CP)00(Q3) = 2CPiOQ(Q1). Поэтому далее в доказательстве предполагаем, что q ф оо.

Из леммы 15 следует, что при нахождении величины СРЛ(0;\) верхнюю грань функционала Ф+ достаточно рассматривать на подмножестве функций из Q+, сужение которых на отрезок [—7г, 7г] является многочленом. В силу периодичности можем считать, что функция у Є Q\, 2/ 0, являясь кусочно-полиномиальной на отрезке [—7Г, 7г], равна нулю на концах отрезка. Построим неубывающую функцию g с нулевым средним значением на отрезке [—7г,7г], для которой справедливо неравенство Ф+(д) Ф+(у). Обозначим Е+ и Е множества точек х Є (—7г, 7г), для которых функция у принимает положительные и, соответственно, отрицательные значения. Из того, что среднее значение на отрезке [—7г, 7г] функции у равно нулю следует, что эти множества непусты. Пусть функция у достигает своего минимального значения т в точке хт и максимального значения М — в точке хм- Обозначим а\ — наименьший нуль функции у, для которого хт ах, и ( — наибольший нуль функции, такой что аг #м-

Из равенств (2.12) и (2.13) следует, что среднее значение функции у\ на отрезке [т1,гг] совпадает со средним значением на отрезке [—тг, 7г] функции у, и, следовательно, равно нулю.

Предположим, что на интервале (0, хм — а 2) функция yi имеет точку локального максимума х\, Уі(хі) = Мі. Из непрерывности функции у і и неравенства Мі М — уі(хм — яг) следует, что на отрезке [хі, хм — о2] найдется точка Х2, такая что yi(x2) = Mi и для всех х Є [хі, Х2] справедливо неравенство уі(х) Мі.

Оценка сверху для константы в неравенстве Шмидта

Функция у — кусочно-полиномиальная, следовательно, имеет на отрезке [—7г, 7г] конечное число интервалов монотонности. Тогда, повторяя и применяя этот процесс также и для промежутков убывания при х О, за конечное число шагов получим функцию ум, определенную на некотором отрезке [а, Ь] (длина которого меньше 2тт), с нулевым средним значением и неубывающую на этом отрезке. При р = 2,р = оо и любом 1 q оо выполняется равенство CP)g(Q .) = 2CPjg(Q3), которое получается с учетом доказанной в следствии 2 к лемме 13 оценки снизу (2.8). Теорема 4 доказана. 2.4 Исследование вопроса существования экстремальной функции В данной части мы исследуем вопрос о существовании экстремальной в неравенстве (18) функции (т. е. функции, на которой неравенство обращается в равенство, или, что то же самое, достигается точная верхняя грань функционала Ф+). А именно, докажем следующее утверждение. Теорема 5. В неравенстве (18) экстремальной, не равной тождественно нулю функции, принадлежащей классу Q3+(q), 1 q оо, не существует для всех значений 0 р оо при j = 1,2 и для всех значений 1 р оо при j = 3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим обратное — пусть Y Є Q+(q), Y ф О, 1 q оо, есть экстремальная в неравенстве (18) функция. 1) Рассмотрим случай, когда Y Є Q\(q)- Если q — 1, то из периодичности функции Y следует, что среднее значение ее производной равно нулю. Тогда 7Г 7Г [ \Y {x)\dx = 2 [Y[(x)dx, — 7Г —7Г и следовательно, Ф+(У) = 2Ф(У). Так как экстремальной функции в неравенстве (10) при q = 1 не существует, то экстремальной функции в неравенстве (18) при q = 1 также не существует. Действительно, Ф+(У) = 2Ф(У) 2CUQ1) = C iQl). Пусть далее g 1- Пусть max Y{x) = Y(XM) = М, min Y(x) = ХЄ[—7Г,7Г] XS[ — 7Г,7Г] Y(xm) = — М. В силу периодичности функции можем считать, что У(7Г) = У( — 7г) = 0 И — 7Г Хт Хм 7Г Рассмотрим случай 0 р оо. Нетрудно проверить, что для функции У, определенной на отрезке [—я-, 7г] по формуле Y(x) = і ум, хе [хм, ], выполняются неравенства УІр УІР, +L« +L?-Рассмотрим последовательность функций ТУ / ч I У(Ж) Ж [жМ,7Г-1/п], Уп{х) = I пМ(п — #), Ж Є [ТГ — 1/п, 7Г], при п таких, что 7г — 1/п хм- Нетрудно проверить, что byU.-inF„o= 2П7Г Отсюда получаем, что lim УПЬР = IIУ\\ц и, следовательно, для любого П-+0О є 0 найдется номер iV и функция Удг Є Q+, для которой FU, - \\YN\\LP є-. Положим є — \\Y\\LP — УІ,Р. Тогда получим УЛГІ,Р І2 ) кроме того, (У )+іи« = ll +IU«» значит, Ф+(Улг) Ф+QO, т.е. функция У — не экстремальная. Рассмотрим теперь случай р — оо, q ф 1. Пусть 0 6 п — хм, к — — 1. Для принадлежащей классу Q\ функции У, определенной 27Г — о на отрезке [—7г, 7г] по формуле vis І У(«(а: + 7Г)-7Г) ЖЄ [-7Г,7Г-5], Y(x) = \\ f(7T-x), X Є [ТГ-5,7Г], справедливы неравенства цу_Пи K\\YI\\L \\Yi\\Le Хм Так как при этом Уі, = Ух5 то Ф+(У) Ф+(У), т.е. функция У — не экстремальная. 2) Рассмотрим случай, когда Y Є Q\. Без ограничения общности (в силу периодичности функции) можем считать, что У(0) = 0. Функция Y, определенная на отрезке [—7г, 7г] по формуле vV , f - (-2 ), Є[-тг,0], Y(x) = [Y(2x)J яЄ[0,7г], принадлежит классу Q+. Так как на классе Q\, как показано выше, не существует экстремальной функции для всех значений 0 р со, то справедливо строгое неравенство Ф+(У) Cp q{Q\). Отсюда, с учетом равенств Ф+(У) = 2Ф+(У) и Cm(Q2+) = 2CM(Qj.) следует, что Ф+(У) Cp,q{Q+)i т-е. функция У не является экстремальной.

Рассмотрим случай, когда У Є Q\. Как было доказано в теореме 4, при 1 р со можно построить определенную на [—7г, 7г] и монотонную на этом отрезке функцию У с пулевым средним значением, для которой верно неравенство Ф+(У) Ф+(У). Рассмотрим последовательность {уп}=1 периодических функций. Положим 1 г 1 ап = —7Г + -=; г, Ьп = 7Г + -== пУ (—7Г) пУ (7Г) и определим на отрезке [ап, Ьп] функцию уп следующим образом 0"П X-z-:, ап + 7г У(х), ;У(-7г), X Є [о„,-7г], Уп(х) = X Е [—7Г,7Г], :У(тг), жЄ[7г,Ь„]; k 6П — 7Г продолжим эту функцию с периодом Ъп — ап на всю ось. Функция уп непрерывна, возрастает на отрезке [—7Г, 7г] и удовлетворяет свойству (2.3), что следует из свойств функции У и выбора ап,Ъп. / ч fbn — ап Ъп-\- ап\ Функция дп{х) — уп — х -\ является 27г-периодической \ 2л 2 у абсолютно непрерывной функцией, удовлетворяющей условию (2.3). Нетрудно проверить равенства ыи = yU, \\9n\\PLv п 0"п LP 27ГІІУЦ?, + \Г(-п)Г \(тг)Г п р+1 р оо, \ш + « \ -\ q \\Y h„ 1 ? Отсюда получаем, что ИтФ+(дп) =Ф+(У), l p oo,l q oo. п— 00 Следовательно, для любого є О найдется номер N и, значит, функция дн, для которой выполняется неравенство Ф+(У) - Ф+(#лг) є.

Полагая є = Ф+(У) — Ф+(У), получаем Ф+(У) Ф+(#лг), что противоречит предположению об экстремальности функции У. Теорема 5 доказана. Символом / в дальнейшем будет обозначаться конечный или бесконечный интервал. Пусть 1 (1), 0 р со, есть пространство измеримых функций у с суммируемой на / степенью \у\р, L(I) — пространство измеримых существенно ограниченных функций на /, a L0 — L(I) — пространство измеримых функций, у которых суммируема функция ln+ \у\ = ln(max(l, \у\)). На этих пространствах рассмотрим функционалы х \ , 0 р со, I У\\щж) = I / \y(x)\pd х I , 0 р со, —со а Ь +со, 1ЬЬм=( /»( )ГЛ MU(J) =Є88 8иру(ж), хЄІ \у\\ь(а,ь) = exp I -g— / \n\y{x)\d, x J , —со a b +co.

Исследование вопроса существования экстремальной функции

Если для функции у Є L функция In \y\ не является суммируемой, а точнее, (неположительная) функция 1п_ у = ln(min(l, \у\)) не является суммируемой (например, у обращается в нуль на множестве положительной меры), то в этом случае полагаем \\у\\ь = 0. Введенные функционалы являются нормами только при 1 р +со . 1. Пусть Wn(r,p) есть класс функций у Є Lr(]R), у которых производная /(n_1) локально абсолютно непрерывна и у Є LP(IR). Обозначим через К = K{n,k,r,p,q) точную (т.е. наименьшую) константу в неравенстве Il2/( »IU.(R) ІМІ уіг/МН ж), у Є W»(r,p); Jfc-i+i (1) О к п, а = % г п- І + 1 р г Пусть W+(r,p) — класс функций у Є ЬГ(Ж), у которых производная у(п-1) — локально абсолютно непрерывна и у+ Є LP(M): где у+(х) = тах{0,г/ (ж)}. Обозначим if+ = K+(n,k,r,p,q) точную константу в неравенстве ЫЧщЩ 11 111 )11 11 ). У є Щ(г,р), fc-i+i (2 О к п. а — \. п- i + i Неравенства вида (1) впервые появились в 1912 г. в работе Г. Г. Харди и Дж. Е. Литтльвуда [13]; они показали, что при p = q = r = oow. любых п и к (1 к п) неравенство (1) имеет место с некоторой конечной константой. Первые точные неравенства (с наименьшими константами) были получены Е. Ландау [15] (для функций, определенных на полуоси) и Ж. Адамаром [12] (для функций, определенных на оси) при п = 2, к = 1} р = q = г = оо. Фундаментальный результат в этой тематике принадлежит А. Н. Колмогорову [8] (см. также [9, с. 252-263]); в 1939 г. он нашел точную константу в неравенстве (1) при р = q = г = сю для всех п и к (1 к п). Поэтому неравенства для норм промежуточных производных часто называют неравенствами Колмогорова.

В настоящее время большое число работ посвящено исследованию неравенства (1) и его связи с другими экстремальными задачами. Неравенства (1) играют важную роль для многих областей математики и ее приложений — математического анализа, теории аппроксимации (например, в задаче Стечкииа о приближении неограниченных операторов ограниченными), теории вложения функциональных пространств, теории неустойчивых задач, в задачах оптимального восстановления и др. Неравенства вида (1) на оси и/или полуоси исследовали В. В. Арестов, В. И. Бердышев, А.П.Буслаев, В.Н. Габушин, Н.П.Купцов, Ю.И.Лю-бич, Е. Ландау, Г. Г. Магарил-Ильяев, А. П. Маторин, Е. Стейн, С. Б. Стеч-кин, Л. В. Тайков, В. Ф. Бабенко, Н. П. Корнейчук, В. А. Кофанов, С. А. Пи-чугов [4]; более полную информацию о случаях точного решения неравенств колмогоровского типа на оси и полуоси можно найти в обзорных работах [1], [3].

Неравенство Колмогорова обобщалось и исследовалось в различных направлениях. Например, изучаются его "несимметричные" аналоги, когда в неравенстве вместо старшей производной рассматривается ее срезка. Такие "несимметричные" обобщения оказались полезными, в частности, для исследования задач наилучшего одностороннего приближения, а также задач приближения в пространствах с несимметричными нормами (см., например [4], [10]).

Неравенства (2) менее изучены. В работе Л. Хёрмандера [14] 1954 г. исследован (соответствующий неравенству А. Н. Колмогорова) случай р = q = г = со. В.Н. Габушин [7] получил в 1976 г. точную константу К+ в неравенстве (2) для n = l,& = 0,p l,g r 0 (соответствующий неравенству Б. С.-Надя случай), доказав равенство К+ = 2аК. Экстремальной в неравенстве (2) функции в этом случае не существует.

Известно [5], что в случае, когда в (5) неравенство а) строгое, в неравенстве (1) существует экстремальная функция. Во всех случаях, когда в неравенстве (1) была найдена точная константа для значений параметров, при которых условие а) в (5) обращается в равенство, экстремальной функции не существует, однако можно построить экстремальную последовательность, которая (в определенном смысле) сходится к некоторой периодической функции. Эту функцию называют "идеальной" экстремальной функцией.

Функция YPiq обращается в нуль и достигает экстремальных значений, равных ±1, в тех же точках, что и функция sin х. Она также обладает теми же свойствами симметрии, что и sin х, кроме того, для всех значений х Є [—7г, 7г] знак функции YPiq совпадает со знаком функции sinх. Производная функции YPiq обладает свойствами симметрии, обращается в нуль и достигает экстремумов в тех же точках, что и cos ж, знак производной совпадает для всех х Є [—7г, 7г] со знаком cos ж. В случае q — 1 неравенство (10) строгое — не существует функции из соответствующего класса QJ, j = 1,2, на которой неравенство обращается в равенство. Точность констант CPji(Q1) = — и CPji(Q2) = 7г мож-но показать, рассмотрев последовательность 27г-периодических кусочно-линейных функций уп, графики которых на [—7г, 7г] являются ломаными с вершинами в точках (±1/п, ±1), (±7г =р 1/п, ±1), (±7г, 0) для случая j = 1, и в точках (±тг =f= 1/п, 1), (±7Г, 0) для случая j = 2.

Похожие диссертации на Неравенства между нормами производных функций с ограничениями на старшую производную

О точных константах в неравенствах для норм функции и ее производных на конечном интервале Звягинцев Александр Иванович

Восстановление функций по неточно заданному преобразованию Радона и неравенства для норм некоторых операторовБаграмян, Тигран Эммануилович

Оптимальные кубатурные формулы для классов функций с ограничениями, наложенными на смешанную разностьДубинин, Владимир Владимирович

Приближение с ограничениями индивидуальных функций и экстремальные задачи расположения точек на сфереАндреев, Николай Николаевич

Конечно порожденные подмодули в модулях целых функций, определяемых ограничениями на индикаторАбузярова Наталья Фаирбаховна

Факторизация и параметрическое представление классов мероморфных функций с ограничениями на рост характеристики НеванлинныШубабко Елена Николаевна

Проблема продолжения функций при ограничениях на градиент Клячин Алексей Александрович

Описание следов, характеризация главных частей в разложении Лорана классов мероморфных функций с ограничениями на рост характеристики Р. НеванлинныБеднаж Вера Аркадьевна

Оценки постоянных в неравенствах аддитивности и неравенства для норм смешанных дробных производныхАбделькадер Сенуси

Дискретизация норм и неравенства Харди в теории пространств Бесова-Лизоркина-Трибеля с обобщенной гладкостьюМатарутиния Ведаст