Введение к работе
Актуальность темы. Основным объектом изучения в работе служат гиперповерхности предписанной средней кривизны в евклидовом пространстве, в том числе гиперповерхности, задаваемые графиками гладких функций. Последнее обстоятельство позволяет тесно связать изучение геометрических свойств поверхностей с соответствующими аналитическими вопросами теории функций. Физической моделью поверхностей такого типа являются, в частпости, границы раздела двух или нескольких физических сред, находящихся в равновесии1.
Диссертация посвящена выводу и исследованию дифференциального неравенства для функции обхвата трубчатых гиперповерхностей заданной средней кривизны. В качестве следствий этих результатов мы получаем некоторую геометрическую информацию о строении таких поверхностей.
Поверхность М С R"+1 называется трубчатой относительно прямой L, если всякая порция этой поверхности, заключенная между двумя гиперплоскостями, ортогональными прямой L, является компактным множеством. Если проекция поверхности М на прямую L совпадает со всей прямой, то М называют трубчатой в целом2.
Ладим определение функции обхвата р(() трубчатой гиперповерхности F С Rn+1.
Пусть х — (г>0> гДе х Є Rn, - точка из R"+1. Обозначим через Е{т)
1 Лао Чояг Тхи, Фоменко Л.Т. Минимальные поверхности и проблема Плато. - М.:Яаука 1987 г. - 312 с.
2Ведепяпин А.Д., Миклкжов В.М. Внешние размеры трубчатых минимальных гиперпо-верхпосгей//Мат. сб. - 1986 - т.131 - N2 - с.240-250.
сечение поверхности F гиперплоскостью t = г, то есть множество
Щт) = {Л- = (х, О Є Rn+1 : Д.' Є F, * = г}.
Пусть (сv, /і) — максимальный из интервалов на прямой R такой, что Vr Є («,/?) множество Е(т) ф 0. Положим
/>(г) = max IV х,2 .
Начало изучению различных классов минимальных трубок в R3 (то есть трубок, средняя кривизна которых тождественно равна нулю) было положено в работах М.Шиффмана3 и И.С.С.Ниче4. В многомерном случае минимальные трубки произвольной коразмерности введены в рассмотрение В.М.Мгаслюковым5.
Известно, что всякая трубчатая в целом минимальная поверхность в R3, являющаяся поверхностью вращения, есть катеноид. Оказывается2, что в отличие от классического случая проекция многомерного катеноида на ось вращения в R"+1 при п > 3 есть ограниченное множество. Тем же свойством обладают при п > 3 произвольные трубчатые поверхности нулевой средней кривизны.
В связи с этим возникает вопрос о протяженности вдоль прямой L трубок, имеющих заданную среднюю кривизну.
С.Н.Бернштейном6 было показано, что в случае когда поверхность имеет постоянную среднюю кривизну Н > 0, она не может лежать над
3Shiffman М. On surfaces of stationary area bounded by two circles, or convex curves, in parallel planes// Ann. of Math. - 1056 - v.63 - p.77-90.
4Nitsche J.C.C. A uniqueness theorem of Bernstein, s-type for minimal surfaces in cylindrical coordinates// J. Math. Mech. - 1957 - v.6 - p.859-864.
5Миклюков H.M. О пскотрых свойствах трубчатых минимальных поверхностей в К" //ПАН СССР - 1979. - т.247, N 3 - с.549-552.
6Бернштейн СИ. О поверхностях, определяемых посредством их средней или полной кривизіш//Собр. соч.- т.З. - М.: Изд-во АН СССР - 19G0. - с.122-140.
областью, содержащей внутри себя замкнутый круг радиуса -^-. Некоторые обобщения последнего утверждения имеются у Дж.Серрина и Г.Ф.Вайнбергера7. В частности, ими показано, что если поверхность в R3, определенная над множеством D, обладает свойством kt > к (7^2— одна из главных кривизн поверхности), то D не может содержать замкнутый круг радиуса \.
Р.Финн8 показал, что если поверхность, средняя кривизна которой больше или равна Н, определена над открытым кругом радиуса jj, то она необходимо является полусферой.
Заслуживает внимания вопрос об области задания поверхности, средняя кривизна которой непостоянна. Некоторые оценки на функцию средней кривизны непараметрических поверхностей и множество в R", над которым они заданы, приведены В.Г.Ткачевым9.
По проблематике настоящая работа относится к очерченному направлению.
Цель работы - дальнейшее исследование строения в целом поверхностей предписанной средней кривизны в евклидовом пространстве, а именно, вывод и исследование решений дифференциального неравенства для функции обхвата трубчатых гиперповерхностей.
Методика исследования. В работе применяется техника, связанная с изучением решений некоторого нелинейного дифференциального
неравенства в пространстве Wt /ос. Используются другие теоретико-
7Серрин Лж., Вайнбергер Г.Ф. Неравенства на кривизну поверхностей, заданных над кругом// Некоторые проблемы маг. и мех., Ленинград, 1970 г. - Л.гНаука - 1970 г.-с.242-251.
8Finn R. Remarks relevant to minimal surfaces and to surface of constant mean curvature// J. d'Anal.Math. - 1965, 14 - p.139-160.'
9Ткачев В.Г. Некоторые оценки средней кривизны графиков над областями в R" //ДАН СССР - 1990. - т. 314, N 1 - с.140-143.
функциональные и дифференциально-геометрические методы.
Научная новизна. Следующие результаты диссертации являются новыми.
1. Установлено дифференциальное неравенство для функций обхва
та трубчатых гиперповерхностей заданной средней кривизны.
-
Получена оценка протяженности трубчатой гиперповерхности заданной средней кривизны вдоль своей оси. Найдены условия на функцию средней кривизны трубки, заданной в II3, при выполнении которых длина проекции поверхности на ось Ot ограничена.
-
Приведены условия, при которых гиперповерхность предписанной средней кривизны задана либо над неограниченной областью, либо над областью, лежащей в некотором шаре.
-
Дана оценка ширины слоя между двумя компактами, на которые натянута гиперповерхность заданной средней кривизны.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Международном конгрессе женщин-математиков (г.Пущино, 1994 г.), на III Международной конференции женщин-математиков (г.Воронеж, 1995 г.), на IV Международной конференции женщин-математиков (г.Волгоград, 1996 г.), на научных конференциях профессорско-преподавательского состава Волгоградского государственного университета (1991-1996 гг.). Все результаты подробно докладывались на семинаре по нелинейному анализу Волгоградского государственного университета.
Публикации. Основные результаты работы опубликованы в [1]-[7].
