Неравенства для рациональных функций Данченко Владимир Ильич

Содержание к диссертации

ЗВЕДЕНИЕ

"ЛАВА 1. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА КОНФОРМНЫХ ОДНОЛИСТНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

1*1. Основные определения . 15

1.2. Некоторые свойства подобластей Грина ... 15 1.3» Теорема о покрытии подобластями Грина ... 21

1.4. Интегральные оценки ядер Коши 32

^ПЛАВА 2. ОЦЕНКИ ПРОИЗВОДНЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

2.1» Основные определения 38

2*2. Допустимые классы кривых .... 41

2.3. Оценки производных рациональных составляющих

на произвольных континуумах 54

2.4. Континуумы типа SE * Оценки производных рациональных составляющих на континуумах

типа SE 57

2.5* Оценки вариаций рациональных функций на

рационально спрямляемых кривых ..... .66

2.6. Интегральные оценки производных рациональных функций на континуумах положительной

площади 68

2.7. Приложения 81

^ПЛАВА 3. ОБ ОЦЕНКАХ НОРМ РАЦИОНАЛЬНЫХ СОСТАВЛЯЮЩИХ ЖРОМОРШЫХ ШІКЦИЙ 3.1. Оценки при разделении особенностей

произвольным континуумом 84

3.&. Приложения 85

ЛИТЕРАТУРА 86

Введение к работе

Экстремальные задачи на множестве рациональных функций (р.ф-) и неравенства между различными нормами р.ф. и их производных представляют одно из основных направлений исследований в теории аппроксимаций рациональными дробями.

В 1940 году А.Дж.Макинтайером и В.Г.Дж.Фуксом Ц~\
была рассмотрена задача об оценке логарифмической производ
ной р.ф. на подмножествах комплексной плоскости. Системати
ческое изучение дифференциальных свойств р.ф. как аппарата
приближения началось в 50-х, 60-х годах в работах
А.А.Гончара [2,3] и Е.П.Долженко ^4=,5~\ . В этих работах
для получения так называемых обратных теорем теории
рациональных аппроксимаций был разработан ряд ноеых мето
дов оценок производных р.ф. одной и нескольких вещественных
переменных. Примечателен тот факт, что в отличие от произ
водной многочлена производная р.ф. Л не может быть оце
нена во всех точках заданного (основного) множества EI
только через норму И в ССєО и степень "R . На подмно
жествах, сколь угодно близких по мере к основному множеству,
точные неравенства для производных рациональных дробей были
установлены Е.П.Долженко 16] (рассмотрены и вещественные,и
комплексные р.ф.). На всем основном множестве (отрезок
или прямая) экстремальные оценки производных дробей
через мажорантные функции определенного вида были получены
В.С.Виденским [7"] и В.Н.Русаком [23^ .

Существенную часть исследований составляют экстремальные задачи и неравенства для р.ф. и их производных в интегральных метриках. Результаты в этом направлении были опубликованы в работах Е.П.Долженко [5,8,12,18,19,20,24,26,14 1, Е.А.Севастьянова [11,12,22] , В.И.Данченко [19] , В.Н.Русака [23] , А. А.Пекарского [25] , В.В.Андриевского[27І В этих работах были получены оценки тейлоровских остатков в метриках L*, , многомерных вариаций и интегральных модулей непрерывности (р.ф. нескольких вещественных переменных) [5,11,12,14,19,24,26] , неравенства для производных в метриках Ly и метриках Харди и Литтлвуда в областях комплексной плоскости [8,18] , оценки производных на спрямляемых (кривых в метриках L* , интегральных модулей непрерывности на кривых, коэффициентов Лорана и Фурье [8,23,20,22,24,25, 26,27] .

Значительный интерес вызывают задачи об оценках норм голоморфных и рациональных составляющих мероморфных функций на континуумах, разделяющих особенности этих функций. При наличии достаточно жестких ограничений на разделяющий континуум (именно, когда континуум - окружность или аналитическая кривая) оценки норм составляющих были получены В.Э.Кацнельсоном [9,10], А.М.Бочтейном [10] , С.И.Поредой, З.Б.Саффом, Г.С.Шапиро [13]. Для случая произвольных разделяющих континуумов оценка нормы была получена &.А.Гончаром, Л.Д.Григоряном [16] . Точные по порядку оценки были найдены Л.Д.Григоряном [17] , А.А.Пекарским [25] в гех случаях, когда разделяющие континуумы являются жордано-зыми спрямляемыми кривыми, на которые наложены некоторые дополнительные ограничения.

Основное содержание данной работы группируется вокруг неравенств для производных р.ф» комплексной переменной и оценок норм рациональных составляющих мероморфных функций.

Первая глава посвящена изучению некоторых свойств конформных отображений произвольных односвязных областей на единичный круг. Результаты этой главы являются вспомогательными и используются при доказательстве теорем гл. 2 и 3. Вторая глава посвящена оценкам производных рациональных дробей» Все основные результаты этой главы можно разбить на три группы : 1) оценки на произвольных континуумах и континуумах определенных классов через мажорантные функции, представляющие собой суммы модулей производных простейших дробей, .нормированных на рассматриваемом континууме (теоремы 3,4); Z) интегральные оценки на кривых предельно широкого класса (теорема 5) ; 3) интегральные оценки в областях и на континуумах положительной площади (теоремы 6,7). В третьей главе установлены оценки для максимума модуля рациональной составляющей мероморфной функции в случае произвольности континуума, разделяющего особенности (теорема 8).

Перейдем к подробному обвору содержания диссертации по главам и параграфам.

Как уже говорилось, первая глава является вспомогательной. В первом параграфе даются необходимые определения.

Пусть G- - произвольная односвязная область замкну
той комплексной плоскости С о границей ЪОг , содержа
щей более одной точки, - какое-либо

конформное однолистное отображение области G- на единичный круг U = {%1%1 <Л } с условием 10^(^,0 = 0 . Подобластями Грина области От будем называть области вида

^{=aa,&) = [%: %&,i'ur}_&^{a,96)[< i-й ? ,} _Г^{де-и& ,}

0< При этом будем писать ТСС) = & .Во втором параграфе устанавливается ряд свойств подобластей Грина. Результаты этого параграфа применяются при доказательстве следующей основной в гл. 1 теоремы из 3 о покрытии подобластями Грина ей. - точечного подмножества области

Теорема 1. Пусть an - точечное множество Н - 1% ,..., ^я. з содержится в односвязной области G ( il > d , точки a.j не обязательно геометрически различны), > 0 . Тогда Н можно покрыть конечной совокупностью подобластей Грина й)і)<"»^ (М ^ ,AC^,)^ области G- со свойствами :

1) 2-х v77T~n ⁴ -^Лсп ^¹^^{1 Cer ;}

^П I 1 -М-

2) Л К_&(Я,^аР1^ при всех ^&vU 5V

Здесь и всюду ниже через АО) , Ajl") обозначаются поло
жительные конечные величины, зависящие только от указанных
в скобках аргументов, через .А , А$ - положительные

константы.

-b-

B последнем четвертом параграфе гл.1 установлено неравенство

где S) - подобласть Грина произвольной односвязной области
G- ( с границей DG- , содержащей более одной точки) ,

со(х-) ( х > 0 ) - положительная невозрастающая функция, j - некоторые точки из G- , количество }(й)> которых зависит лишь от G и Ф и не превосходит -А/КС20 , jj ⁼/^j,^^"^ ( f - евклидово расстояние), г< =1,2,»,..

Вторая глава посвящена оценкам производных р.ф. В первом параграфе даются необходимые определения.

Пусть Г - локально спрямляемая кривая на С . Для р.ф. Л , полюсы которой не лежат на V , через Усиь(Л,Г)=

обозначим полное изменение Л вдоль Г . При п = 1,2,... положим У₁₁СР)=^>[1Ья.(Н,Г)} , где супремум берется по всем р.ф. R с deaH^n и ІШІІссг) ^ ^ Пусть VCr) = ^«f [Уол(і₉Г):г(50»а/с%-0,ягц_ССг)^і} . Определим некоторые классы кривых Г 1) Г Є V » ^еоли

_{wm/(vl n} _ .clef Гзпе^СГлі)

VCD < «о _{# 2)} Г S , если JCXCr) = шр ~——-—

где 3 - произвольный открытый круг на плоскости, Ашт. Ь
его диаметр, а тпей₁(Гп >) - длина той части кривой J7
которая лежит в <Ь (с учетом кратности точек У в
случае самопересечений Г ). 3) Г є \у , если

^4

4) Класс Ф определим следующим образом. Обозначим
через ^ол^ 56 то значение Ача % , для которого
-%<апй(%, 4 <3l . Пусть С - %,_г(а^ - параметрическое урав
нение кривой Г от натурального параметра л. и

^CrO^SlXM ZL ^ ~^~^ ( , где супремум берется

по всем конечным разбиениям %. = ^(^j") кривой V

в порядке возрастания значений натурального параметра л. Считаем, что Г є Ф , если ФСГ) < . (Класс ^ иногда называют классом Радона - см.напр. книгу И.И.Данилюка [15] .) Отметим, что если Г - гладкая кривая, то Ф(Г) =

= J ЫЛго Йр(а)1 _т 5) V L (класс кривых Ляпунова) ,

если модуль непрерывности <о_г(-д} единичного вектора касательной к V как функции натурального параметра удовлетворяет УСЛОВИЮ 5 Л""¹ ООрС-4-) d-

Во втором параграфе в основном рассматриваются задачи о соотношениях между определенными выше классами кривых. Для этого устанавливается ряд неравенств для функций V , SL , "ST , ^? . Например, доказывается, что всегда УОЛ^ЯСЮ , ЛСіОаЯ-ЧКіОЛ f YCiO^OX + ^CiO) ; если Г е L , то ^л?СГ)<^о ; если р - кусочно гладкая кри-

>\

вая (пишем Ге С ), то ИСГ) < о . Отсюда получаются включения : Z с Vc 'S с V , «3? с ^/ ,c

Достаточно сложное доказательство неравенства
^С Г⁴) * ЕГ^ + ^СГ)) в случае

замкнутой кривой Г¹ Ф имеется в [15]. В 2 приво-

дится элементарное доказательство этого неравенства для

^\

произвольной кривой Гс $

Отметим, что в теореме 5 гл.2 устанавливаются неравенства V^CD * А₅ п tn³UiD V(lO ( л= 1,2,...), из которых вытекает, что V является максимальным классом тех кривых Г , на каждой из которых полное изменение произвольной р.ф. Л может быть оценено только через "-^^ССГ) ^и степень функции "Н

Пусть Е - произвольный континуум на С , разбиваю
щий С (т.е. С ^ Е распадается не менее чем на две
связные компоненты), А - какая-либо конечная совокуп
ность попарно различных областей, каждая из которых является
компонентой множества С ^х Е . Скажем, что функция і принад
лежит классу АдСеО , если она мероморфна в каждой об
ласти совокупности А и определена и непрерывна в неко
торой окрестности континуума Е . Пусть є .№_д_С&") .
Через _д обозначим сумму главных частей лорановских
разложений относительно всех полюсов dP , лежащих
в объединении областей совокупности А , а через
я_А(-) - степень р.ф. _д_ . Будем называть *
рациональной составляющей функции относительно
совокупности А .

В третьем параграфе доказано следующее предложение.

Теорема 3. Для функции "В. є Я.^(Й) в объединении
областей совокупности Л найдутся точки ij в коли-

честве ] _ъ * А _ъ ПдСЮ Ьп. (еті/у/ЛЇ) такие, что при всех єЕ и всех к= 1,2,... (а в случае неограниченности дополнения к каждой области & А - также и при уч = 0 ) будет

Если 1? является р.ф. , то для некоторой совокуп
ности А имеем "К = Т_Л и, следовательно, из последне
го неравенства получается также оценка производной самой
функции Л . Эту теорему интересно сравнить со следую
щим результатом, принадлежащим В.Н.Русаку [23] . Пусть "р -
многочлен степени ж > 1 , ЛСх) =Тоо/ П j^-^jl , где
-: - комплексные числа с \ж i,. 4^s- 0 . Тогда при х((-<о»)

^Л \Т -& 1
имеем 1Е'с^о\ ^ № \\_{nf Л} XI Ц- ; при каждом п

существует функция указанного вида, для которой это неравенство превращается в равенство при некоторых х. с С-⁰⁰,⁰⁰} .

В четвертом параграфе рассматривается класс SE всех континуумов Щ , обладающих следующими свойствами : каждая связная компонента ") дополнения к С имеет границу ^G-jCE^) _f являющуюся подмножеством некоторой кривой Г.СО класса 5 > причем величина HCljCE")) (см.выше определение класса S ) зависит лишь от Е , но не от j= 1,,... . Для континуумов класса SE теорема 3 распространяется на метрики L у

На основании результата третьего параграфа в пятом параграфе устанавливаются оценки полных изменений рациональных составляющих мероморфных функций вдоль спрямляемых кривых. Доказано, в частности, следующее .

Для любой локально спрямляемой кривой J7 имеют место неравенства ;

лт (Г) * А₅ nbn (ЄЮ VClO ( п = 1,2,...).

Ранее Е.П.Долженко Г8,20] были установлены точные по
порядку и неравенства V^CF) ^АСЮот. в случае дос
таточной гладкости кривой Г ; вместе с тем показано, что
спрямляемость и жордановость кривой Г и даже, плюс к тому,
существование касательной в каждой её точке еще не гаранти
рует какой-либо оценки полного изменения вдоль V р.ф.
только через ее степень и норму в ССЮ . В связи с этим
им (см. 1201 ) были поставлены следующие задачи: описать
максимальный класс кривых, допускающих оценки этого типа;
найти зависимость оценок величин V^CD от ті и Г в
общем случае. Как видно из приведенных оценок величин
V^CrO через п и VCF} , класс V является макси-

мальным в указанном смысле. Это утверждение в качестве гипо
тезы было подсказано автору Е.П.Долженко. Справедливость
гипотезы была доказана независимо автором и В.В.Андриевским
[2,73 , получившим следующее неравенство: V СГ)*Лог VCD_t
В [31] показано, что множитель An здесь можно при
любом > 0 заменить на АСеЭог ⁺ .На кривых не-

которого подкласса класса V точные по порядку У1

оценки "V_u(r") были получены также А.А.Пекарским [25] . в случае дуги Г окружности Е.П.Долженко [20] доказано равен-ство V^CF) = 2siai . Точные неравенства для вариаций рациональных составляющих мероморфных функций на окружности, разделяющей особенности этих функций, были найдены Е.А.Севастьяновым [223 . Автором в [29] было показано,

что V^Cr) * ?іЧЧГ)іі.

Отметим, что с учетом указанных выше соотношений между величинами У , SL , М⁷ , *Ф из оценок величин Л^(Т) через ті и VCD получаются следующие неравенства

(ЛііЄпЧєя))-¹ V_n(D ^ І1(г) < ЇЧ7О0Д <5.(Х+Ф(г))А-

В шестом параграфе для производных р.ф. найдены
оценки в метриках Харди и Литтлвуда в областях с границами
класса S и некоторые интегральные оценки на контину
умах положительной площади. Пусть G- произвольная
односвязная область, граница "5G- которой является
кривой класса S Фиксируем произвольно точку
а е G , и при 0< і < р(<х_чЪ0г^) через

& ~ G_x(l,G) обозначим связную компоненту открытого множества {%: %&,Р(Й_ЭЭ&) > 1* } , содержащую точку ol . Нетрудно показать, что G^ является жор-дановой областью, граница ^G-„ которой принадлежит классу 5 . Пусть функция і определена и непрерывна в области G- ^{э CL} , ^ > 1 ,

Т ^г

-Hcj(^) = 0 _при jd >(а,Ъ&) .

Пусть также 0 < ^ < , 0 < .X « о . Положим

Функционал 11*11, о ^лД^-1, называют нормой Харди и Литтлвуда.

Основной результат шестого параграфа - теорема б об

Об Оценке ВелИЧИНЫ WU'lljQ _Х}Сг Через НОрМу ІШІІ (5_&)

( t> > і ) р.ф. 1? в зависимости от соотношений между

параметрами л , <^ , Л , & . Здесь мы приведем один такой
результат при критическом соотношении между этими параметра
ми : oL - d + V^> - */\

Предложение. Пусть G- - область, ограниченная кривой
^^ класса S » И - Р«Ф» степени ж^± , аналитичес
кая на G- » i~^ , iо , ^ = і + ^d/f - ^4/Я .
Тогда

Ранее Ё.П.Долженко [18"] в случае области G- с достаточно гладкой границей и V - было, в частности, показано, что

ft'l,_nt Г * ' ^90ЛИ -¹*¹'

_I^і

СС&) \^ ц¹"^ , если 1-1/^<о1<1.

іії.Иг^л І _мі-о(.

AU.q-) LbJ2T ^ { Єи(е<гП , воли ^-1,

И ЧТО При ₀LНИК8К0Й ОЦеНКИ ДЛЯ 11 'll^ а а _& /llR Н_С(-_гл

через :ft. не существует.Было также показано [8],что при
\ =Z эта оценка остается в силе и в критическом случае
oL = ±- V<^ . в связи с этим Ё.П.Долженко поставил вопрос
о существовании такой оценки в критическом случае оі=4-4/я ,
^ ф 2 . Как мне сообщила С.Н.Николаева, его получены

в случае единичного круга ИЧ^І⁴! неравенства для ^ ^еС а х и ( аналогичные неравенствам теоремы б , соответ-

ствующим случаю d > 1+ ^4,- ^/^, , но без логарифмического
множителя в правой части) и показано, что при d < і + V-ь - ±/^
величина IIjR^/ )| да ,а.,и не может быть оценена только
через <п. и ИД II ^-ъСэи") Этот результат С.Н.Никола-

евой приведен в обзорном докладе Е.П.Долженко [26] нэ между
народной конференции по теории приближений (Киев,1983).
Критический случай же d = 1+ ^d/b - V^ оставался полностью
неизученным (исключая лишь упомянутый выше случай <р 2,]⁷^⁰⁰)
Ранее автором [28] было показано, что при л =

-i₊i/_rVL _сэи) ( f > і , Ч, » і ,а^о ).

В заключительном седьмом параграфе гл.2 без доказа-'тельств приводятся приложения некоторых результатов гл.2 к обратным теоремам теории рациональных аппроксимаций. Доказательства не приводятся ввиду их стандартности.

Третья глава посвящена оценкам норм в метрике ССЕ} ( Е - произвольный континуум, разбирающий плоскость) рациональных составляющих 1_л ( А=АСе") ) функций класса Л_Л(Е^ (определения см. Еыше). Основным результатом главы является следующая теорема из первого параграфа.

Теорема 8. Пусть С - континуум на С , разбиваю
щий С , А произвольная конечная совокупность связ
ных компонент множества С^ С , каждая из которых имеет
неограниченное дополнение, -fe-M_ACO _} п = ^_Л() . Тогда

lf_Al_C(E, *А₈ л1п\ею ЬП_с(ЕО -

Ранее задача об оценке нормы рациональной составляющей мероморфной функции в случае, когда совокупность А состо-

ит из одной области G(^) , рассматривалась В.Э.Кацнельсоном [9,10] А.М.Бочтейном [10] (в случае, когда Є - окружность, a GCE) - ее внутренность) : Ч^л^ССШ)^ ^А4і^яШ_{с№) f} С.И.Поредой, Е.Б.Са<|фом и Г.С.Шапиро [із] ( Е - аналитическая кривая, GCE7) - ее внутренность) : fl_All_CCE)^A(E,3i)il_C(^ (порядок роста АСЕ,01) не указывается) ; без наложения каких-либо дополнительных ограничений на область GCE) А.А.Гончаром и Л.Д.Григоряном [16І

было установлено неравенство Unices) ~^Ааі "^ "ССЕ")
Автором в [Зі] показано, что множитель А^- здесь

'можно заменить при любом > 0 на Л() эт

Точные по порядку П оценки вида И^^ССЕ)*^^*¹ »^'с(в)

получены Л.Д.Григоряном [17] (для произвольных жордановых гладких кривых E=3G(e)) и А.А.Пекарским \25] (для класса кривых Є , определяемого через свойства конформного отображения области G-CeO на единичный круг и содержащего в частности, радоновы кривые без точек заострения).

Во втором параграфе рассматриваются некоторые приложения теоремы 8 к теории рациональных аппроксимаций.

В заключение отметим, что во всех приведенных выше
оценках, содержащих множитель Ьп (е?П , этот множи-

тель можно заменить на A()tt Сеог") при любом >0 .

Результаты диссертации получены и опубликованы в статьях [28-31І без соавторства. Кроме того, некоторые результаты отмечены со ссылкой на автора в докладах Е.П.Долженко на всесоюзном симпозиуме по теории аппроксимаций функций в комплексной области (Уфа, 1980) и на международной конференции по теории приближений (Киев, 1983). Результаты диссертации докладывались автором на семинаре по теории приближений и граничным свойствам функций в МГУ под руководством проф. Е.П.Долженко , на научно-технической конференции во Владимирском политехническом институте (1983) и на 2-й Саратовской зимней школе по теории функций и приближений (январь-февраль, 1984).

Автор пользуется случаем выразить глубокую благодарность Е.П.Долженко и Е.А.Севастьянову за постоянное внимание и помощь в работе.

Похожие диссертации на Неравенства для рациональных функций

Дифференциальное неравенство для функции обхвата трубок заданной средней кривизныЛосева, Наталия Владимировна

О точных константах в неравенствах для норм функции и ее производных на конечном интервале Звягинцев Александр Иванович

Мультипликативные неравенства для максимальных функций, измеряющих гладкостьЛохару Евгений Эдуардович

Мультипликативные неравенства для максимальных функций, измеряющих гладкостьЛохару, Евгений Эдуардович

Применение интегральных неравенств на конусах монотонных функций в теории вложения пространств КальдеронаЖамсранжав Даваадулам

Неравенства между нормами производных функций с ограничениями на старшую производнуюЗернышкина Елена Александровна

Принципы мажорации и конформные отображения в неравенствах для полиномов и рациональных функцийКалмыков Сергей Иванович

О применении конформных отображений к неравенствам в некоторых классах многолистных аналитических функцийОлесов Александр Викторович

Весовые интегральные неравенства на конусах монотонных и квазивогнутых функцийПопова, Ольга Владимировна

Точные константы в неравенствах для положительных операторов на корпусах монотонных функцийМясников, Евгений Анатольевич