Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Весовые интегральные операторы на конусах монотонных функций
1.1. Редукционные теоремы для монотонных операторов 22
1.2. Весовые оценки одного класса квазилинейных операторов 24
Глава 2. Ограниченность квазилинейных операторов на конусах монотонных функций
2.1. Дискретные и интегральные критерии ограниченности квазилинейных операторов на конусах монотонных функций 28
2.2. Прямой метод исследования интегральных неравенств для квазилинейных операторов на конусе монотонных функций 41
Глава 3. Интегральные неравенства на конусах квазивогнутых функций
3.1. Квазивогнутые функции 96
3.2. Неравенство Харди на конусе квазивогнутых функций 99
Литература
- Редукционные теоремы для монотонных операторов
- Весовые оценки одного класса квазилинейных операторов
- Прямой метод исследования интегральных неравенств для квазилинейных операторов на конусе монотонных функций
- Неравенство Харди на конусе квазивогнутых функций
Редукционные теоремы для монотонных операторов
В данном разделе приведены теоремы редукции интегральных неравенств с положительными операторами в весовых пространствах Лебега на конусе монотонных функций к неравенствам на конусе неотрицательных функций [2], используемые в данной работе.
Пусть 9Л+ - множество всех неотрицательных измеримых по Лебегу функций на Ш+ := [0, оо) и ШТ С ШТ+ подмножество всех невозраста-ющих функций. Пусть оператор Т : 9Л+ — 9JT+ удовлетворяет следующим условиям: сТд(х) для почти всех х Є Ш+, если f(x) д(х) для почти всех х Є Ш+ с константой с О, не зависящей от / и д ; (iii) Т(/ + А1) c(Tf + ATI) для всех / є 9JT+ и А 0 с константой с 0 , не зависящей от / и А, где 1 - функция на К+, тождественно равная 1. Сформулируем редукционные теоремы для неравенства и, следовательно, С С\ + С і. Для оценки наилучших констант С\ и С і воспользуемся теоремой 1 из [11]. Неравенства (2.1.6) и (2.1.7) эквивалентны с точностью до переобозначений неравенствам (1) и (3) из [11], критерии для которых приводят к результатам нашей теоремы.
Далее получим интегральные критерии для выполнения неравенства (2.1.1) с оператором вида (2.1.2). Для этого прположим, что 0 L о оо, х Є 0; оо и определим функцию и : 0; оо — 0; оо формулой
(2.1.10) и, следовательно, С Сі + C2. Для оценки наилучших констант С\ и С 2 воспользуемся теоремой 1 из [11]. Неравенства (2.1.9), (2.1.10) эквивалентны с точностью до переобозначений неравенствам (1), (3) из [11], критерии для которых приводят к результатам нашей теоремы.
Далее получим интегральные критерии для выполнения неравенства (2.1.1) с оператором вида (2.1.4), для этого предположим 0 п р оо, х Є 0; оо).
Теорема 2.5. Пусть 1 р оо, 0 г оо, 0 q оо. Для выполнения неравенства (2.1.1) с оператором вида (2.1.4) необходимо и достаточно выполнение неравенств ОО / 00 \ о / ж \ Г \ Т / Доказательство. Так как для оператора вида (2.1.4) выполнено условие (2.1.8), то утверждение теоремы следует по теореме 3.1 из [2]. Замечание 1.Аналогично предыдущим теоремам находятся дискретные и интегральные критерии ограниченности сублинейных операторов 5иУ,а также соответствующие результаты для конуса неубывающих функций. Замечание 2. Редукционный метод, основанный на применении результатов работы [2], не покрывает всей области изменения параметров суммирования. В частности, случай 0 q p lне охватывается теоремами данного параграфа. Для устранения этого пробела в следующем параграфе мы находим альтернативный прямой способ решения рассматриваемой задачи.
Анализу классических операторов на весовых конусах квазимонотонных и квазивогнутых было посвящено множество работ (см., напр., [34], [36], [4], [37], [50], [56], [66], [67] и др.). В частности, они играют важную роль в пространствах Лоренца. В данной главе рассмотрена задача характеризации неравенств на конусе квазивогнутых функций. Для решения задачи применяен метод редукции операторов, действующих на конусе квазивогнутых функций.
В начале главы даны основные определения, приведены примеры квазивогнутых функций, а также дана краткая история исследования неравенств на квазивогнутых функциях.
Функция f(x) называется квазимонотонной, если для некоторого a R функция f(x)xa не возрастает или не убывает.
Особый интерес представляют функции, удовлетворяющие одновременно двум разным условиям квазимонотонности. В работах [30], [31], [46] были рассмотрены различные типы неравенств для таких функций. Примером функциии, удовлетворяющей двум разным условиям квазимонотонности, является такая функция u(t), что u(t) - не убывает, а u(tt) - не возрастает. Такие функции называются квазивогнутыми, т.к. было доказано, что функции с такими свойствами эквивалентны вогнутым функциям.
Исследование неравенств на конусе вогнутых и квазивогнутых функций имеет большое значение, т.к. основные объекты гармонического анализа, теории интерполяции, теории операторов и других областей математики "обладают"свойством квазивогнутости.
Весовые оценки одного класса квазилинейных операторов
Пусть Ш+ := [0;+оо), ШТ+ — множество всех неотрицательных измеримых функций на Ш+, ШТ С ШТ+ подмножество всех невозраста-ющих функций. Пусть 0 q, г оо, 1 р оо. В этой главе изучаются интегральные неравенства вида оо \ 1 / 00 \ 1 где р{х) и v(x) — неотрицательные локально суммируемые функции на Ш+ и константа С, не зависящая от /, выбирается наименьшей из возможных. В качестве оператора R рассматриваются квазилинейные операторы где u, w — неотрицательные локально суммируемые функции на Ш+. Ниже дается характеризация неравенства (2.1.1) для указанных выше операторов методом редукции. Сначала мы получаем дискретную форму критериев, а затем интегральную. и, следовательно, С С\ + С і. Для оценки наилучших констант С\ и С і воспользуемся теоремой 1 из [11]. Неравенства (2.1.6) и (2.1.7) эквивалентны с точностью до переобозначений неравенствам (1) и (3) из [11], критерии для которых приводят к результатам нашей теоремы.
Далее получим интегральные критерии для выполнения неравенства (2.1.1) с оператором вида (2.1.2). Для этого прположим, что 0 L о оо, х Є 0; оо и определим функцию и : 0; оо — 0; оо формулой Доказательство. Так как выполнение неравенства (2.1.1) для оператора (2.1.2) эквивалентно выполнению неравенств (2.1.6) и (2.1.7), то доказательство теоремы следует из теорем 2 и 3 работы [11]. Рассмотрим случай 0 р q, г оо, 0 р 1. Теорема 2.3. Пусть 0 р q, г (2.1.10) и, следовательно, С Сі + C2. Для оценки наилучших констант С\ и С 2 воспользуемся теоремой 1 из [11]. Неравенства (2.1.9), (2.1.10) эквивалентны с точностью до переобозначений неравенствам (1), (3) из [11], критерии для которых приводят к результатам нашей теоремы.
Далее получим интегральные критерии для выполнения неравенства (2.1.1) с оператором вида (2.1.4), для этого предположим 0 п р оо, х Є 0; оо).
Теорема 2.5. Пусть 1 р оо, 0 г оо, 0 q оо. Для выполнения неравенства (2.1.1) с оператором вида (2.1.4) необходимо и достаточно выполнение неравенств ОО / 00 \ о / ж \ Г \ Т / 00 \ р
Доказательство. Так как для оператора вида (2.1.4) выполнено условие (2.1.8), то утверждение теоремы следует по теореме 3.1 из [2].
Замечание 1.Аналогично предыдущим теоремам находятся дискретные и интегральные критерии ограниченности сублинейных операторов 5иУ,а также соответствующие результаты для конуса неубывающих функций.
Фундаментальная функция фхії) = ЦХ-БЦХ? где X— перестановочно-инвариантное Банахово функциональное пространство над ре-зонантным пространством с мерой (Л,/І), Е— подмножество Л, такое что fi(E) = t, также обладает свойством квазивогнутости (см., напр., [24]). Рассмотрим более общее понятие, чем квазивогнутость: Определение 3.1. Пусть ф— непрерывная, строго возрастающая на [0, оо) функция, такая что ф(0) = 0 и Нті_^0О^(/:) = оо. Такая функция называется допустимой. Определение 3.2. Функция / называется ф—квазивогнутой, если f эквивалентна неубывающей функции на [0, оо), и 4 эквивалентна невозрастающей функции на (0,оо).
Нетрудно заметить, что функции, удовлетворяющие двум различным условиям квазимонотонности и класс квазивогнутых функций являются частными случаями ф - квазивогнутых функций.
Для понимания свойств квазивогнутых функций основным вопросом является задача нахождения необходимых и достаточных условий на весовые функции и и v и параметров р и q, для которых выполнено вложение Щ ^->- Lq на множестве квазивогнутых функций. В работе [46] эта задача была решена Л. Малиграндой для случая 0 < р < q < оо. Случай 0 Т.к. квазивогнутая функция u{t) для некоторой невозрастающей функции v(t) может быть представлена в виде u(t) ~ fIn_.iv(s)ds, то нетрудно заметить, что задача характеризации вложения Щ ^->-Lq на конусе квазивогнутых функций эквивалентна характеризации вложения Tp(v) ^->- Г9 (it). В работе М. Л. Гольдмана, Х. Л. Хайнига и В. Д. Степанова (см. [36]) были получены необходимые и достаточные условия на весовые функции и и v и на параметры 0 < p,q < оо для вложений Vp(v) ^-)> Vq(u) и Vp(v) ^^ Л1 (it). Результат был получен посредством методов дискретизации и ответ был дан в терминах дискретных последовательностей, что усложняет его проверку и использование. Также метод дискретизации применяется в получении критериев для весовых неравенств Харди на конусе ф - квазивогнутых функций в работе М. Л. Гольдмана и М. В. Сорокиной (см. [4]). Немного позже Г.Синнамон в работе [61] получил условия на весовые функции в интегральной форме, используя совершенно другой метод. Он представил метод редукции для неравенств на конусе квазивогнутых функций к неравенствам на конусе неотрицательных функций. А. Гогатишвили и Л. Пик в работе [37] представили критерий вложения между пространствами Лоренца в интегральной форме, в частности, Tp(v) ^^ Aq(u) и Tp(v) ^-)> Tq(u) при 0 < р, q < оо. В своей работе они использовали подход, основанный не только на методе дискретизации, но и, что более Особый интерес представляют функции, удовлетворяющие одновременно двум разным условиям квазимонотонности. В работах [30], [31], [46] были рассмотрены различные типы неравенств для таких функций. Примером функциии, удовлетворяющей двум разным условиям квазимонотонности, является такая функция u(t), что u(t) - не убывает, а u(tt) - не возрастает. Такие функции называются квазивогнутыми, т.к. было доказано, что функции с такими свойствами эквивалентны вогнутым функциям. Исследование неравенств на конусе вогнутых и квазивогнутых функций имеет большое значение, т.к. основные объекты гармонического анализа, теории интерполяции, теории операторов и других областей математики "обладают"свойством квазивогнутости. Рассмотрим примеры таких объектов: (i) Мы уже упоминали оператор f (t) = т Ггп.і f (s)ds, который участвует в описании нормы функции f(t) в Г-пространствах Лоренца. Несложно увидеть, что функция tf (t) квазивогнута. (ii) Другой пример - К—функционал Петре K(t,x;Ao,Ai)= inf (ЦжоІІД) + H ilUi), жо+жі=ж где (Ао,Аі)— Банаховы пространства, 0 t ос и х Є Ао + Ai. Известно (см. [25]), что К также является квазивогнутым. (iii) Модуль непрерывности си = ujnm(t, f) = sup НАГЛІ г , не убывает, что также можно рассматривать как частный случай квазивогнутости. (iv) Фундаментальная функция фхії) = ЦХ-БЦХ? где X— перестановочно-инвариантное Банахово функциональное пространство над ре-зонантным пространством с мерой (Л,/І), Е— подмножество Л, такое что fi(E) = t, также обладает свойством квазивогнутости (см., напр., [24]). Рассмотрим более общее понятие, чем квазивогнутость: Определение 3.1. Пусть ф— непрерывная, строго возрастающая на [0, оо) функция, такая что ф(0) = 0 и Нті_ 0О (/:) = оо. Такая функция называется допустимой. Определение 3.2. Функция / называется ф—квазивогнутой, если f эквивалентна неубывающей функции на [0, оо), и 4 эквивалентна невозрастающей функции на (0,оо). Нетрудно заметить, что функции, удовлетворяющие двум различным условиям квазимонотонности и класс квазивогнутых функций являются частными случаями ф - квазивогнутых функций. Для понимания свойств квазивогнутых функций основным вопросом является задача нахождения необходимых и достаточных условий на весовые функции и и v и параметров р и q, для которых выполнено вложение Щ - - Lq на множестве квазивогнутых функций. В работе [46] эта задача была решена Л. Малиграндой для случая 0 р q оо. Случай 0 q = l p oo был рассмотрен В.Д. Степановым в работе [66] и получены достаточные условия. Т.к. квазивогнутая функция u{t) для некоторой невозрастающей функции v(t) может быть представлена в виде u(t) fIn_.iv(s)ds, то нетрудно заметить, что задача характеризации вложения Щ - -Lq на конусе квазивогнутых функций эквивалентна характеризации вложения Tp(v) - - Г9 (it). В работе М. Л. Гольдмана, Х. Л. Хайнига и В. Д. Степанова (см. [36]) были получены необходимые и достаточные условия на весовые функции и и v и на параметры 0 p,q оо для вложений Vp(v) -) Vq(u) и Vp(v) Л1 (it). Результат был получен посредством методов дискретизации и ответ был дан в терминах дискретных последовательностей, что усложняет его проверку и использование. Также метод дискретизации применяется в получении критериев для весовых неравенств Харди на конусе ф - квазивогнутых функций в работе М. Л. Гольдмана и М. В. Сорокиной (см. [4]). Немного позже Г.Синнамон в работе [61] получил условия на весовые функции в интегральной форме, используя совершенно другой метод. Он представил метод редукции для неравенств на конусе квазивогнутых функций к неравенствам на конусе неотрицательных функций. А. Гогатишвили и Л. Пик в работе [37] представили критерий вложения между пространствами Лоренца в интегральной форме, в частности, Tp(v) Aq(u) и Tp(v) -) Tq(u) при 0 р, q оо. В своей работе они использовали подход, основанный не только на методе дискретизации, но и, что более существенно на методе анти-дискретизации. Метод дискретизации состоит в построении для квазивогнутой (ф -квазивогнутой) функции u(t) дискретизирующей последовательности Vk,k Є Z, которая разделяет интервалы, на которых u{t) быстро воз u(t) ( I растает, от интервалов, на которых в случае w - квазивогнутой u(t) ) функции тгА быстро убывает, и последующей работой с дискретными неравенствами. C начала 90-х годов прошлого столетия начали интенсивно изучаться задачи об ограниченности классических операторов в пространтвах Лоренца, что привело к необходимости характеризовать весовые интегральные неравенства типа Харди на конусе монотонных функций. Например, известно, что максимальный оператор Харди - Литтлвуда В 1990 г. М. Ариньо и Б. Мукенхаупт [17] получили критерий указанной ограниченности при l p ooиu = v. В дальнейшем Е. Сойер [56] обобщил результаты М. Ариньо и Б. Мукенхаупта для произвольных весовых функций й,и параметров 1 p,q оо. Случаи 0 q 1 р оо,0 р q оо,0 р 1 были решены В.Д. Степановым [68], а случай 0 q р 1 М.Л. Гольдманом [36] и Г.Беннеттом и К.Г. Гроссе-Эрдманом [21]. Для операторов Вольтерра критерии ограниченности на конусах монотонных функций получены О.В. Поповой [8]. В дальнейшем весовым неравенствам на конусе монотонных функций посвящено множество публикаций (см. недавний обзор [2] и литературу там же), поэтому данное направление исследований является актуальным. Пусть 9Л+ - множество всех неотрицательных измеримых по Лебегу функций на Ш+ := [0, оо) и ШТ С ШТ+ конус всех невозрастающих функций. Пусть 0 q оо. В работе Д.В. Прохорова и В.Д. Степанова [11] был изучен новый класс квазилинейных интегральных операторов вида из возможных, а в качестве R рассматриваются квазилинейные интегральные операторы вида (0.0.2)- (0.0.5), для которых мы даем исчерпывающее решение поставленной задачи, а также находим приложение полученных результатов к анализу операторов Харди на конусе квазивогнутых функций. Перейдем к изложению содержания диссертации. Работа состоит из настоящего введения, трех глав и списка литературы. Первая глава "Весовые интегральные операторы на конусах монотонных функций" носит вспомогательный характер. Основным методом изучения интегральных неравенств на конусе монотонных функций является метод редукции, т.е. сведение данного неравенства на конусе монотонных функций к неравенству на неотрицательных функциях. В данной главе представлены основные теоремы редукции из работ А. Гогатишвили и В.Д. Степанова [38], [2], которые далее используются во второй главе. Вторая глава "Ограниченность квазилинейных операторов на конусах монотонных функций". Основная цель во второй главе - дать решение задачи нахождения необходимых и достаточных условий выполнения весовых неравенств для квазилинейных операторов на конусе монотонных функций. При решении задачи используется метод редукции интегральных неравенств на конусах монотонных функций к неравенствам на конусах неотрицательных функций, которые затем характеризуются с помощью известных и недавних результатов Прохорова Д.В. и Степанова В.Д. (см. [11]). Однако, при решении задачи методами, предложенными в первом параграфе данной главы не удалось охватить все случаи параметров суммирования. Во втором параграфе на основе альтернативного подхода, основная идея которого взята из работы [12], [13], Замечание 5. C помощью работ [11], [12], [13] мы находим точные двусторонние оценки констант А, , A, B, A, B A, B, а также норм операторов через явные интегральные функционалы от весовых функций. Третья глава "Интегральные неравенства на конусах квазивогнутых функций". Пусть ер Є 9JT+ - гладкая, строго возрастающая функция, такая что (/9(0) = 0,(/?(оо) = оо. Обозначим через Q множество всех неотрицательных ср - квазивогнутых функций, таких что В данной главе приведены критерии ограниченности интегральных операторов типа Харди на конусе квазивогнутых функций. и в последние два десятилетия была решена для всех значений параметров 0 р, q оо, исключая случай 0 q 1 (см. [66], [36], [4],[51]). В третьей главе представлен альтернативный метод решения задачи, с помощью которого дается ответ в интегральном виде для всех случаев параметров. Кроме этого, мы находим критерий выполнения неравенства, аналогичного (0.0.6), с операторомПрямой метод исследования интегральных неравенств для квазилинейных операторов на конусе монотонных функций
Неравенство Харди на конусе квазивогнутых функций
Похожие диссертации на Весовая ограниченность квазилинейных операторов на конусах монотонных функций
