Введение к работе
Актуальность работы. При развитии спектральной теории линейных операторов и ее приложений, часто возникают проблемы, связанные с необходимостью введения в рассмотрение линейных отношений (многозначных линейных операторов) и развития спектральной теории линейных отношений. Так, например, если линейный оператор, действующий в банаховом пространстве, имеет неплотную область определения, то не существует сопряженного оператора, а естественным образом возникает сопряженное линейное отношение. Последовательность линейных замкнутых операторов, сходящаяся относительно расстояния, использующего понятие раствора подпространств, может в пределе иметь линейное отношение, не являющееся графиком линейного оператора. При изучении вырожденных полугрупп операторов, возникающих при рассмотрении некорректных задач математической физики, в качестве генератора полугруппы естественным образом стали использоваться линейные отношения1. Изучение некоторых классов дифференциальных операторов приводит к необходимости рассмотрения полугрупп линейных отношений. Таким образом, дальнейшее развитие теории линейных отношений является весьма актуальной задачей.
К настоящему времени имеется монография2, в которой систематически излагается теория линейных отношений и в которой имеется достаточно полная библиография проведенных до 1998г. исследований и в том числе по спектральной теории линейных отношений (глава 6). Более поздние исследования по спектральной теории линейных отношений содержатся в статье3, а в монографии 4 получены ее приложения к вырожденным дифференциальным уравнениям.
Теория линейных отношений является, в некотором смысле, обобщением теории операторов. Поэтому метод обобщения фактов из теории линейных операторов на теорию линейных отношений часто используется для развития теории линейных отношений. В частности, обобщение классов ограниченных и компактных операторов на линейные отношения имеется в монографии Р. Кросса2. Однако, выделенные им классы линейных отношений не адаптированы к построению их спектральной теории. Таким образом, одна из целей данной работы - выделение и изу-
^аскаков А.Г. О генераторах полугрупп операторов / А.Г. Баскаков // Докл. РАН. - 2006. -Т.406, №6. - С.727-729.
2Cross R. Multivalued Linear Operators / R. Cross - New York: M. Dekker, 1998.
3Баскаков А.Г. Спектральный анализ линейных отношений и вырожденные полугруппы операторов / Баскаков А.Г., Чернышов К.И. // Матем. сборник. - 2002. - Т.193, №11. - С.3-42.
4Favini A. Degenerate Differential Equations in Banach Spaces / A. Favini, A. Yaggi - New York: M. Dekker. - 1998.
чение классов линейных отношений, которые близки к ограниченным и компактным линейным операторам именно по своим спектральным свойствам.
Метод обобщения фактов из теории линейных операторов на теорию линейных отношений в полной мере применим и к спектральной теории линейных отношений, спектральные свойства которых часто являются аналогом некоторых спектральных свойств линейных операторов, что находит свое отражение в настоящей работе.
Современное состояние вопросов полноты собственных и присоединенных векторов компактных операторов, операторов с компактной резольвентой, пучков операторов в значительной степени определили работы М. В. Келдыша5 пятидесятых годов прошлого века. Анализ этой и последующих работ показывает, что постановка задачи о полноте системы спектральных подпространств для линейных отношений позволяет с единых позиций подойти к доказательству соответствующих теорем для различных классов операторов.
В третьей главе диссертации ставится задача о полноте систем спектральных подпространств, подробно рассматривается ключевое (по важности) подпространство векторов, спектр которых сосредоточен в точке оо расширенной комплексной плоскости. Использование техники сопряженных линейных отношений (в случае линейных отношений, в отличие от линейных операторов, не возникает проблем с операцией взятия сопряженного линейного отношения) и соответствующих теорем типа Фрагмена-Линделефа позволяет получать разнообразные теоремы о полноте спектральных подпространств.
Цель работы. Выделение классов линейных отношений, являющихся аналогами классов ограниченных и компактных линейных операторов, развитие их спектральной теории; постановка проблемы полноты системы спектральных подпространств для линейных отношений, изучение условий полноты системы спектральных подпространств; получение теоремы о полноте системы спектральных подпространств упорядоченных пар линейных операторов (линейных операторных пучков).
Методика исследования. В работе используются методы линейной алгебры, комплексного и функционального анализа, результаты из спектральной теории линейных операторов.
Научная новизна. Перечисленные ниже основные результаты диссертации являются новыми.
1. Введено понятие фактор-отношения - аналог понятия фактор - опе-
5Келдыш, М.В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений / М.В. Келдыш // ДАН СССР - 1951. - Т.77, №1. - С.11-14.
ратора для линейных операторов.
2. Выделены классы линейных отношений, близкие по своим спек
тральным свойствам к ограниченным и компактным линейным операто
рам, изучены их свойств.
Введено понятие спектрального подпространства линейных отношений, изучены свойства спектральных подпространств линейных отношений, отвечающих компактным изолированным частям спектра, изучены свойства спектрального подпространства, отвечающего точке бесконечность в расширенном спектре линейного отношения.
Доказана теорема о полноте системы спектральных подпространств линейных отношений, подпространство, в котором система спектральных подпространств оказывается полна, описано в терминах заданного линейного отношения.
Результаты о полноте системы спектральных подпространств линейных отношений применены для изучения вопросов полноты системы спектральных подпространств упорядоченных пар линейных операторов.
Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в диссертации результаты и методы их доказательства могут могут быть использованы при решении широкого круга вопросов теории линейных операторов, упорядоченных пар линейных операторов (линейных операторных пучков), дифференциальных уравнений.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Воронежской зимней математической школе Крейна (ВЗМШ-2006), 16-ой Крымской осенней математической школе - симпозиуме (КРОМШ-2005), 17-ой Крымской осенней математической школе-симпозиуме (КРОМШ-2006), а также неоднократно на семинарах проф. А.Г. Баскакова в Воронежском государственном университете.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [6]. Из совместной работы [1] в диссертацию включены только результаты, принадлежащие диссертанту.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, и списка литературы. Объем диссертации - 87 страниц. Библиография содержит 56 наименований. Нумерация приводимых в автореферате определений, предположений, теорем, лемм, следствий и формул совпадает с нумерацией, принятой в диссертационной работе.
