Содержание к диссертации
Введение
1 Обобщенное отношение правдоподобия для различных задач обнаружения многомерного полезного сигнала с неизвестными пространственными характеристиками 11
1.1 Постановка задачи 11
1.2 Обобщенное отношение правдоподобия для проверки гипотезы о наличии сигнала на фоне пространственно-неоднородного по элементам антенны шума с неизвестными мощностями 15
1.3 Вывод вспомогательного обобщенного отношения правдоподобия для проверки гипотезы о равенстве мощности шумов в элементах антенной решетки при условии
их независимости 18
1.4 Обобщенное отношение правдоподобия для проверки гипотезы о наличии сигнала на фоне однородного шума неизвестной мощности 20
1.5 Обобщенное отношение правдоподобия для проверки гипотезы о присутствии сигнала на фоне однородного шума известной (единичной) мощности 23
1.6 Обобщенное отношение правдоподобия для проверки гипотезы о наличии сигнала на фоне однородного шума единичной мощности с учетом положительной определенности ковариационной матрицы сигналов 24
1.7 Сводка выражений для GLR статистик 25
2 Нахождение моментов решающих статистик GLR в различных задачах обнаружения сигналов с неизвест ными пространственными характеристиками 29
2.1 Моменты решающей статистики для проверки гипотезы о наличии сигнала на фоне пространственно-неоднородного по элементам антенны шума с неизвестными мощностями 29
2.2 Моменты решающей статистики для проверки гипотезы о равенстве шумов в различных элементах антенной решетки при условии их независимости 32
2.3 Моменты решающей статистики для проверки гипотезы о присутствии сигнала с произвольной пространственной когерентностью на фоне однородного шума неизвестной мощности 35
2.4 Моменты решающей статистики для проверки гипотезы о присутствии сигнала с единичной ковариационной матрицей 39
2.5 Сводка выражений для моментов GLR статистик 40
Использование моментов GLR статистик для исследования функций распределения решающих статистик в случае коротких выборок 42
3.1 Представление плотностей вероятностей GLR статистик в виде ряда с использованием моментов 42
3.2 Разложение плотности вероятностей решающих статистик по ортогональным смещенным полиномам Якоби 43
3.3 Исследование точности определения моментов решающих статистик путем численного моделирования 44
3.4 Исследование точности аппроксимации функций распределения решающих статистик путем численного моделирования 47
3.5 Исследование точности определения пороговых значений решающих статистик для заданной вероятности ложной тревоги 61
4 Сравнение эффективности различных обнаружителей пространственных сигналов 67
4.1 Сравнение помехоустойчивости различных обнаружителей пространственных сигналов 67
4.2 Сравнение рабочих характеристик различных обнаружителей пространственных сигналов 75
5 Заключение
- Обобщенное отношение правдоподобия для проверки гипотезы о наличии сигнала на фоне пространственно-неоднородного по элементам антенны шума с неизвестными мощностями
- Моменты решающей статистики для проверки гипотезы о равенстве шумов в различных элементах антенной решетки при условии их независимости
- Разложение плотности вероятностей решающих статистик по ортогональным смещенным полиномам Якоби
- Сравнение рабочих характеристик различных обнаружителей пространственных сигналов
Обобщенное отношение правдоподобия для проверки гипотезы о наличии сигнала на фоне пространственно-неоднородного по элементам антенны шума с неизвестными мощностями
При решении поставленных задач использовались общие методы статистической радиофизики [1] - [50], теории вероятностей и математической статистики [51] - [101], а также методы теории случайных матриц [102] - [104] и теории ортогональных полиномов [105] -[111].
Научная новизна работы
1.Получены выражения для решающих (GLR) статистик в задаче обнаружения полезного сигнала на фоне шума при различных объемах априорной информации о сигнале и шумах.
2.Найдены точные аналитические выражения для моментов решающих статистик, полученных на основе обобіценного отношения правдоподобия для произвольного объема выборки.
3. Предложен эффективный метод аппроксимации функции распределения решающих статистик, получаемых на основе обобщенного отношения правдоподобия в случае коротких выборок.
3. На основе предложенного метода разработан алгоритм для вычисления пороговых значений GLR статистик и решена задача обнаружения для многомерных сигналов с априорно неизвестной пространственной когерентностью.
4. Точность и эффективность предложенных методов и алгоритмов проверена путем численного моделирования.
Практическая ценность
Полученные в диссертации теоретические и экспериментальные результаты представляют интерес для ряда научно-исследовательских учреждений, занимающихся разработкой радио- и гидроакустических адаптивых антенных решеток, а также в организациях, связанных с практическим использованием и разработкой подобных систем, таких, как институт прикладной физики РАН (ИПФРАН, г. Нижний Новгород), Нижегородский институт радиотехники (НИ-ИРТ, г. Нижний Новгород), научно-производственное объединение
"Полёт" (НПО "Полёт", г. Нижний Новгород). Результаты могут быть использованы при проектировании и исследовании эффективных систем обработки многомерных сигналов в радиолокации и гидроакустике. Кроме того, отдельные результаы работы использованы в учебной работе со студентами, специализирующимися в области статистической радиофизики.
Структура и объем работы
Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем работы составляет 101 страницу, включая 38 рисунков.
Во введении освещается современное состояние проблемы обнаружения многомерных сигналов на основе обобщенного отношения правдоподобия, обосновывается актуальность работы и кратко излагается содержаник работы.
В первой главе диссертации решается задача нахождения выражений для GLR статистик для различных пространственных сигналов и шумового фона.
В 1.1 формулируется классическая двухальтернативная задача обнаружения на основе различения двух гипотез и выводится общее выражение для обобщенного отношения правдоподобия, в котором все неизвестные параметры сигналов заменяются их максимально правдоподобными оценками.
В 1.2- 1.6 для рассматриваемой двухальтернативной задачи обнаружения выводятся точные аналитические выражения для решающих статистик обобщенного отношения правдоподобия в зависимости от имеющейся априорной информации. Рассматривается пять вариантов задания пространственных характеристик шума и полезного сигнала. При этом в первых трех вариантах предполагается, что полезным сигналом является любой сигнал, характеристики которого отличны от характеристик шума. В двух последних вари антах дополнительно к характеристикам шума задается и определенная априорная информация о полезном сигнале. Характеристики шума в различных вариантах постановки задачи обнаружения задаются в виде сложной или простой нулевой гипотезы.
Во второй главе находятся точные аналитические выражения для статистических моментов любого порядка найденных в первой главе GLR статистик. Моменты находятся путем прямого интегрирования n-мерных интегралов с использованием известного распределения Уишарта для выборочной ковариационной матрицы.
В 2.1 - 2,4 находятся моменты для каждой из рассматриваемых решающих статистик. Вычисление п-мерных интегралов удается выполнить путем использования свойств гамма-функции и многомерных х-квадрат распределений для комплексных случайных величин. Показано, что полученные моменты для различных решающих статистик удовлетворяют определенному свойству согласованности. В 2.5 представлена сводная таблица точных выражений для используемых GLR-статистик и их статистических моментов любого порядка.
Моменты решающей статистики для проверки гипотезы о равенстве шумов в различных элементах антенной решетки при условии их независимости
Распределение случайной величины V, так же, как и Л, полностью сосредоточено в ограниченной области [0;1]. Поэтому для нее существуют моменты всех порядков, и они полностью определяют ее плотность вероятности. При этом характеристическая функция случайной величины V будет выражаться через моменты в виде сходящегося ряда Маклорена. Точные аналитические выражения для моментов могут быть использованы и для нахождения самого вероятностного распределения статистики V. Разложим плотность вероятности VFyfa;) случайной величины V в ряд по полной системе ортогональных многочленов Qn(x). Формально такой ряд записывается следующим образом: где Сп - коэффициенты разложения, a f(x) - весовая функция. Основная проблема, возникающая при использовании разложений (98) состоит в выборе (подборе) весовой функции f{x), при которой этот ряд сходится наиболее быстро [106]. В данной работе мы воспользовались разложением по смещенным полиномам Якоби, Для этого в качестве весовой функции f{x), которая определяет совокупность ортогональных функций Qn{x) в (98), было выбрано /?-распределение /w=wk 1(1- r (99)
Как показало проведенное исследование, функция (99) является очень удачным нулевым приближением аналитически неизвестной функции плотности вероятности случайной величины V. При таком выборе весовой функции Qn(V) представляют собой систему смещенных ортогональных многочленов Якоби, определенных па интервале [0; 1]. В явном виде они записываются следующим образом:
Разложение плотности вероятностей решающих статистик по ортогональным смещенным полиномам Якоби
Параметры р и q функции (99), используемой в качестве нулевого приближения, подбирались оптимальным образом с помощью метода моментов. Для этого предполагалось, что первые два момента аппроксимируемой Wv{x) и аппроксимирующей f{x) функций равны. Учитывая, что моменты функции 1 ( ж) выражаются формулой (6), а моменты -распределения (99) равны
Поскольку параметры р и q в (100), есть величины положительные, а значения всех моментов M[Vh] находятся на интервале от 0 до 1, то можно показать, что для любых значений моментов V и V2 и любых р и N существует единственное решение
Подставляя найденные р и q в (99), получаем нулевое приближение (первое слагаемое ряда (98)), аппроксимирующее функцию плотности вероятности Wv{x) статистики V. Несложно показать, что при таком выборе параметров р и q следующие два коэффициента в разложении (98) будут тождественно равны нулю (сі = 0,2 = 0) для любых N и р. Это обеспечивает очень высокую точность уже нулевого приближения.
Последующие коэффициенты разложения неизвестной плотности вероятности в ряд по ортогональным многочленам выражаются через известные моменты более высоких порядков решающей статистики.
Исследование точности определения моментов решающих статистик путем численного моделирования
Для исследования точности определения моментов было проведено численное моделирование в среде Matlab. Полученные аналитические выражения для моментов М[Vh] решающих статистик (см. табл. II) были проверены путем нахождения оценок М[УЛ] этих же моментов. Оценки моментов М[КЛ] находились путем обработки ш. серий экспериментальных данных различного объема N для заданного числа элементов антенной решетки р. Значения решающей статистики V для каждой серии объема m находились согласно полученным выше формулам (21), (29), (37) и (41) для заданного значения параметров р и N. Проведенное моделирование показало полное соответствие, в пределах статистической погрешности, экспериментальных и теоретических результатов. Например, для первого и второго моментов статистики V2 па рис. 1 показано убывание среднеквадратичной ошибки оценки выборочных моментов (І2 — (М Т 1] — MfV ])2 в зависимости от числа серий проведенных экспериментов т. Каждое значение решающей статистики находилось путем обработки серии из пятнадцати выборок (N=15) выходных сигналов пятиэлементной антенной решетки (р=5) в соответствии с выражениями (15), (37). По оси абсцисс показано количество серий проведенных экспериментов. Анализ показывает, что скорость убывания дисперсий ошибок оценок моментов соответствует теоретической. Аналогичные проверки были проведены и для моментов первого и второго порядка других решающих статистик Vi, V3 и Vs.
Разложение плотности вероятностей решающих статистик по ортогональным смещенным полиномам Якоби
Интегральные функции распределения статистик V1-V3, полученные в результате эксперимента, приведены на рисунке 3. Жирные сплошные линии соответствуют случаю однородного шума, а пунктирные - случаю неоднородного шума. В случае статистики V\ они совпадают, поскольку статистика V\ "настроена" на неоднородный шум (см. параграф 1.2). На рисунке За показаны интегральные функции распределения для GLR статистики V\ , на рисунке 36 - для GLR статистики 14, а на рисунке Зв - для GLR статистики V3. На рисунке Зг функции распределения всех трех статистик приведены на одном графике. Для примера рассмотрен случай, когда объем выборки N = 15. Для других значений параметров антенной решетки р и N кривые будут вести себя друг относительно друга аналогично. Из рисунков видно смещение функции распределения вправо при увеличении объема выборки. Область изменения аргумента находится в интервале от 0 до 1, что соответствует соображениям, приведенным в параграфе 3.1.
Экспериментальные функции распределения статистики V3 в линейном масштабе. Сравнивая выражения для статистик V\ и V в таблице I, можно заметить, что у них одинаковые числители. Знаменатели этих статистик представляют собой среднее значение от диагональных элементов матрицы А, однако для статистики V\ - среднее геометрическое, а для статистики Уг - среднее арифметическое. Поскольку среднее геометрическое ряда положительных чисел не превосходит их среднего арифметического, то для одних и тех же данных статистика Vi будет иметь большее значение, чем V i. Таким образом, следует ожидать, что функция распределения статистики Уг пройдет выше, чем соответствующая функция для статистики Vi, что и показано на рис.Зг). Рис Зг Экспериментальные функции распределения статистик V (i=l,2)3) в линейном масштабе для р—5, N=15.
На рисунке 4 сравниваются интегральные функции распределения для разных степеней неоднородности шума для всех трех рассматриваемых GLR статистик 1 -. Сплошная линия соответствует однородному шуму, пунктирная - слабо неоднородному, штрих пунктирная - более сильно неоднородному. Для примера взят случай, когда число элементов антенной решетки N равно 5, объем выборки L = 15. Из рисунка видно, что при увеличении степени неоднородности шума интегральные функции распределения всех GLR статистик становятся все более крутыми, что уменьшает их пороговые значения. 1.0 0.8 л t o.e о
Экспериментальные функции распределения статистик Уг для разных степеней неоднородности шума при р=5, N=15
На рисунке 5 представлены функции распределения для этих же трех решающих статистик соответственно, но при одном и том же объеме выборки N — 15 для разного количества элементов антенной решетки. Так, па рис.5а показаны функции распределения для статистики Vi, на рис.5б и 5в - для статистик 1- и V3 соответственно в случае однородного шумового фона. 1.0 o.e
Для того, чтобы наглядно продемонстрировать высокую точность нулевой аппроксимации, методом численного моделирования были построены интегральные функции распределения решающих тест-статистик Vi, Vi, V3 для 5-элементной антенной решетки при N=5, 10 и 15 с использованием предложенного метода аппроксимации с помощью смещенных ортогональных полиномов Якоби. На рисунке 6 показаны функции распределения для различных решающих статистик, рассчитанные на основе нулевого приближения {Fy{x)-пунктирные кривые) и экспериментальные функции распределения, вычисленные на основе 1 миллиона случайных реализаций (Fy p(x)-силошные кривые). Рассматривается функции распределения в случае нулевой гипотезы в случае однородного шума.
Сравнение рабочих характеристик различных обнаружителей пространственных сигналов
Было проведено численное моделирование схем обнаружения пространственных сигналов, работающих на основе статистик V\ - VQ. Для обнаружения пространственных сигналов использовалась 5-элемептная линейная эквидистантная антенная решетка (р=5) с расстоянием между соседними элементами, равным половине длины волны.
В первом варианте схемы обнаружения в соответствии с нулевой гипотезой Яоі собственный шум моделировался как неоднородный (имеющий разные мощности в антенных элементах) с диагональной ковариационной матрицей (14).
При этом мощности собственных шумов в элементах антенной решетки брались равными [0.2,0.2,1,1.8,1.8] в каждом элементе соответственно, что соответствует достаточно сильно неоднородному шуму. Во всех остальных вариантах схемы обнаружения шум моделировался как однородный, с одинаковой мощностью в антенных элементах и ковариационной матрицей
Однако, во втором и пятом вариантах дисперсия (мощность) шума предполагалась неизвестной, а в третьем, четвертом и шестом вариантах известной и равной единице: 20,=1,1 = 3,4,6. (113)
Во всех рассматриваемых случаях шпур ковариационной матрицы шума оставался равным числу элементов антенной решетки в соответствии с (112).
Рассматривались три модели полезного сигнала. В первой, простейшей, модели полезный сигнал представлял собой плоскую когерентную волну, падающую нормально к плоскости апертуры антенной решетки. В этом случае ковариационная матрица сигналов антенной решетки имеет одно максимальное собственное число ("сигнальное"), равное сумме мощности сигнала и единицы, а все остальные собственные числа ("шумовые") равны единице.
Во второй модели полезный сигнал представлял собой сумму двух независимых плоских волн, одна из которых падала нормально, а другая под углом (порядка 0,41 радиана), соответствующим первому нулю диаграммы направленности для пятиэлементной антенной решетки из полуволновых вибраторов. Диаграмма направленности, представляющая собой зависимость результирующей интенсивности сигнала от угла между рассматриваемым направлением и плоскостью решетки и рассчитанная в соответствии с теорией антенн, приводится на рис. 19.
В этом случае ковариационная матрица сигналов антенной решетки имеет два одинаковых максимальных собственных числа (равных сумме единицы и мощности каждого из сигналов), а все остальные собственные числа равны единице. В третьей модели полезный сигнал задавался как однородный или неоднородный шум неизвестной мощности. -іяи -1.171 елі л.571 0.C0S d,«t пд» I.J
Было проведено сравнение эффективности использования статистик VI-VQ ДЛЯ обнаружения описанных выше полезных сигналов и шумов. Исследовались рабочие характеристики обнаружителей (вероятности правильного обнаружения в зависимости от вероятности ложной тревоги) при заданном отношении сигнал/шум (отношение мощности полезного сигнала к мощности шума в одном антенном элементе). Отношение сигнал/шум во всех экспериментах задавалось равным SNR=-5dB (как наиболее показательное для 5-элементной антенной решетки при используемом объеме выборки TV = 15).
На рис.20а,б представлены рабочие характеристики обнаружения когерентного сигнала в виде плоской волны на фоне соответственно однородного и неоднородного собственного шума для всех исследуемых статистик. Как видно из приведенных результатов, в первом случае, однородного шума, наиболее эффективной является статистика V\, вероятность правильного обнаружения Рдд для которой составляет около 0,9 при вероятности ложной тревоги Ррд = 0,1. При таком же значении вероятности ложной тревоги, статистики VQ, У3, Уі и V% имеют вероятности правильного обнаружения PRD=0,8 , PRD— J -Р/т=0,59 PRD=0,67 соответственно, статистика Vg вообще непригодна для обнаружения в данном случае, поскольку условия эксперимента не соответствуют условиям ее применимости.
Похожие диссертации на Анализ характеристик обнаружения многомерных сигналов на основе обобщенного отношения максимального правдоподобия в случае коротких выборок
