Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Вспомогательные утверждения и приближение выпуклых функций с произвольным модулем непрерывности 24
1. Леммы. 25
2. Оценка приближения произвольной непрерывной выпуклой функции сверху 61
3.О точности полученной оценки 68
ГЛАВА II. Приближение выпуклых функций с заданным модулем непрерывности 75
1. Доказательство теоремы 3. 78
2. Доказательство теорем 4 и 4а 100
ГЛАВА III. Рациональные приближения функций с конечным полным изменением 126
1. Построение разложения единицы в сумму рациональных функций 127
2. Основная лемма . 142
3. Оценка сверху для наилучшего приближения непрерывной функции с конечным изменением 146
4. О точности оценки сверху для наилучшего приближения непрерывной функции с конечным измененим 156
5. Следствия 191
6. Рациональные приближения кусочно выпуклых функций 203
7. О разложении единицы в сумму рациональных функций многих переменных 211
Литература 225
Работы автора по теме диссертации 238
- Оценка приближения произвольной непрерывной выпуклой функции сверху
- Построение разложения единицы в сумму рациональных функций
- О точности оценки сверху для наилучшего приближения непрерывной функции с конечным измененим
- О разложении единицы в сумму рациональных функций многих переменных
Введение к работе
Работа посвящена оценкам для наименьших равномерных уклонений выпуклых функций и функций с ограниченным изменение от рациональных функций.
Введем обозначения. Пусть 4(ОС) - действительная непрерывная функция, заданная на отрезке A —[o.,fj действительной оси, и R(x)~ рациональная функция от X , несократимая запись которой есть
где CL и v. - действительные числа; причем (X и v^ отличны от нуля. Число Ц =777#Ot'jpjЦ,}называется степенью (порядком) рациональной функции R CZ).
Через R Г/Д] =/?-ff J будем обозначать наименьшее уклонение непрерывной функции -С(Ос) , ОСєЛ , от рациональных функций степени не выше fl в чебышевской метрике С (А) :
Rjf]=infliriwc \f№-R(M)\}> R ^a±oc±g
где /^ пробегает все рациональные функции степени не выше fl . Беря здесь infttnuni не по всем рациональным функциям R , а только по действительнозначным алгебраическим полиномам степени /-} , получим определение Еп [f} Л] = Еп If] - наименьшего уклонения функции на отрезке А от полиномов степени не выше fl . Очевидно всегда Rn [f]^ Еп [f] .
_ 4 -
Задачи оравномерном приближении функции на отрезке посредством полиномов и рациональных функций были поставлены одновременно. Это было сделано Пафнутием Львовичем Чебышевым в мемуаре [I] , опубликованном в 1859 г. (см. [ij , стр. 152-236 , [Z] , стр. 199-291). С тех пор равномерные приближения называют также че(-бышевскими приближениями. Одним из основных результатов, изложенных в этом мемуаре было доказательство теоремы о единственности рациональной функции наилучшего приближения. Отсюда, в частности, вытекает единственность полинома наилучшего приближения для рассматриваемой непрерывной функции.
В 1877 году Е.И.Золотарев в мемуаре [3] получил замечательные результаты, касающиеся рациональных приближений. В частности, им была поставлена и решена задача (см. [3],1У задача) , которая может быть сформулирована следующим образом: из всех несократимых дробей данной степени найти ту, которая наименее уклоняется от функции SlQtl Ос- на множестве Л (6) -= =[-i,-djU [Ь<6^{ , и найти величину этого уклонения. В частности, им было найдено точное выражение для
tfJs^,^
Jl - полный эллиптический интеграл 1-го рода с модулем -Я , SfZ И - эллиптическая функция с модулем Л (см. [з] и fl5] стр.
197).
В 1884 году П.Л.Чебышев опубликовал краткую заметку f4] , а в 1889 году подробную статью "О приближениях квадратного корня переменной через простые дроби" ( [53 ). Задача, рассматриваемая П.Л.Чебышевым в этой работе, может быть сведена к задаче о приближении SflQtlSt , Хе A(d), решенную Е.И. Золотаревым в [3J (см. [б] , стр. 410 ). Как указывает Н.И. Ахиезер [б] , результаты статей П.Л. Чебышева и Е.И.Золотарева получили применение в теории электрических фильтров в работах В.Кауэра ( [7] и [8] ).
Вообще же задача о приближении функции ЙШЭС на &{$), как и задача о приближении функции \Х\ на [-ijU является одной из узловых в теории рациональных приближений. В дальнейшем этими задачами и, в частности, уточнением неравенств для /? [&Ш №}А(6)] и Rn [№\й[~1,і1] занимались многие авторы (см. Ахиезер [9j-[l2] , Г ІЗ], стр. 73-76, 319-320 , [I4jcTp. 158-159 , [15] ,Д.Ньюман [1б] , А.А.Гончар [17-20] , А.П.Буланов [75J ,ff38] , Н.С.Вячеславов(ІІЗ- ІІ5^и др.) Хотя, как уже отмечалось, Е.И.Золотаревым было получено точное выражение для /?n [SWflXj /\(S)J (см. (I)), пользоваться им при больших Ц было весьма затруднительно. Грубо приближенные, но зато очень простые и удобные для применений оценки этой величины получил Д.Ньюман в 1964 г. С помощью -этих оценок он получил неравенства
j exp{'9Sn}< Rn [щ, Hilh 3&*p{- Щ
(2)
В 1967 году А.А.Гончар показал, что более точные оценки можно извлечь из упомянутого результата Е.И. Золотарева. Последние результаты здесь принадлежат А.А.Гончару (слабая эквивалентность для R [Щ№Л(6)]) и Н.С.Вячеславову (слабые эк-
** a s -
вивалентноети для наименьших функций вида % $1Qfl9C в метриках Lf Hji], 0*f±**f 4*0,4,2,... )
После того, как Вейерштрасс ( [24J , f25J ) в 1885 году доказал, что Enlf]—+Q при ??—***« для произвольной непрерывной функции -f(0C) , ХЄА » встал вопрос о связи между скоростью убывания величины Еп [f] и свойствами функции. Один из способов исследования этого вопроса содержится в доказательстве теоремы Вейерштрасса, предложенном Лебегом (см. [26] и f27j;cTp. 72 ). Любую непрерывную на отрезке [ftjJ функцию j'COt) Лебег сначала приближал Н -звенной кусочно-линейной функцией L (ОС) (вписывая в кривую и^-С(ос) YL -звенную ломанную с уравнением V — L^COt) ). Записывая, далее, L (ОС) в виде
«-І (3)
Lcx)=Ax+b+Zc i-x-ocj
(где Ci^OC.^OL,,. ^n-i < & ), он сводил исходную
задачу к задаче о приближенииj#-#/на Д . Эта задача, в свою очередь, сводится к приближению \Х\ на отрезке{rijiJ . (О приближении !#l на [~i,t] полиномами см. работы f28J-[33] ). В начале 20-го века вопросам о приближении функций полиномами были посвящены многие работы Лебега, Валле-Пуссена, Д.Джексона и С.Н.Бернштейна ( [26] -[30J , [33] , [34] ). Из этих работ, в частности, выяснилось, что скорость убывания
Bn [fj Л ] при п —» «*о существенно зависит от модуля непрерывности приближаемой функции -f(oOt Ос є Л , именно по теореме Джексона
где u)(i,f)-ivp{lfe»)-fcp\,x,yei,ix-^l
- модуль непрерывности функции 4- .
В дальнейшем теория приближений полиномами продолжала развиваться быстрее, чем теория приближения рациональными функциями. Однако, многие вопросы, решенные для полиномиальных приближений, ждали ответа и для приближений рациональными функциями.
В конце 50-х и начале 60-х годов теория рациональных приближений функций действительного переменного резко ускорило свое развитие благодаря результатам А.А.Гончара и Е.П.Должен-ко, устанавливающим связь между скоростью убывания/? [Ал]и свойствами функции . А.А.Гончар нашел, что хотя никакая скорость убывания к нулю величин Яп Ц j Л J , вообще говоря, не обеспечивает каких-либо дифференциальных свойств функции І в наперед заданной точке ОС Є А , все же достаточно . высокая скорость этого убывания обеспечивает наличие у функции j- некоторых локальных гладкостных свойств почти в каждой точке ОС ЄЛ ; при этом исключительное множество точек, вообще говоря, зависит от функции -f- . Например, им показано, что если Rn[jAj не превосходит С-И
(С.=бОґі%і~>й)* то/Y#)существует почти всюду на А ( [35J,
1955 г.); если же /?n|T/;ZlJ < с ft ~ * к - целое неотри-
цательное, D
Позже Е.П.Долженко ( Г59J , I960 г., доказательство см. в [36 J ) обнаружил, что определенная скорость убывания R'If) А ] обеспечивает наличие у функции 4 таких ее свойств в целом, как конечность полного изменения Y(-f), конечность ее ф -вариации, абсолютная непрерывность. Например, из условия s7 Rn[f к] < ъ
следует абсолютная непрерывность функции 4 , а значит и конечность ее полного изменения; условие это является неулучшаемым.
За последние годы существенные результаты по теории рациональных приближений функций действительного переменного были получены А.А.Гончаром, Е.П.Долженко, П.Сюс и П.Тураном ,Г.Фройдом, И. Сабадошом, А.Абдугаппаровым, Е.А.Севастьяновым, В.А.Поповым, В.Н. Гусаком, К.Н.Дунгу f А.Хатамовым, Н.С.Вячеславовым, В.П.Данченко, П.П.Петрушевым, А.А.Пекарским, С.Ташевым, Е.А.Ровбой,А-Р.К.Рамаза-новым, А.К.Рамазановым, и др.
Что касается зависимости между R [j]n En[f~}9 то история здесь такова.
После того, как были построены функции/ (А.А.Гончар [35] , 1955 г.), для которых Е [f ] -*Q сколь угодно медленно, a^>n[fJ-*"^ сколь угодно быстро, возникла гипотеза о том, что и всегда, если не есть полином, то Fn [f] = с (Еп [f]) (п —*~ оо) ' «С появлением неравенств Д.Ньюмана (2) вера в эту гипотезу укрепилась. Однако в 1967 г. было показано (Е.П.Долженко f37j ), что имеются непрерывные функции X , для которых
(5)
При этом функция j может иметь модуль непрерывности наперед заданного порядка CO(S) , т.е. j-єН » и вообще иметь любую наперед заданную гладкость вплоть до аналитичности во всей плоскости % = 9t-1.y.
Таким образом, кроме тривиального соотношения /?л fj6 F [f J
и утверждения, что одновременно, других
связей между ними нет,даже, если привлечь такую традиционную характеристику как модуль непрерывности. В связи с этим отпала необходимость искать оценку для "n If Jлишь через модуль непрерывности функции , поскольку имеются неулучшаемые оценки для ["] типа неравенства Джексона (4). Этот результат показал также, что если мы хотим для ^рч-^ получить оценки по порядку лучше, чем оценки для Еп [f] , то нужно выделять классы функций X посредством каких-то функциональных свойств, не находивших применение в теории полиномиальных приближений.
Еще до появления этой работы были получены первые оценки
для приближения непрерывных функций, обладающих такими функ-
с циональными свойствами как выпуклость т и конечность полного
изменения . Относительно выпуклых функций класса Up і это были результаты П.Сюс и П.Турана ( [38] 1965 г.), относительно функций с конечным полным изменением - результаты Е.П. Долженко и А.А.Абдушппарова (доклад Е.П.Долженко на конгрессе математиков в Москве в 1966 году [49 ] ; результат был также доложен на семинаре по теории функций в МГУ в конце 1965 года) и Г.Фройда ( |II8j , 1966 г.) Были также построены примеры,
показывающие, что одна лишь конечность полного изменения непрерывной функции + не гарантирует какую-либо фиксированную скорость убывания /?л [-f ] к нулю. Простой пример монотонной и абсолютно непрерывной функции -f , для которой Дп Tf J стремятся к нулю произвольно медленно, построил Е.П.Долженко (см. об этом в работе А.А.Гончара [60] на стр. 335-336). Исходя из скорости роста функций в фиксированной внутренней точке отрезка, А.А.Гончар ( [17J и [*60] ) построил непрерывную "шкалу препятствий", которая характеризует скорость рациональных приближений этих функций. В эту шкалу, в частности, вклады: вается оценка снизу для наилучших равномерных рациональных приближений таких канонических функций как, например,
<РОО- , и
X*, 0±9С± і 0 0<о(*{ , или {ОСІ, -І^ОС^І,
В 1969 году автор ї35J обнаружил, что выпуклость непрерывной функции X уже сама по себе, без каких-либо дополнительных условий на / гарантирует определенную скорость убывания
Rn [4')й] к нулю. В последовавших за этим работах
А.Абдугаппарова, А.Хатамова, В.А.Попова, П.П.Петрушева, А.А.
Пекарского, А.П.Буланова и др. это направление исследований
развивалось. В работах ("I37.J и fl4#]автор показал, что знание
модуля непрерывности выпуклой функции -f позволяет существенно
улучшить оценку для R [-f9A] . Отметим, что полученные
- II -
неравенства для R [f^A] существенно сильнее, чем неулучшаемое неравенство для if)А] » полученное при тех же условиях на
f
Эта диссертация посвящена неравенствам для г?п [f.A] в случае выпуклых непрерывных функций j (гл. I и П) и в случае функций с конечным полным изменением (гл. Ш). Дальнейшая история вопроса излагается ниже параллельно с результатами диссертации.
Основное содержание работы сформулировано в шести теоремах. В первой главе доказывался теоремы I и 2 об оценках дляtfffJcoo,-ветственно сверху и снизу в случае непрерывных выпуклых функций + без учета величин их модулей непрерывности CO(^f)> Отметим, что теоремы I и 2 приводились в кандидатской диссертации автора,защищенной в 1971 г. Во второй главе доказываются теоремы 3 и 4 об оценках Rn [] соответственно сверху и снизу, но уже в случае выпуклых функций с заданным модулем непрерывности. Эта глава является существенным развитием первой главы.
В главе Ш в основных теоремах 5 и 6 даются оценки Rn [f] также соответственно сверху и снизу для функций -f с ограниченным полным изменением и с заднным модулем непрерывности.
В теореме 7 дается оценка для Rn [f,A] в случае "склеенных" в частности,кусочно-выпуклых функций f ; теорема 7а является многомерным аналогом теоремы 7.
В каждой главе доказаны две теоремы, которые решают по существу один вопрос: каков показатель степени Л в оценке
^pRn[f] = nM(ra) сп-+~)} f
где ЬЩУГетигп берется по всем функциям из рассматриваемого там класса.
Остановимся несколько подробнее на содержании каждой главы.
В I гл. I доказывается ряд лемм и две вспомогательные теоремы (теорема А и теорема В), используемых на протяжении всей работы. Существенное внимание здесь уделено равномерному приближению функций S^Qfl X на симметричной паре отрезков Г-J -д]и[.д і\*= Д(ії) (м* теорему А). Отметим, что оценки, содержащиеся в некоторых леммах этого параграфа, можно было бы извлечь из упомянутых результатов Е.И.Золотарева [*3] , однако конструкция Д.Ньюмана дает более простой путь для получения соответствующих неравенств. Основной результат этого параграфа теорема В, на которой основано доказательство теоремы б гл. Ш.
В 1964 году, используя представление Лебега (3) и неравенства Ньюмана (2), П.Сюс и П.Туран [38] показали, что если непрерывная функция j(0t) выпукла на [-1,1] , то для ее приближения на любом отрезке Ac==[-i+9 i~8j при любом положительном < і справедлива оценка
Rn[f^hC(f^^f (П7/> (6)
где не зависит от fl . Полиномы в этих условиях дают
лишь
n[f,^C(f,e){
С другой стороны, Д.Ньюман привел пример выпуклой и удовлетво-ряющей условию Липшица Lipl на отрезке А функции / , для которой
- ІЗ -
(этот результат приводится в [38] ).
Как известно, всякая непрерывная и выпуклая на отрезке ^= Гд fjфункция j(0t) является абсолютно непрерывной на Л , удовлетворяет условию Липшица Lip і на любом отрезке
[а+у, в~$] (о*1?*4(~а)) шеет почти всюау
вторую производную и является "плохой" разве лишь на концах отрезка А . Эти свойства и приведенный только что результат могли указывать на возможную справедливость неравенств типа
Rn LfjAJ^ Сії . С другой стороны, А.А.Гончар построил
(см. ["17J , неравенство (24)) такие кусочно-выпуклые непрерывные функции f , для которых RLCfl стремятся к нулю сколь угодно медленно. Это говорило в пользу возможного существования непрерывных выпуклых функций , которые приближаются рациональными функциями сколь угодно медленно. На самом деле имеет место компромиссная ситуация:
Теорема I. Для любой выпуклой непрерывной функции /(#),
осєД ,
где С - абсолютная постоянная М (fi = mq9c{lf(VC)\, ОС є А] .
Следует обратить внимание на то, что в оценке (7) ни прямо, ни косвенно не участвует модуль непрерывности СО C^jf). Теоремы такого типа в теории приближений ранее не встречались; для полиномиальных приближений такие теоремы вообще
невозможны, что следует из неравенства Стечкина (см. [39 J , неравенство (2.5) на стр. 613 , и в работе С.Б.Стечкина [40] теорему 8).
После опубликования этого результата в 1J35J он уточнялся (П.П.Петрушев [47] , А.Хатамов [4l] ).
Недавно В.А.Попов и П.П.Петрушев [42] показали, что в
условиях теоремы I R [-Р;А] = 0~(-^) (ft—*^) То, что
дальнейшее уточнении невозможно, вытекает из следующей теоремы:
Теорема_2. Для любой положительной последовательности б \0 существует выпуклая непрерывная функция f (ОС) , ХЄ[0,{] » Для которой
*7 6"*
для некоторой последовательности И >* ** Р35] .
/С
Во второй главе приводятся оценки наименьших уклонений для выпуклых функций с учетом величины их модуля непрерывности СО (>j) . Упомянутый выше результат П.Сюс. и П.Турана (6) можно сформулировать еще так: если функция/ выпукла и удовлетворяет условию Липшица на отрезке Л , то
R9[fl*C(f)
in П
fl =-2,3,,.. . (6)
А.А.Абдугаппаров [43] показал, что если выпуклая функция feUpoi . Q«**i , то
В работе ff37J было получено неравенство
где С - абсолютная постоянная, выпуклая функция имеет модуль непрерывности СО (S, f) СО (S), М = 1710% | f(%) j . В частности, если CO(SA) 6 » Q^-ol^i
а если Co(SA')^ (ш—) » то из (8) следует, что
Неравенство (8) дало для выпуклой JGLlp^ , <^7# ,
окончательный показатель степени у И - двойку. Если модуль
непрерывности"очень плох", то, как следует из теоремы 2, нель
зя надеяться на то,что хотя бы при каком
-нибудь '?0 , так что для таких функций R^ [j і имеет,
грубо говоря, порядок d/fl и не лучше. Для "плохих" же моду
лей непрерывности оценка (8) не является окончательной в смысле
величины показателя степени Ті . В частности, не является окон
чательным показатель степени 3/2 в оценке (10).
В теореме 3 гл. П неравенство (8) уточняется следующим
образом[1421 :
R [п±сЩ эс Uoa)&ik*],n-i,3,..., (II)
а в теореме 4 показывается, что неравенство (II) нельзя да
лее уточнять, если пренебречь множителями порядка вп ТІ ,
где *У" постоянная. Из теоремы 3 в частности следует, что нера-
венство вида ^[j][(f)~ (f=f(f)*0) » справедли
вое по (б) для выпуклых функций feUpl , распространяет
ся не только на выпуклые функции из Гельдеровских классов
}{ — LipoL , о!у 0 , но и на выпуклые функции с довольно "плохими" модулями непрерывности - такими, как 00(8^)=^
= (wl-r) . Именно, если + выпукла и принадлежит классу Libck при некотором Ыу0 , то /J [f]^C(f)
с другой стороны, как еще в 1964 году показал Д.Ньюман (этот результат в работе T38J ), существуют выпуклые функции класса
rrtkn
Если же | выпукла и Со (S,f)4C(Ul jj , 0
то /?L if J ^ C(f)—. ; с другой стороны, из теоремы 4
п
следует существование при каждом положительном $±і такой выпуклой функции -f , что ОЭ (o,-fjHQ превосходит (fol —)* ,
Я„Ш>П*'Г при 0^)И
^TfJ'-Ze- (12)
При lf=? { ДЛЯ НеКОТОрОЙ ПОСЛеДОВатеЛЬНОСТИ fl*=*fl /7 со .
0 к
Оценка (9) уточнялась за счет понижения степени логарифмического множителя (А.Абдугаппаров [44] , В.А.Попов [45] , А.Хатамов [41] , [46] ) и в настоящее время показано, что в ней ftifl можно опустить (Р.П.Петрушев [47J ).
Автор и А.Хатамов [76J заменили в оценке (II) множитель Ifi fl множителем if% fi :
R т^С^ max jcj(e)in^-],n = iZy..Aiu
Отсюда получаем для - из класса выпуклых функций с модулями непрерывности О) (5} f)^C(in т) неравенство /?я [f] С(0П Ы(\
(f2 —2,3.,,.. ) точное в смысле порядка по Щ (см. неравенство (12)).
А.А.Гончар в 1974 году установил, что для аналитической на (.0,1] функции (z) = (ffo^-\ y7Q% справедливы неравенства
г(нгн я Г ос J 'L ' J П
где - любое
В теореме 4а доказывается неравенство
В случае 0
Функция (Ш ~) " , 'Уу 0 > имеет модуль непрерывности
( ТІ и выпУкла квєрху на І^ЛІ Несмотря на то, что эта функция еще и аналитична на (Qt {] , приближается она рациональными функциями почти с той же скоростью, что и любая выпуклая на [0,1] функция с модулем непрерывности cO(Sjf)< {&-?) «
(для которой теорема 3 дает оценку R [jl ] С ~ см. также неравенство (На)).
В главе Ш изучаются рациональные приближения непрерывных функций с конечным полным изменением. Этому вопросу посвящены теоремы 5 и б и следствия из них.
Пусть непрерывная функция -f'C^C) , ХєД » имеет конечное полное изменение V(f) и модуль непрерывности СО (б} f) . А.А.Абдугаппаров и Е.П.Долженко (доклад Е.П.Долженко на Международном конгрессе математиков в Москве в 1966 году) получили оценку для Rn [fjчерез ti(fi}f)n V(-f) , а также через CO(Sjf)
; и ф- вариацию / (f) функции j (определение Ф - вариации см. в работе [61J ). Из их результатов следует, что если feLtpo/ о(уО , V(f) < &о , то
(ІЗ)
а если f имеет модуль ÄР^^„, ]У- .-,.
непрерывности СО (3} -f) - ( С« -г- J f 7 0 И 7(Tf J < ~> , ТО
і? [f]^«fM af* fZ-^,2,..,. (14)
Оценки (ІЗ) и (14) независимо и в том же 19ббгоду получил Г.Фройд [118] .
Заметим, что при получении этих результатов названные здесь авторы существенно использовали представление Лебега (I) и результат Д.Ньюмана (3),
Следующая теорема содержит эти результаты (в классе функций с конечным полным изменением), и в случае"не слишком хороших" модулей непрерывности, например таких, как u)(S)-(vij) ^Ууй
существенно усиливает оценку упомянутых авторов. Ниже
Теорема 5. Пусть J4&) , ХЄ Л » имеет модуль непрерывности 60 (d, f) и конечное полное изменение. Тогда
R«W < A, n-t,s,..., (15)
№ntf}\ |feo^i/?„ffj)|
где С не зависит от fi .
Теорема 6. Для любой функции типа модуля непрерывности )6 и любой последовательности п* Q существует функция с конечным полным изменением и модулем непрерывности СО (Sf f)^ СО (d) такая, что
*пОД >СЄп
en«a'a?n[f])\ п
для некоторой последовательности номеров ^2 =/2 f & (с=*ьотІуО) Гі39J.
В качестве следствий из этих теорем приведем оценки для #nff] в двух конкретных случаях 0)($}f).
Следствие I. Если имеет конечное пол-
ное изменение и удовлетворяет условию Lip Ы. при некотором о!у0^
то Яп^^^Ф ~п ^СР* с №)), с другой стороны, для любой последовательности 6п^>к 0 и любого положительного о/ < і существует функция f(X) (OL
от х- ^п
RnW>6n -ft (16)
для некоторой последовательности fi = ft /t ОО .
Следствие 2. Если ~(0С) , ОСЄ [й.ІІ > имеет конечное пол-ное изменение и модуль непрерывности Од (S f)^ (Cyi — ) і fib t
ТО f
№Сф(±*)7 *-м,з,... (І7)
(ср. с (14)), с другой стороны, для любой последовательности (5 \ 0 существует функция -f(X) (OLG [0ti] ) с конечным у полным изменением и модулем непрерывности 60 (dp -f ) (Cfi —)
для которой
Rntf*l>nn"r «e>
для некоторой последовательности ft — HI. s* >
Заметим, что недавно независимо П.П.Петрушев f50j и А.А Пекарский [51] уточнили неравенства (13) и (17), заменив в неравенстве (13) множитель CfffL множителем flf% f% , а в неравенстве (17) множитель EflHi единицей. Эти уточненные неравенства уже практически неулучшаемы, как это видно из (16) и (18).
Помимо основных теорем 5 и б в этой главе доказаны теоремы 7 и 7а о приближении "склеенных** функций (теорема 7а является многомерным аналогом теоремы 7). Доказательство их, как и основной теоремы 5 опирается на лемму 3.1. о разложении единицы в сумму рациональных функций. Приведем лишь следствия из этих теорем
Следствие из теоремы 7. Пусть -['(ОС)/Х[й,Ц кусочно выпуклая функция и пусть
co(6,f)
тогда _
^Ш^в?)' Г""ІП(Р$> (19)
где ^ и U) положительны и не зависят от ft .
Заметим, что оценка (19) является_неулучшаемой, если пренебречь логарифмическим множителем (СґіНЇ)* » так как для Т »
0*^У-< , это показывает неравенство А.А.Гончара (см. [I8j )
Если же Yy2 » то легко строится пример просто выпуклой и непрерывной на [0,{] функции Є Lip і , приближение которой
Следствие_из_ теоремы 7а_. Пусть функция у (Я>) от Jf перемен
ных X = (%i ? ОСр 0,,. ,, ^непрерывна на jV- мерном многограннике //
и пусть QN разбит на многогранники -Н t U =itQ,^, 0 & ,
на каждом из которых появляется линейной функцией. Тогда
Rn[f,QN]
где С и С положительны и не зависят от 1П, .
В заключение отметим, что полученные в работе оценки сверху для наименьших рациональных уклонений функций из определенных классов (см. Теоремы 1,3 и 5) с точностью до логарифмических множителей являются неулучшаемыки (см. теоремы 2,4 и 6 соответственно).
Пользуясь случаем, хочу выразить здесь мою искреннюю благодарность Е.П.Долженко, оказавшему существенное, влияние на мою работу. Хочу также искренне поблнгодарить С.Б.Стечкина, неоднократные беседы с которым влечение 1980-81 гг. способствовали улучшению этой рукописи, в частности, сокращению, доказательств
теорем І и 3, по сравнению с опубликованными ранее.
Результаты, изложенные в этой диссертации, в большей или меньшей степени были использованы в работах других авторов [41] - [51] , [77] - [П5] , [125] - f 134] .
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [135- I44J и по мере их появления докладывались на семинарах по теории функций в МІУ, на международных конференциях по теории аппроксимаций в Калуге (1975г.), в Благоевграде (1977 г.) в Варне (1981г.), а также на всесоюзных школах по теории функций в Махачкале (1969г.), в Баку (1977г.) и в Саратове (1982 г.).
Оценка приближения произвольной непрерывной выпуклой функции сверху
В дальнейшем теория приближений полиномами продолжала развиваться быстрее, чем теория приближения рациональными функциями. Однако, многие вопросы, решенные для полиномиальных приближений, ждали ответа и для приближений рациональными функциями.
В конце 50-х и начале 60-х годов теория рациональных приближений функций действительного переменного резко ускорило свое развитие благодаря результатам А.А.Гончара и Е.П.Должен-ко, устанавливающим связь между скоростью убывания/? [Ал]и свойствами функции. А.А.Гончар нашел, что хотя никакая скорость убывания к нулю величин Яп Ц j Л J , вообще говоря, не обеспечивает каких-либо дифференциальных свойств функции І в наперед заданной точке ОС Є А , все же достаточно . высокая скорость этого убывания обеспечивает наличие у функции j- некоторых локальных гладкостных свойств почти в каждой точке ОС ЄЛ ; при этом исключительное множество точек, вообще говоря, зависит от функции -f- . Например, им показано, что если Rn[jAj не превосходит С-И то/Y#)существует почти всюду на А ( [35J, 1955 г.); если же целое неотри цательное, D ol±4 , то сужения функции f на некоторые множества по мере сколь угодно близкие к Л , имеют непрерывную b -ю производную, удовлетворяющую условию Липшица-Гёльдера "порядкаоі([Ь7] 1959 г., доказательство см. в [58J ). В этих условиях нельзя взять никакое d Q
Позже Е.П.Долженко ( Г59J , I960 г., доказательство см. в [36 J ) обнаружил, что определенная скорость убывания R If) А ] обеспечивает наличие у функции 4 таких ее свойств в целом, как конечность полного изменения Y(-f), конечность ее ф -вариации, абсолютная непрерывность. Например, из условия s7 Rn[f к] ъ следует абсолютная непрерывность функции 4 , а значит и конечность ее полного изменения; условие это является неулучшаемым.
За последние годы существенные результаты по теории рациональных приближений функций действительного переменного были получены А.А.Гончаром, Е.П.Долженко, П.Сюс и П.Тураном ,Г.Фройдом, И. Сабадошом, А.Абдугаппаровым, Е.А.Севастьяновым, В.А.Поповым, В.Н. Гусаком, К.Н.Дунгу f А.Хатамовым, Н.С.Вячеславовым, В.П.Данченко, П.П.Петрушевым, А.А.Пекарским, С.Ташевым, Е.А.Ровбой,А-Р.К.Рамаза-новым, А.К.Рамазановым, и др.
Что касается зависимости между R [j]n En[f }9 то история здесь такова. После того, как были построены функции/ (А.А.Гончар [35] , 1955 г.), для которых Е [f ] - Q сколь угодно медленно, a n[fJ- " сколь угодно быстро, возникла гипотеза о том, что и всегда, если не есть полином, то Fn [f] = с (Еп [f]) (п — оо) «С появлением неравенств Д.Ньюмана (2) вера в эту гипотезу укрепилась. Однако в 1967 г. было показано (Е.П.Долженко f37j ), что имеются непрерывные функции X , для которых При этом функция j может иметь модуль непрерывности наперед заданного порядка CO(S) , т.е. j-єН » и вообще иметь любую наперед заданную гладкость вплоть до аналитичности во всей плоскости % = 9t-1.y. Таким образом, кроме тривиального соотношения /?л fj6 F [f J и утверждения, что одновременно, других связей между ними нет,даже, если привлечь такую традиционную характеристику как модуль непрерывности. В связи с этим отпала необходимость искать оценку для "n If Jлишь через модуль непрерывности функции , поскольку имеются неулучшаемые оценки для ["] типа неравенства Джексона (4). Этот результат показал также, что если мы хотим для рч- получить оценки по порядку лучше, чем оценки для Еп [f] , то нужно выделять классы функций X посредством каких-то функциональных свойств, не находивших применение в теории полиномиальных приближений. Еще до появления этой работы были получены первые оценки для приближения непрерывных функций, обладающих такими функ с циональными свойствами как выпуклость т и конечность полного изменения . Относительно выпуклых функций класса Up і это были результаты П.Сюс и П.Турана ( [38] 1965 г.), относительно функций с конечным полным изменением - результаты Е.П. Долженко и А.А.Абдушппарова (доклад Е.П.Долженко на конгрессе математиков в Москве в 1966 году [49 ] ; результат был также доложен на семинаре по теории функций в МГУ в конце 1965 года) и Г.Фройда ( II8j , 1966 г.) Были также построены примеры, показывающие, что одна лишь конечность полного изменения непрерывной функции не гарантирует какую-либо фиксированную скорость убывания /?л [-f ] к нулю. Простой пример монотонной и абсолютно непрерывной функции -f , для которой Дп Tf J стремятся к нулю произвольно медленно, построил Е.П.Долженко (см. об этом в работе А.А.Гончара [60] на стр. 335-336). Исходя из скорости роста функций в фиксированной внутренней точке отрезка, А.А.Гончар ( [17J и [ 60] ) построил непрерывную "шкалу препятствий", которая характеризует скорость рациональных приближений этих функций. В эту шкалу, в частности, вклады: вается оценка снизу для наилучших равномерных рациональных приближений таких канонических функций как, например.
Построение разложения единицы в сумму рациональных функций
Неравенство (2.0.2) дало для 4-ЄІіро( окончательный показатель степени у ТІ (двойку), но, к сожалению, для промежуточных модулей (от самых "плохих" до липшецевых) оценка (2.0.2) не является окончательной. В частности, не является окончательным показатель степени 3/ в оценке (2.0.3).
Во второй главе доказываются две теоремы: Теорема 3 и Теорема 4. В третьей теореме уточняется неравенство (2.0.2), в четвертой показывается, что полученное неравенство нельзя далее уточнять, если пренебречь множителем типа ш. ТІ , где К- постоянная. В частности, из теоремы 3 следует, что оценку (7) (см. введение) можно распространить не только на функции fetnpci , Ql Ы с і , но и на функции с модулем непрерывности со (2.0.3) вместо степени 3/2. можно поставить 2). Из теоремы 4 следует, что дальнейшее продвижение к более "плохим" модулям непрерывности с оценкой типа Сюс-Тура-на прекращается.
Теперь сформулируем обе теоремы, а затем будем их доказывать. Теорема 4 имеет уточнение в виде теоремы 4а , которую мы также здесь сформулируем. Теорема 3. Пусть #0выпукла на отрезке [ Q, і](-е = 0, о + ) и имеет модуль непрерывности ) (3,f) 6 (S) .Тогда Неравенства (2.0.10) и (2.0.II) указывают на следующее. Функция /fyi.\"4 7Q9 имеет модуль непрерывности ґіуі —Y и выпукла кверху на [0,i] . Несмотря на то, что эта функция еще и аналитична на (0,{] , приближается она рациональными функциями почти с той же скоростью, что и любая выпуклая функция с модулем непрерывности Со (ІЇ, f) і fifi j ) (для ко торой теорема 3 дает оценку ft tfl C -j+f ) I. Доказательство теоремы 3. 1. Редукция задачи. Сделаем вначале три замечания. Замечание I. Вместо неравенства (2.0.5) достаточно доказать неравенство где С - абсолютная постоянная, для выпуклой кверху неубывающей функции f(0C) , 9Сє[0,і] , f(0) = 0 , #) { . Такая функция является сама себе модулем непрерывности. Дальше, начиная с замечания 2, мы будем доказывать неравенство (2.І.І), а сейчас мы докажем, что неравенство (2.0.5) следует из неравенства (2.І.І). Вначале убедимся, что если в неравенстве (2.І.І) мы в качестве f будем брать выпуклую кверху функцию F(oc) , №є[0,1], и, соответственно, в правой части (2.I.I) вместо fCQ) поставим 00 (в, F) , то с точностью до множителя из абсолютной постоянной неравенство (2.1.I) останется в силе. Действительно, пусть ЭС - одна из точек максимума функ-ции h . Тогда По предположению неравенство (2.1.1) справедливо с заме ной f(0C) , 0C [0j] , на FL(X) , $сє[0,і] , и с заме ной f(0C)9 0Се[0,ї] , на \(i-W) , Хе [0,1] , приечм в правой части этого неравенство можно писать СО ($} F) вместо (0(S}F ) и вместо 6P(if, Если R . (ЭД) и /\р , 0#) - рациональные функции степени не выше ft , наименее уклоняющиеся соответственно от F Ос) и F (1-Ю . то что не превосходит удвоенной правой части неравенства (2.I.I). Теперь, выделяя в правой части неравенства (2.I.I) всюду вместо ТІ величину 2.17 , доказываем справедливость (2.1,1) для четных 1/1 , несколько увеличив абсолютную постоянную С Подобным же образом совершается переход от четных ТІ к произвольным -fZ = %, 3 j... .
О точности оценки сверху для наилучшего приближения непрерывной функции с конечным измененим
Для построения рациональной функции R (ОС) , дающей хорошее равномерное приближение заданной непрерывной на [0 ,{] функции f(9C) можно сначала равномерно приблизить -f(0O кусочно постоянной функцией (обозначим через OL = 0 СІ (%« " (Х = і кон-цы интервалов ее постоянства), а затем эту кусочно постоянную приьлизить рациональной функцией. Такая процедура приводит к задаче о построении некоторого разложения единицы в сумму рациональных функций.
Имеется в виду следующее. Пусть на отрезке [#j/J задана система точек Требуется построить такую систему рациональных функций \ Ш), каждом i= 1 9,t, 9 значения функции ] (Я) при Qfr&C-o0, ) заключены между/? и і ; на интервале (СС т. yCtf) функция У CQC) близка к , вне интервала (&{ 2 &ін эта функция близка к 0 . При этом стпени .рациональных функций У-СОС) задаются в зависимости от требуемой близости функций У (%) к или U на указанных выше множествах.
После того, как разложение единицы / 1 C0C)j построено, приближающая функцию -f(OC) рациональная функция мо жет быть записана в виде где Т. L Z-i iJ t а степень /\(2у равна сумме степе ней . Выбор точек [#j определяется свойствами функций +(Х) и обычно производится таким образом, чтобы колеба ния функции f(0C) на всех отрезках [СС О ] были пример но равны. Из свойств функций V- (0) видно, что в этом случае функция RC0C) определяется равенством (3.1.0) на отрезке [0; і] отклоняется от-С СХ) примерно на величину этих колебаний. Чтобы этот способ рациональной аппроксимации реализовать оптимально, следует позаботиться также о том, чтобы при заданной степени функции R ( отклонение функции "V- (.ОС) от 1 и 0 на ;указанных выше множествах было как можно меньше равномерно по t , для чего необходимо также оптимальным образом распорядиться величинами степеней 1/1 рациональных функций Лемма 3.1. Для любой системы точек 0 — i CL.-c ип4 - С1-{ и любого # существует система рациональных функций которые следуют из определения функций Ud (ОС) И Ug (&) , а также из неравенства Теперь мы можем заметить, что для любой функции Vz (ос) , I «. it 2 },, , справедливо неравенство Это видно из неравенств (3.1.15), (3.1.17) и (3.1.19) для функций из неравенств (3.1.15а), (3.1.17а) и (3.1.19а) для функции Л (X) ; из неравенств (3.1.156), (3.1.176) и (3.1.196) для функции Ut(CC) . Неравенство (3.1.20) доказано, а так как все функции V- (Ю , І-і і 2,.., з неотрицательны, то вместе с ним доказаны и неравенства (3.1.II). Неравенство (3.1.12) проверяется следующим образом. Если 0СЄ [о,{] , то найдется номер j (44 ) такой, что ХЄ[а. .&-] Тогда из неравенства (3.1.10) следует, что V (ос) У 3/4 . Так как все функции V (х) ( 1 = 4, 2у ... ., I) неотрицательны,то и подавно будет Неравенство (3.1.2) получается теперь из неравенств (3.1.II) и (3.1.12) (неотрицательность функции 1 (ОС) очевидна из ее определения) .
О разложении единицы в сумму рациональных функций многих переменных
В этом параграфе метод разложения единицы в сумму рациональных функций одного переменного обобщается на многие переменные. Оо новным результатом здесь является теорема о приближении непрерывной на Л -мерном кубе функции с заданным модулем непрерывности, если известно ее приближение на Н -мерных многогранниках, на которые этот куб разбивается. В частности, если непрерывна на всем кубе и линейна на каждом многограннике разбиения, то приближение / рациональными функциями степени W по совокупности переменных будет порядка eSCp(-Ci/n )f где СУ0 и не зависит от -П .
Пусть Еw ( N—1,$)," ) обозначает .//" -мерное евклидово пространство точек X— (SC 0tN ) с действительными координатами, /Я/в /#/- " -i SCfi - длина вектора %{ . Пусть &н замкнутый Н -мерный собственный, т.е. имеющий внутренние точки, многогранник и -f (Z) - непрерывная функция, за данная на й?д/ . ftp (fiQitJ означает наименьшее уклонение функ ции -f() , W Qtf f от рациональных функций степени it по совокупности переменных - ) . ОС/si в несократимой над полем вещественных чисел записи этих функций, т.е. R XeQN где 2П f і mum берется по всем рациональным функциям R , степени dBQ к которых (по совокупности переменных) не превосходят натурального И . Для простоты изложения в качестве Q будем брать единичный /Г -мерный куб. Пусть Я -мерный куб QN [(Xi9 t9SCM)\ O OC- iJ іЛ } разбит на S выпуклых собственных многогранников Р ґх / 2 ... $), В дальнейшем будем считать все многогранники замкнутыми. Это разбие кие представляется в виде суммы Q = Т р , причем пересече ние - ( 2/ не имеет внутренних точек. Диаметр Л многогранника JR совпадает с наибольшей шириной многогранника Р , определяемой как наибольшее из расстояний между двумя его параллельными опорными плоскостями. Обозначим через S. наименьшую ширину Р , т.е. наименьшее из расстояний между двумя его параллельными опорными плоскостями, и пусть f Г У -и&с % » а через % обозначим количество (Jf-l)-мерных граней многогранника Р , и пусть у — ГЛОХ Пример простейшего разбиения - это разбиение куба Q на Н -мерные параллелепипеды (JV- і) -мерными плоскостями J Простым является симплициальное разбиение Q на К -мерные симплексы, при котором два симплекса разбиения могут иметь общими лишь одну целую / -мерную грань (j= 0,1,2,... 0 N-1) Попутно заметим, что любой собственный многогранник (не обязательно выпуклый) может быть разложен на конечное число собственных симплексов (см. ГбЗ] , стр.23). Будем записывать уравнения плоскости - , содержащей чо (W-l) -мерную грань многогранника Р в нормальном виде: представляет собой расстояние от плоскости { до точки X . эудем считать, что знак в правой части (3.7.2) выбран так, что при юдстановке Х Р \ Ж . будет П,.(Ю7й » т»е» величина и г (ОС) будет положительной, если точка X и многогранник р находятся по одну сторону от 71 - , и - отрицательной, если X и г находятся по разные стороны относительно плоскости Ж . Отметим, что - I//YV ft . (0С) ]///" , если %е #у . Каждому многограннику Р, поставим в соответствие расширенный выпуклый многогранник Р. , построенный следующим образом. Каж дая плоскость ft.- , в которой содержится I -я грань много гранника Р , параллельна плоскости Ж , причем 7L - не пересекает Р и отстоит от Ж- на расстояние / //2, /7# . Лемма. Для любого разбиения Я -мерного единичного куба Q на выпуклые многогранники \ ( k -l9„. S ) и любого существуют рациональные функции V(X)( к=-$«19у s .}S ), обладающие свойствами:
