Введение к работе
Актуальность темы. В диссертации рассматриваются линейные операторы и отношения, порожденные различными дифференциально-операторными уравнениями или интегральными уравнениями с неван-линновской мерой. Дифференциально-операторные уравнения содержат спектральный параметр в виде произведения на неотрицательную операторную функцию, либо как аргумент неванлинновской операторной функции. Главную роль при исследовании этих операторов и отношений играют так называемые абстрактные пространства граничных значений, определяемые и изучаемые в диссертации.
При изучении линейных дифференциальных уравнений операторы появляются, например, следующим образом. Пусть / - дифференциальное выражение, являющееся левой частью однородного дифференциального уравнения. Выбирается некоторое банахово или гильбертово пространство и минимальный оператор Lq определяется как замыкание оператора, заданного выражением / на финитных функциях. Оператор L с максимальной областью определения - это замыкание оператора L', заданного равенством L'y = 1[у] на всех функциях у, к которым применима операция /, причем у, 1[у] принадлежат заданному пространству. Если выражение/является формально самосопряженным, а выбранное пространство -гильбертово, то оператор Lq симметрический. Отметим, что достаточно часто встречается ситуация, когда с дифференциальным уравнением ассоциируются не операторы, а линейные отношения.
При исследовании операторов или отношений, порожденных дифференциальными выражениями, возникает задача: выделить те граничные условия, которые определяют оператор или отношение L (Lq cLcL) с некоторыми заданными свойствами. Среди этих свойств можно отметить, например, такие, как обратимость L или L—XE (А Є С), фредгольмовость L, существование заданной асимптотики s-чисел, самосопряженность или диссипативность L в случае симметричности оператора Lq и т.д.
Пусть оператор Lq симметрический. В классической теории расширений симметрических операторов описание самосопряженных, диссипа-тивных, аккумулятивных расширений сводится к нахождению изометрий и сжатий, действующих из одного дефектного подпространства симметрического оператора в другое. В работах М.И. Вишика1 и М.Ш. Бирмана2
^ишик М.И. Об общих краевых задачах для эллиптических дифференциальных уравнений / М.С. Вишик // Тр. Моск. матем. об-ва, - 1952. - Т. 1. - С. 187-246.
2Бирман М. Ш. К теории самосопряженных расширений положительно определенных операторов / М.Ш. Бирман // Матем. сб. - 1956. - Т. 38. - № 4. - С. 431-450.
различным классам расширений положительно определенного оператора А ставятся в соответствие некоторые операторы в подпространстве кет А*. Однако в применении к дифференциальным уравнениям эти операторы только в некоторых отдельных случаях удается преобразовать в операторы, определяющие граничные условия.
Описание в терминах граничных условий самосопряженных расширений L симметрического оператора Lo, порожденных обыкновенным дифференциальным выражением /, было дано в работах М. Г. Крейна3. Однако применение результатов М.Г. Крейна к выражениям с частными производными или к дифференциально-операторным выражениям затруднено в связи с тем, что минимальные операторы, порожденные такими выражениями, имеют бесконечные дефектные числа. Для различных конкретных классов дифференциальных выражений граничные значения строились многими авторами (М. Г. Крейн, М. И. Вишик, М. Ш. Бирман, Ф.С. Рофе-Бекетов, М.Л. Горбачук, В. И. Горбачук, А. Н. Кочубей, Л. И. Вайнерман, В. А. Михайлец, О. Г. Сторож, В. М. Брук и др.). Эти результаты изложены, например,в монографиях В. И. Горбачук, М. Л. Горба-чука4, В. Э. Лянце, О. Г. Сторожа5, Ф. С. Рофе-Бекетова, А. М. Холькина6.
Как отмечено выше, одной из основных целей при описании расширений дифференциальных операторов с помощью граничных условий является получение в их терминах теорем о спектральных свойствах различных краевых задач. Поэтому желательно иметь некоторую универсальную конструкцию, охватывающую достаточно большой класс линейных операторов или отношений и позволяющую делать выводы о спектральных свойствах расширений этих операторов или отношений на основании свойств операторов (отношений), входящих в граничные условия, определяющие эти расширения. Такой конструкцией может служить абстрактное пространство граничных значений.
Отметим, что попытки построения теории расширений в терминах абстрактных граничных условий, приводящих в случае дифференциального оператора непосредственно к краевым задачам, предпринимались
3 Крейн М. Г. Теория самосопряженных расширений полуограниченных операторов и ее приложения, I, II / М.Г. Крейн // Матем. сб. - 1947. - Т. 20. - № 3. - С. 431-495; Т. 21. - № 3. - С. 365-404.
4Горбачук В. И. Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений / В. И. Горбачук, М.Л. Горбачук // Киев: Наукова Думка, 1984.
5Лянце В.Э. Методы теории неограниченных операторов / В. Э. Лянце, О. Г. Сторож // Киев: Наукова Думка, 1984.
6Rofe-Beketov F. S. Spectral Anaysis of Differential Operators. Interplay between Spectral and Oscillatory Properties / F.S. Rofe-Beketov, A.M. Kliol'kin // World Sci. Monogr. Ser. Math., Singapore, 7, 2005.
ранее в работах Дж. Кэлкина7 (см. также Н.Данфорд, Дж. Шварц8), А. В. Штрауса9. Однако законченные результаты удавалось получать лишь для операторов с конечными дефектными числами.
Пусть в линейное дифференциально-операторное уравнение спектральный параметр А входит в виде его произведения на весовую неотрицательную операторную функцию, либо в виде аргумента неванлин-новской операторной функции. Такие уравнения возникают, например, при решении методом разделения переменных уравнения колеблющейся нагруженной струны (см. монографию Ф. Аткинсона10, с. 19). Различные задачи, связанные с такими уравнениями, изучались в книге Ф .Аткинсона (глава 9), в статьях В. И. Когана и Ф. С. Рофе-Бекетова11,12, С. А. Орлова13, С. Ли14 и других авторов.
В этих работах использовались методы теории функций, метод гнездящихся матричных кругов (С. А. Орлов), а в статье С. Ли на матричные коэффициенты наложены требования, исключающие появление линейного отношения. Граничные задачи, порожденные дифференциально-операторным уравнением с неотрицательным операторным весом, не были включены в теорию линейных операторов и отношений в гильбертовом и банаховом пространствах, т.е. с такими задачами не связывались операторы или отношения в каких-либо пространствах. Отметим, что в статьях А. Плейеля15 и К. Бенневитца16 рассматривались линейные отношения, порожденные парой дифференциальных операторов со скалярными коэффициентами. Однако этот случай не охватывает дифференциально-операторные уравнения с неотрицательным операторным весом. Более того, дифференциальные выражения, изучаемые в работах15,16, охваты-
7Calkin J. W. Abstract symmetric boundary conditions / J. W. Calkin // Trans. Amer. Math. Soc. -1939. V. 45. - № 3. - Pp. 369-442.
8Данфорд H., Линейные операторы. Спектральная теория / Н.Данфорд, Дж. Шварц//M.: Мир, 1966.
9Штраус А. В. Некоторые вопросы теории расширения симметрических несамосопряженных операторов / А. В. Штраус // Тр. 2-й науч. конф. мат. кафедр пед. ин-тов Поволжья. Куйбышев: Куйбышевский пед. ин-т. - 1962. - № 1. - С. 121-124.
10Аткинсон Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи / Ф. Аткинсон // М: Мир, 1968.
nKogan V. I. On square-integrable solutions of symmetric systems of differential equations of arbitrary order / V. I. Kogan, F. S. Rofe-Beketov // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. Sect. A.-1976. - V. 74. - Pp. 5-40.
12Rofe-Beketov F. S. Square-integrable Solutions, Self-Adjoint Extensions and Spectrum of Differential Systems / F.S. Rofe-Beketov // Diff. Eq. Proc. Int. Conf. on Differ. Eq. - Uppsala, 1977. Pp. 169-178.
13Орлов С. А. Гнездящиеся матричные круги, аналитически зависящие от параметра и теоремы о инвариантности рангов радиусов предельных матричных кругов / С. А. Орлов // Известия АН СССР, Серия матем. - 1976. - Т. 40. - № 3. - С. 593-644.
14Lee S.J. Formally Self-Adjoint of Differential Operators / S.J. Lee // J. of Math. Analysis and Appl.
- 1976 - V. 55. - Pp. 90-101.
15Pleijel A. A survey of spectral theory for pairs of ordinary differential operators / A. Pleijel // Lecture Notes Math. - 1975. - V. 448. Pp. 256-272.
16Bennewitz C. Spectral theory for pairs of differential operators / C. Bennewitz // Arkiv for matematik.
- 1977.-V. 15. -№ 1.-P. 33-61.
ваются дифференциально-операторными выражениями с неванлинновской функцией, а также интегральным уравнением с неванлинновской операторной мерой, рассмотренными в диссертации.
Цель работы:
построение абстрактных пространств граничных значений, позволяющих делать выводы о свойствах расширений операторов или отношений на основании граничных условий, определяющих эти расширения;
включение в теорию линейных операторов и отношений в банаховом и гильбертовом пространствах дифференциально-операторных уравнений со спектральным параметром, входящим в уравнение в виде произведения на неотрицательную операторную весовую функцию или в виде аргумента неванлинновской операторной функции;
включение в теорию линейных операторов и отношений в банаховом и гильбертовом пространствах интегральных уравнений с неванлинновской мерой;
изучение возникающих при таком включении операторов и отношений с помощью построенных абстрактных пространств граничных значений.
Методика исследований. Основным средством решения поставленных задач являются методы теории операторов в банаховом и гильбертовом пространствах.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми не только для отношений, порожденных дифференциальными выражениями с весовой функцией, но и для операторов, порожденных этими выражениями без весовой функции. Перечислим эти результаты.
-
Введено пространство граничных значений замкнутых линейных операторов и отношений, приспособленное для описания обратимых сужений, изучены свойства этого пространства и в терминах абстрактных граничных значений дано описание спектра, получены условия фредгольмо-вости и разрешимости. Кроме того, в терминах абстрактных граничных условий получены условия резольвентной сравнимости сужений и расширений линейных операторов и отношений, исследована зависимость асимптотики s-чисел резольвент от асимптотики s-чисел операторов, входящих в абстрактные граничные условия.
-
Введено пространство граничных значений симметрических операторов и отношений, изучены свойства этого пространства. В терминах абстрактных граничных значений дано описание различных классов расширений (диссипативных, самосопряженных и других).
-
Получено описание обобщенных резольвент симметрических операторов и отношений с помощью абстрактных граничных условий, содер-
жащих операторы, голоморфно зависящие от спектрального параметра.
-
Определены линейные отношения, порожденные различными дифференциально-операторными уравнениями в пространстве Lp(H,A(t);a,b), где t —> A(t) - неотрицательная операторная функция в гильбертовом пространстве Н. Дано описание пространств Lp(H,A(t);a,b) (р ^ 1). Определяются также линейные отношения, порожденные интегральным уравнением с неванлинновской мерой.
-
Для введенных линейных отношений построены пространства граничных значений. С их помощью описаны различные классы расширений и сужений этих отношений. Получены условия обратимости и фредголь-мовости рассматриваемых отношений, дано описание спектра.
-
Установлено, что если рассматриваемые линейные отношения обратимы, то операторы, обратные к таким отношениям, являются интегральными. В терминах граничных значений дается критерий голоморфности семейств таких операторов. Получены формулы обобщенных резольвент симметрических отношений. Основные результаты являются новыми как в конечномерном случае, так и в случае отсутствия операторного веса (т.е. в случае, когда A(t) = Е - тождественный оператор).
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации имеют, в основном, теоретическую ценность. Они используются математиками, проводящими свои исследования в теории линейных операторов и отношений и в теории дифференциальных уравнений (см., например, монографии4,5 ,6). Эти результаты могут также применяться для изучения конкретных задач математической физики.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях: Международная конференция по теории характеристических функций линейных операторов (Ульяновск, 1997); Международная конференция по теории операторов и ее приложениям (Ульяновск, 2001); Международная конференция по дифференциальным уравнениям (Львов, 2006); Воронежская зимняя математическая школа (Воронеж, 2006, 2007, 2008, 2009, 2010, 2011, 2012); Воронежская весенняя математическая школа (Воронеж, 2007); Международная конференция "Современный анализ и приложения" (Одесса, 2007); Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (Москва, МГУ, 2007); Международная математическая конференция В. Я. Скоро-богатько (Дрогобыч, 2007); Саратовская зимняя математическая школа (Саратов, 2008, 2010); Международная конференция "Дифференциальные уравнения, функциональные пространства, теория приближений" (Новосибирск, 2008); Международная конференция "Современные про-
блемы математики, механики и их приложений "(Москва, МГУ, 2009); Международная конференция по функциональному анализу (Львов, 2010); Десятая международная Казанская летняя научная школа-конференция (Казань, 2011); Крымская осенняя математическая школа КРОМШ (Крым, 2006, 2007, 2008, 2009, 2010, 2011).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах[1-25], из которых работы [1 - 17] соответствуют списку ВАК. В статье [8] второму соавтору принадлежит указание на пример из задач термомеханики пластин, который может быть сведен к рассматриваемому в статье уравнению. Этот пример в диссертацию не включен.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, приложения и списка литературы, состоящего из 135 наименований. Общий объем диссертации 299 страниц.
