Граничные значения весовых пространств Соболева Тюленев Александр Иванович

Содержание к диссертации

Введение

1 Предварительные сведения 15

1.1 Весовые функции 15

1.2 Весовые пространства Соболева на областях 18

1.3 Весовые пространства Бесова на областях 21

2 Пространства Бесова переменной гладкости 30

2.1 Вспомогательные утверждения 34

2.2 Атомарное разложение функций из пространства Blp q r(Rn,{tk m}) 44

2.3 Теоремы вложения для пространств В1 (Шп, {t m}) 57

2.4 Следы пространств В1 (Шп, {tk,m}) на плоскостях 59

3 Следы весовых пространств Соболева на плоскостях 64

3.1 Вложение пространства W W1, ) в пространство Blp r{Rd,{lk m}) L 65

3.2 Теорема продолжения для пространства-BpP)T.(Ed, {7fc,m}) 70

3.3 Теоремы о следах для пространств Wl(Rn,j),j Є А1 с(Шп 1) 74

3.4 Один результат отрицательного характера 76

4 Следы весовых пространств Соболева на границах некоторых нелипшицевых областей 78

4.1 Вспомогательные результаты 79

4.2 Теоремы о следах. Случай 1 82

4.3 Теоремы о следах. Случай 2 94

4.4 Приложения к вырождающимся эллиптическим уравнениям 106

5 Дифференцируемость функций 108

5.1 Некоторые определения 108

5.2 Основные теоремы 109

5.3 Примеры 117

Список литературы 119

• Весовые пространства Соболева на областях
• Теоремы вложения для пространств В1 (Шп, {t m})
• Теоремы о следах для пространств Wl(Rn,j),j Є А1 с(Шп 1)
• Приложения к вырождающимся эллиптическим уравнениям

Введение к работе

Актуальность темы

Диссертация посвящена изучению следов весовых функциональных пространств Соболева на границах как регулярных, так и нерегулярных областей, некоторым задачам теории пространств функций переменной гладкости, изучению дифференциальных свойств функций из весовых пространств Соболева вблизи границы области. Эти три задачи тесно связаны между собой.

Начнем с краткого обзора литературы, относящейся к первой задаче, изучаемой в диссертации.

Задача о следах функциональных пространств типа пространств Соболева и Бесова имеет большую историю. Основополагающей здесь является работа Э. Гальярдо 1957 года¹, где было дано точное описание следов функций из безвесовых пространств Соболева W*(f2) при 1 < р < оо на границе dQ липшицевой области Q. Отметим, что работе Э. Гальярдо предшествовала статья ², в которой аналогичная задача решалась для пространств W^{Q) на области Q с гладкой границей.

О. В. Бесовым в 1961 году ³ было дано точное описание следов пространств Wp(Rⁿ) при / Є N, р Є (1, оо), п > 2 на плоскости размерности d < п — 1 и пространств >* (Rⁿ) при s > 0 , р, q Є [1,оо], п > 2 на плоскости размерности d < п .

Для весовых пространств Соболева характеризация следов была установлена С. В. Успенским в работе ⁴, в которой было показано, что при р Є (1, оо) следом пространства Соболева Wp(Rⁿ, |ж_п|^а), а < 1р — 1

на гиперплоскости является пространство Бесова B_PiP ^р (R^n_1). Таким

¹ Galiardo E., Caratterizzazioni delle tracce sulla frontiera relative ad alcune classi
di funzioni in n variabili // Rendiconti del Seminario Matematico della Universita di
Padova. - 1957. - V. 27. - P. 284-305.

² N. Aronszajn, Boundary values of functions with finite Dirichlet integral //
Conference on partial differential equations. Studies in eigenvalue problems. - 1955. - N
14. Univ of Kansas.

³ Бесов О. В., Исследование одного семейства функциональных пространств в
связи с теоремами вложения и продолжения // Сборник статей. Посвящается Ми
хаилу Алексеевичу Лаврентьеву к его шестидясителетию, Тр. МИАН СССР. - 1961.
- Т. 60. - С. 42-81.

⁴ Успенский С. В., О теоремах вложения для весовых классов // Сборник ста
тей. Посвящается Михаилу Алексеевичу Лаврентьеву к его шестидясителетию, Тр.
МИАН СССР. - 1961. - Т.60. - С. 195-208.

образом, было обнаружено, что вес влияет на гладкость граничной функции.

В дальнейшем результаты указанных выше работ неоднократно обобщались. Обобщение происходило в нескольких направлениях.

Первое направление связано с обобщением результата СВ. Успенского на случай весовых функций (зависящих от координаты х_п), подчиненных минимально возможным ограничениям. Укажем работы Г. Н. Яковлева ⁵, Г. А. Калябина ⁶ , Б. В. Тандита ⁷, которые внесли существенный вклад в развитие этой тематики. Отметим, что в указанных работах вес априори предполагался зависящим лишь от координат векторов, лежащих в ортогональном дополнении к плоскости, на которой рассматривался след. Оказалось, что если вес, зависящий от координаты х_п, имеет нестепенной характер поведения вблизи нуля, то след уже невозможно характеризовать в терминах классических пространств Бесова. Характеризация следа была получена в терминах пространств Бесова обобщенной гладкости. Пространства функций обобщенной гладкости типа пространств Бесова и Лизоркина-Трибеля интенсивно изучались впоследствии в работах М. Л. Гольдмана, Г. А. Калябина, H. G. Leopold и многих других. В случае, когда вес зависит от всех пространственных переменных, задача о характеризации следов весовых функциональных пространств Соболева ⁸, Бесова и Лизоркина-Трибеля ⁹ рассматривалась лишь для модельных весовых функций типа \х\^а при определенных ограничениях на параметр а. Общий случай до сих пор оставался не исследованным.

⁵ Яковлев Г. Н., О следах функций, производные которых суммируемы с некото
рым весом // Теоремы вложения и их приложения, Наука, М. 1970. C. 225.

⁶ Калябин Г. А., Задача о следах для весовых анизотропных пространств лиувил-
левского типа // Изв. АН СССР. - 1977. - Т. 41.-N5. - C. 1138-1160.

⁷ Тандит Б. В., О граничных свойствах функций из пространства WL^ // Ис
следования по теории дифференцируемых функций многих переменных и ее при
ложениям. Часть 8, Сборник работ, Тр. МИАН СССР. - 1980.- Т. 156. - С. 223 -
232.

⁸ Abels H., Krbec M. and Schumacher K., On the trace space of a Sobolev space with
a radial weight // J. Funct. Spaces Apll. - 2008.- V. 6. - N3. - P. 259-276.

⁹ Haroske D., Schmeisser H.-J., On traces of function spaces with a radial weight:
atomic approach // Complex Var. Elliptic Equ. - 2010 - N8-10.- P. 875-896.

Второе направление связано с обобщением классических результатов Э. Гальярдо и О. В. Бесова на случай нелипшицевых областей. Не имея возможности перечислить работы всех математиков, внесших вклад в развитие этого направления, отметим лишь работы М. Ю. Васильчика, С. К. Водопьянова, В. М. Гольдштейна,В. Г. Мазьи, Ю. В.Нетрусова, С. В. Поборчего, М.И. Пупышева, П. Шварцмана, A. Jonsson, H. Wallin. В этих работах было обнаружено, что геометрия области, на которой рассматривается то или иное функциональное пространство, существенно влияет на вид нормы в пространстве следов. Следует также отметить статью ¹⁰, в которой изучались следы весовых функциональных пространств на фрактале в случае модельного веса, являющегося степенью расстояния до этого фрактала. Отметим, что во всех известных на данный момент работах не изучалась задача о точном описании следа весового пространства Соболева, заданного на нелипшицевой области, на границе этой области в случае общего (немодельного) веса.

Вторая задача, исследуемая в диссертации касается изучения некоторых новых модификаций пространств Бесова переменной гладкости, введенных автором.

Пространства Бесова и Лизоркина-Трибеля переменной гладкости и их обобщения являются предметом интенсивного изучения в последнее двадцатилетие. Укажем лишь работы О. В. Бесова ¹¹, H. Kempka ¹², ¹³ (см. также многочисленные ссылки в этих работах). В большей части известных к настоящему времени работ эти пространства изучались прежде всего с позиции теории распределений. Были доказаны теоремы об эквивалентных нормировках этих пространств, различные теоремы

¹⁰ Piotrowska I., Traces on fractals of function spaces with Muckenhoupt weights //
Funct. Approx. Comment. Math. – 2006. – V. 36. – P. 95-117.

¹¹ О. В. Бесов, Интерполяция, вложение и продолжение пространств функций
переменной гладкости // Исследования по теории функций и дифференциальным
уравнениям, Сборник статей. К 100-летию со дня рождения академика Сергея Ми
хайловича Никольского, Тр. МИАН. – 2005. – Т. 248. – C. 52 - 63.

¹² Kempka H., Atomic, molecular and wavelet decomposition of 2-microlocal Besov and
Triebel-Lizorkin spaces // Funct. Approx. – 2010. – V. 43. – P. 171-208.

¹³ Kempka H., Vybiral J., Spaces of variable smoothness and integrability:
characterizations by local means and ball means of differences // J. Fourier Anal. Appl.
– 2012.– V. 18. – N4. – P. 852-891.

вложения, теоремы об атомарном разложении функций из этих пространств. При некоторых ограничениях на переменную гладкость была получена характеризация пространств функций переменной гладкости через разности.

Пространства функций переменной гладкости оказываются тесным образом связанными с весовыми пространствами Соболева. В случае веса из класса Макенхаупта, зависящего от всех пространственных координат, след весового пространства Соболева удается охарактеризовать в терминах некоторых новых модификаций пространств типа пространств Бесова переменной гладкости, элементами которых являются локально интегрируемые функции.

Известные до настоящего времени пространства функций переменной гладкости оказываются неподходящими для описания следов функций из весовых пространств Соболева. Таким образом, потребовалась модификация существующих пространств функций переменной гладкости.

Третьей темой, изученной в диссертации, является проблема L_q

- дифференцируемости функций из весовых пространств Соболева
Wp(f2,7) в граничных точках области Q.

Впервые аналогичная задача рассматривалась в одномерном случае для пространства Соболева, элементами которого являются бана-ховозначные функции, в работе ¹⁴. В многомерном случае эта задача рассматривалась для пространств Соболева WUQ,^) в главе 8 монографии ¹⁵ для области Q = R^n_1 х (0, оо) и весов, являющихся степенью расстояния до гиперплоскости. В диссертации получено обобщение некоторых из этих результатов на случай более общих весов.

Цель работы. Цель диссертации состоит в нахождении необходимых и достаточных условий на след функции из пространства Соболева с весом, удовлетворяющим условию Макенхаупта, в изучении некоторых пространств функций типа пространств Бесова переменной гладкости

¹⁴ Poulsen Е. Г., Boundary values in function spaces // Math. Scand. - 1962. - V. 10.

- P. 45-52.

¹⁵ Mizuta Y., Potential theory in Euclidean spaces. GAKUTO International Series.
Mathematical Sciences and Applications, 6, Gakkotosho Co. Ltd., Tokyo, 1996.

и приложении полученных результатов к вырождающимся эллиптическим уравнениям.

Методы работы. В работе применяются методы теории функций (усреднения, интегральные представления через производные и разности), теории весовых функциональных пространств (свойства весов из класса Макенхаупта, теорема Макенхаупта об ограниченности максимального оператора в весовом пространстве Лебега, неравенства Харди и др.), теории аппроксимации (приближения B - сплайнами).

Научная новизна. Основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми и получены лично автором. В диссертации получены следующие основные результаты:

Получена характеризация следов функций из пространств Соболева с весом из класса Макенхаупта, зависящим от всех пространственных переменных, на плоскостях. Обнаружено, что следами этих пространств являются новые пространства типа пространств Бесова переменной гладкости, не изучавшиеся ранее.

Построена теория новых пространств Бесова переменной гладкости, основанная на методах сплайн - аппроксимации. Доказана теорема об атомарном разложении функций из этих пространств, получены теоремы вложения, теоремы компактности и теоремы о следах для этих пространств переменной гладкости.

Получена характеризация следов весовых пространств Соболева с весом из класса Макенхаупта на границах некоторых нелипшице-вых областей. Дано приложение этих результатов к решению вариационным методом некоторых вырождающихся эллиптических уравнений.

Найдены достаточные условия (неулучшаемые) на вес, при которых любая функция из весового пространства Соболева на области типа куба оказывается равномерно дифференцируемой (в интегральной метрике) на части границы области типа куба в случае, когда вес является функцией расстояния до этой части границы.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты относятся к теории весовых функциональных пространств и пространств функций переменной гладкости и могут применяться для изучения различных краевых задач для уравнений эллиптического типа с вырождающимися на границе области коэффициентами.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались автором на следующих семинарах и конференциях:

Семинар по теории функций многих действительных переменных и приложениям к задачам математической физики отдела теории функций МИАН под руководством чл.-корр. РАН. О.В. Бесова. (2012, 2013, 2014 годы).

Всероссийская 53-я научная конференция МФТИ (Долгопрудный, МФТИ(ГУ), ноябрь 2010).

Международная конференция FSDONA 2011, посвященная 75-летию со дня рождения профессора Х. Трибеля (Tabarz, Germany, September 2011).

Международная конференция "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования."посвященная 90-летию со дня рождения чл.-корр. РАН Л.Д. Кудрявцева (Москва, РУДН, март 2013).

Международная Конференция "Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближе-ний."посвященная 105-летию со дня рождения академика С. Л. Соболева. (Новосибирск, институт математики им. С. Л. Соболева СО(РАН), август 2013).

Структура работы. Работа состоит из введения, пяти глав, разбитых на параграфы, и списка литературы, включающего в себя 55 наименований.

Весовые пространства Соболева на областях

Замечание 1.1.4. Если в определениях (1.1.1)-(1.1.3) не требовать ограничений на длину ребра куба Qn, мы получим определение весовых классов Ар(Ша) ([57](гл. 5)), при этом соответствующую константу будем обозначать символом СЪР. Таким образом, Ap(Rn) с Alpoc(Rn) при 1 р со.

Пример 1.1.1. Простыми примерами весов из класса Ap(Rn) являются функции j(x) = \х\а при — п а п(р — 1). Пример 1.1.2. Простыми примерами весов из класса АрОС(Мга) являются функции j(x) = есж при с 0. При этом 7 Є Alc(Rn) \ Ap(Rn). Лемма 1.1.1. ([55]) Пусть р Є (1,оо)7 7 є Al(Rn). Для любого куба Qn с r(Qn) = 1 найдется вес ( Є Ap(Rn) такой, что ((х) = j(x) для почти всех х є Qn и С константой с, зависящей лишь от пир. Замечание 1.1.5. Из леммы 1.1.1 следует, что локальное поведение весов из класса Alc(Rn) при р є (1,оо) совпадает с локальным поведением весов из класса Макенхаупта Ap(Rn). Однако поведение весов из этих классов на бесконечности, как показывают примеры 1.1.1, 1.1.2, существенно различно.

Рассмотрим локальную версию оператора максимальной функции Харди-Литлвуда. Для / є Ll c(Ra) и а 1 положим

Здесь и далее а := (аі,..,ап) Є N[f - мультииндекс,о! := а.\ + ... + ап, а\ := аі!...сі!га!,жа := х"1.. " (для обозначения мультииндексов будем также использовать символы /3 и /З ).

Определение 1.2.1. Пусть Q С R" - область, функция / є Ll c(Q). Функция g є Llic(Q) называется обобщенной по Соболеву производной функции / порядка а и обозначается Daf, если для любой функции ш Є С(П) справедливо равенство

Символом Wp(Q, { a}\a\ i) обозначим функциональное пространство Соболева наПс весами Доказательство. В случае р = 2 и 7« Є Llic(Q) это утверждение имеется в работе [12]. Стандартная схема рассуждений, использованная в [12], позволяет доказать и сформулированное в лемме 1.2.1 более общее утверждение. Для полноты изложения мы приводим доказательство.

В силу полноты пространства LP(Q) существует функция / є LP(Q), такая что / — fm\Lp(Q)\\ — 0 при га — оо. Покажем, что функция / искомая.

Достаточно показать, что для любого мультииндекса а, \а\ I существует обобщенная по Соболеву производная Da/ и \\Daf — Dafm\Lp(Q, ja)\\ — Опри га — оо.

Заметим, что если функция g є Lp(Q,ja), то g Є Ll c(Q). В самом деле, в силу неравенства Гельдера и условия (1.2.1) для любого компакта К С П имеем

В силу полноты пространств Lp(Q,rya) существуют функции fa, такие что /а — Dafm\Lp(Q, a)\\ — 0 при га —оо. Следовательно, \\fa — Dafm\Ll c(Q)\\ — 0 при га — оо. Зафиксировав произвольную функцию /? Є С(П), и, переходя к пределу при га — оо в равенстве получаем, что -Da/ = /«. Лемма доказана.

Замечание 1.2.1. Если условие (1.2.1) не выполнено, то пространство Wp(Q, { a}\a\ i)i вообще говоря, не является полным и возникают трудности с описанием пополнения (подробности можно найти в [12]).

В случае, когда П ф Кга, символом C(Q) обозначим подмножество функций класса С(П), производные любого порядка которых непрерывно продолжимы на Q.

Символом Hl(Q, {7«}а ) обозначим замыкание множества функций С(П) П Wj,(Q, Ьа}\а\ і) по норме пространства Wj,(Q, Ьа}\а\ і) Пусть 7« = 7 ПРИ Iа! I- Тогда соответствующие пространства будем обозначать символами Wp(Q,j) и Hp(Q,j) соответственно. В дальнейшем нам также понадобится пространство Соболева Wp(Q, {ja}\a\=i) с весами { a}\a\=i лишь при старших производных и нормой Символом Hlp(Q, {7«}a=i) обозначим замыкание множества функций С(П) П W](fl, {7«}«=г) по норме пространства W](fl, { a}\a\=i).

Для дальнейшего нам понадобится специальный оператор усреднения Е&. Близкие по смыслу конструкции имеются в [7], замечание 7.10. Мы видоизменяем введенное там ядро усреднения в соответствии с идеей конструкции усреднения Г.А. Калябина из [15]. Полученная конструкция позволяет нам не только оценить разности усреднений с различными значениями 61,62 через интегралы от разностей функции, усредненных по шагу разности и по пространственной переменной (как это сделано в [7]), но и выразить производные DaE$f через разности 6\f, усредненные по шагу и по пространственной переменной. Усреднение по пространственной переменной не возникало в конструкции из [15].

Теоремы вложения для пространств В1 (Шп, {t m})

В (2.0.2) символы F и F l обозначают прямое и обратное преобразование Фурье соответственно.

Следует отметить работы [43], [48], [58], в которых развивался аксиоматический подход к функциональным пространствам (как постоянной, так и переменной гладкости). Вместо базового пространства Ьр(Ша) в норме (2.0.2) рассматривалось более общее функциональное пространство, удовлетворяющее определенному набору аксиом. Пространства, изучаемые в [48], [58] включают в себя шкалу пространств переменной гладкости из [44], [45] как частный случай.

На наш взгляд интерес представляют также пространства переменной гладкости, элементами которых являются локально интегрируемые в некоторой степени функции, а не распределения. Такие пространства активно изучались О. В. Бесовым. Укажем лишь работы [2], [3], [4] (см. также ссылки в этих работах). Отметим, что в указанных статьях были использованы классические методы теории функций и норма в пространстве функций переменной гладкости изначально определялась с помощью классических разностей.

В работах [46], [48] были доказаны теоремы о характеризации различных пространств функций переменной гладкости (и их обобщений) с помощью усредненных (только по шагу) разностей, изначально же норма в этих пространствах определялись с помощью декомпозиции Литлвуда-Пэли ([46]) или с помощью максимальных функций Петре ([48]). Предполагалось, что весовая последовательность {sk} Є Y и дополнительно требовалось условие ад 0.

В работах [3], [4] предполагалось, что {sk} Eloc Y a2 и ад 0. Класс locY отличается от класса Y a2 заменой условия 2) на условие

Из анализа определений пространств Бесова переменной гладкости, которые использовались в работах [3], [4], [46], [48] мы видим, что в этих работах требовалось достаточно жесткое условие ад 0 (в том случае, если элементами этих пространств были локально интегрируемы в некоторой степени функции). Это ограничение естественно в случае, когда Sk = Ск при всех к Є N (Ск — положительные константы), поскольку иначе мы вынуждены прибегать к теории распределений. В случае же переменной гладкости это весьма грубое условие. Некоторые важные для приложений задачи (например задача описания следов функций из весовых пространств Соболева) требуют привлечения теории пространств функций переменной гладкости (элементами которых являются локально интегрируемые функции), в определении которых условие а\ 0 не является необходимым и оказывается слишком ограничительным. В работе [26] автором были введены новые пространства BlPtq(Rd, {7}) (при p,q є (1,оо)), элементами которых являются локально интегрируемые функции и показано, что эти пространства являются следами весовых пространств Соболева WUW1, ) на плоскости размерности 1 d п, в случае если вес 7 локально удовлетворяет условию Макенхаупта (в работе [26] эти пространства обозначались символом Bp (Rd,{jk}))- При этом, весовая последовательность {7fc}, вообще говоря может принадлежать весовому классу locY при а.\ 0 и не принадлежать никакому классу locY ,3a, при а г 0 (см. замечание 2.2.4 ниже). По этой причине методы работ [3], [4], [46] оказываются неприменимы для изучения пространств Вр (M,d, {7fc})- Также эти пространства не вписываются в аксиоматику работ [43], [48], [58].

Следует отметить, что в работе [2] пространства Бесова переменной гладкости изучались при минимально возможных ограничениях на переменную гладкость. Однако в [26] показано, что пространства, изучаемые в работах [2] (а значит и в [3], [4]) не являются вообще говоря следами пространств Соболева Wp(Rn, 7) с весом локально удовлетворяющим условию Макенхаупта.

Таким образом, требуется новый подход к пространствам функций переменной гладкости, позволяющий в частности исследовать пространство Bp q(Rd, {7})7 являющиеся следом весового пространств Соболева с весом 7, локально удовлетворяющим условию Макенхаупта. Для этого мы вводим при p,q є (1,оо), г Є [1,р] новое пространство Бесова переменной гладкости Вр (Шп, {tk}) при слабых ограничениях на переменную гладкость {tk}.

Основные отличия изучаемого нами пространства В1р г(Шп, {tk}) от имеющихся ранее аналогов состоят в следующем:

1) Норма в пространстве Вр (Шп,{Ьк}) определяется при помощи разностей усредненных как по шагу так и по пространственной переменной. Кроме того, мы используем параметр г, который позволяет получить более тонкую поправку к свойствам интегрируемости функций в пространствах переменной гладкости. Важно отметить, что такая конструкция двукратно усредненных разностей была использована в работе [43] при построении эквивалентных нормировок в пространствах типа пространств Бесова и Лизоркина-Трибеля. Также такие конструкции были использованы недавно О. В. Бесовым в работах [5], [6] при изучении пространств функций нулевой гладкости. О. В. Бесовым было выяснено, что аппарат двукратно усредненных разностей оказывается более подходящим (чем усредненные лишь по шагу разности) для изучения функций, не обладающих достаточной гладкостью. Однако наши пространства В1 (W1, {tk}) не вписываются в аксиоматику работы [43] по причине слабых ограничений, которые мы налагаем на весовую последовательность {tk} 2) Мы вводим класс весовых последовательностей Х3а (см. определение 2.1.1), который значительно шире класса locY и рассматриваем весовые последовательности {tk}, принадлежащие этому весовому классу. Необходимые и достаточные условия принадлежности последовательности {tk} весовому классу Х3ар выражаются в терминах не поточечных, а в некотором смысле интегральных оценок. Класс Х3ар оказывается более естественным (чем класс locY ) для изучаемых нами пространств, поскольку норма в них задается при помощи разностей усредненных как по шагу так и по пространственной переменной. Отметим, что ограничения на весовую последовательность {tk}, близкие рассмотренным нами, использовались О. В. Бесовым в [2] для доказательства некоторых вложений других пространств функций переменной гладкости. Конечно, в случае, когда tk = С к при всех к Є No наши ограничения на весовую последовательность {tk} будут переходить в ранее известные поточечные условия.

Для исследования пространства В1 (W1, {tk}) мы модифицируем методы нелинейной сплайн-аппроксимации, развитые в работе [37], где они применялись при изучении классических пространств Бесова. Отметим, что изучение пространств функций переменной гладкости методами нелинейной сплайн-аппроксимации ранее не проводилось и поэтому может представлять самостоятельный интерес. Мы увидим, что многие известные к настоящему времени теоремы, которые были доказаны для различных пространств типа пространств Бесова, переменная гладкость в которых определяется весовой последовательностью {sk} Є Y , имеют естественные аналоги для рассматриваемых нами пространств Врдг(Ша, {tk}), переменная гладкость в которых определяется весовой последовательностью {tk} Є Х% . Так например, мы докажем различные теоремы об эквивалентных нормировках пространств типа пространств Бесова переменной гладкости, докажем теорему об атомарном разложении этих пространств. Теоремы об атомарном разложении являются мощным инструментом для исследования различных функциональных пространств. В работах [43], [45], [48], [58], эти теоремы были доказаны при условии наличия нулевых моментов высокого порядка у атомов из представления данного распределения. Число нулевых моментов, которое должны иметь атомы, определялось показателями а\,а2,скз (которые контролируют поточечное поведение весовой последовательности, определяющей переменную гладкость). Эти условия трудно проверить в конкретных задачах. Так, например, если мы имеем информацию о равенстве нулю моментов высокого порядка у атомов из представления функции / : Кга — Ж, то мы не можем,вообще говоря утверждать, что равны нулю соответствующие моменты следов этих атомов на гиперплоскости Кга_1. По этой причине мы не можем решить ранее известными методами задачу о следах для пространств функций переменной гладкости при минимально возможных ограничениях на весовую функциональную последовательность {sk}. В работе [51] задача о следах для пространств Бесова переменной гладкости была решена при помощи теоремы об атомарном разложении при определенных ограничениях на весовую последовательность {s }. Эти ограничения специально были подобраны так, чтобы избежать проверки наличия нулевых моментов у атомов из разложения следа. Одним из главных на наш взгляд преимуществ методов нелинейной сплайн-аппроксимации является тот факт, что атомарное разложение функций из соответствующих пространств Бесова реализуется при помощи атомов (сплайнов), не зависящих от функции /. Кроме того атомы имеют достаточно простую структуру и являются в многомерном случае тензорным произведением одномерных атомов. Благодаря специальному выбору этих атомов не нужно дополнительно требовать, чтобы атомы имели нулевые моменты высокого порядка. С помощью теоремы об атомарном разложении мы легко получим различные теоремы вложения и теоремы компактности для пространств В1 (Жп, {ifc}). Также мы охарактеризуем след пространства В1 (Жп, {&}).

Теоремы о следах для пространств Wl(Rn,j),j Є А1 с(Шп 1)

Задача о следах для весовых пространств Соболева имеет большую историю. Первые работы в этом направлении относятся к началу 60-х годов 20 века. Точное описание следов функций представляет большой интерес благодаря своим приложениям в теории эллиптических уравнений с вырождающимися коэффицентами (см. например [18] и имеющиеся там ссылки).

Существует большое количество работ как российских так и зарубежных математиков, в которых получены необходимые и достаточные условия на следы функций на гиперплоскости IRra_1 из весовых пространств Соболева WpiW1,7) (при р є (1, оо)) при тех или иных ограничениях на вес 7- Однако, почти во всех имеющихся работах вес априори предполагался зависящим лишь от части переменных (в большинстве случаев от координаты хп). Не имея возможности перечислить всех математиков, внесших вклад в развитие этой тематики, укажем лишь работы Успенского СВ. [21], Г.А. Калябина [14], [15] (смотри также ссылки, имеющихся у вышеперечисленных авторов). Отметим еще работу I.Piotrowska [53], где рассмотрены следы весовых пространств на фракталах.

Если вес зависит только от координат х\, ..,хп-і, то гладкость граничной функции остается той же, что и в безвесовом случае. При этом в качестве пространства следов естественным образом возникает весовой аналог пространства Бесова. Так, например, в случае 7 Є Ар(Ша 1) в работах доказано, что TrV (Rra,7) = Вр р(Шп-1,-/). Интересно отметить, что случай веса, зависящего только от координат xi,..,xn-i, стал изучаться сравнительно недавно.

Естественным обобщением упомянутых выше результатов было бы изучение следов функций из весовых пространств Соболева с весами, зависящими от всех переменных. Этой цели и посвящена настоящая глава.

Отметим, что подобные вопросы изучались ранее в работах [29], [42] только для очень специальных весов, а именно (х) = \х\г,г Є К. Общий случай до сих пор оставался не исследованным.

Мы рассматриваем веса, принадлежащие классу Арос(Жп), который является обобщением известного класса Макенхаупта Ар(Ша) и впервые рассматривался в работе [55]. В отличие от класса Ар(Шп), класс А1рос(Шп) содержит веса, которые могут расти экспоненциально на бесконечности [55].

Возможность решения задачи в столь общей постановке основана на использовании техники локальных максимальных функций типа Харди-Литтлвуда [55], а также интегральных представлений функций через разности, построенных в [4], [7]. По смыслу наши рассуждения близки идее атомарного разложения, использованной в [42]. Однако предлагаемый метод оказывается более удобным при рассмотрении общих весов. Техника, использованная в работе [42] требует проверки равенства нулю моментов высокого порядка у следов атомов из представления данной функции, что является препятствием для характеризации следа.

Зафиксируем до конца этого пункта параметры р є (1, +оо), n,d Є N, п 2. Точку пространства Ега обозначим символом (х,у) = (х\, ..,Xd,yi, ..,yn-d)-Отождествим пространство M.d с плоскостью, задаваемой пространстве Кга уравнением у = 0. Символы D или D будут использоваться для обозначения обобщенных по Соболеву производных только по переменным х или у соответственно.

Мы приведем лишь краткую схему доказательства, поскольку все шаги достаточно стандартны. Существование следа доказывается применением стандартной процедуры, изложенной, например, в пункте 5.2 [32].

Установим оценку (3.1.1). Пользуясь неравенством Гельдера с показателями г = -иг (тогда гт = р—) нетрудно установить, что Wp(En,7) С Wlr(Qn) для любого куба Qn. Хорошо известно, что множество C(Q )f]Wlr(Qn) плотно в Wlr(Qn) (доказательство следует из существования непрерывного операторы продолжения для пространств Соболева с липшицевых областей на все пространство и плотности гладких функций в пространстве Соболева см.,например, гл.2, гл.6 монографии [32]. Поэтому оценку (3.1.1) достаточно установить для функций / є C(Q")C\W}.(Qn), где куб Qn D 6lVdQitfn х 2 klVdBn-d} r(Qn) 2.

Доказательство. Пусть {фк} =о разбиение единицы, построенное для шара Bn d. При этом ф0 Є C(Bn-d \ \Bn d), фк є C i B"- \ +rBn-d) при к Є N, іЛШ = -D k+1(y) и D fc(y) I для у є Бга"й, fc Є No, І/З І = /. Пусть также для любого А; Є No только две функции фк и Фк+і отличны от нуля на множестве 2 kBn d \ 2 k lBn d. Существование последовательности {V lbLo с указанными выше свойствами может быть доказано аналогично тому, как это сделано, например, в параграфе 4, гл.5, [32] при доказательстве теоремы о следах для невесовых пространств Соболева.

Приложения к вырождающимся эллиптическим уравнениям

Зафиксируем до конца главы параметр р є [1,оо]. Будем в этой главе рассматривать весовые функции 77 удовлетворяющие условию 7-1 Є Ll3c(Q), где П — некоторая область в Кга.

Далее символ 8Вп(0) (8Sn(0)) обозначает п - мерный открытый шар (сферу) радиуса 8 с центром в точке х \ 8Вп(0) := 8Вп(0) f] П (в случае х = 0 будем использовать обозначения 8Вп := 8BQ, 8Вп := 8Вп f] П).

Определение 5.1.1. Пусть область П С Ега, ж1-0-1 Є П, / Є LP(Q). Будем говорить, что функция / дифференцируема А; раз в смысле Lp в точке х( , если существует многочлен Рк(о) [/] степени не выше fc и функция єх(о) : (0,1) !- Ш+, єж(о)( ) — 0,# — 0, такие что при 8 Є (0,1) справедливо равенство

Определение 5.1.2. Пусть функция / є LP(Q), компакт К С Q. Будем говорить, что функция / равномерно на К дифференцируема к раз в смысле Lp, если она дифференцируема к раз в смысле Lp в каждой точке х є К я sup єж(о)( ) — 0 при 8 — 0.

Цель данной главы - установить, достаточные условия на поведение весов 7« в окрестности заданного множества Е С П при которых любая функция из пространства И П а) была бы равномерно па К Z Е дифференцируема / — 1 раз в смысле Ьр.

Замечание 5.1.1. В случае / = 1,1 р oo,d = п = 1 и веса 7Р из класса Макенхаупта АР(К) наши результаты отличаются по форме, но близки соответствующим результатам работы [54]. В дальнейшем, если не оговорено противное, будем в качестве весовых рассматривать функции, зависящие от расстояния до множества Е, то есть j(x1,...,xn) =j(r(x)), где r(x) := dist(x,E).

Введем следующее Определение 5.1.3. Будем говорить, что вес 7 является р - допустимым для Е, если для некоторого #о Є (0,1] Замечание 5.1.2. Условие (5.1.2) означает, что вес не может слишком быстро стремиться к нулю, когда г{х) — 0. Простым примером веса, который удовлетворяют (5.1.2), являются функция 7(ж) = f{x)q при q 1 — -. Для функции / Є С(П) и точки z Є dQ положим Daf(z ) := lim Daf(x). Для функции / є С(П) и точки х 0 Є П определим

Поскольку К - компакт, существует число д(К) такое, что 25(К)В С Вп для любого х Є К. Пусть число #о взято из определения 5.1.3, положим

Д :=тіпДО0Л} Лемма 5.2.1. Пусть І Є N, а — п - мерный мультииндекс и \а \ 1 — 1. Пусть вес 7 является р - допустимым для Е, х Є К. Тогда для / Є \р(ІЇ2, )С\С(П ) и любого числа 5 Є (0, А) справедливо неравенство e котором Mp не зависит ни от функции f, ни от 8, ни от х \

Доказательство. Достаточно доказать лемму в случае а = О, поскольку Da f є Wp (ITj,7) при 0 \a \ I — 1. Кроме того, можно считать х = О, поскольку общий случай получается линейной заменой переменной (не влияющей на поведение веса).

Укажем основную идею приводимого ниже доказательства. Кажется естественным разложить функцию t — Rl l[f]{tx) по формуле Тейлора с остаточным членом в интегральной форме и непосредственно провести оценки возникающих интегралов. Однако при таком подходе мы неизбежно сталкиваемся с трудностями при оценке интегралов, в которые входят производные по "поперечным" координатам (xd+i, --,). Это связано с неравноценным вкладом производных по "продольным" и "поперечным" координатам (поскольку вес зависит только от "продольных" координат). Чтобы избежать этой трудности, мы используем интегральное представление функции по "продольному направлению". В конечном итоге это позволяет учитывать интегралы от производных по поперечным координатам только по части конуса фиксированного раствора, что упрощает оценки.

Зафиксируем 5 Є (О, А). Пусть ш Є С ((с, 1)), J w(y) dy = 1. Положим ujs(y) ш()5 тогда max \ws(y)\ . Рассмотрим функцию F(p,x,x) := Rl l[f]{px)x)1 так что F(r,x,x) = Д_1[/](ж,ж) при р = г := \х\. При каждом фиксированном х Є 6Вп разложим функцию F(-,x,x) в точке г = \х\ по формуле Тейлора по степеням г — р с остаточным членом в интегральной форме, домножим на и)$(р) и проинтегрируем по р. Получим

Собирая вышеприведенные оценки завершаем доказательство леммы в случае р = со. Из доказанной леммы вытекает следующая теорема. Константа Mp (та оке, что и в лемме 5.2.1) не зависит ни от / ни от 8, ни от х \ Доказательство. Достаточно доказать теорему в случае а = О и х = 0. Пусть функция / є Wp(U ,j). Возьмем произвольную сходящуюся к / (по норме \р(Щ, )) последовательность {fm}, fm Є Wp(IY , j) f] С(Щ). В силу фундаментальности {fm} и оценки (5.2.1) при некотором фиксированном 6 Є (О, А) последовательность Rl l[fm] фундаментальна в Lp(5Bn). С другой стороны, из определения нормы в пространстве И (П ,7) следует фундаментальность {fm} в Lp(5Bn). Тогда последовательность многочленов {Tl l[fm]} фундаментальна в Lp(5Bn).