Введение к работе
Актуальность темы. Теория полугрупповых алгебр является одним из актуальных направлений функционального анализа, имеющее применение в других областях математики. Она тесно переплетается с теорией почти-периодических функций, теорией динамических систем, теорией представления, теорией полугрупповых (7*-алгебр, /С-теорией. С помощью методов этой теории удалось дать ответ на многие вопросы.
Интерес к этой теории обусловлен ещё и тем, что в последние годы она всё более широко применяется в различных задачах теоретической физики, её результаты востребованы в математическом аппарате квантовой механики. Современные суперсимметричные теории элементарных частиц связаны с полугрупповыми обобщениями супермногообразий, для описания которых вместо фундаментальной группы используется так называемая башенная полугруппа. Точечные дифференцирования алгебры последней несут информацию об исходных супермногообразиях.
Особенно большой интерес в приложениях представляют полугрупповые алгебры, порождённые некоторой полугруппой характеров компактной абелевой группы. Такие алгебры иногда называют алгебрами Аренса и Зингера, так как эти авторы впервые установили связь между полугрупповыми алгебрами и алгебрами почти-периодических функций. Дальнейшее развитие идей Р.Аренса и И.Зингера проявилось в работах Г.Хельсона и Д.Лауденслагера, К.Гофмана, Ф.Форелли, К.деЛю и И.Гликсберга, В.Рудина,Т.Гамелина,С.А.Григоряна.
Естественным обобщением полугрупповых алгебр являются инвариантные алгебры функций на группах Ли и на однородных областях.
Исследования на таких алгебрах функций можно проследить по работам М.Л.Аграновского, Е.А.Горина и В.М.Золотеревского, В.М.Гичева.
Основным объектом исследования в данной работе является описание некоторых новых свойств полугрупповых алгебр.
Цель работы. Изучение вопроса о числе идемпотентов для некоторых видов полугрупп, а также их полугрупповых расширений гранями, описание точечных дифференцирований полугрупповых алгебр, исследование нелокальных полу групповых алгебр, у которых есть нелокальное дифференцирование и построение примера полугрупповой алгебры - унимодулярной максимальной алгебры Дирихле, у которой одноточечные доли Гли-сона плотны в в *-слабой топологии.
Метод исследования. Исследования проводились на стыке нескольких математических теорий с использованием методов теории полугрупп, теории алгебр функций, теории характеров и компактных абелевых групп.
Теоретическое и практическое значение. Диссертация имеет теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в теории полугрупп, в теории равномерных алгебр, а также и в различных приложениях. Особенно актуальны и востребованы результаты для исследований полугрупповых обобщений супермногообразий.
Научная новизна и результаты, выносимые на защиту. Основные результаты, полученные в ходе работы, являются новыми. Из них выделим следующие:
изучен вопрос числа идемпотентов для некоторых видов полугрупп, а также их полу групповых расширений гранями;
описано пространство точечных дифференцирований по-
рожденных классами сильно р-крайних точек;
дано интегральное представление точечных дифференцирований порожденных классами сильно р-крайних точек;
исследованы точечные дифференцирования в точках Ms \ Ids' Для полугрупповой алгебры Iі(S);
исследованы доли Глисона алгебр Бляшке-индуктивного предела простейших полу групповых алгебр, построен пример унимодулярной максимальной алгебры Дирихле.
Апробация работы. Результаты диссертации по мере их получения докладывались и обсуждались на научном семинаре "Банаховы алгебры "в Казанском государственном энергетическом университете, на семинарах "Геометрическая теория функций "и "Новейшие проблемы теории поля "в Казанском государственном университете, на итоговых научных конференциях ЗФ КГУ 1999-2004 г.г., на международных школах - конференциях "Теория функции, её приложения и смежные вопросы "(Казань, 2005-2007).
Публикации. По теме диссертации опубликовано девять работ. Список работ приведён в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация, объемом 105 страниц, состоит из введения и четырех глав, разбитых на 18 параграфов, а также списка литературы, содержащего 65 наименований.
Похожие диссертации на Полугрупповые алгебры
