Условные математические ожидания и мартингалы на йордановых банаховых алгебрах с полуконечным следом Бердикулов Мусирмонкул Абдиллаевич

Содержание к диссертации

Стр.

В В Е ДЕ Н И Е 3

ГЛАВА I. ПРОСТРАНСТВА L^ И Ь_г ДЛЯ ЙОРДАНОВЫХ

БАНАХОВЫХ АЛГЕБР С ПОЛУКОНЕЧНШ СЛЕДОМ. 16

1,1. Необходимые сведения .......... 16

1.2. Пространства и^ и L-^ ..... 26

1.3. Топология сходимости по мере ...... 37

1.4. Вложение пространств L^t) и и_г(Д в од.

алгебру А 49

ГЛАВА 2. УСЛОВНЫЕ МАТШТИЧЕСКИЕ ОЖИДАНИЯ И МАРТИНГАЛЫ НА ЙОРДАНОВЫХ БАНАХОВЫХ АЛГЕБРАХ С ПОЛУКОНЕЧНШ СЛЕДОМ. ... 58

2*1. Условные математические ожидания на

йордановых алгебрах. Теоремы существова-. . ния и единственности .......... 58

2.2. Характеризационныв теоремы для.условных

математических ожиданий 68

2.3. Мартингалы на йордановых алгебрах. ... 77

2.4. Теоремы о сходимости мартингалов на

йордановых алгебрах ...... 90

ЛИТЕРАТУРА 117

Введение к работе

В 1953 году в работе Сигала [38] были заложены основы некоммутативного интегрирования* Он рассмотрел алгебру неограниченных операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана, являющуюся некоммутативным аналогом пространства измеримых функций на пространстве с мерой. В дальнейшем алгебры измеримых операторов были рассмотрены в работах Стайнспринга [41] ,Сан-карана [Зб] ,[37] , Падманабхана [35] , Нельсона [33] , Йедо-на [53] и других*

Нельсон [_33] доказал, что алгебра тотально измеримых операторов [54] является пополнением алгебры фон Неймана в топологии сходимости по мере (топология построенная при помощи полуконечного следа).

Развитие теории алгебр фон Неймана и некоммутативного интегрирования дало толчок исследованиям, по теории вероятностей на алгебрах фон Неймана.

Условные математические ожидания (у.м.о.) на алгебрах фон Неймана рассматривались в работах Умегаки [50 - 52] , Томийямы [46],[47], Арвесона [23], Такесаки [45], Накамура --Турумару [32] , Моя [34] и других* В этих работах у.м.о. определяется аксиоматически* Основываясь на результатах Томийямы [46] , у.м.о. можно рассматривать как проекционное (т.е. Р — Р , Р ~ Р ) отображение с единичной нормой .В своих работах Накамура - Турумару [32], Мой [34] и Умегаки [бі]дали характеризаодонные свойства у.м.о. Мартингалы на алгебрах фон Неймана изучались в работах Кукулеску [2б],[2б], Умегаки [5l],

_ 4 -

Ленса [Зі], Данг-Нгока [27], Барнета [24] и других. В этих работах получены теоремы о сходимости мартингалов на алгебрах Фон Неймана (конечных или полуконечных)

В середине 60-х годов в работах Топпинга [48] и Штёрмера ^43] впервые были рассмотрены неассоциативные вещественные аналоги алгебр фон Неймана - JW - алгебры, т.е. слабо замкнутые йордановы алгебры самосопряженных ограниченных операторов в гильбертовом пространстве. После появления работы Альфсена, Шульца, Штёрмера [19] и Шульца [39] (были введены JB-hJSW--алгебры) бурно начала развиваться теория йордановых банаховых алгебр.

Недавно Ш.А.Аюповым было введено понятие упорядоченной йордановой алгебры ( - алгебры) III , [з) . Были изучены йордановы банаховы алгебры с конечным следом. Б частности изучены условия существования у.м.о. и различные сходимости мартингалов [б"] Д2ІІ

Более широкий и естественный класс J&W - алгебр составляют иВ\Д| - алгебры с точным нормальным полуконечным следом (он совпадает с классом всех локально модулярных J КW - алгебр [48"} ). Поэтому возникает задача о рассмотрении вышеупомянутых вопросов в J&W - алгебрах с полуконечным следом. Данная диссертация посвящена решению следующих проблем: Б йордановой банаховой алгебре с полуконечным следом

построить теорию интегрирования по следу;

описать алгебру неограниченных элементов;

изучить существование условных математических ожидании относительно данной подалгебры и их свойства;

получить теоремы о сходимости в среднем и почти всюду мартингалов.

_ 5 -

При решении этих задач нельзя применять технику, хорошо развитую для алгебр фон Неймана. Это обусловлено тем, что существуют неоператорные (исключительные) йордановы банаховы алгебры (йорданова алгебра эрмитовых 3x3 матриц над числами Кэли, обозначаемая JV1_ ), а также тем, что в йордановых алгебрах произведение элементов неассоциативно и нет операции инволюции. Кроме того, неприменимость техники бикоммутанта и бедный запас унитарных элементов значительно усложняют изучение йордановых банаховых алгебр по сравнению с алгебрами фон Неймана,

При построении теории интегрирования и доказательстве вероятностных теорем важную роль играет порядок, и поэтому наши исследования основаны на модификации алгебраического подхода к классической и некоммутативной теории вероятностей на основе понятий полуполя и U алгебры, предложенного Т.А. Сарымсаковым ^14^ ,[іб} ,[і?].

Кратко изложим основные результаты диссертации. Работа состоит из введения и двух глав.

Первая глава посвящена построению теории интегрирования на йордановых банаховых алгебрах с полуконечным следом.

В первом параграфе приведены необходимые сведения из
теории йордановых банаховых алгебр ( - алгебр),

теории упорядоченных йордановых алгебр ( VJJ - алгебр) и теории следов.

В 1.2 рассматривается - алгебра Л с точным нормальным полуконечным следом Т .

Пусть , . \

Ж =laLeAkClaH^+«J.

Доказано, что д. и TYl^. являются йордановыми идеалами алгебры А , причем

Определим U. - норму на , полагая

для 'Х.Є Tflft^ , и U - норму на К. » полагая llOclL —
j , t з. *

=-\|<Т:(Х^г) для Xelfv . Пополнение 'Jft. ( ) по L. - норме (соотв. по L -норме) обозначим через иДТТ) (соотв. через ІЛ^{^) ).

Для 'Х. Є H*L^ функционал Ц) , определенный как

^^(JX^ —^t (JOl^ для &єА , является нормальным, и имеет место равенство

Доказан следующий результат, в котором содержится неассо-одативный аналог теоремы Радона-Никодима.

Теорема 2.8. Пусть - алгебра,Т -точ-

ный нормальный полуконечный след на Д , J\ - предсопряяен-ное банахово пространство к А . Тогда банаховы пространства 1л Л^ и К изометрически изоморфны.

Следствие 2.4. Отображение X—^U) » ^гД^е

Ч^ІРО^К^ CteA^eU^ (соотв. OleL^, ХєА ) является изометрическим и порядковым изоморфизмом

между ЬЛ^ и К (соотв. между А и [ иДТ) | ). Эти результаты необходимы в главе 2 для доказательства

существования условных математических ожиданий на йордановых

алгебрах.

В I.3 при помощи точного нормального полуконечного следа t на JBW - алгебре J\ строится топология t. сходимости по мере.

ОпределениеЗЛ. Топологией сходимости по мере
на А назовем топологию, в которой базис окрестностей нуля
образует множества вида где

Пусть А - пополнение А в топологии *t . Тогда алгебра (^А <>Т.) является отделимой топологической йордано-вой алгеброй.

Основным результатом этого параграфа является Теорема 3.2. Алгебра А является (J J - алгеброй, совокупность ограниченных элементов которой совпадает

_{о А .}

В дальнейшем алгебру Д назовем 03 - алгеброй тотально измеримых элементов относительно 3&W - алгебры А . В 1.4 доказано, что пространства LAT^ и L^t/t) инъективно вкладываются в 03 - алгебру А (теорема 4.1).

Если А $ - максимальная сильно ассоциативная подалгебра JdW - алгебры А , и сужение hi следа f на А₀ полуконечно, то Ао изометрически изоморфна пространству U ^Соизмеримых существенно ограниченных действительных функций-на пространстве (^bjWl^c полу конечной мерой.

При этом пространства \? , ц. * А » построенные по А₀ изоморфны соответственно пространствам ЦДЬ,^) , U С,Ь, №\) » U₀(₄P,VYl.) , где цДЬ,№і} - пространство всех измеримых функций на 5 , _А

Следствие 4.2 Ц_р^=:1->рПА₀,р⁼^А-

- 8 -
Далее, имеет место _+со

х = ^гсіе_гєА

Теорема 4.2. Элемент ^-~j /VUt^t/\ _Пр_И_

— со

-(-О

надлежит 1л, (/СЛ тогда и только тогда, когда

при этом Т^Х^

Элемент Х^А принадлежит Ь. (/Г) тогда и только тогда, когда <Х¹ Є U_i(,^rt^>)

Из этой теоремы видно, что пространства uA[t") и ЬД^ в точности совпадают с пространствами интегрируемых и интегри-

руемых с квадратом элементов из А .В случае, когда - алгебра А есть эрмитова часть W - алгебры \А/ , пространства Ц (Д;) и ц (ft"} изоморфны соответственно пространствам самосопряженных интегрируемых и интегрируемых с квадратом операторов, измеримых относительно 4/L

Вторая глава посвящена изучению условных математических ожиданий и мартингалов на йордановых банаховых алгебрах с полуконечным следом.

Впервые условные математические ожидания на алгебрах фон Неймана были рассмотрены в работах Умегаки t.⁵0]-^52] , где, в частности, он получил характеризационные теоремы для у.м.о. в конечных и в полуконечных алгебрах Фон Неймана, и доказал некоммутативные аналоги теорем о сходимости в среднем для у.м.о. В работах Кукулеску \2&\, Данг-Нгока ^27], Ленса \ЗҐ\, Барнета [24~\ , С.Гольдштейна ^28], М.Ш.Гольдштейна ІІ2") и других были получены различные варианты теорем о сходимости мартингалов в среднем и почти всюду.

Мы вводим понятие у.м.о. на - алгебре -ті с точ-

- 9 -ным нормальным полуконечннм следом t~ следующим образом: Пусть A_t-JBW - подалгебра, содержащая единицу df . Определение I.I. Линейное отображение назовем у.м.о. относительно А и » если

2) Х^0=*> Ф(?С1>0 (і.е.ф- положительно);

зэФсх^-Фсх^и для хєА, иєА_і.

Если выполняется равенство

4) ytt<*} дм хє tL_t,

то у»м.о. Яг назовем ^ - инвариантным.

Те о р е м a I.I. Пусть . Т - инвариант-

ное у.м.о. Тогда

9 Ю

II 12

если х^ f х .то ЯРсх_ы> f 44;

Х>/0 , Ф(х>^о=^ х-о ; \\^)\\^\\х\\^ хє^_;

По условиям II), 12) Т - инвариантное у.м.о. можно продолжить до линейного отображения из и_^^ в Ьр^ТЛ

уд "^^/д N (D =1,1^ , которое также будем называть у.м.о, *

Следующая теорема показывает, что не для всякой данной

3&W - подалгебры А С А существует у.м.о.

Теорема 1.5. Пусть - подалгебра

Д , содержащая 4] . Для того, чтобы существовало Т -инвариантное у.м.о. ЯР'A^-^"Ai необходимо и достаточно, чтобы Т. - сужение следа ^t: на А, был полуконечным.

Теорема 1.6. Пусть Т. является полуконечным следом на А^ . Тогда Т - инвариантное у.м.о. относительно А единственно.

В дальнейшем ^ - инвариантное у.м.о. относительно

- подалгебры А_і ^и бго продолжения на Lp(T) (р-1,1) будем обозначать через _Ц( |ДЛ.

В 2.2 доказаны характеризационные теоремы для у.м.о. на йордановых алгебрах.

Пусть А-ЗЬ - алгебра, -подалгебра

содержащая \ .

Теорема 2.1. Если Р «А—** А^ линейное
идемпотентное (т.е. ) отображение

с единичной нормой и , тогда

I) РіД^О для 0l А , т.е. Г - положительно;

2) Р(до^аЕ\со для аєА₁ , хєА .

В случае, когда А является эрмитовой частью L - алгебры, из этой теоремы вытекает теорема I работы [4б1 .

Пусть A"~^&W - алгебра с точным нормальным полуконечным следом t

- П -Теорема 2.2. Пусть Р '. А—*А линейное положительное идемпотентное t - инвариантное отображение с

P(4h ~ Я . Тогда А₁-Р(А^У) - область значений Р -является J^W - подалгеброй и

^ - спектраль-

Пусть ХЄ ^_г(Х) и <хЦя,СІ

ное разложение элемента X Очевидно \^Л С А Через
обозначим - подалгебру Л порожденную
|&л I , Если ^) С U^^) некоторое подмножество, то че
рез "\/\/\S) обозначим J6"\aT - подалгебру А » порожден
ную множеством . Иногда будем обозна
чать Li^lft) через Ь_г(Д).

Теорема 2.3. Пусть Ц-Ь^^ и Р'. Ls—^L линейное положительное идемпотентное отображение. Тогда следующие условия эквивалентны:

(L) отображение г совпадает с у.м.о. Щу ІАЛ относительно некоторой J о \ЛІ - подалгебры \. і

(U) PU-^L^WmUV).

Б параграфах 2.3 и 2»4 получены теоремы о сходимости в среднем и почти всюду для мартингалов на иордановых алгебрах. Пусть А *- 3 ftW - алгебра с точным нормальным полуконечным следом Т . Пусть {Ау\_\ ~ ^В03Р^астаюЩ^ая последовательность 3&W - подалгебр А с ^ , причем U А^ слабо плотно в А Предположим, что след ^^Т |А;г ~ ^су" жение следа Т на Ау^ , также полуконечно , W-1,1,... .

Определение 3.1. Последовательность элемен-

- 12 -тов 1 ХуД в и .(ft) назовем мартингалом (возрастающим) если для всех YV — 1,1, - * :

(L) X^eU^t^v,

(Lb HC^jA^oc^

Мартингал 1 ^С^\ называется Ц - ограниченным,если

^ -Vco

Определение 3,3. ^л- ограниченный мартингал называется равномерно интегрируемым, если

б) для любого S_^ О существует идемпотент (L.tRrL^ такой, что

t (ДЗ^ОЧ)! ^{< L} ' ^-^-^,11^1 .

Теорема 3.2. Для того, чтобы мартингал І^ХіДсЦЛ^) был равномерно интегрируемым, необходимо и достаточно, чтобы множество гХуД было относительно слабо компактным.

Используя эту теорему, мы получаем следующий результат.

Теорема 3.3. Пусть (X^l мартингал в Li^f} Следующие условия эквивалентны:

(I) \*Ху\\ - равномерно интегрируемый мартингал; (Li) существует 3ieL l^t^ такой, что 1\ЭС^ЭС\\"*и,

VL—>^с^^> ;

(ІІІ) существует 'X.sL^ijt} такой, что X^=^0^1A^),

- ІЗ -

Теорема 3,4, Пусть (Х_и\ мартингал в Ь₂(/Т) . Следующие условия эквивалентны:

а) SUoHmL**⁰⁰

w ^L

б) существует XeL, IT⁴) такой, что |ІХ_и-ХЦ-*0,

в) существует ХЄ-и_г(^> такой, что X _ц—-гЦэС | А _и},

Пусть теперь |А ^ V - убывающая последовательность 3SW- подалгебр А » содержащих 41 , Положим

Определение 3,4, Убывающим мартингалом называется последовательность |0С_ уЛс L Ift"^ такая, что

2)

_{Мя-«|А^Л**н+і}

Имеет место следующий результат.

Теорема 3.5, Пусть \ ХуД убывающий мартингал

в Ц^ІЛ^ < ^в W^ ^ А ^{)# Тогда} УЩ^естУ^ет

X^L ^ (соотв. ХЄІі^П А ) ^такой» ^что ^и. сходится к ^ по м„ - норме (соотв. сильно),

^г _le.

В конце параграфа изучено отображение OCL — ОС :=. — vJ^X-VVj X ддя 0С_єА (здесь - идемпотент в А )» которое совпадает с у.м.о. относительно - под-

_А Определение 4.2. Последовательность {Хц_1 в А назовем сходящейся к элементу ЭС^А почти всюду (п.в.) (соотв. & почти всюду), если для любого ё_?0 существует идемпотент C}GV такой, что Т Cfl~C|/) <. и

U №*х>еA ,yi*t,v--Jl^tttf;9c.)K0 щи и.-»⁰⁰

Соответственно

_А Замечания. 4. Если алгебра А ассоциативна, то А изоморфна алгебре U ₀ С&, Wl) всех измеримых функций на

пространстве (^ , Vw^ с полуконечной мерой. Б этом случае

понятия сходимости почти всюду и $ - почти всюду совпадают

и означают обычную сходимость функций почти всюду.

5. Если - алгебра Л специальна и является эрмитовой частью алгебры фон Неймана, то условие IkLIX^X) ||

—> 0 означает, что Цп . ^'X-'^-Ci \\—^0 , т.е.

при VL—> с⁵*³ Следовательно, в этом

случае сходимость - почти всюду совпадает со сходимостью операторов почти равномерно в смысле , в то время как сходимость п.в. означает, что \\ Q (ЗС_у.~ Ху оД—*0 І26І .

Теорема 4.1. Пусть jxJ — u^ - ограниченный мартингал. Тогда существует элемент ^t) такой, что 'Х^—^Х п.в.

Теорема 4.2. Пусть |ЗСу\\~* h₂ ~ ограниченный мартингал. Тогда |/Xv\\ & - п.в. сходится к некоторому

элементу 'ХЄІ^^и Жк|А^ = Х_кдля всех Vl=d,2,.,..

Определение 4.3. Последовательность { Х_и{ в А назовем сходящейся к ОС^А почти равномерно, если для любого нормального состояниягна А и L > О _t существует идемпотент 0, ^ такой, что p^A^ON^l и

|\13_о^ц-'Х^,)\\->0 при Ц-*~> .

' ' I

Теорема 4.3. Для любого ХсД J4(^l А ^)~^ОС

почти равномерно при VL—^ .

Пользуясь случаем, выражаю искреннюю благодарность своим научным руководителям академику АН УзССР ТД.Сарым-сакову, доктору физико-математических наук Ш.А.Аюпову за. постоянное внимание и поддержку при написании этой работы.