Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Спектральные характеристики и свойства семейств элементов банаховой алгебры . 17
1.1.Спектральные характеристики семейств элементов банаховой алгебры 17
1.2. Совместный спектральный радиус . 45
Глава 2. Спектральные свойства некоторых лиевых подалгебр банаховой алгебры 61
2.1.Нильпотентные алгебры Ли 61
2.2. Разрешимые алгебры Ли 74
Глава 3. Условие клейнеке-широкова и дифференци рования . 94
3.1.Обобщения теоремы Клейнеке-Широкова 94
3.2. Условие Клейнеке-Широкова 107
3.3.Дифференциальные операторы в банахо вых алгебрах 111
Глава 4. Спектральные свойства и инвариантные подпространства операторных алгебр 118
4.1.Триангулируемые семейства компактных операторов 118
4.2. Спектральные свойства и нетранзитив ность 125
Литература 133
- Совместный спектральный радиус
- Разрешимые алгебры Ли
- Условие Клейнеке-Широкова
- Спектральные свойства и нетранзитив ность
Введение к работе
і Основной целью данной работы является исследование спектральных вопросов семейств и множеств элементов банаховой алгебры или линейных ограниченных операторов при выполнении алгебраических и других соотношений. Часто удается представить оператор в виде многочлена от нескольких более простых операторов. Такое представление приносит пользу в задаче описания спектра в тех случаях, когда операторы связаны между собой дополнительными условиями типа перестановочности. Разные условия перестановочности влекут те или иные варианты "теоремы об отображении спектра", примером которых может служить выполнение включения &(р(М)) ^p(^(o,)y^(ah)H{p(\y..)),n): X^^CQ^M^J{0.1) для семейства М= (й, Р .._, й-п ) операторов и любых полиномов р от 71 некомму тирующих переменных ( (ВСО. ) - спектр оператора или элемента (X унитальной банаховой алгебры). Соотношение (0.1) является сравнительно грубой (хотя и полезной) формой теоремы: даже в случае коммутативного семейства /W правая часть включения (0,1) может строго включать левую. Более точные формулировки используют понятие совместного спектра. Соответствующий вариант теоремы об отображении спектра заключается в выполнении равенства &(р(М)) = р &(М) (0.2) где М - {(А{ ..jGh) - конечное семейство операторов (или элементов банаховой алгебры), р ~ tPi) -*v Р*») " конечное семейство полиномов от ҐІ некоммутативных переменных, ^ ( /*i ) - совместный спектр семейства Д1 (являющийся компактным подмножеством (п),р(М) = (р,(ап...)а„)>...> рт(о0...,а*)), .
Под совместным спектром семейства At - (dj ... C(n ) операторов, действующих в банаховом пространстве Jt , понимается совокупность семейств \- ( kj)...j Хп) комплексных чисел таких, что из двух односторонних (левого и правого) идеалов алгебры Л (%) , порожденных семейством /у] -Л = ( Qj ~\ }.. т) Q Определенный выше совместный спектр называют также спектром Харта (см. ГбJ ). В работах Р.Е.Харта Vj , [8J , /У J , изучались также подмножества совместного спектра: левый и правый спектры, левый и правый предельные спектры. В контексте теории операторов вместо термина "левый предельный . спектр" принято говорить "предельный спектр" или "аппроксимативный спектр". Это подмножество можно охарактеризовать как совокупность точек Л ^ Сэ ( /И ) для которых Af-Д имеет правый ненулевой обобщенный топологический совместный делитель нуля (представленный в общем случае сетью элементов). Следует отметить, что определение предельного спектра в случае коммутативного счетного семейства близко к определению Ю.И.Любича спектра представления топологической абе-левоЁ группы flOJ . Предельный спектр конечных коммутативных семейств операторов, действующих в гильбертовом пространстве, рассматривался также в llj . Эти две работы, по-видимому, были первыми, в которых рассматривался предельный спектр неодноэле-ментных (но конечных или счетных коммутативных ) семейств операторов. Общее определение предельного спектра (годное для произвольного семейства ) в случае коммутативных семейств дано в jpf/, [із]. Справедливо включение [7j ( односторонняя теорема об отображении совместного спектра и его подмножеств ) Р &*<М )<=<*( Pf/Ч)) , (0.3) где / I - произвольное конечное семейство элементов, Р - конечное семейство полиномов, <^*- одно из указанных выше подмножеств совместного спектра. Включение может быть строгим. Совместный спектр некоммутативного семейства может быть пустым [7] . Для конечных коммутативных семейств теорема об отображении совместного ( а также левого и правого) спектра в форме (0.2) доказана Р.Е.Хартом [7J . Случай предельных спектров разобран М.Д.Чоем и Ч.Дэвисом (jE4j . З.Слодковский и В.Желязко Ї2_/ перенесли эти результаты на коммутативные семейства произвольной мощности в частности, доказав, что совместный спектр произвольного коммутативного семейства не пуст . Р.Е.Харт показал [і5_/, что равенство (0.2) имеет смысл и сохраняет силу в том случае, когда г - произвольное конечное семейство функций, аналитических в достаточно широкой окрестности <"(*#, . ah ) . В.Желязко р] установил справедливость для коммутативных семейств теоремы об отображении совместного спектра и его частей не только полияоми-нальными отображениями, но и отображениями, задаваемыми семействами рациональных функций ( с полюсами вне совместного спектра) . Существенно ослабить требование коммутативности удалось Р.Е.Харту в работе [l6j , где, в частности, доказано, что теорема об отображении совместного (а также левого и правого) спектра в форме (0.2) сохраняет силу для конечных квазикоммутативных по Мак-Кою [l7J семейств ( семейство называется квазикоммутативным, если каждый его элемент перестановочен с коммутатором любых его двух элементов) . Нетрудно заметить, что условие квазикоммутативности семейства означает нильпотентность (высоты 2 ) порожденной им алгебры Ли. С другой стороны, в работе С.фрунзы LI8J дояазшю существование обобщенного веса у разрешимой алгебры Ли ограниченных линейных операторов, что, по существу, означает непустоту предельного спектра семейства операторов, пробегающих разрешимую алгебру Ли. Эти результаты наводят на мысль, что в терминах свойств алгебры Ли, порожденной семейством операторов, удобно формулируются "условия перестановочности", при которых справедливы различные формы теоремы об отображении спектров. Для двухэлементного множества элементов банаховой алгебры условие квазикоммутативности равносильно выпол нению соотношений - О . Здесь . Если на (X и наложено лишь условие - О 9 то оно не влечет выполнение теоремы об отоб ражении спектра даже в форме (0.1) для г\ = \ Q tfj- и произ вольного, полинома р от двух переменных (соответствующий пример легко найти в алгебре , Однако для специальных поли- номов включение (0.1) имеет место. Например, (это - утверждение теоремы Клейнеке-Широкова l9J , /.20 J). Если к этому условию добавить требование достаточно быстрого убывания степеней -о к нулю ( например, требование нильпотентности ь ) , то (Ґ( а)-0 СяГ). В работах С.Канторовича \jZ2J, 23J рассматривается соотношение 4>(Х -oJL - *- (или более общее 4й- ОЛ-t @1 , где элемент Z перестановочен с Сі и ъ ). Это-так называемое соотношение Вольтерры. Ему, в частности, удовлетворяет оператор умножения Мх ( rl/ (Х)~ X f (X) ) и вольтерров-ский оператор интегрирования у ( $(*) ? J f t-t~)d-t J в пространстве L (Oj1) , В отмеченных работах С.Канторовича, помимо алгебраических соотношений, получены при допол- нителъных требованиях спектральные соотношения вида (0.1) для специальных полиномов ( например, соотношение <оСо ) = к^Са+A g ) А & ) и др. В работе L24 J определена другая важная спектральная характеристика подмножеств нормированных алгебр. Если М - ограниченное подмножество, то М - совокупность всевозможных произведений П элементов М , ИМ 1Ы Sup { HQII : а М}т Тогда величину р ( М ) ^ ІСт II /И II h естественно называть ( совместным ) спектральным радиусом множества Ai. Если при этом р (г\ )~0 , то/Ч называется (совместно) квазинильпотентным Иное понятие совместного спектрального радиуса введено в работах L.25J , L26J . Если /V] - ограниченное подмножество нормированной алгебры, то В работе /_25j , в частности, показано, что если ограниченное дифференцирование коммутативной радикальной банаховой алгебры сгаръективно, то единичный шар алгебры. В работе Е.А.Горина J_26J указан пример коммутативной радикальной банаховой алгебры, для которой - еди- ничный шар этой алгебры. Поскольку %(М) - Р(М)^ пример Горина показывает, что спектральный радиус ограниченного подмножества комглутативнои радикальной банаховой алгебры может быть отличен от нуля. Отметим, что этот пример реализуется как заїлкнутая подалгебра компактных операторов, порожденная вольтерровским оператором интегрирования, действующим в /, ( 0J А) . В связи с этим отметим следующий результат В. С.Щульмана D^J.* спектральный радиус любого конечного множества компактных операторов, взятых из радикала операторной алгебры, равен нулю. В качестве следствия .В работе показан более точный результат,оценивающий скорость убывания ^ ( /\/\} при /г -> оо . этого результата и известного результата В.И.Ломоносова /j24j В.С.Щулъманом получена следующая теорема [J24 J : если операторная алгебра содержит в своем радикале ненулевой компактный оператор, то она имеет совместное со своим коммутантом нетривиальное инвариантное подпространство. В данной работе основным объектом изучения являются спектральные характеристики семейств и множеств элементов банаховой алгебры: совместный хшектр, его части и совместный спектральный радиус. Отмечена связь различных свойств алгебры Ли с теми или иными вариантами теоремы об отображении совместного спектра и его частей. Изучен совместный спектральный радиус в связи с вопросами коммутативности подалгебр по модулю своего радикала, классификации множеств, состоящих из квазинильпотентных элементов алгебры, по степени совместной квазинильпотентности их подмножеств, и др. Полученные ре зу ліз та ты имеют приложения в спектральной теории операторов и элементов банаховых алгебр,теории линейных операторных уравнений,теории дифференцирований банаховых алгебр и теории инвариантных подпространств. Рассмотрим содержание работы по главам. В первой главе рассмотрены характеристики семейств и множеств элементов банаховой алгебры. В первом параграфе рассмотрены совместный спектр и его части, во втором - совместный спектральный радиус. В первом параграфе первой главы построены более общие "функции", чем полиномы, от, вообще говоря, некоммутативных семейств элементов банаховой алгебры. Мы пользуемся, помимо полиномов, такими классами функций, как пределы полиномов, рациональные функции, пределы рациональных функций ( определения-в первой главе ) . Установлено включение (0.3) для произвольного семейства элементов /Ц и произвольного семейства пределов рациональных функций, до- пустимых для / / . Мы говорим, что подалгебра и банаховой алгебры /| обладает свойством отображения совместного спектра (соотв. его части ) соответствующим классом отображений, если выполнено соотношение (0.2) для совместного спектра (соотв. его части ), для любого семейства элементов и и для любого семейства "функций" соответствующего класса, допустимых для /v. Скажем, что подалгебра О обладает проекционным свойством совместного спектра (или его части ), если соотношение (0.2) справедливо для совместного спектра (или его части ) для любого семейства М элементов о и любой проекции на подсемейство / /. Основной результат первого параграфа заключается в том, что проекционное свойство части совместного спектра вместе с замкнутостью или наполненностью подалгебры о влечет свойство отображения этой части совместного спектра соответствующим классом отображений. Например, если и замкнута, наполнена и обладает проекционным свойством совместного спектра, то и обладает свойством отображения совместного спектра пределами рациональных отображений. Во втором параграфе первой главы рассмотрена другая важная характеристика - совместный спектральный радиус. Эта характеристика во многом похожа на обычный спектральный радиус элемента нормированной алгебры. Так,совместный спектральный радиус как функция от ограниченного подмножества нормированной алгебры в топологии, задаваемой расстоянием Хаусдорфа, является полунепрерывной сверху функцией. Далее, при естественных условиях спектральный радиус множества, аналитически зависящего от комплексного параметра, является субгармонической функцией (обобщение теоремы Везентини Г28І ). Следующее утверждение также аналогично утверждению об обычном спектральном радиусе (см. f29j| , ГЗОJ ): P (lv\ ) - (УУ?ф d ( /V)) , где нижняя грань берется по всем алгебраическим нормам о( , эквивалентным исходной(напомним, ^ ( г і) ~ J иР і сі (&) .' Q /v\ j ). Интересен вопрос, когда выполнено равенство где - конечное подмножество нормированной алгебры. Равенство (0.4) имеет место, к примеру, для всех конечных коммутативных подмножеств. Оказывается, что если равенство (0.4) выполнено для любого конечного подмножества банаховой алгебры, то эта алгебра обязательно коммутативна по модулю своего радикала. Далее, рассмотрена классификация множеств, состоящих из квазинильпотентных элементов нормированной алгебры. Пусть о -нормированная алгебра, А/ - выделенный по какому-то признаку класс ограниченных подмножеств о. Произвольное (возможно, неограниченное ) подмножество Лч алгебры и называется А/- квазиниль-потентным, если любое подмножество множества А/класса/^совместно квазинильпотентно. В качестве /V естественно брать класс подмножеств, число элементов которых не превышает ?1 ( Я- натуральное число ) , класс всех конечных подмножеств, класс всех предкомпактных множеств, класс всех ограниченных подножеств. В соответствии с этим мы будем говорить о Ті - квазинильпотентных, конечно квазинильпотентных, компактно квазинильпотентных и ограниченно квазинильпотентных подмножествах нормированной алгебры. Отметим следующие результаты. Если подмножество нормированной елгебры конечно квазинильпотентно, то подалгебра, порожденная подмножеством, является конечно квазинильпотентным подмножеством. Более точный результат заключается в том, что конечно квазинильпо-тентное подмножество нормированной алгебры порождает конечно ква-зинильпотентный двусторонний идеал в подалгебре, порожденной этим подмножеством и его коммутантом. Если нормированная алгебра ком- пактно квазинильпотентна, то её пополнение - радикальная банахова алгебра. Как следует из примера Диксона /_3lJ , это, вообше говоря, неверно для нормированных конечно квазинильпотентных алгебр и, более того, пополнение такой алгебры может оказаться полупростой банаховой алгеброй. Всякая коммутативная радикальная банахова алгебра конечно квазинильпотентна, но не всегда ограниченно квазинильпотентна (как следует из упомянутого выше примера Горина). Используя конструкцию E.G.Голода 32J , мы приводим пример нормированной Ті - квазинильпотентной алгебры, не являющейся (ПН)-квазинильпотентной. В заключении параграфа показано, что левый ( правый1) предельный спектр конечно квазинильпотентной подалгебры увитальной банаховой алгебры не пуст. Как следствие, получаем, что всякая конечно квазинильпотентная подалгебра банаховой алгебры с единицей содержится в пересечении нетривиальных левого и правого идеалов алгебры. Зо второй главе диссертационной работы рассмотрены спектраль-ныев вопросы лиевых подалгебр банаховой алгебры. Результаты этой главы продолжают исследования об условиях справедливости теоремы об отображении совместного спектра, начатые в первом параграфе первой главы. Основной результат первого параграфа второй главы заключается в том, что замкнутая наполненная подалгебра, порожденная элементами нильпотентной лиевой подалгебры унитальной банаховой алгебры, обладает свойством отображения совместного спектра и его частей пределами рациональных отображений. Как следствие, получаем, что такая подалгебра коммутативна по модулю своего радикала Джекобсона . Во втором параграфе второй главы рассмотрены спектральные вопросы разрешимых лиевых подалгебр банаховой алгебры. В полном ' объеме ( равенство (0.2)) теорема об отображении совместного опектра и его частей не справедлива для семейства элементов разрешимых лиевых подалгебр. Однако техника, развитая для решения упомянутых вопросов в теории совместного спектра, позволяет показать, например, что если производная алгебра лиевой подалгебры нормированной алгебры является нильпотентной алгеброй Ли, то она состоит из квазинильпотентных элементов. В случае о - разрешимой (определение см. Гззі ) или конечномерной разрешимой лиевой подалгебры банаховой алгебры порожденная ею замкнутая подалгебра коммутативна по модулю своего радикала. Последний результат, а также теорема об отображении спектра для конечномерной нильпотентной алгебры Ли, допускает обращение. Справедливо следуго-шее предложение. Пусть ос - конечномерная алгебра Ли. Для того, чтобы образ ос в любом представлении ограниченными линейными операторами в банаховом пространстве порождал замкнутую подалгебру, коммутативную по модулю своего радикала (соотв. обладающую проекционным свойством предельного спектра), необходимо и достаточно, чтобы оС была разрешимой (соотв. нильпотентной) алгеброй Ли . В заключении второго параграфа обсуждаются спектральные вопросы элементов d и о банаховой алгебры, удовлетворяющих соотношению # б - id - С j где С - полином от о . Такие элементы порождают разрешимую алгебру Ли высоты ^ 2. В третьей главе рассмотрена связь теоремы Клейнеке-широкова с совместным спектральным радиусом и различными вариантами теоремами об отображении спектра, а также рассмотрены и другие вопросы, связанные с дифференцированиями банаховых алгебр. Теорема Клейне-ке-Широкова имеет многочисленные прріменения (в частности, во второй главе ), однако следствия, вытекающие из условия теоремы, имеют самостоятельный интерес. В первом параграфе третьей главы мы обобщаем теорему Клей- неке-Широкова. В частности, показано, что пересечение ядра и образа ограниченного дифференцирования банаховой алгебры является конечно квазинильпотентной подалгеброй, а замыкание этой подалгебры является радикальной алгеброй. Если при этом образ дифференцирования замкнут, то пересечение ядра и образа ограничено квазинильпо-тентно. Далее, рассмотрен вопрос о возможности замены в теореме Клейнеке-Широкова внутреннего дифференцирования на более широкий класс операторов умножения. Полученные результаты уточнены при предположении конечномерности алгебры. З^словие теоремы Клейнеке-Широкова и чуть больше: С(вчіг) С(#з;4н) С я) = О ^ Где C(&jd) - оператор - мы называем условием Клейнеке-Широкова. Во втором параграфе обсуждены некоторые утверждения, получаемые при условии комплексные числа. В третьем параграфе главы 3 рассмотрена ситуация, когда образ дифференцирования ( и более обших операторов ) состоит из квазинильпотентяых элементов. Такая ситуация рассматривалась многими авторами. Мы отметим работы /^347, 35 J. B^34j К.Ле-Паж показал, что если образ внутреннего дифференцирования банаховой алгебры состоит из квазинильпотентных элементов, то он лежит в радикале алгебры. В работе 35j В.Птак рассмотрел случай квадрата внутреннего дифференцирования. Мы обобщаем результаты Ле Пажа и Птака на случай произвольной степени CL рассох.6 неограниченных дифференцирований. Некоторые результаты сформулированы для дифференциальных операторов, т.е. для полиномов от дифференцирования. В частности, установлено, что если образ дифференциального оператора, действующего в банаховой алгебре, коммутативной по модулю своего радикала, состоит из квазинильпотентов, то само дифференцирование ( не предполагаемое ограниченным ) переводит алгебру в её радикал. В четвертой главе обсуждаются спектральные вопросы и вопросы нетранзитивности операторных алгебр, содержащих компактные операторы (операторная алгебра - это подалгебра алгебры Л ( X ) всех ограниченных операторов в некотором банаховом пространстве В первом параграфе рассмотрены вопросы триангулируемости семейства операторов. Напомним, что семейство ( множество ) операторов называется триангулируемым, если его решетка инвариантных подпространств содержит максимальную цепь подпространств. Известно, что триангулируемость множества компактных операторов эквивалентна выполнению включения С0.1 J для произвольного конечного семейства г\ элементов порожденной множеством подалгебры [36 J , а также эквивалентна коммутативности по своему радикалу порожденной этим множеством замкнутой подалгебры [37J . Отсюда и из главы 2 получается следующий результат: наполненная подалгебра алгебры тЬ^^порожденная нильпотентной лиевой подалгебры компактных операторов, триангулируема. Это усиливает утверждение ^38j о триангулируемости нильпотентной лиевой подалгебры компактных операторов. В этом параграфе установлен новый критерий триангулируемости компактных операторов. Множество Д компактных операторов тогда и только тогда триангулируемо, когда справедливо равенство ("0.4) для любого конечного подмножества М подалгебры, порожденной о . Это утверждение усиливает теорему I [24J . С помощью этого критерия триангулируемости установлено следующее полезное утверждение. Если триангулируемое множество компактных операторов коммутирует или хотя бы Ті- коммутирует (определение см. в главе 2 ) с другим таким множеством, то объединение этих множеств также триангулируемо. Во втором параграфе четвертой главы обсуждаются вопросы нетранзитивности операторных алгебр, содержащих компактные опера торы. Отметим следующий результат. Пусть julти(б) ) - множест во всех операторов & из таких, что Ссё-ёо - полином от о . Если о - компактный оператор, не сводящийся к скалярному кратному, то 7) (Л (о )) имеет нетривиальное замк нутое инвариантное подпространство. Ряд утверждений связан с леммой В.И.Ломоносова /_27j . Получена эквивалентная переформули ровка леммы, а также обобщение леммы на случай ?1- нетранзитивных операторных алгебр и подпространств . Результаты работы докладывались на семинаре отдела функционального анализа ШМ АН Азерб.ССР под руководством академика АН Азерб„ССР Ф.Г.Максудова, а также на четвертой (1982 года) и пятой (1984 года) республиканских конференциях молодых ученых по математике и механике. Результаты диссертации освещены в статьях Г?б7 , [77 / , JJ78J, Пользуясь возможностью, выражаю глубокую благодарность моим научным руководителям академику -АН Азерб.ССР Ф.Г.Максудову и доценту, кандидату физико-математических наук В.С.Щульману. Доказательство. Достаточно заметить, что о((М)-с (М) для любой нормы, заданной на О , и применить теорему 1.5. Отметим несколько простых свойств совместного спектрального радиуса. Если Aijj - ограниченные подмножества и , то Равенство (І.і) легко следует из неравенстващМ У /i-ll(SH)//MlnlSII 77 Є /У t Далее, последовательность (IIМ I/ Jn&w сходится к Р (М ) . Отсюда последовательность (//Ai // " L , сходится одновременно к р f/) J n р(М) .Следовательно, plM fr-fiM) и (1.2) доказано. Напомним, что расстояние Хаусдорфа между двумя ограниченными подмножествами М и /S нормированной алгебры Q задается по формуле ol(MS) fSuP bnl //Q iff, Sup Си/ aa i/}, и ; LQ M U l gel а/м j В совокупности всех ограниченных замкнутых подмножеств алгебры расстояние Хаусдорфа определяет метрику. Следовательно, можно говорить о непрерывности или полунепрерывности функций /1ч1"" г\ гІ рІЩц др., где/W принимает значения в совокупности всех ограниченных подмножеств алгебры о . Предложение 1.23. функция заданная на совокупности всех ограниченных подмножеств нормированной алгебры О , полунепрерывна сверху. Утверждение предложения 1.23 означает, что если последо вательность f h)h s/y ограниченных подмножеств /Ил э такова, что при -5 для некоторого ограничен ного подмножества S а о , то верхний предел Доказательство. Легко видеть, что отображения М М и М 1 II/All заданные на совокупности ограниченных подмножеств алгебры , непрерывны. Следовательно,как суперпозиция непрерыв ных отображений,непрерывно отображение /И /— l/Mhll (/7 ІІУ). Поэтому отображение р М — j ( А) , являясь нижней гранью по У1 непрерывных отображений полунепрерывно сверху ( см.главу 15 Аэ7). Предложение 1.24. Для любого ограниченного подмножества найдется не более чем счетное подмножество А/сМ такое, что Доказательство. Для любого 71 выберем такое мно жество А/ {віг..,аИ}с/И , что 1нг»Йл -11МИ1 1 . Пусть А/- U A/ft ( Тогда по построению, Д/не более чем счетно, р (М) о ( А/ ) . Так как /1/ С /И то неравенство О (А/) Р(М)очевидно. Предложение 1.25. Пусть п. - ограниченный автоморфизм банаховой алгебры А } М - ограниченное подмножество AJ Доказательство. Пусть р( - алгебраическая норма на А , эквивалентная исходной норме l( f/t Тогда легко проверить, что отображение o(-li А U\ Р определенное равенством (о1/ )[я) - о( I Ate)) для любого Й И , является алгебраической нормой на Ajэквивалентной исходной. Согласно теореме 1.5, можно найти алгебраическую норму оС0 на ft , эквивалентную норме такую, что о(0 ( )+-?где - произвольное положительное число. Положим cCj = ffCD ft"1 . Поскольку rC - ограниченный автоморфизм алгебры А оС - алгебраическая норма на п , эквивалентная норме =(oich"l)fh(M))-( D (М)4/ (М)+. Отсюда p(tt(M))4f(M)+.. В сил}/ произнольности f получим Р (п (М)) Р (М). Аналогично доказывается противоположное неравенство. Предложение доказано. Следствие 1.9. Совместный спектральный радиус инвариантен относительно подобия, т.е. р ( М)-Р (йМв ) ДЛЯ любого ограниченного подмножества М и любого обратимого элемента й нормированной алгебры. Следующее утверждение обобщает теорему Везентини о субгармоничности спектрального радиуса 28J . Определение и свойства субгармонических функций см. в 5oJ , 51/ (приложение 2). Теорема 1.6. Пусть Tj - некоторая область плоскости & X j—5 (\)- аналитические функции, определенные в области 7j со значениями в банаховой алгебре /\ оСеА (/»- произвольное множество). Предположим, что 2\ множество /Ц (X ) - -(f (X) о(єА/ограничено для любого Тогда функции \t- oQр(МШ)я X i— P(rl(X)) субгармоничны в J). Доказательство. Сначала покажем, что функция субгармонична в /J для любого (фиксированного) Й (L . Согласно условиям I) и 2), функция \ і— - II Ли A ) // непрерывна. Применяя интегральную формулу Коши к аналитической функции \ \— в fc((X) ( &G/\) взятую по границе круга радиуса Тис центром в точке \0 } целиком лежащего в В , и беря супремум норм по оС Л , легко Отсюда мы заключаем, что функция Д ь-— / А/ // A j//субгармонична для любого в (L . Согласно теореме Радо (см.теорему 9 прил.2 J5lJ ) функция Лі— сод ИМ /0О //субгармонична в Ї0 . Совершенно аналогично, используя I) и 2), можно показать, что функция А — II М(Х) /I непрерывна и функция X I ./Cfi illМ(к) II субгармонична в Ю для любого S d, Следовательно, по теореме Радо функция Л / ов II М(Х)П11 субгармонична в Ъ CTZ /v). _dL_ j_ Заметим, что IIM X Hr =IIM \fM(tfir% . Следовательно, последовательность убывает. Так как она сходится к Р(М(Х)). то последовательность ( Z n oq II А/ (X) //) :& Убывает и сходится к Со ? о С М (X)) . Таким образом, функция \\ to j О (г\(\)) как предел убывающей последовательности субгармонических функций, субгармонична в 7) (см.теорему I прил.2 [5IJ ). Так как функция "t /— Є выпукла и возрастает на оси действительных чисел, то, согласно теореме I прил.2 JblJ , функция \ і— р( /WA)) является субгармонической в области /J . Теорема доказана. Следствие 1.10. Пусть Л /— ГоС аналитические функции, определенные в области 7) С (Е со значениями в банахо вой алгебре - конечное множество. Положим fv\ ( X ) = \ f (X) К&Л/. Тогда функции \ і р( М(Х))ш Xi- fyp(M(ti)субгармоничны в 7)\ Доказательство. Достаточно заметить, что условия I) и 2) теоремы 1.6 автоматически выполнены. Применения теоремы 1.6 и следствия I JO даны в главе 3. Теперь мы обсудим свойства совместного спектрального радиуса подмножества нормированной алгебры при выполнении коммутационных соотношении. Предложение 1.26. Пусть А/ и j - ограниченные подмножества нормированной алгебры. Предположим, что для любых Q Mj p&S существует элемент 6J g из центра алгебры, что Qo (%$ бД и // (Гйі ///. Тогда JO (М V2) № Vt fffM)j/ (S)X Доказательство. Не уменьшая общности, можно считать, что /И П. S - Ф . Пусть ( Ch ) fig/y - последовательность элементов алгебры такая, что Ch Согласно условиям предложения, каждый элемент Сц можно представить в виде произведения (Туї &р(Уі)Аф( і;,тде OQ - элемент центра, ІІЩН, Єр е?"", arH)M1W} p( ) ff ) целые неотрицательные числа такие, что pth) + С/(71) = /г . Отсюда f ( М US ) г? &? /lfptK) а?1л, // . Пусть -6 - некоторая предельная точка множества { ТГ1р(К) Я ЛУ )t пусть А/ С /У таково, что Ъ ]р(П)- І при #-»« , К М Тогда Ж 14р(л 11 V //S I/ PfSj-6 и аналогично -& -» II О«(п) //п jPiMj , Отсюда p(MVS)4 &г "і?,» V. И fa Щ ,У /1а9„, /Л = PCM) J (у J , Остается заметить в силу Таким образом; jO ( М U S ) та (р (М ) Р ( )). Обратное неравенство очевидно. Следующее утверждение позволяет эффективно вычислить совместный спектральный радиус при наличии коммутационных соотношений, Близкое утверждение (в иных терминах) содержится в JJ30J Следствие І.ІЇ. Пусть /И = і flj „, fiA- конечное подмно Доказательство. Легко проверить, что fi и $ удовлетворяют со отношению Отсюда и.о. { Q j У является подалгеброй Ли и, поскольку это - наименьшая подалгебра Ли, содержащая элемен ты (X и о , она совпадает.с подалгеброй Ли, порожденной О. и о . Очевидно, Л.О. { й} і jf - разрешимая подалгебра Ли высоты 2. Далее, пусть С d, Є = J- С ) имеют следующий вид: /. /- о о\ , /О о о\ )о о 0\ с 0 0 0], [0 О О) , t= j о о) \ О О J) \ О 4 О \ О О 0) Тогда, легко проверить, что(С1 4)С+ёс/ СШ-i )+В 6 =/.Это означает, что Ы 0)ф (з} (Oj в) Л &%с ) (CL ё) - Заметш» что С (а)П Т ССш а и что e%C,p t) QP W мы заключаем, что (u) ftpAc ( (0. 6) для всех -75 & &( ) ?ЪСС )? Жс ії Следовательно подалгебра A(aJ)} поровденная элементами йи , не обладает проекционным свойством Отметим, что подалгебра А(а}) алгебры JS(C ) коммутативна по модулю своего радикала (это сразу следует из верхнетреугольного вида матриц (X и6). Таким образом, свойство отображения спектра и его частей оказывается для замкнутых подалгебр более тонким, чем коммутативность по модулю своего радикала. Мы докажем, что замкнутые подалгебры алгебры Л , порожденные элементами оо - разрешимых или конечномерных разрешимых лиевых подалгебр А , коммутативны по модулю своего радикала. Напомним сначала некоторые определения из теории алгебры Ли. Пусть -алгебра Ли. (Лиевым) дифференцированием на f называют всякий линейный оператор d : об. — sf такой, что для любых d ёе& . Дифференцирование а называется внутренним, если#-&/# для некоторого Сі оС . Множество всех дифференцирований обозначается через Отметим, что если f- идеал алгебры Ли С , то Пусть С - подалгебра алгебры ШоС. Множество обозначим через или %)g (L ). Легко проверить, что ) - алгебра Ли и -идеал алгебры Ъ (Л ). Предложение 2.7. Пусть /]/- конечномерное подпространство алгебры п , состоящее из коммутирующих друг с другом нильпотент ных элементов. Тогда ) для любого множест Доказательство. Заметим, что N - лиева подалгебра ал гебры А . Пусть N-J.O.foj } ёп]к К /у таков,что ef=... - & - О . В силу того, что { /,.. .} in } коммутативно, легко заметить, что С,---Ст О для любых Докажем индукцией по длине слова uJ от элементов 2J( V)} что для любого С /V и для любого слова &У произведение С СО является конечной линейной комбинацией элементов вида (Мс С где tOc -некоторые слова от элементов Z)(lv) и все C e-N. Если UJ-&G .то СЯ- Я Л/ по условию, так что для слов длины I утверждение справедливо. Предположим, что это верно для всех слов длины, меньшей чем X ( 1 & V } АС Н ). Тогда для произвольного слова CU-СМЦ f где tdj-слово от элементов Х)(1\/) длины Ъ-4, 2 7)(N)TS. для произвольного элемента С А/ имеем СШ -GLCLUj + C4UJ4 , где СА-Са -CLC &А/. Так что по предположению индукции (примененному к обоим слагаемым) СШ представляется в виде требуемой конечной линейной комбинации. Из доказанного утверждения легко следует, что для любых слов LUj . Шт от элементов Ю( /V) и для любых эле ментов С і . . - С/у) А/ произведение CjUt/ " Су„ Шт является конечной линейной комбинацией элементов вида d Є где сІ Єп и tL- произведения УП некоторых элементов А/. Поэтому при Уп КУ1 мы замечаем, что С4 ш С„ Шт = О. Следовательно, для любого элемента Л и для любо го C N справедливо равенство (cd)m-0 (TK-fCtt). В силу непрерывности отображения & і— (са)т мы заключаем, что (сй)т-О для всех & А( 0д(А/)).Следовательно, Є (CCL) 0 для всех й Я(%)д(./\/)) и для любого CVЖ Согласно определению радикала нормированной алгебры ( 9 /60J ), ) для любого подмножества Предложение доказано. Как в случае алгебры Ли, дифференцированием ассоциативной алгебры о называется всякий линейный оператор а о— о такой, что d(ai)-d(a)-+- Ctd() для всех a В. Так как 3 одновременно имеет естественную структуру алгебры Ли, то в О можно рассматривать и лиевы дифференцирования. Отметим, что дифференцирования являются лиевыми дифференцированиями. Обратное, вообще говоря, неверно (для примера достаточно рассмотреть коммутативные алгебры, в которых всякое линейное отображение алгебры в себя -лиево дифференцирование). Предложение 2.8. Пусть о - комплексная нормированная алгебра, d о— О - ограниченное дифференцирование, / / - замкнутая полуплоскость , отделенная от нуля. Пусть Тогда ) - нильпотентная подалгебра В (в том смысле, что Qj" fiH-0 для всех Q j а Л(М) и фиксированного 7г є /У ) Доказательство. Без ограничения общности можно считать,что и банахова алгебра, ,где - некоторое по ложительное число. Пусть % /У таково, что 71 J (d) . Мы утверждаем, что для любых Oj ,..; о таких,что гМиМ / г )0111 98 0 4/---Я = ? . Действительно, dfQr- Q ) Если Qj (Х -ФО о Qj - йи - собственный вектор оператора d, отвечающий собственному значению Af +... X n . Получаемое противоречие показывает, что Qj "йи 0 для любых 04 ) ...} йп гЛ . тсюда легко видеть, что Из предложения 2.8 следует, что множество собственных векторов, отвечающих ненулевому собственному значению ограниченного дифференцирования, действующего в банаховой алгебре, порождает нильпотентную подалгебру. В частности, каждый такой собственный Условие Клейнеке-Широкова Мы продолжаем исследования спектральных характеристик элементов банаховой алгебры, связанных условием Клейнеке-Широкова. В этом параграфе налагается следующее условие Клейнеке-Широкова: L ( ь }\ь ) С ( о ,jU в ) (А)- О 9 где (X и ё - элементы алгебры, А и U - комплексные числа. Лемма 3.4. Пусть UA JU C, а{у..,Ъг. ЫфШ//Й. Тогда Доказательство. Обозначим через di элемент -108 Равенство (3.16) очевидно при 6=-/. Предположим, что (3.16) справедливо для С / C -hj . Докажем теперь, что (3.16) справедливо для 1+4 . Действительно, Это доказывает равенство (3.16). Пусть Op к Ip Ti-K+J) - линейное подпространство А, порож денное всеми элементами, получаемыми из элемента QK- "uyj C(o}jUь)lQn+4)" С(іміНОщ)следующим способом. Пусть (С) ... Oj ) -произвольная выборка р чисел из набора G /,...;/zJ. Тогда в произведении - С( ЩН) -С(,/и()Ш ) заменим сомножители йч на элементы Ц,Ло)(Q jt), ї-іу р. Полученные подобным образом элементы, когда ( ..} фр) пробе гают все выборки р чисел из (KtKHj.:t Уі) порождают требуе мое линейное подпространство Вр к - Легво видеть, пользуясь равенством (3.4), что оператор С(ь \ М І) переводит up « в ррн к при р 77- W,a также переводит ІЬміс (p W4) в нуль. Отсюда сразу вытекает, что равенство (3.15). Учитывая dn[t 0 из (3.16) при L-H получим, что Это реккурентное соотношение сразу доказывает равенство (3.14). Лемма доказана. Предложение 3.14. Пусть является конечно квазинильпотентным множеством. Доказательство. Пусть о - конечное подмножество В этом параграфе мы рассмотрим более обшие отображения,чем дифференцирования. Пусть В - алгебра, а 8-ї в - ее дифференцирование. Под дифференциальным оператором порядка Ті (У1 /У ) понимаем всякое отображение алгебры о в себя П-і. -произвольные отображения в — В , Такие операторы называем также --дифференциальными операторами порядка % , Пусть 7" - представление алгебры В в линейном пространст ве Е . Скажем, что дифференцирование индуцирует в представлении / линейный оператор S - Е — Ь } если Та (Q) - L р; Та J для любого О. є В . Множество м линейных операторов Е Е называют (алгебраически) плотным, если для любого К /V. для произвольной системы 714 ... j 17 и произвольной линейно независимой системы векторов # .. Ъ к пространства Е существует d е гА такой, что О. у — Ц- С- 4У..}К. Если последнее выполнено при К = 4 то говорят, что А) (алгебраически) транзитивно. Ненулевой вектор V С называется (алгебраически) циклическим для гЛ}если Представление 7" алгебры о в линейном пространстве г называют неприводимым , если Е ФО и Т(о) алгебраически транзитивно. Это эквивалентно тому, что всякий ненулевой вектор Е - циклический для ), а также тому, что Ті В) не имеет нетривиальных инвариантных подпространств. Лемма 3.5. Пусть Т - неприводимое представление алгебры о в линейном пространстве Ь Р а :о В - дифференцирование, Р-некоторый d- дифференциальный оператор порядка 71 . Если 77 Р) не транзитивно, то d индуцирует в представлении / некоторый линей-шй оператор -». Доказательство. Предположим, что вектор и J -0? не является циклическим для II J7 7 Р) . Положим JK-{a B: T(Q))f TJ(Q) .-.cfr(Clffso}jtev&o видеть, что 0 С j . для любого о о 5 так что все - левые идеалы алгебры О . Заметшл, что если Q Є J -j , но Тып1(Q)t -Фо то в силу неприводимости 7" для любого б найдется В что 7?б)7я (&) V.Легко видеть, что тогда 7 = ЪЪТ (а\у -- г f j 77 W 7V"7«;/ = = fJl (4а)): tr jP(a)r (последнее равенство следует из того, что TdC(4a)y -О для 1 0; 1,...)П-4 ). Следовательно, поскольку j? не является циклическим для означает, что 3#w - Cfn . Пусть К /У U { О] - наименьшее число, для которого Ук =: Укн # В таком случае J"d ( Jx-j)): "Ф О s иб в противном У „, - Ух (мы считаем У„, = В ) . Заметим, что так что в силу неприводимости 7 " справедливо Ге(К[Ук-\) у - Е. Требуемый оператор S. — Е определим равенством S То(К(а))ї - (К+4)"1 TolK+i(a)у для всех а %ч .Поскольку Тс1КШ)} = 0 для а Є 7К-4 влечет TdK Ua )J =0, оператор Л определен корректно. к-\ имеем Найдем для произвольного 7? є С элемент & JK такой, что TdK(.CL) -У? ТогДа Для любого для любого . Лемма доказана. Лемма 3.6. Пусть гА С,д;(лО-некоторое множество квазиниль-потентных операторов. Тогда /И не имеет (алгебраически) циклических векторов. Доказательство, В самом деле, если X циклический вектор для гЛ , то существует й Л) такой,что (X X = У . Это противоречит квазинильпотентности ft. Хорошо известно (см., например, приложениеГJ5IJ ), что всякое неприводимое представление комплексной банаховой алгебры в действительности является представлением ограниченными линейными операторами в банаховом пространстве, при этом образ алгебры алгебраически плотен. Напомним также, что радикал (Джекобсона) алгебры определяют как пересечение примитивных идеалов, т.е. Наличие нетривиального инвариантного замкнутого подпространства у операторной алгебры тесно связано с определенными спектральными свойствами этой алгебры. Это видно из следующей переформулировки результата В.И.Ломоносова [27] : для того, чтобы операторная алгебра О имела нетривиальное инвариантное замкнутое подпространство, необходимо и достаточно, чтобы существовал ненулевой мультипликативно радикальный относительно О компактный оператор. В главе 2 (предложение 2.5) мы показали, что если О упитальна и замкнута, то всякий мультипликативно радикальный относительно О оператор является аддитивно радикальным относительно U и наоборот. Отсюда вытекает следующее утверждение. Предложение 4.4. Пусть -операторная алгебра. Следующие утверждения эквивалентны: 1. оСсь и О нетривиальна; 2. существует ненулевой мультипликативно радикальный отно сительно о компактный оператор; 3. существует ненулевой аддитивно радикальный относительно О компактный оператор. Доказательство. Импликации 4. = Z. и Z." 4. - это утверждение В.И.Ломоносова. Пусть OJ - замкнутая унитальная подалгебра алгебра порожденная элементами В. Очевидно, и и имеют одну и ту же решетку инвариантных подпространств. Отсюда вытекает, что если существует ненулевой мультипликативно радикальный относительно D компактный оператор, то существует ненулевой мультипликативно радикальный относительно Dj компактный оператор, который, в силу предложения 2.5, является аддитивно радикальным относительно О .Это доказывает импликацию Z.= S. Предположим теперь, что К УС (Л ), 0[ё+К) Р(4) для всех -6 О. Докажем, что Р(@К)-0 для всех ё В, Пусть Л а..,/А( Zp()fTRe а - произвольный элементу . Отсюда /А/" Ш\ 2. пдя всех М& $(о). Как в предложении 2.5 находим, что О ( X #+ ... + X17"1 ёН ) IXI4 Следовательно, для любого 7J (L , Поэтому А +А е ..."м ъ +77К обратим для любого 7je(C . Заметим, что k"+X lg+...+Х "е"фҐІ Н)(\-ІТЇ-произведение обратимых элементов. Отсюда 4 + 77 (-/"Х о ) (\-&)К обратим для всех 7f (L . Следовательно,/!? f(4-Х "о ) (к &)К)-От Очевидно, (4-Х л& f) — 4 при Уі - со . В силу непрерывности спектра на компактных операторах, р ( (X -ё) К) = О для любого А \Х 1 ір()Лвж как Л ь-» 0 ffW} К) очевидао, ограничена во всей плоскости & и субгармонична (по теореме Везентини (28J ), то она - постоянная функция. Следовательно, О { ь К "\ - О . Предложение доказано. Импликацию Z. " 4. (точнее, импликацию 7 /. 7 . ) часто называют леммой Ломоносова. Обобщим лемму Ломоносова на случай 7L-кратной транзитивности операторных пространств. Напомним соответствующее определение (см. /74J , где определение дано для операторных алгебр). Пусть Jj ( % У) - пространство всех ограниченных линейных преобразований банаховы пространства. Пусть 72- произвольное натуральное число. Подпространство называется 71 - кратно (топо логически) транзитивным, если для произвольной линейно независимой системы векторов XJ ..X . пространства х и произвольной системы векторов у J ..,t ип пространства fr существует последовательность (Q-rn tneN опеРатоРв из & такая, что Обозначим через множество всех компактных операторов из х в j где х} У-банаховы пространства. Предложение 4.5. Пусть и}хгУ- .банаховы пространства, - подпространство, ( вс ) - семейство эле ментов -, - семейство элементов У((&)%). Предположим, что существует Х0 ОС такой, что система век торов К Хс , ... , Ки Хп линейно независима и Х0 2Г %п S; Л л D спх Если ( 2Г / О К,-) -О ДДЯ всех О, Є. О , то К не яв ляется 77- кратно транзитивным подпространством. Доказательство. Без ограничения общности, будем считать, что 1\&с\\ 4 Aft II 4} і- 4)1)...,71. Пусть элемент Х0 U таков, что система векторов К Х0 ...; КЛХ линейно независима и Х0 1і Уїп &І Предположим, что В является 7?-кратно транзи-тивным подпространством. Нетрудно видеть, что система векторов Xj ,..у Z нормированного пространства тогда и только тогда линейно независи-ма когда bnf{fl \ %iII \ & ъ} Z" /Ас /- -ijf 0. Следовательно, Обозначим через Ъ % замкнутый шар с центром в точке Хи радиусом X ( X - элемент банахова пространства). Очевидно, существует число %0 О , что любая система векторов X/,..., Хп такая, что Xt« С Su у (- 1у,#.линейно независима. В качестве 0 можно взять число (ЯН)" о . Так как Хп Г thnii , то существуют векторы yd%...,yjey такие, что // 2I -yt. -Х0 1Ы% Ъо . Пусть =(2///%. Тогда для любых векторов JJ ; ..., %п таких,что Zc u. % , 6 =«/,..., 2; справедливо //ZT вс Zc Х0 II ?Ъ0. Положим lAJa-{(U)ir..)u)h)Xn : НА Щ -ffi ll J n) для любого (X В . Очевидно, что UJQ, открыто для любо го О. О и U U/Q содержит все линейно независимые сис-темы из К векторов пространства х (в силу 71- кратной транзитивности о ). В таком случае семейство открытых множеств ( (Ua ) gg покрывает компактное множество КSx9i "xKh Sx 7 (так как К S% г С «?#.х ;d=4-.. .Следовательно, существуют Поэтому для любого И є Рх0 і0 существует jj -4 j 7Г7} что // Or Kc U -ус /! %. С=1у..,П. Но тогда // # л.КМ -X, И % Следовательно, для любого У. Є Ъ о существуетJ } -1 jWl что /її %i (XjKc U -X0 l№t0 . Положим Yi-fr)- 4, при 0tZ0 и 4s()-0 при t t0} 4 (U) = Y(lltcujKiU-X0ll) для U UjH-M Отметим,что ДГ % (U) ФО для всех /e / . Очевидно, отображение непрерывно, компактно и отображает шар S% 0 в себя. Согласно теореме Шаудера \J75J , это отображение имеет неподвижную точку. Поскольку Sx„ 7„ не содержит нуль, это показывает, что для некоторого (X ё В оператор Д7 Q Кс имеет собственный вектор с собственным значением, равным единице. Предложение доказано. Напомним, что транзитивность (т.е. однократная транзитивность) операторной алгебры эквивалентна тривиальности её решетки инвариантных замкнутых подпространств. Следствие 4.4. Пусть К&Л( )- компактный оператор таСовместный спектральный радиус
Разрешимые алгебры Ли
Условие Клейнеке-Широкова
Спектральные свойства и нетранзитив ность
Похожие диссертации на Спектральные характеристики семейств и множеств элементов банаховой алгебры и инвариантные подпространства
