Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Дискретное разложение. вещественных факторов типа 18
1.1. Предварительные сведения 18
1.2. Вещественное скрещенное: произведение вещественной алгебры фон Неймана на автоморфизм 36
1.3. Дискретное разложение вещественных факторов типа 48
1.4. Построение инвариантного лакунарного веса бесконечнойкратности, на.факторе.типа
1.5. Дискретное разложение вещественных факторов типа 77
1.6.. Изоморфизм вещественных факторов типа .89
ГЛАВА II. Топологические Q-алгебры и теорема Q- вложении
2.1. R. - топология на алгебре 102
2.2. Существование и единственность Я- топологии 105
2.3. Вложение топологической 03 - алгебры в универсальную топологическую О J -алгебру . 122
Литература... 133
- Вещественное скрещенное: произведение вещественной алгебры фон Неймана на автоморфизм
- Дискретное разложение вещественных факторов типа
- Существование и единственность Я- топологии
- Вложение топологической 03 - алгебры в универсальную топологическую О J -алгебру
Введение к работе
Йордановы алгебры были введены в 1934 году в работе Йордана, фон Неймана и Вигнера [ 32] в целях алгебраического описания множества наблюдаемых в квантовой механике. После этого длительное время в алгебраической переформулировке квантовой механики использовались алгебры фон Неймана, и йордановы алгебры изучались с чисто алгебраической точки зрения (см., например, [16, 31] ).
В 1947 году Сигал предложил отождествить множество наблюдаемых с элементами некоторой равномерно замкнутой йор-дановой алгебры. Это впоследствии стимулировало интерес к йордановым алгебрам; В середине 60-х годов в работах Топпин-га І46] и Штёрмера 140] впервые были рассмотрены неассоциативные аналоги алгебр фон Неймана - J\f - алгебры, т.е. слабо замкнутые йордановы алгебры самосопряженных ограниченных операторов в комплексном гильбертовом пространстве. Структура этих алгебр оказалась близка к структуре алгебр фон Неймана, и в изучении JW - алгебр оказалось возможным применить идеи, сходные с идеями теории алгебр фон Неймана. В работе Топпинга [46] была получена начальная классификация J*\/yf - алгебр по типам I , \ , | ,|, а в работах Штёрмера [42, 431 и Ш.А.Аюпова [7, 8, 24] была . решена проблема о связи типа JW - алгебры и типа её обертывающей алгебры фон Неймана, а также изучены JW - алгебры типа I Возникла задача изучения J\J - алгебр типов I и | . _ 4 -
В работе [421 Штёрмер доказал, что всякая J]rf - алгебра А типа Ц или Щ изоморфна прямой сумме А с Ф А г JV\f - алгебры А ^ = It (Aq) сд » являющейся самосопряженной частью алгебры фон Неймана lt(Ac^ и ]]/{ - алгебры Au^RiA^N». » являющейся самосопряженной частью вещественной алгебры фон Неймана R (А \ » т.е. вещественной * - алгебры ограниченных линейных операторов в комплексном гильбертовом пространстве, замкнутой в слабой (операторной) топологии и обладающей следующим свойством:
1иА^П1{ЦАг)Ц0\.
Таким образом, задача изучения JW - алгебр типа \\ и Щ в существенном редуцируется к.изучению вещественных алгебр фон Неймана типа Е и [И . Поскольку с каждой вещественной алгеброй фон Неймана единственным образом связан некоторый инволютивный * - антиавтоморфизм обертывающей алгебры фон Неймана, то при изучении вещественных алгебр фон Неймана необходимо изучать и инволютивные * - антиавтоморфизмы алгебр фон Неймана. Используя результаты Джиордано L291 по классификации инво- лютивных # - антиавтоморфизмов, Ш.А.Аюпову удалось получить полное. описание так называемых инъективных J\s[ - Факторов [10] . Следующим естественным шагом в этом направлении является изучение вещественных алгебр Фон Неймана типа (II , не обязательно инъективных.
Одним из значительных результатов теории алгебр фон Неймана является построенная А.Конном классификация G" -конечных факторов фон Неймана типа Щ. по типам 111 л ,
О *. Я. ^ і , и дискретное разложение факторов типа 1Н ^ ,
О А, < і t 262 .
Вызывала интерес возможность построения для вещеитвенных факторов фон Неймана типа Щ аналога дискретного разложения. Решению этого вопроса посвящена первая глава диссертации.
В связи с дальнейшем обобщением понятия JW - ал гебры, построением теории интегрирования на йордановых ал гебрах и ее приложений к вопросам некоммутативной теории вероятностей, в работах Ш.А.Аюпова был введен класс упоря доченных йордановых алгебр 03 - алгебры. Эти алгебры включают в себя также йордановы алгебры неограниченных самосопряженных операторов и являются неассоциативным аналогом алгебр измеримых вещественных функций на пространствах с мерой. Более обще, 0 J - алгебры являются неассовдатив-ным аналогом полуполеи, введенных в работах М.Я.Антоновского, В.Г.Болтянского и Т.А.Сарымсакова (см., например, [II ).
Одним из основных результатов теории полуполеи является теорема классификации, или теорема о вложении всякого полу-поля в универсальное полуполе Li] . В связи с этим возникает задача вложения О J - алгебры в универсальную 0J - алгебру. В отличие от полуполя, не всякая 0J - алгебра вкладывается в универсальную О J -алгебру. В этом направлении Ш.А.Аюповым был получен ряд результатов; в частности, в работе til] им было построено вложение одного класса 0J -алгебр - модулярных J&"W - алгебр в универсальную 03 - алгебру неограниченных элементов.
В теории полуполеи и их некоммутативных аналогов -0 - алгебр - для построения вложения часто применяется пополнение исходного полуполя или исходной 0 - алгебры по равномерности, порожденной топологией сходимости по мере _ 6 - (или Я - топологией) [і, 20-22 1 Естественным было построение на более широком классе О J - алгебр, чем модулярные JBW - алгебры, аналога ft - топологии, и использование этой топологии для вложения исходной 03 - алгебры в универсальную О J - алгебру. Этому кругу вопросов посвящена вторая глава диссертации.
В диссертации решены следующие задачи: - введено вещественное скрещенное произведение веществен ной алгебры фон Неймана на ее автоморфизм; - выделены классы вещественных факторов фон Неймана типа [її, 0 ^ Я < 1 , для которых существует дискретное разложение, и построено это дискретное разложение; получены условия изоморфизма таких факторов в терминах вещественных скрещенных произведений; в О J - алгебре построена R_ - топология; - выделен класс О J - алгебр, в которых существует - топология (класс топологических О J . - алгебр); - построено вложение топологической О J -.алгебры в универсальную топологическую О J - алгебру.
При изучении вещественных факторов фон Неймана типа (Д мы используем методы теории операторных алгебр. При исследовании топологических О J - алгебр используется техника теории йордановых алгебр и теории упорядоченных пространств.
Кратко изложим результаты диссертации. Работа состоит из введения, двух глав, разбитых на девять параграфов, и списка литературы.
Первая глава посвящена построению дискретного разложения вещественных факторов фон Неймана типа Щ 0 , 0 ^ % < 1.
В I.I приведены необходимые сведения из теории йорда-новых алгебр самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве ( JW - алгебр) и теории упорядоченных йордано-вых алгебр ( О J - алгебр),
В 1*2 строится необходимый нам для построения дискретного разложения факторов аналог скрещенного произведения алгебры фон Неймана на ее * - автоморфизм - вещественное скрещенное произведение 6* - конечной вещественной алгебры Фон Неймана Q на ее * - автоморфизм 0 , ставящее в соответствие паре (.6; Q) вещественную алгебру фон Неймана W , (6 , Q)
Пусть Н - комплексное гильбертово пространство . Q с > (.НЛ , 1 - группа целых чисел, ЬЧН , .2 ) - гильбертово пространство всех Н -значных функций на % ,, интегрируемых с квадратом» Рассмотрим на U? (Н , 2 ) следующие операторы: где ^cvt.^.u4h,1) , xcQ , vi, wi є. % .
Вещественным скрещенным произведением Q на 0 будем называть замкнутую в слабой операторной топологии вещественную * - алгебру "Wь_ С 8 , Q) » порожденную множеством
Основным результатом 1.2 является теорема 1.2.I, показывающая, что. fyj\ (8 , Q) - вещественная алгебра фон Неймана, и устанавливающая связь между 1д[ * (Q , Q) и скрещенным произведением обертывающей алгебры фон Неймана ll(Gl) на ее автоморфизм б являющийся продолжением В с Q на U tGh .
Теорема I.2.I (i)W*t6,Q}A'iW*lQ,QH0l> (2) W*^,U)ViW*te3Q)=W*(G, U(Gh)
Вспомогательные леммы 1,2.3 и 1.2,4 посвящены условиям изоморфизма вещественных скрещенных произведений, они понадобятся нам в 1.3 и 1.6.
Б 1.3 строится дискретнне разложения одного класса вещественных факторов типа
Пусть R. - вещественный фактор типа Щ ^ , 0 Я < 1 (т.е. обертывающий фактор tl(R_) = ft + L. R_. имеет тип \|\ ), oi0 - инволютивный # - антиавтоморфизм ПСІ) определенный так: ^(ocViu)-X + t u ,
3t, ueL, Так как Я = { ХЄ UcR) '. iRtx^X*|,TO будем говорить, что oL ~ определяет R.
Пусть ( р . р uuo N - гладкий поток весов на
11(Л) » Vuodl С^с) - автоморфизм этого потока, ставящий в соответствие классу рСЦО из С ^iLtflN ^ ^ ) класс
Предположим, что VY\jod| С^ а ") -Id , ( где L d| ^ тождественный автоморфизм). Тогда справедливо
Предложение 1.3.7. Если K
Обобщенным следом на вещественном факторе U С R.) типа \\\ п , СК 1 < 1 , называется точный нормальный строго полу-конечный вес u , такой, что О", -La для to -тг-— (где <5\/\ - группа модулярных * - автоморфизмов 11 (Я) ассоциированная с цд ), Используя пр. 1,3,7, на ИсИ) строится обобщенный след [q такой, что VJ о ы_ г=.^ .
Теорема 1,3,8. Если vuodCoU} =. id, то на U(R.) существует ain - инвариантный обобщенный след,
С помощью теоремы 1,3,8 доказываетая основная теорема 1.3.:
Теорема 1.3,9 (I) Пусть 0 < % < 1 ; Q - (5" - конечный вещественный фактор типа 11^ , <Г - точный нормальный полуконечный след на Q , 0 - # - автоморфизм Q такой, что to Q - ЯТ Тогда "W (,6 , Ql") будет вещественным фактором типа Щ
Для всякого G" - конечного вещественного фактора R. типа \]\ о <: % < 1 , такого, что vn^d(od R) - id , существует пара (Q ', \&) , удовлетворяющая условия (I) теоремы, и такая, что WY (В, Qy и. В. *-изоморфны.
Пусть C^i ? Q^ , (ч'у ^г) ~ паРы* Удовлетворяющие условиям (I) теоремы. Вещественные факторы V (,01, Qll) и "VT С ^ г , ^L") *"" изоморфны тогда и только тогда, когда существует * -изоморфизм J '. Q^ —> (Зг такой, Jo 6 о Г^б^е WQ,
Заметим, что в 1.3.9 (3) сформулированы условия изоморфизма таких вещественных факторов в терминах веществен- ных скрещенных произведений.
Из теоремы 1.3,9 и предложения 1.10 (I ) из 129] легко выводится следствие 1.3.10, характеризующее весь класс дискретно разложимых <э - конечных вещественных Факторов типа HI ^
Следствие 1.3.10. (Г - конечный вещественный фактор R типа Щ ~ ,. О < Я. ^ і , имеет дискретное разложение в смысле 1.3.9 (2) тогда и только тогда, когда мгосЦы^ - Ld .
Б І»4 и 1.5 строится дискретное разложение G" -конечных вещественных факторов типа П\
В 1.4 на - конечном факторе Ц, С ІЬ . типа jjj 0 , являющемся обертывающей алгеброй фон Неймана б" - конечного вещественного фактора R типа Ш0 , такого, что WU)dCt-n) - td » строится аналог обобщенного следа — — oi - инвариантный лакунарный вес бесконечной . кратности. Для этого используется понятие спектра действия группы R. , введенное в ІІЗІ , для случая группы модуляррых * - автоморфизмов > построенных по oi D -инвариантному весу. С помощью свойств спектра (ел» 4.4) и веса, построенного в 1.3, в пр. 1.3.7, в основной теореме 1.4 - теореме 1.4.7. строится oL^ - инвариантный точный нормальный строго полуконечный лакунарный вес бесконечной кратности.
Б 1.5 для б" - конечного вещественного фактора Я типа Щ0 с условием: Wtod Ыо) - id строится дискретное разложение. Для этого используется вес , построенный в теореме 1.4.7, - II -
Теорема 1.5,1. Пусть 0. - вещественная алгебра фон Неймана гипа Ноо с непрерывным центром, &—- *-. автоморфизм Q , эргодический на центре Q э Т - точный нормальный полуконечный след на Gt , такой, чтоТ&^ /10С, где %0 - фиксированное число, 0 ^ %0<К. Тогда W^(, Q) является вещественным фактором типа [| . Основной теоремой 1.5 является
Теорема 1.5.2. Пусть R.— б" - конечный веще-ственный фактор типа 1Н0 , такой, что Wiod Ыц) - Ld для инволютивного * -автоморфизма Ы~ обертывающего, фактора U(,R.) . Тогда существует пара (6j Q) , удовлетворяющая условиям теоремы I.5.I, и такая, что R. * -изоморфен W С 6 , Q)
В 1.6 доказывается теорема об условиях # - изоморфизма 6\ - конечных вещественных Факторов R.i и Яг типа щ0 , дискретно разложимых в смысле теоремы 1.5,1.
Пусть (6*, Gb пара, удовлетворяющая условиям теоремы I.5.I. В лемме 1.6,1 для любого проектора из центра Q (обозначим1. %lQ) ),Q.#H,&%0, строится единственная последовательность попарно ортогональных про-екторов ! м V из X (Q N таких, что 1EL Р. и - & ;
0.-0 ^jsO при VI < W, 8 (*)<&, ) ~ . . С ПОМОЩЬЮ [ &vv\ ^., НЭ вещественной алгебре фон Неймана Q, можно ввести * -автоморфизм 6 0 так:
Автоморфизм 0 g используется в формулировке основной теоремы 1.6 - теоремы 1.6,2:
Теорема 1.6.2 Пусть (Bi ; Q ^ Дбг', Q^ -пары, удовлетворявдие условиям теоремы I.5.I, Я± ,&г~ такие числа, что 0 < &±<1, 0<Я^<1 и Т± &±^ Л.±*"9 VM fl.^. В.1^^ві, Q±) Дг^лГ*(0Д^ вещественные факторы типа Щ Для того, чтобы К1 и it были * - изоморфны, необходимо и достаточно существование проекторов et из %td^ и Єг из 5Е.сйг) , Qi^pO, ^г+0 и * - изоморфизма J вещественных алгебр Фон Неймана i Q t и & ^ Q г : J ,^iQ1 > ^г0г таких' Что
Вторая глава посвящена изучению более общего объекта - конечных 0 3- алгебр, являющихся обобщением понятия модулярных 3W - алгебр, в основном построению на конечных
03 - алгебре топологии специального вида, аналогичной топологии сходимости по мере в алгебрах непрерывных функций,, и вложению 01 - алгебры с такой топологией в универсальную 0 3 - алгебру неограниченных элементов.
В 2.1 на О J - алгебре вводится и исследуется & - топология. - ІЗ -
Определение. Пусть А О J - алгебра, \7д— - логика ее идемпотентов, t - отделимая топология на А , относительно которой А - топологическое векторное пространство. Пару (А, -1) будем называть топологической О J ~ алгеброй, а топологию *Ь— R. - топологией, если выполняются следующие условия: PI. Для любой окрестности нуля \\[ существует такая ("нормальная") окрестность нуля V ^W , что: если 0 X ± ^ є V , то X & V ; если tj є\Г , S1 -ft , рє VA , то UsCU)eY и Upl^vn iV (где оператор UQ(/) действует так:
Р2 Для любой сети идемпотентов { ^ \ , убывающей к нулю, » 0 ,
РЗ. Пусть { е^ \ с Va , & * ^ * Тогда для любой сети {x^V элементов из А сеть {х I топологически сходится к нулю.
В теоремах 2.1.2 и 2.1.3 исследуются топологические 03 - алгебры счетного типа.
Основной теоремой 2,1 является Теорема 2.1.2. Если А имеет счетный тип, то: (I) существует {"WH \ - система таких окрестностей нуля, что ^invA)u(4WyivtnvA^Vvinv_A;nwn-io|. еы ^о^=^ е^ -^0 , Гдв (^0) - топология,
Кроме того, в теореме 2.Г.З показано,- что (^А ,t) метризуе- ма тогда и только тогда, когда А - счетного типа.
Б 2.2 исследуются условия существования & - топологии на произвольной О Л - алгебре. С этой целью на алгебре с функцией размерности строится R - топология, как топология сходимости по функции размерности.
Определение. Пусть А 0J - алгебра, VA - логика ее идемпотентов. Функция dt * V. —> Е со значениями в некотором топологическом полуполе Е называется функцией размерности, если: (1) сЦР^ ^0 при всех . &eV. и Ц(р_}-0 тогда и только тогда, когда ^0 . (2) сК^-СІф , если 0. /— \ в А (3) d вполне аддитивна.
Окрестностями точки Ос в топологии
В леммах и теоремах 2.2.4, 2.2.5, 2.2.7 доказывается, что топология Т — Л - топология; попутно показывается непрерывность .. операций сложения и умножения в топологии
Определение 2.2.8. О J - алгебра А называется конечной, если в ней найдется не более конечного числа попарно ортогональных, попарно эквивалентных идемпо-тентов.
Определение 2.2.9. Логика идемпотентов V называется дедекиндовой или модулярной, если в ней выполняется модулярный закон: если Cl ± Q , то (,ClV @>)А ^ (LV (Ь Л С) Для всех а,Ь3 С е V
Построенная нами топология Т и определения 2.2.8, 2.2.9 используются в формулировке и доказательстве основной теоремы:
Теорема 2.2.10. Следующие условия эквивалентны: (1) (А \.) - топологическая О J алгебра; (2) А - конечная О J - алгебра, и ее центр 2(A) топологическое полуполе; (3) логика Уд идемпотентов из А модулярна булева алгебра центральных идемпотентов V* д топологическая.
Основную роль в доказательстве теоремы 2.2.10 играет следующий результат:
I е м м а 2.2.12. Если А - конечная О J - алгебра, то на логике Л7д 8е идемпотентов существует функция размерности со значениями в полуполе С. (, И С V»)) .
В заключение в теореме 2.2.14 доказывается единственность Л. - топологии в топологической О J - алгебре, откуда следует непрерывность операций в Ц. - топологии (следствие 2.2.15) и замкнутость множества А.+ всех неотрицательных элементов в Я - топологии (следствие 2.2.16).
Последний параграф - 2.3 - посвящен вложению топологической, 01 алгебры в универсальную топологическую 0Л~ алгебру. Основной. теоремой в 2.3 является
Теорема 2.3.1. Для любой топологической 0J-- алгебры (A,-t) существует единственная с точностью до изоморфизма универсальная топологическая 0J - алгебра (АД) такая, что Д изоморфна заполненной подалгебре А .
В доказательстве теоремы 2.3.1 универсальная тополо-гическая 0 J - алгебра Ц Д) строится как пополнение Д в топологии 1 При этом используется
Лемма 2.3.2. В топологической СИ - алгебре (к) множество Вл^^Х^А*. || Ос || ^ % \ полно относительно равномерности, порожденной R, -топологией і .
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [48 - 52] . В работе t49] Ш.А.АюповУ-принадлежит общая постановка задач и результаты 1-3; диссертантом получены результаты 4 - 7. В работе [48} Ш.А.Аюпову принад^-лежит ростановка задачи; диссертантом получено ее решение.
Результаты диссертации докладывались на городском семинаре при кафедре функционального анализа в ТашГУ им. В.И.Ленина (1980-1984 гг.), на семинаре "Теория упорядочен- ных алгебр и ее приложения в квантовой теории вероятностей" при отделе функционального анализа Института математики АН УзССР (1980-1984 гг.), на конференциях молодых ученых ТашГУ (1982,1983 гг.), на ежегодных конференциях молодых ученых Института математики АН УзССР (І980-І984 гг.), на шестом международном симпозиуме по теории информации (Ташкент, сентябрь 1984 г.), на семинаре по функциональному анализу при кафедре математического анализа МГУ,
Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю Шавкату Абдуллаевичу Аюпов^. за постановку задачи, постоянное внимание и помощь при работе над диссертацией.
Вещественное скрещенное: произведение вещественной алгебры фон Неймана на автоморфизм
Йордановы алгебры были введены в 1934 году в работе Йордана, фон Неймана и Вигнера [ 32] в целях алгебраического описания множества наблюдаемых в квантовой механике. После этого длительное время в алгебраической переформулировке квантовой механики использовались алгебры фон Неймана, и йордановы алгебры изучались с чисто алгебраической точки зрения (см., например, [16, 31] ).
В 1947 году Сигал предложил отождествить множество наблюдаемых с элементами некоторой равномерно замкнутой йор-дановой алгебры. Это впоследствии стимулировало интерес к йордановым алгебрам; В середине 60-х годов в работах Топпин-га І46] и Штёрмера 140] впервые были рассмотрены неассоциативные аналоги алгебр фон Неймана - J\f - алгебры, т.е. слабо замкнутые йордановы алгебры самосопряженных ограниченных операторов в КОМПЛЕКСНОМ гильбертовом пространстве. Структура этих алгебр оказалась близка к структуре алгебр фон Неймана, и в изучении JW - алгебр оказалось возможным применить идеи, сходные с идеями теории алгебр фон Неймана. В работе Топпинга [46] была получена начальная классификация J \/yf - алгебр по типам I , \ , ,, а в работах Штёрмера [42, 431 и Ш.А.Аюпова [7, 8, 24] была . решена проблема о связи типа JW - алгебры и типа её обертывающей алгебры фон Неймана, а также изучены JW - алгебры типа I Возникла задача изучения J\J - алгебр типов. В работе [421 Штёрмер доказал, что всякая J]rf - алгебра А типа Ц или Щ изоморфна прямой сумме А с Ф А г - алгебры А = It (AQ) СД » являющейся самосопряженной частью алгебры фон Неймана lt(Ac и ]]/{ - алгебры Au RiA N». » являющейся самосопряженной частью вещественной алгебры фон Неймана R (А \ » т.е. вещественной - алгебры ограниченных линейных операторов в комплексном гильбертовом пространстве, замкнутой в слабой (операторной) топологии и обладающей следующим свойством:
Таким образом, задача изучения JW - алгебр типа \\ и Щ в существенном редуцируется к.изучению вещественных алгебр фон Неймана типа Е и [И . Поскольку с каждой вещественной алгеброй фон Неймана единственным образом связан некоторый инволютивный - антиавтоморфизм обертывающей алгебры фон Неймана, то при изучении вещественных алгебр фон Неймана необходимо изучать и инволютивные - антиавтоморфизмы алгебр фон Неймана. Используя результаты Джиордано L291 по классификации инво лютивных # - антиавтоморфизмов, Ш.А.Аюпову удалось получить полное. описание так называемых инъективных J\s[ - Факторов [10] . Следующим естественным шагом в этом направлении является изучение вещественных алгебр Фон Неймана типа (II , не обязательно инъективных.
Одним из значительных результатов теории алгебр фон Неймана является построенная А.Конном классификация G" -конечных факторов фон Неймана типа Щ. по типам 111 л , О . Я. і , и дискретное разложение факторов типа 1Н , Вызывала интерес возможность построения для вещеитвенных факторов фон Неймана типа Щ аналога дискретного разложения. Решению этого вопроса посвящена первая глава диссертации. В связи с дальнейшем обобщением понятия JW - ал гебры, построением теории интегрирования на йордановых ал гебрах и ее приложений к вопросам некоммутативной теории вероятностей, в работах Ш.А.Аюпова был введен класс упоря доченных йордановых алгебр 03 - алгебры. Эти алгебры включают в себя также йордановы алгебры неограниченных самосопряженных операторов и являются неассоциативным аналогом алгебр измеримых вещественных функций на пространствах с мерой. Более обще, 0 J - алгебры являются неассовдатив-ным аналогом полуполеи, введенных в работах М.Я.Антоновского, В.Г.Болтянского и Т.А.Сарымсакова (см., например, [II ). Одним из основных результатов теории полуполеи является теорема классификации, или теорема о вложении всякого полу-поля в универсальное полуполе Li] . В связи с этим возникает задача вложения О J - алгебры в универсальную 0J - алгебру. В отличие от полуполя, не всякая 0J - алгебра вкладывается в универсальную О J -алгебру. В этом направлении Ш.А.Аюповым был получен ряд результатов; в частности, в работе til] им было построено вложение одного класса 0J -алгебр - модулярных J&"W - алгебр в универсальную 03 - алгебру неограниченных элементов. В теории полуполеи и их некоммутативных аналогов -0 - алгебр - для построения вложения часто применяется пополнение исходного полуполя или исходной 0 - алгебры по равномерности, порожденной топологией сходимости по мере (или Я - топологией) [і, 20-22 1 Естественным было построение на более широком классе О J - алгебр, чем модулярные JBW - алгебры, аналога ft - топологии, и использование этой топологии для вложения исходной 03 - алгебры в универсальную О J - алгебру. Этому кругу вопросов посвящена вторая глава диссертации. В диссертации решены следующие задачи: - введено вещественное скрещенное произведение веществен ной алгебры фон Неймана на ее автоморфизм; - выделены классы вещественных факторов фон Неймана типа [її, 0 Я 1 , для которых существует дискретное разложение, и построено это дискретное разложение; - получены условия изоморфизма таких факторов в терминах вещественных скрещенных произведений; - в О J - алгебре построена R_ - топология; - выделен класс О J - алгебр, в которых существует - топология (класс топологических О J . - алгебр); - построено вложение топологической О J -.алгебры в универсальную топологическую О J - алгебру. При изучении вещественных факторов фон Неймана типа (Д мы используем методы теории операторных алгебр. При исследовании топологических О J - алгебр используется техника теории йордановых алгебр и теории упорядоченных пространств.
Дискретное разложение вещественных факторов типа
Пусть А—0J- алгебра, V, - логика ее идемпотентов с нулем о и единицей U ,2(А)- центр алгебры А Пусть на А существует отделимая топология t , относительно которой А - топологическое векторное, пространство. Пару СА ,t) будем.называть топологической 03 - алгеброй, а топологию & - топологией, если выполняются следующие условия: Р 1. Для любой окрестности нуля W существует такая ("нормальная") окрестность нуля VcW , что: Р 1. Для любой сети идемпотентов { , убывающей к нулю , — - О РЗ- Пусть е Л о Уд , — 0 . Тогда для любой сети {х \ элементов из А сеть { Х 6. I топологически сходится к нулю. Примером ассоциативной топологической 0J - алгебры является топологическое полуполе 11} ; примером специальной топологической 03 - алгебры является эрмитова часть топологической 0 _ алгебры 120 - 22} с введенным на ней симметри-зованным произведением. Более общий пример мы разберем ниже. Исследуем свойства R - топологии.Теорема 2.1.1. Б топологической 0 J - алгебре:Д . 1) если OC 0 , то I ОС I —=- 0 2) операция б. V Q , где , g є. V» , непрерывна в нуле по каждой из переменных. Доказательство. I) Пусть Ос — 0 , т. :е. для любой "нормальной" окрестности нуля V существует с 0 такое, что при Ы Ы.0 X , . И пусть Эс = ССЫ S , где $ - симметрия полярного разложения 0СЫ .В силу аксиомы Рі, I Хы I е "V при ol % ol0, т.е. 2) Пусть 9Є" » где Y - "нормальная" окрестность нуля. Тогда, по теореме І.І.26,1 =(D_\/Q _п)/ (р_- Є.ЛСІ) через симметрию, а В.-б-Лй б.еУ Тогда, по аксиоме Рі,Є-Є.Лає\Г и єУ, и &v$ =-v eV +V. Определение. 03- алгебру А назовем О J - алгеброй счетного типа, если любое попарно ортогональное семейство идемпотентов в А не более чем счетно. Исследуем топологические алгебры счетного типа. Теорема 2.1.2. Если А имеет счетный тип, то: I) существует Wk \ - система таких окрестностей нуля,что 2 {Є А Л0 гдв V(Ob - топология Доказательство. Пусть А 0]- алгебра счетного типа. I) Выберем замкнутую окрестность нуля Ц в САЛ » не содержащую II , и построим последовательность замкнутых окрестностей нуля {UVa\ так, что теореме 2.1.I операция взятия наименьшей верхней грани в логике идемпотентов непрерывна в нуле, то&1еД1 , и Q fl Если 4= 0 , то выберем замкнутую окрестность нуля V± так, что б f. Vi , и построим последовательность замкнутых окрестностей нуля {Уи1 так, что Продолжая этот процесс, видим: уЦ Е.1?В2 25...,ив силу счетности типа А $ процесс кончается на счетном трансфинитном числе, и мы получим последовательность окрестностей нуля {"МуЛ такую, что И 2) Из аксиом р - р сразу видно, что в VA С) топология сильнее индуцированной из А Л - топологии. С другой стороны, если и- 0 , сУд , то - eW n \/д при VL У/ .К ( , и Q. п —\ 0 по построению ( и . Теорема 2.1.3. CA,t) метризуема тогда и только тогда, когда Д. - счетного типа. Доказательство, Если CA,t) метризуемо, и {Ци1- базис "нормальных" окрестностей нуля в (А,"Ь) ,то любой набор попарно ортогональных идемпотентов из А \ Ц конечен, иначе он. (о)- стремится к нулю, и тогда t - стремится к нулю. Поэтому А счетного типа. Пусть САД) - топологическая 0 J - алгебра А - счетного типа и (WKi - построенная в теореме 2.1.2 последовательность окрестностей. Будем считать, что "Wn+4 + Wn+1cWft и что WK \ "нормальные". Ш покажем, что { тг1лГи \ образует базис окрестностей нуля в САД) Для этого достаточно показать, что если Х е: —V , то Хк— - 0. Рассмотрим идемпотент Біш].єУдІ ( Эс у, \ & "р[ Он совместен с Эс. и - уг0с \, так что п W и 6 — 0 по построению {Ал[,Л
Существование и единственность Я- топологии
Так как элементы Сі3Ь , Q , Ь , ob попарно совместны, то из доказанных выше свойств вытекает, что (0&) Cf 6" и что элементы Cf\ b"S ССГ1)і=ь(а4Г Сб"Мг r х: С № у -, а" Ь [ = (О Ь f попарно операторно коммутируют. Тогда из предложения 2 3 гл. Ш 1.16] вытекает, что элементы Of1 и & 1 совместны, и лемма доказана. Продолжим доказательство теоремы 2.3.1. Рассмотрим А0 - произвольную максимальную сильно ассоодативную подалгебру А л А .Б силу непрерывности умножения в топологии х в А Л. . Л. . подалгебра А0 замкнута. Пусть .-СХЄА0 . Ct /0 \ . Множество элементов вида С ll-voc. V , х 3v- содержится, , как было доказано выше, в А Так как е Х А0 совместны, то по лемме 2.3.3 семейство Hfl OC.y,;eCfcJ совместно. Пусть А о - максимальная сильно ассоциативная подалгебра А , содержащая это семейство. Очевидно, что в индуцированной из (A,t) топологии А0 будет топологическим полуполем. Если А0 - замыкание А0 в А , то в силу полноты А , А о является полным топологическим, полуполем, и согласно tl] , универсальным полуполем. Очевидно, А о сильно ассоциативно в А Покажем, что А0 Ао.Таккак А0 максимальна, достаточно проверить, Пусть ОС Є 3\. , тогда ( t -v ЭС.У є: А 0 по определению А 0 .Носитель $ элемента == С И " ОС)" равен единице; в самом деле , - 131 применив к этому равенству оператор U 4 х "U , получим: И - ЬСЛ 0 Так как в универсальном полуполе всякий элемент с носителем, равным единице, обратим, то в . полуполе А о существует ЗГ1 Б силу единственности обратного элемента в йордановой алгебре, {[ + ОС. Х -А0 т.е. X Є А о и тоги8 А0 Но Д любого X є А0 имеем: Мы доказали, что всякая максимальная сильно ассоциа А тивная подалгебра А является универсальным полуполем. Б частности,-выполнены аксиомы 3) и (II) О J - алгебры А для А Проверим выполнение аксиомы (I) 0J- алгебры,. Пусть OCj V - возрастающая ограниченная сверху последовательность в А (можно считать,что 0-Х -ЭС для всех ). Существует 01-( + ОС)"1 Є А В силу положитель ности оператора 1) в А » и значит, в А сеть ["U CX l возрастает и ограничена сверху элементом \Ja st4-vCt rlX J. Следовательно, { UQIX ) с А, и поэтому в А существует Ь - SUJO \J СХ ) . Тогда, очевидно, элемент X л "U л ( N =: "U л С & ) является точной верхней гранью для х ,1 Покажем, что Х Х0 Обозначим U. Ясно, что Ц, { 0 Обозначим через идемпотент - 132 -Ясно, что для любого t у 0 ,, - 0 , так как И t І Но тогда б. О , и по лемме 2.2.13 11 0 , т.е. QCX ) Ь Так как умножение в А непре рывно в і , то Л Если теперь Ч є А и U - — ЭС для любого ы. , то в Л силу непрерывности умножения в А » замкнутости максимальных сильно ассоциативных подалгебр в топологии і и 4 того, что Х 9- ЭС0 , вытекает, что V —» Соэ л что доказывает выполнение в А аксиомы (I) О J - алгебры. Таким образом, доказательство теоремы окончено.
Вложение топологической 03 - алгебры в универсальную топологическую О J -алгебру
Мы доказали, что если $. и . эквивалентны через симметрию, то Q. V/ а1 I V а1 , Q, А . jj. Л Ql = 0 } т.е. Q. 5 перспективны. Так как отношение перспективно сти транзитивно, отсюда вытекает, что если Q. , JL эквива лентны, то они перспективны. . . Доказательство теоремы 2.2.10. 1) 2) Рассмотрим последовательность попарно ор тогональных, попарно эквивалентных идемпотентов { б. и 1 Так как они попарно ортогональны, то они попарно совместны, и все лежат в одной максимальной сильно ассоциативной под алгебре, т.е. в одном, полуполе. Тогда 6. п 0 ) в силу аксиомы 1 ,. & 0 и так как они попарно эквивалентны, то в силу аксиомы р { , То, что центр топологической О J - алгебры - топологическое полуполе в индуцированной топологии, очевидно. 2) = 3). Следует из леммы 2.2.П и теоремы 2.I.I. 3) = I). По лемме 2.2.12 в случае модулярности логики \J на ней существует центрозначная функция размерности. Центр %(К) 03- алгебры. А является поду полем, у. которого идемпотенты образуют топологическую булеву алгебру. Следовательно, в 2(А)существует ft. - топология III . Тогда искомой g_ - топологией в О J - алгебре А будет построенная по этой функции размерности Т (см. теорему 2.2.7). Доказательство теоремы окончено. Докажем, аналогично t20-22} , единственность ft. - топологии, в топологической 03 - алгебре. Рассмотрим для ХєА его спектральное семейство і - I Идемпотент 6.. обозначим через & х Ясно, что . «=—?- ОС и Лемма 2.2.13. Пусть Ос \ - оеть элементов из Д . Тогда г Л_ь 0 v —- 0 для всех t 0 . Доказательство. Если Х 0 , то по теореме 2,1.1 \Х,\ 0. Поскольку ._. 0C,L то по аксиоме Pi , в О для любого 0 . Обратно, если , 0 при всех S. 0 , то для произвольной окрестности нуля Y мы можем выбрать "нормальную" окрестность нуля IX такую, что IX + LI c\f Зафиксируем g. 0 » для которого L і . ТД, . Тогда ІХ Іе1 eft при всех ol и, т.к. [ос [& — - 0 по аксиоме Р 3 , то при і ы 0 =о 0 ( LC) имеем; \X.\6V е. U. . Тогда ІХ . \ Є U + U с V при оі Уу оі 0 и Зс 0 . Теорема 2.2.14. Если (,А ДД и САД2) -топологические О J - алгебры, то t 1,L . Доказательство. Из леммы 2.2.13 видно, что достаточно показать, что С-.. — 0 тогда и только тогда, когда Q 0 , где V с V. Если А алгебра счетного типа, то в силу теоремы 2.1.2, й -Іц, о Ф= Є. - -» 0 «= е - О, где . Т —(,0)- топология. В общем случае логика идемпотен-. тов V. аналогично теореме 4[І9,с,88])разлагается в прямую сумму подлогик, центр которых - булева алгебра счетного типа, и тогда сами подлогики - счетного типа. Тогда индуцируемая из (АДл и CA, t0) Б ка ДУю подлогику - 121 -счетного типа JJ. - топология метризуема, и в ней Поскольку сумма подлогик прямая, то теорема доказана Следствие 2.2.15. Всякая топологическая 0J-- алгебра А является топологическим кольцом в R. -топологии. Доказательство. Достаточно вспомнить,что А является топологическим кольцом в топологии сходимос ти по функции размерности (следствие 2.2.6) и использовать единственность . R - топологии (из доказательства теоремы 2.2.10 видно, что в топологической О J - алгебре & топология сходимости по функции размерности существует всегда). . Следствие 2.2.16. В топологической 0J- алгебре множество А всех неотрицательных элементов замкнуто. Доказательство. В силу единственности - R - топологии, используем базис Ц С ,V) , О ,VC 2. (А) Пусть Х А . и -О - такой идемпотент, что . "\JpCxy . lLfc для некоторого L О . Существует окрестность нуля "W" в QA,!) такая, что для всех C cW, С Є VA -=$ с 1 АЄ +0 , (иначе можно построить сеть О , V с \Л такую, что Q і Л 0, d CQ ,) — 0, что для = 0 невозможно, т.к. (у Ле «-О =5» с4(ЄЛ cSCQ )) .
