Введение к работе
Актуальность темы. Одним из важних направлений в развитии математического анализа является распространение результатов, полученных в условиях богатых структур, на структуры менее богатые. Существенное место здесь занижают различные обобщения и расширения классических теорем о непод-
_ _ і * . ' '
жат ду.Иїаудеру, А.и.[тонову и др. Известно, что в Ц'плц/лнгыь-ном анализе вопрос о разрешимости уравнений" часто приобретает форму теорем о неподвижных точках операторов.
Отметим, что в засимости от структуры X и свойств оператора f:X~*~X получаются те или иные результаты /или принципы/ о неподвижных точках. Для подавляющего большинства теорем о неподвг-'лннх точках предполагается непрерывность оператора. Однако, если X - частично упорядоченное множество /ч.у.-множество/, то в некоторых случаях требование непрерывности можно опустить. Выдели:..,в частности,теорему Гиркгоса-Тарского, которая дает достаточное условие существования неподвижной точки изотон-ного оператора /т.е.оператора,сохраняющего отношение частичного порядка/ условно полно.: решетки. Указанная теорема наряду с принципом акимаших отображении и принципом Шаудера используется для ршсния нелинейных уравнение; она применяется также при исследовании операторных уравнений в частично упорядоченных пространствах, причем позволяет обойтись без использования метрических или топологических свойств этих пространств.
Для нахождения неподвижных точек такого широкого класса операторов, каковыми являются изотопные операторы, еще Ш.Э.Пикар
в своей фундаментальной работе [і] указал на полезность метода последовательных приближений. Позднее этот метод был значительно развит в классической работе Л.В.Канторовича [2] .
Проблеме существования неподвижных точек и общих неподвижных точек изотонных операторов посвящены работы М.А.Красносельского и И.А.Бахтина.
Из сказанного ясно, что исследование изотонных операторов некоторых конкретных типов ч.у.-множеств и, в частности, нахождение неподвижных точек таких операторов играет важную роль в . математическом анализе. Более того, иногда и произвольные опера тори какого-либо множества в себя могут служить основой для построения содержательной теории анализа. Так, например, А.А.Марковым в работе [з] на множестве коммутирующих операторов заданного множества в себя доказано существование вещественного функционала с целым рядом интересных свойств.
Среди изотонных операторов выделим операторы замыкания. Эти операторы встречаются во многих разделах математики и их примеры весьма многочисленны. За последнее время операторы замыкания на решетке изучались С.Л.Эдельманом, а решетки операторов замыкания - В.Дэиком, Р.Сушко и С.Сурмой.
Предлагаемая диссертация посвящена исследованию некоторых
-
Picard . Memotre шг ia tkeor-ce des equations, auz derivees pariielte*, el a raelAode des approximaiio/ii бес -CeXiftS//y.MaiA., (4) , 6 (l890), p.145-210.
-
Kdniororick l.V. ffiLe method 0/ iucceaire aprocci/nuUmi far ^Actional efuaiions //Acta ЛШк ., юзэ, 1Ґ .?1,р.б9-УЗ.
-
Марков А.А. Некоторые теоремы об абелевых множествах // ЛІАН СССР, т.1 (l), }f 0 /05/, С.29У-302.
операторов замыкания на ч.у.-множествах, элементами которых являются конкретные алгебраические объекты. Значительная часть полученных здесь результатов относится к нахождению неподвижных точек изучаемых операторов.
Пусть *%[ и Ж - некоторые классы полугрупп, причем ^ <=, *$ . Подкласс всех полугрупп из еГ , кадцая из которых решеточно изоморфна некоторой полугруппе из est , назовем ре-шеточным замыканием і^шсса
ііеєдєм следут/цие обозначения: Jt - множество всех классов
непериодических полугрупп; Со - і.'нот.єство всех классов ком
мутативных полугрупп без идемлотентов. Известно, что для лю
бого вмполняется . Поэто.ч.у определим оператор
L:&~~~ & <ледупт,им образом: L,(oX) - $/ для л»бо-
rofJl^tt L будет оператором замыкания на ч.у.-множестве
dt Аналогично, поскольку щС JJ для любого ЩС^-Л ,
то опрпдач,"," онсрчтор L : jd~^~ JO по правилу: /, (WT) « ffil.
к/ будет оператором замчкания на ч.у.-множестве Л . Опера
торы к, и /л, назовем операторами решеточного замыкания.
Работи F.В.Петропавловской, Л.ГГ.Шевряна, В.А.Баранского, Л./.Свсянникопа и др. позваїявт привести ряд достаточно глубоких результатов для операторов L и L . Так, например, могут бить на.щены значения оператора L на классах, все полугруппы которых с сокращением и удовлетворяют некоторым дополнительным условиям, а также на классах, все патугруппы которых разло-
яшмы в свободное произведение. Для оператора I, можно указать значения на классах, состоящих из коммутативных архимедовых полугрупп без вдемпотентов.
Однако, несмотря на имеющиеся результаты для операторов L и /, , их значения на многих важных классах полугрупп остаются неизвестными. Отмеченное обстоятельство делает актуальной задачу дальнейшего изучения этих операторов.
Цель работы. Исследование значений оператора L на классах полугрупп следующих типов: 1/ класс полугрупп без вдемпотентов, разложимых в полурешетку полугрупп, в которых ни один элемент не является собственным делителем самого себя; 2/ класс полугрупп без вдемпотентов, разложимых в полурешетку полугрупп, в которых ни один элемент не является ни левой, ни правой единицей для другого элемента; 3/ класс коммутативных галоидных полугрупп без вдемпотентов, все ординальные компо -ненты которых наследственно ординально неразложимы; 4/ класс полугрупп с сокращением, не являющихся группами.
Исследование значений оператора /, на классах коммутятив ній галоидных полугрупп без вдемпотентов.
Научная новизна . Бее результата диссертации являются новыми.
Практическая и теоретическая це н о с т ь. Работа носит теоретический характер, а ее результа ты могут быть использованы в дальнейших исследованиях операто ров решеточного замыкания L и Lc .
Апробация работы. Основные результаты диссеї тации докладывались на Международной конференции "Полугруппы: теория и приложения, включая полугрупповые кольца" /С.-Петербург, инш. l'j'jSr./, на научных конференциях "Гсрценовские чт?
ния*'/С.-Петербург, 1991-19Э4Г.Г./.
П y 6 л и к а ц и и. По теме диссертации опубликовано 7 работ, список которых приведен в конце автореферата.
Структура работы. Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы.
