Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. О сильном суммировании по прямоугольникам
1.1. Обозначения, определения 26
1.2. Равномерное сильное суммирование 33
1.3. О некоторых неравенствах, связанных с (Н7К) суммируемостью простых тригонометрических рядов Фурье 49
1.4. О сильной суммируемости почти всюду кратных тригонометрических рядов Фурье и сопряженных рядов. 67
ГЛАВА II. О сильных средних типа И.Марцинкевича
2.1. Аппроксимативные свойства сильных средних типа И.Марцинкевича 86
2.2. Об экспоненциальных сильных средних типа И.Марцинкевича 105
ГЛАВА III. О суммировании кратных тригонометрических родов Фурье линейным методами
3.1. Об оценках приближения функций мультипликативными линейными средними, выраженных через наилучшие приближения квазиполиномами 117
3.2. О прямоугольных суммах Валле Пуссена 128
ГЛАВА ІV. О поведении сопряженных тригонометрических рядов и степенных рядов
4.1. Некоторые утверждения о кратных числовых рядах.. 134
4.2. Об ограниченности сходящихся средних кратных функциональных рядов 156
4.3. О теоремах А.И.Плеснера, И.Марцинкевича- А.Зигмунда 166
ГЛАВА V. О сопряженных функциях
5.1. К задаче П.Л.Ульянова о существовании сопряженных функций многих переменных 194
5.2. К задаче М.Гусмана о максимальной функции Харди-Литтлвуда 213
5.3. К задаче Л.Лейндлера о сильной аппроксимации рядами Фурье и классах Липшица 238
Литература 248
- О некоторых неравенствах, связанных с (Н7К) суммируемостью простых тригонометрических рядов Фурье
- Об экспоненциальных сильных средних типа И.Марцинкевича
- Об оценках приближения функций мультипликативными линейными средними, выраженных через наилучшие приближения квазиполиномами
- Об ограниченности сходящихся средних кратных функциональных рядов
Введение к работе
Диссертационная работа посвящается вопросам суммируемости кратных тригонометрических рядов Фурье и сопряженным функциям. Она состоит из введения и пяти глав.
В главе I рассматривается вопрос сильной суммируемости по параллелепипедам.
В 1.1 приведены обозначения и определения, которые используются в дальнейшем.
В 1.2 изучено равномерное сильное суммирование кратных тригонометрических рядов. В одномерном случае равномерной сильной суммируемости посвящено много работ. Сначала Харди и Литтлвуд[72]
показали, что для любого -feCCT4), Т=["*ЇЇ»5ї] и К>0
* -MZIft*)-sn(f>*)fl=o
m-»oo m+i
n=o «о
Далее, в работах [59] , [79] -[84] , [l07] , [l08] , [9l] , [l04] , [77] и других была найдена взаимосвязь между скоростью стремления к нулю при№-»оо, величины m
zDf(*)-Sn(f,x)lVn
П=0
и порядка гладкости функции -f ,где (Ctm,n) -некоторая положительная матрица. В многомерном случае сделано значительно меньше.
Пусть Ч,У \ 7 I ljyf -множество всех непустых подмножеств множества Jn =\^у ' > « } Будем говорить, что матрица A = (Дт>?), Ш,0б 2 о принадлежит классу Ал/^ ,если О~т^%0 и ее элементы для любых ПГ),По ' Е> 6 П.кг Удовлетворяют следую-
щему неравенству
'В
ь
где =(1,--4 1) ,а ^е, обозначает точку (Oi*-**?\V) » "0j - ^j при j «а Б , Oj = о при j 6 Я \ В = СВ .
Справедлива
Теорема 1.2.2. Пусть f ССТ**) »матрица Д = (GLmj4,) принадлежит классу Д ^ Тогда для любого К +
f(*)~S,(f^|KV^
0 = 0
*(***) 0*« ZZ(2ZEh.(f))afclV,
где t_ пі vТ/ -частное наилучшее приближение функции j- тригонометрическими полиномами порядка ^П; по переменной X: коэффициентами которых являются непрерывные, 23Г -периодические функции от остальных переменных Я^>ІС{<ІЬ а Э^лъ -положительная константа, зависящая лишь от индексов.
Ввиду того, что элементы матриц, соответствующие логарифмическим средним, средним Чезаро, Абеля и других, удовлетворяют неравенству (В.І), из теоремы 1.2.2, в частности, можно получить,что ряд Фурье функции f C(J*0 равномерно суммируется перечисленными сильными средними, а также оценки отклонения функции -р от этих средних.
Пусть
-б-
F4(Fn?):.e--F->-J^}
-А
Следуя С.Б.Стечкину [4б] , символом обозначим следующий класс функций
Теорема 1.2.2 окончательна в следующем смысле. Для каждого Г существует функция "feC(F ) такая, что для любой неотрицательной матрицы /\-(&пьп) и числа К>0 соблюдается равенс-
СІ)Л^
СО оо
У |K0)-Sh(f0)|KamJn=H(H Fh7 ) Л«,п
n=o n=o ^
B 1.3 получены неравенства, связанные с (Н»К) суммируемостью простых тригонометрических рядов. Эти неравенства, имеющие самостоятельный интерес, используются в 1.4.
Говорят, что ряд Фурье функции j-u(l ) сильно суммируется показателем К>0 ( (HjK) суммируем) в точке ЗС6-Т к значению уфс) j ели
Pim -і-y~|f(x)-S„(.sc)|K=o, Ш,Пб2І. (В-2)
Харди и Литтлвуд [72] доказали, что если ^LpCT/ j Р>^> то равенство (В.2) выполняется почти всюду на Т*
В работе [73] ими было показано, что существует функция -Р І_(Т) такая, что в некоторой ее точке Лебега Х0 для любого
K > О будет иметь место равенство
m fjm _i^y"|^(Xc),Sn(f,Xo)|K=co.
В той же работе [73] они поставили проблему: будет ли справедливо равенство (В.2) почти всюду, если -рби(Т) ? И.Марцин-кевич [85] положительно решил эту задачу в случае К- 2 , а А.Зигмунд [НО] , [III], для любого К>0 }При этом им была показана справедливость соотношения (В.2) и для сопряженного ряда.
Г.Саноучи [ЮЗ] дополнил результат А.Зигмунда следующим образом. Пусть -Рб1_р(Т)7 1^р^2 ,тогда для любого К]о, ~^г[
почти всюду
h=o
где ч = — , j(XJ-C>n It'^/ обозначает функцию у (x)-~6ri (fiK) или ее сопряженную, a 6 n (f i^O -Чезаровские средние порядка o(-i ряда Фурье функции -j- .
1.4 посвящен вопросу сильной суммируемости почти всюду кратных тригонометрических рядов Фурье и сопряженных рядов.
И.Марцинкевич [86] доказал, что если то для любого К>0 ряд Фурье функции -р почти всюду суммируется методом (HiК) ,т.е.
-Pim —L_ у lfCx)-Sn(f,x)lK=o,m,ne^. (5.3)
С другой стороны, из одной теоремы С.Сакса (см.[351 ,стр.463)
вытекает, что для любой заданной положительной, возрастающей на ]0,[ и имеющей порядок О (її(frill) ~ ) при Ъ-*оо функции ^f существует положительная функция -р^(і_дТ ) »для которой равенство (В.З) не имеет места в каждой точке f" , если К^1. Итак оставалось выяснить, что происходит в классе функций ^(L)(T) когда
Jf-i/
+ » ^+V-rX*'
L(fo+L)' CT^J с y(L) с ЦЇЛ)" *(т*).
Оказалось, что если ,то ряд Фурье
функции ]- и все сопряженные тригонометрические ряды (Н,К) суммируемы почти всюду. Этот результат вытекает из следующей более общей теоремы.
Теорема I.4.I. Пусть 1 р< 2 , К ] О, -— [ , с\ = ~ - Є,
m>/o ^ ПСт^+і) h=0 /
С4-Є).
где О n C| jOC) -Чезаровские средние порядка o{- Фурье функции или ее некоторая сопряженная. Тогда а) если f L^(TX),^>P .то
ряда
DC
б) если ^е1_Р(?Л) (Т'О^рато
[t^mco] [^Тр1Ктсзс)]Чх<
-^
в) если fel_p(-Ph+L) » % + ? .
Следствие 1.4.2. Пусть f 6 Lp(VL)^(1^) > 1^ р<2, К Є^СЬ —j- [ . Тогда почти всюду на ~\^ имеет место следующее равенство
Теорема 1.4.1 в случае, когда jf=i-> K-Z> была получена Е.Стейном [100].
Из следствия 1.4.2 вытекает вышеотмеченный результат А.Зигмунда [ПО], [III] и Г.Саноучи [103] .
В главе II рассмотрены сильные средние типа И.Марцинкевича.
И.Марцинкевич [87] в случае «W=2 впервые рассмотрел следующие средние
n=o
называемые впоследствии средними И.Марцинкевича. Им было показано, что если у С СТ2") » то
fim lf(x3-6m.e(f,x)lc(T2) = 0
\П-*оо
Впоследствии Л.В.Жижиашвили [28], [29] , Р.Таберский [іОб] , М.Ф.Тиман-Г.Гаймназаров [50], М.Ф.Тиман-В.Г.Пономаренко [51] исследовали порядок отклонения сумм вида
(i-t)J~5h.e(f^)ih > о<^і ,
П=0
Yl Sn.e(f»«)ain,n, m.neZt
n=o
от функций двух переменных, где (,&fn,h) -треугольная матрица, удовлетворяющая некоторым условиям. Отметим, что все вышеприведенные результаты относятся к двумерному случаю. Л.В.Жижиашвили на руководимом им семинаре неоднократно ставил вопрос о справедливости вышеприведенных результатов, когда размерность <${>2.
Сильными средними типа И.Марцинкевича называется следующее выражение
If^-S^C?'^! amw ' m'n6Z» ' K?0'
где /\ 6 Z+ ,а (&mw) -неотрицательная матрица.
В 2.1 изучены аппроксимативные свойства этих средних.
Справедлива
Теорема 2.1.2. Пусть матрица
(amw)/Wa- Тогда
-II-
fc^)-S^(f>x)|KaWf^
0=-0
ч>=0
УС KiN г -і К
где u»).o(f/~ наилучшее приближение функции -j- тригонометрическими полиномами порядка ^П- ^j по переменной ОС; , j 6 j{" в пространстве
Отметим, что условию (B.I), когда «N=4 0n,\)6ZoJ удовлетворяют элементы достаточно широкого класса матриц. Например, оно выполнено для некоторого *17\ ,если для каждого фиксированного ft последовательность {.G-m,v5^=o пРинаДлежит классу /\ «введенному Д.Л.Ульяновым[53].
Из (В.4) можно получить оценки, найденные в работах [28] , [50] , [51], [Юб].
Пусть А 6 2 + , \>620 7 Гп-^ІО'
Теорема 2.1.2 окончательна в следующем смысле. Для любого Л 2-а- и последовательности Г^.^10 7 ^?6 2: 0 существует функция j Є С (R\,«к") такая, что для любой неотрицательной матрицы /\ —(Q-mw) ? frb\)6 2о и чисел ЮОэП^О будет выполняться равенство
оо о
\u^-^.sm\^IL(^J^-
0=П Л = П
B 2.2 рассмотрены экспоненциальные сильные средние типа И.Марцинкевича.
Скажем, что функция Ч^ принадлежит классу Y >если она положительна и не убывает на ]о,[ и
Пусть
^(f,%A,x)=-i7^^(|f(x)-S^(f,x)|). Св.5)
>?=0
Показано, что если ^fiY^^K и
f і щ ^: oo 7
гі-»с*> ^(гі)
то из равенства
"fim -^(^4-,^)= о, (в.6)
ГУ1->сю
выполняемого в некоторой точке Х=ХбТ или равномерно на множестве Е С "|" вытекает справедливость равенства
?Ы т(МЛ,х) = 0
соответственно, в точке Х=Х или равномерно на множестве Е. Поэтому утверждение будет тем сильнее, чем для более быстро расту-
щей в бесконечности функции І^^ х будет доказано равенство (В.6). В этой связи доказаны следующие теоремы.
Теорема 2.2.1. Пусть ^"Y и соблюдено следующее неравенство
_1
?im ^>(U)U <оо .
Тогда для любой функции f 6 С(Т ) и !\6z: + будет выполнено равенство
ftm 5«лр -Km(f,exp(f)-4,^,3c) = o.
Теорема 2.2.2. Для любой функции ^6. 1J/ удовлетворяющей условию
_i.
\f if
существует функция такая, что для любого i\^Z + най-
дется точка х6 ! ,в которой
Тт -Sm(F,exp(-f)-i,A,x0) =оо.
Результаты главы II являются новыми и для одномерного случая.
В главе III изучены аппроксимативные свойства мультипликативных линейных средних кратных тригонометрических рядов Фурье. Оказалось, что зная в одномерном случае оценки отклонения функций от линейных средних через наилучшие приближения тригонометрическими полиномами, можно в многомерном случае получить оценки
отклонения функций от мультипликативных средних через наилучшие приближения тригонометрическими квазиполиномами.
Пусть X -пространство Lp( I ),1^Р< ,или C(l ).Три-гонометрическими квазиполиномами степени M6Z пространства Л называется функция Tm X следующего вида
—ZT где Im-C3-) »в случае, когда ^?/ есть тригонометрический полином порядка М^ по переменной Х^ с коэффициентами, зависящими от остальных переменных Xj, , ІбіК" \{<Н ,а в случае, когда 1г\д<со > "Тгп - (х) = 0 - Пусть Р -множество тригонометрических квазиполиномов степени ^ ІП. Величину называют наилучшим приближением "углом" функции f степени її\ (см. [42] ) или наилучшим приближением функции -Р квазиполиномами степени W (см.[8] ). Рассмотрим мультипликативную матрицу /\-(.1 1_А^.)П.) . Матрицу Aj = (^m-,n;) называют составляющей матрицей матрицы А-Пусть элементы матрицы Л таковы, что для любых *f 6 X и уЄЛ имеют смысл следующие выражения: J f _ ' 2JL т u if,»)=— f c**±) n (л wOb^Kw) m (231) J Jejf n=-o Справедлива Теорема 3.I.I. Пусть для любого J имеют мес- то следующие неравенства где (а m:,h:) -неотрицательная матрица, а Eh-CPU - наилучшее приближение функции ЬеПхП&-о <№ Показано, что при соблюдении неравенств Z_am:,n: ^ ^Л; > (ІбХ теорема 3.1 Л окончательна в определенном смысле. В 3.2 обсуждается один частный случай теоремы 3.1 Л. Изучаются свойства прямоугольных сумм Балле Пуссена. Если будет выполнено неравенство то ввиду регулярности матрицы А ,ответ будет положительным. Итак, приходим к следующей задаче: найти достаточные условия, при которых из (В.8) вытекает справедливость соотношения (В.9) и охарактеризовать подмножество L.± Случай, когда Sn (эс) являются частичными суммами кратных тригонометрических рядов, был рассмотрен М.Эшом и Г.Уэлландом[б1] . Теорема А (А.И. Г1леснер[41], И.Марцинкевич-А.Зигмунд[88]). Если тригонометрический ряд суммируется методом (С70 3о( -4 на множестве С Ci » КіЕ О ,то и сопряженный к нему ряд суммируется методом (С А) почти всюду на с. В работах [9], [13] было отмечено, что существует двойной тригонометрический ряд Фурье, который сходится на множестве Е Т, р-я t 0 , однако все сопряженные ряды расходятся почти всюду на Е- Таким образом, аналог теоремы А, вообще говоря, не верен для кратных тригонометрических рядов Фурье. Впоследствии этот результат был усилен М.Эшом и Л.Глюком [62] .доказавшими существование непрерывной функции трех переменных, тригонометрический ряд фурье которой сходится почти всюду, а все сопряженные ряды расходятся почти всюду. Найдены дополнительные условия для того, чтобы из суммируемости кратного тригонометрического ряда методом (С ) о( -в на множестве Е.С-Т J KtfE 0 следовала суммируемость сопряженных рядов методом (С, ) почти всюду на множестве t Теорему А в одномерном случае можно сформулировать в следующей эквивалентной форме: если действительная часть степенного ряда суммируется методом на множестве то и мнимая часть будет суммируема методом (С 0 почти всюду на Е. В такой форме теорема А оказалась верной для кратных степенных рядов. Теорема 4.3.2. Если действительная часть ряда п=о суммируется методом (С 0їОІ -в на множестве Е Т і / уи 0 ,то и мнимая часть будет суммируема методом (С,0 почти всюду на . другие варианты многомерной теоремы А.И.Плеснера и И.Марцин-кевича-А.Зигмунда рассмотрены в работах [92] ,[23]. 5.1 посвящается решению задачи П.Л.Ульянова о существовании сопряженных функций многих переменных. где -(- обозначает сопряженную функцию по переменной Xj. А.Зигмундом [П2] было доказано, что если j6 L Ph+L(T2J »то почти всюду на Т существует Им же в работе [ИЗ] был поставлен следующий вопрос: существует ли для любого Ae[d,o[ почти всюду на Т следующий предел fim С , [f](X»,X2) (В-Н) если f Є ЦТ2)? Е.Стейном [101] и Л.В.Жижиашвили [30] ,[31] было доказано, что для любого 0 О существует функция такая, что (В.19) не существует почти всюду на 1 даже при А=1 Если учесть, что из существования (В.10) следует существо вание (В.II) для любого ,то получаем, что имеющиеся достаточные условия одинаковы для существования (В.10) и (В.II), причем эти условия неулучшаемы в определенном смысле. В связи с вышесказанным П.Л.Ульяновым (см.[31] ,стр.87) была -20-поставлена следующая задача: если для некоторого A U)t почти всюду на Т существует (В.II), то будет ли существовать (В.10) Т Ответ на эту задачу вытекает из следующих теорем. Теорема 5.I.I. Пусть f 1_(Т2) .Тогда почти всюду на существует Теорема 5.1.2. Существует функция уб1_(Т ) такая, что почти всюду на \ В 5.2 изучаются свойства максимальной функции Харди-Литтлвуда по параллелепипедам, дается решение задачи М.Гусмана об этих функциях. В последнее время появились интересные работы о максимальных функциях Харди-Литтлвуда по прямоугольникам (см. напр. [33], [36], [37] , [48], [63] , [69] ) Вопросу приближения функций линейными методами суммирования как в одномерном, так и в многомерном случае посвящено много работ. В этой главе рассмотрены мультипликативные линейные средние. В 3.1 получены оценки отклонения функций от мультипликативных линейных средних через наилучшие приближения квазиполиномами . В 3.2 обсуждаются аппроксимативные свойства прямоугольных сумм Валле Пуссена. 3.1. Об оценках приближения функций мультипликативными линейными средними, выраженных через наилучшие приближения квазиполиномами Пусть X -пространство Lp(T / l p oo или ОСТ ). Если ,то через llflx будем обозначать норму пространства Х- Не теряя общности будем считать, что если -j-бл , то для любого В Є lljf и фиксированных 0СсВ -р(схг) 6 X (разумеется, когда X BI=Lp(T ) ;d p c?o ). Кроме того, для любого j положим Пусть т X Как обычно, предположим Через ZAP -f &с) обозначим повторные применения операции ,когда j пробегает множество В C N - Следующее выражение называется смешанным модулем непрерывности функции у по тем переменным, индексы которых принадлежат множеству Ъ С}( Пусть Т -(х) 6 X является тригонометрическим полиномомстепени ІП; по переменному Xj с коэффициентами, зависящими от остальных переменных Х , [е. С { j ] ,если Тії-?/ О - Если же frj О ,то будем предполагать, что Т - (х) =0 Следующую сумму (см. 1.8] ) назовем тригонометрическим квазиполиномом степени frl. Через h обозначим множество тригонометрических квазиполиномов степени П7 т.е. Ее называют наилучшим приближением функции f "углом"(см. fl2]) или же, наилучшим приближением функции -f тригонометрическими квазиполиномами степени h (см.[8]). В дальнейшем будем пользоваться последним названием. Впервые 3lh(f/xs было рассмотрено М.К.Потаповым . М.К.Потапов [42] и Ю.А.Брудный [8] нашли взаимосвязь между Жь\их и (f _1) »т е» доказали прямые и обратные теоремы для приближений тригонометрическими квазиполиномами. Отметим, что вопрос о существовании тригонометрического квазиполинома наилучшего приближения в пространствах и сел остается открытым. По определению Ю.А.Брудного TmM -тригонометрический квазиполином ранга I степени ft). Поскольку будем пользоваться только тригонометрическими квазиполиномами ранга I, слово ранга I опускаем. Пусть задана мультипликативная матрица Д = \I I Ah- ,Kj) -= ( П)к)- Матрицы Лі-( Ah.)K-j,j=! X назовем составляющими матрицами матрицы /\- Пусть элементы /\ таковы, что для любых 6 X и -f 6 X имеют место следующие соотношения Доказательство. Сначала убедимся в справедливости следующего равенства Когда J4 — 1 ,тогда равенство (ЗЛЛО) тривиально. Его справедливость для любого натурального Л докажем методом индукции. Допустим, что равентсво (ЗЛЛО) справедливо для Jv = w. Легко проверить, что для любых 0C,t6j\ будет выполняться следующее равенство Следствие 4.3.1. Пусть ряд (т суммируется методом (С;0» с{7- на множестве t С , KiE O- Если для некоторого S6i T ряд ff суммируется методом (G 3+{s}) на множестве Е , то она будет суммироваться методом (С?0 почти всюду на Е. В самом деле, легко видеть, что из суммируемости ряда [у методом (С А+ {$)) на множестве Е вытекает справедливость равенства (4.3.19) почти всюду на множестве Е ,т.е. выполнены условия теоремы 4.3.1 почти всюду на множестве L. Следствие 4.3.2. Пусть ряд Q суммируем методом (С,0, Ск 6 на множестве Ec I » / хЕ 0 и B = {Si} - S,BJj )1 .Если выполнены следующие равенства то ряд (j будет суммироваться методом (C?0 почти всюду на множестве Ь Доказательство следствия 4.3.2 получается повторным применением теоремы 4.3.1. Теперь коснемся окончательности теоремы 4.3.1. Если условие 4.3.1. не выполнено, то теорема перестанет быть верной. Покажем это на примере. Разумеется, достаточно рассмотреть двумерный случай. Пусть заданы числа 0{1 л 0[я - \ ,а ряды оо обладают следующими свойствами: а) средние От (1) ряда (4.3.23) сходятся к нулю почти всюду и не все коэффициенты oh равны нулю. б) средние ют I D ряда (4.3.23) ограниченно расходятся почти всюду. Рассмотрим следующие двойные тригонометрические ряды соответственно, Чезаровские средние рядов (т и (jH) Ясно,что выполнять В силу а),б) и (4.3.27) почти всюду на 1 будет ся равенство im Ьп п (Жі,ОСг) = 0. fr3.29) Согласно теореме И.Марцинкевича - А.Зигмунда [88] почти всюду на I будет соблюдено равенство Однако в силу теоремы единственности об аналитических функциях (см.[35],стр.304) -176 почти всюду на I Поэтому, учитывая б) заключаем, что (см.[4].3.28) средние ограниченно расходятся почти всюду на . Итак, из суммируемости почти всюду на I ряда (4.3.25) методом не вы текает суммируемость тем же методом ряда (4.3.26) даже на множестве положительной плоской меры. Теперь убедимся в существовании рядов (4.3.23) и (4.3.24) обладающими, соответсвенно, свойствами а) и б). Если Оіі С ,то в качестве ряда (4.3.23) можно взять известный нуль ряд Д.Е.Меньшова [90] . Если же c i 6J " 1 О L ,то свойством а) будет обладать следующий ряд, Отметим, что доказательство этой теоремы основано на справедливости следующего неравенства: для любой т(б1_(г\ / существует равноизмеримая с 1$ функция Q ,для которой Из теоремы 5.2.2 вытекает отрицательный ответ на задачу М.Гусмана. Далее, найден подкласс пространства ,для которого задача М.Гусмана имеет положительное решение. Точнее, справедливо равенство где V(R ) -множество тех положительных функций из LCR ) которые в каждом октанте Kj J=i;" 2 не возрастают относительно тех переменных Хс, , которые не отрицательны в этом октанте и не убывают относительно тех переменных Xs ,которые не положительны. В 5.3 дается решение задачи Л.Лейндлера о сильной аппроксимации рядами Фурье и классах Липшица. На конференции по теории функций и функциональным пространствам, состоявшейся в Г.Гданьске в 1979 году Л.Лейндлер (см.[60] , стр.895) поставил следующую задачу: если 0 Через ф обозначим множество всех возрастающих непрерывных на [0,Ті] функций 7 {0) 0 . Пусть Из этой теоремы вытекает положительный ответ на задачу Л.Лейндлера. Результаты диссертации в разное время докладывались в Мое ковском государственном университете им. М.В.Ломоносова на семинаре, руководимом членом-корреспондентом АН СССР, профессором П.Л.Ульяновым и на семинаре, руководимом докторами физико-математических наук К.И.Осколковым и Б.С.Кашиным, в Тбилисском государственном университете на семинаре, руководимом членом-корреспондентом АН ГССР, профессором Л.В.Жижиашвили, в Тбилисском математическом институте им.А.М.Размадзе АН ГССР на семинаре, руководимом профессором О.Д.Церетели; на заседаниях Грузинского математического общества; на международных конференциях по конструктивной теории функций в г.Благоевграде (БНР) в 1977 г., в г.Гданьске (ПНР) в 1979 г., в Г.Будапеште (ВНР) в 1980 г., в г. Киеве в 1983 г., на Всесоюзных школах по метрической теории функций в с.Агверане (Арм.ССР) в 1975 г., в г.Баку в 1977 г., в г.Кемерово в 1983 г. В настоящей главе рассматриваются вопросы сильной суммируемости кратных тригонометрических рядов. В 1.1 приведены обозначения и определения, используемые в дальнейшем. В 1.2 изучено равномерное сильное суммирование кратных тригонометрических рядов фурье. В 1.3 в связи с (Н ) К; суммируемостью почти всюду простых тригонометрических рядов доказываются неравенства, используемые в 1.4. 1.4 посвящается Ш , к) суммируемости почти всюду кратных тригонометрических рядов Фурье и сопряженных рядов. 1.1. Обозначения, определения Пусть -евклидово пространство, размерность которого равна J\f , 2 -целочисленная решетка в К. . Через DC= (зс -- -)Xj/) , % = ( , - і ) , будем обозначать точки пространства К , а через m - (т ---, to/ , h-(hi,— , h/),-- точки множества 2 Для любого і = 1, - - Я положим і = -{і j ) ; будем считать, что 0 - Ф Если В -произвольное подмножество множества jf , то символом ЭСБ обозначим точку (х4,-- -л х /) , где gc - 9 ,когда j Є В и ОС - о ,когда jeK-B - СБ . Через ]В1 обозначим количество элементов множества.О некоторых неравенствах, связанных с (Н7К) суммируемостью простых тригонометрических рядов Фурье
Об экспоненциальных сильных средних типа И.Марцинкевича
Об оценках приближения функций мультипликативными линейными средними, выраженных через наилучшие приближения квазиполиномами
Об ограниченности сходящихся средних кратных функциональных рядов
Похожие диссертации на О суммировании кратных тригонометрических рядов и сопряженных функциях
