Введение к работе
1.1 Актуальность темы
В последние годы резко возрос интерес к классическим
аппроксимациям аналитических функций, и в первую очередь, - к аппроксимациям Паде и их обобщениям.
Понятие аппроксимаций Паде возникло в рамках
теории непрерывных дробей в конце Л I/» века /Фробе-
1) ниус - 1881, Паде - 1894 /. Являясь наилучшими локальными приближениями степенного ряда, аппроксимации Паде вычисляются непосредственно по его коэффициентам. Аппроксимации Паде позволяют изучать некоторые глобальные свойства аппроксимируемой аналитической функции / мероморфное продолжение, расположение и характер особых точек, однозначность и т.п. / и вычислять эту функцию за пределами круга сходимости степенного ряда / ее тейлоровского разложения /. Подробно с современным состоянием теории и приложениями аппрок-симаций Паде можно познакомится по книге Г.Еейкера /3J.
' см. монографии [\\ \\ Ь\ 9-ekkoJ). t (діє '$>ЄеАе Wh-c/en. fteften&it-е&ь. C#eS* Pu&>. Селу,., M*r y0t , J9SV.
fbwto**. Van Mstband, Мш )fa&, JSM. $ [3] bade-, . 4- X, Suetdlats t>f fhck'
Успешное применение методов Паде для решения многочисленных задач в Є ставит естественную задачу обоїдеїшя этого метода на случай С. / п ^Л. /. Характер проблем, связанных с многомерными аппроксимациями, отчетливо проявляется уже в двумерном случае. Предположим, что заданы коэффициенты степенного разложения
Задача состоит в том, чтобы определить области
на двумерной целочисленной решетке и полиномы
таким образом, чтобы по возможности больше коэффициентов в разложении
обращалось в нуль. Точнее, приняв, что коэффициенты числителя изнаменателя лежат в областях Л^3 и 0 , требуем, чтобы / = 0 при (1Л\& , где f - області совпадения /с ^^у- /. Множество 5 выбирается таким,
1/ Ж*. - /Ж»Ж+4&» 2> -/
где через 0UfliS>h - обозначили число эле ентов множества^* ;
2/ cT^S '-
3/ множество ~ удовлетворяет правилу прямоугольника, другими словами, если точка /c-fA^jfJ^ ~ё , то [0>к.] *— Ь , где [o,tLJ - прямоугольник из 2V с вершинами в точках fon) и fie )с ) .
Первыми были определены СА -аппроксимации / см. [Ч] /, затем, продолжая изучение алгеброической структуры уравнений, задающих СА -аппроксимации, Грейвс-Моррис, Джонс и Макинсон в 1974 году определяют, так называемые, S0X> -аппроксимации, являющиеся обобщением СА -ап-проксимаций / см. J_-3J /. Более общая схема, основывающаяся по-прежнему на идеи Чисхолма, была предложена в 1976 году / см. [б] /. Дальше последовали работы А.Гончара, А.Кит, Б.Вердонка, К.Люттеродта и В.Вавилова, в которых были предложены другие аппроксимационные схемы, распространяющие идею Паде на случай функций, зависящих от нескольких комплексных переменных.
Уі] CniscKoC/n- »/Х/, riatib/ia^ Орр^оійтаніз dltin-ecL -(hem ac>t/&e. pcute'b
' [S] ъаеез-$?о*Ш /?&.,//ил#еї %ves &., /7lait>son- &. «, 7 ca^cu&fcon. cfsome
У. Jnd. Watt. (2^., V. K(W*) , ЛІ. * U] fjugtfes fanes /, &елеїгн? >ui0'ta- Clpphoxitnan-tj: in A/- ina^a^s. {/.ДЬоь. Treaty , V. 16 (ІЩ , ЛС1.
1.2 Цель работы
Основная цель этой работы - изучение свойства сходимости некоторых аппроксимационных схем / а именно, аппроксимаций Чисхолма, аппроксимаций типа Чисхолма " по однородным многочленам, обобщенных аппроксимаций Паде соответствующих определенным множествам %ЛО и Jr из .+ / для некоторых классов функций, ме-роморфных В С- .
1.3 Общая -методика исследования
В работе применяются методы теории функций одного и многих комплексных переменных, а также методы теории аппроксимации и интерполяции.
- 1.4 Научная новизна
Основные результаты диссертации являются новыми.
1. Описаны таблицы fj ^1 и ІЛ^Л аппроксимаций
Чисхолма / S&2> и СОЪ -аппроксимаций/, иссле-" дован вопрос их существования и единственности.
Доказан аналог теоремы Монтессу для Z02>, G0Z> -
аппроксимаций и функций -f- , ^^.
Jbffl класс функций вида F/Q, , где rn -^ «*)/?
F - целая функция в *% Qm - многочлен степени tn
по 2у и *j по 2^ , oltg <, (i<~o)=fr<, C^(Pm(o,i^ = Ъ,
QJP,0)~1 , среди нулей fc^) tlQJo,*^ нет
равных по модулю, пары функций Q„[lA,o) » ^(і.Аіо) и
Q (О^Л , F{p,iA не имеют общих нулей.
2. Описана таблица {^,nj аппроксимаций типа Чисхолма по однородным многочленам, исследован вопрос их существования и единственности. Доказан аналог теоремы Монтессу для аппроксимаций типа Чисхолма »» по однородным многочленам и функций J* , lt/((CL 3. Описана таблица {^т} обобщенных аппроксимаций Паде соответствующих множествам ол и сМ> из Ж^., исследован вопрос их существования и единственности. Доказан аналог теоремы Монтессу для обобщенных аппроксимаций Паде л и функций / , -f^^LfC.)
%M^(j - класс функций вида F/( , МЄ#+ , где F - целая функция в С , $п - многочлен степени /п. по сумме степеней всех переменных, ОШ (у„ (і4,0) ^ яъ tyQjo^n , Q*(Q,0)~t , среди нулей tfcfaojv. ((0&) нет равных по модулю, пары функций F(^f о) і ф„ ,,о) и ^/) 4^() нв имеют общих нулей.
') для множеств <Жк Л верно, что
1/ dim JS-fr-hl, ditrt tM =m+ij /я, n ^Z+ .
2/ Cq,o)Gj^ f {O,o)M ;
3/ они удовлетворяют правилу прямоугольника.
Ж1С/- класс функций вида F/fl , где F - целая функция в СК , Qm 1Ч^ =Z,^b;,j&, MjC-Z?* определено выше, «0(Qpj=l "
(kg^A fa, ) & і * среди ^лей шорочлена tf/fe^o)
нет равных по модулю, пары функций Ffe^o) ,Q (^, о) и F(0,lA t QfrlOj^A ие имеют общих нулей.
4. Доказан аналог теоремы Монтессу для аппроксимаций Чисхолма и функций ( , xllm (IL)
1.5 Приложения
Результаты диссертации могут найти применение в теории аппроксимаций для функций многих комплексных переменных, а также в вычислительных задачах во многих областях механики и физики.
1.6 Апробация работы
Результаты диссертации докладывались на научном семинаре механико-математического факультета МГУ, руководимого В.В.Вавиловым и Е.А.Рахмановым, а также на конференции / МГУ 1992 г. /.
1.7 Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы в двух
___ , ^
^.^) шасс Функций шда Р/$т 'Иа^хуМ^,
где F - мероморфна в полидиске 2^=//^/5^ i^s^i, — ~(^4>j.)> $в. -многочлен, удовлетворяющий всем условиям, что и при определении ч$ь(С) » кроме того нули V(n(i:4lo) и 0 (О/іЛ упорядочены определенным способом, пары функций Ffao) »^(^,0) и Н0)2^ , не имеют общих нулей
4)
работах автора, список которых помещен в конце автореферата.
1.8 Структура диссертации
Диссертация состоит из введения, пяти параграфов,
иллюстраций / 15 рисунков / и списка литературы,
содержащего 47 наименований. Объем диссертации 118
страниц.
