Введение к работе
Актуальность темы.
Диссертация посвящена исследованию равномерной сходимости некоторой строчной последовательности линейных аппроксимаций Паде - Чсбышева, которые являются обобщением классических аппроксимаций Паде на случай рядов по многочленам Чсбышева.
В последнее время заметно возрос интерес к аппроксимациям Паде ортогональных разложений, в том числе и к аппроксимациям Паде - Чебышева. Тем не менее, в области равномерной сходимости таких аппроксимаций имеется лишь один серьезный результат, принадлежащий СП. Суетииу - аналог классической теоремы Монтессу де Болора для линейных1 и нелинейных2 аппроксимаций Паде ортогональных разложений. В этих работах СП. Суетин рассмотрел вопросы равномерной сходимости последовательности аппроксимаций типа (п, А), п —> оо, для мероморфной функции, имеющей А полюсов в некотором эллипсе D\ с фокусами в —1,1. Если, по аналогии с понятием таблицы Паде3 в классической теории, считать, что аппроксимация типа. (п, т) содержится в п—и столбце и т—й строке таблицы, то можно полагать, что рассмотренная СП. Суетиным последовательность образует строку таблицы с номером А.
Как показано в диссертации, линейные аппроксимации Падс - Чебышева типа (п, А — 1) для мероморфной функции определяются (также, как и аппроксимации типа (п, А)) единственным образом. В связи с этим естественно поставить задачу о построении полной теории равномерной сходимости строчной последовательности аппроксимаций типа (п, А — 1). Под полной теорией равномерной сходимости мы понимаем следующее. Необходимо найти пределы всех сходящихся подпоследовательностей знаменателей аппроксимаций, т.е. все предельные точки множества полюсов этих аппроксимаций. В случае как классических аппроксимаций Паде, так и аппроксимаций Паде ортогональных разложений, это множество предельных точек полюсов лишь для строки с номером А будет состоять только из А полюсов аппроксимируемой функции. При рассмотрении же сходимости других строчных последовательностей появляются «лишние» предельные точки, которые являются препятствием для равномерной сходимости всей строки и поэтому при построении областей равномерной сходимости их требуется предварительно найти.
1 Суетин, СП. О сходимости рациопалышх аппроксимаций полиномиальных разложений в областях ме-роморфпости заданной функции // Мат. сб.- 1978- Т.105, №3- С.413-430.
2Суетин, СП. О теореме Монтессу де Болора для рациональных аппроксимаций ортогональных разло
жений // Мат. сб.- 1981- Т.114, №3- С.451-464.; . X ;
3Бсйкер Дж., мл., Грейвс-Моррис П. // Аппроксимации Поде.- М.: Мир, 1986. !
В теории сходимости аппроксимаций Паде ортогональных разложений весьма актуальным является до сих пор нерешенный вопрос о нахождении лишних предельных точек для хотя бы одной строчной последовательности аппроксимаций. Эта задача для строки с номером А — 1 полностью решена в диссертационной работе.
Цель работы.
Целью диссертации является построение полной теории равномерной сходимости линейных аппроксимаций Паде - Чебышева типа (п, Л — 1) мероморф-ной функции, имеющей Л полюсов в некотором эллипсе с фокусами в — 1,1.
Методы исследования.
В работе применяются методы линейной алгебры, функционального анализа и комплексного анализа. В первой главе диссертации для создания алгебраических основ метода изучения сходимости, используются методы, разработанные научным руководителем В.М. Адуковым4.
Результаты, полученные лично автором, и выносимые на защиту.
-
Построение теории существенных индексов и многочленов для (Т +'.Непоследовательности; критерий существенности; теоремы об обращении и обобщенном обращении теплиц-плюс-ганкслевых матриц (далее (Г + Я)-матриц).
-
Теоремы о параметризации числителя и знаменателя линейной аппроксимации Паде - Чебышева для правильной рациональной дроби; критерий единственности знаменателя и достаточное условие единственности самой аппроксимации; достаточное условие корректности решения задачи нахождения линейной аппроксимации Паде - Чебышева.
-
Теорема о предельном поведении знаменателей линейных аппроксимаций Паде - Чебышева типа (п, А— 1) в случае правильной рациональной дроби; теорема о сближении знаменателей аппроксимаций для мероморфной функции и се рациональной части; теорема о предельном поведении знаменателей в случае мероморфной функции; теорема об областях равномерной сходимости линейных аппроксимаций Паде - Чебышева типа (п, А — 1) мероморфной функции.
Научная новизна.
Все результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.
-
В первой главе диссертации описана структура ядра блочных (Т -t- Н)-матриц, решена задача их обращения и обобщенного обращения.
-
Во второй главе диссертации получена параметризация числителя и знаменателя линейной аппроксимации Паде - Чебышева. Найден критерий единственности знаменателя и получено достаточное условие единственности са-
4Адуков, В.М. Факторизация Винера-Хопфа и аппроксимации Паде матриц-функций. Диссертация на соискание ученой степени д.ф.-м.н. - Челябинск, 2006.
мой аппроксимации Паде - Чебышева. С помощью данного критерия доказана единственность знаменателя аппроксимации Паде - Чебышева типа (п, Л — 1) для рациональной функции. Решен вопрос корректности рассматриваемой задачи.
3. В третьей главе диссертации получена явная формула для знаменателей аппроксимаций Паде - Чебышева типа (п, Л — 1) и найдены предельные точки нулей знаменателей аппроксимаций для рациональной дроби. Показано, что асимптотическое поведение знаменателей аппроксимаций для мероморф-ной функции будет таким же, как и поведение знаменателей аппроксимаций для рациональной части этой функции. Построена полная теория равномерной сходимости строчной последовательности линейных аппроксимаций Паде - Чебышева типа (п, А — 1) мероморфной функции. Описаны области равномерной сходимости этой последовательности.
Теоретическая и практическая ценность.
Результаты диссертации носят теоретический характер. Они могут применятся при построении линейных аппроксимаций Паде - Чебышева и областей их равномерной сходимости. Результаты могут быть использованы в научной работе специалистами по теории аппроксимаций и по их применению в приближенных вычислениях, работающими в Институте математики РАН имени В.А. Стеклова, Институте математики и механики УРО РАН, Институте математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН, Московском госуниверситете, Смоленском госуниверситсте, Белорусском госуниверситете, а также при чтении спецкурсов в указанных университетах.
Апробация результатов диссертации.
Результаты работы докладывались на всероссийской конференции «Алгоритмический анализ неустойчивых задач», г. Екатеринбург, 2004 г.; международной математической конференции «Теория функций, дифференциальные уравнения, вычислительная математика», г. Уфа, 2007 г.; международной конференции Института математики с ВЦ УНЦ РАН «Комплексный анализ и дифференциальные уравнения», г. Уфа, 2007 г.; международной конференции «Системы компьютерной математики и их приложения», г. Смоленск, 2008 г.; на научных семинарах отделов дифференциальных уравнений и комплексного анализа Института математики с ВЦ УНЦ РАН, г. Уфа и на ежегодных научно--^ технических конференциях Южно-Уральского государственного университета, г. Челябинск.
Публикации.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [11], список которых приведен в конце автореферата. Работы [2], [8]—[10] выполнены
лично автором, остальные - в соавторстве с научным руководителем. Из них в диссертацию были включены результаты, полученные самостоятельно.
Структура и объем диссертации.
