Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Функции Лебега кратных ограниченных ортонормированных систем 10
1. Числовые неравенства 10
2. Функции Лебега кратных ограниченных ортонормированных систем 21
ГЛАВА II. Абсолютная и безусловная сходимость кратных рядов Хаара 29
1. О множителях Вейля для безусловной сходимости кратных рядов Хаара 29
2. Абсолютная сходимость кратных рядов Хаара 35
ГЛАВА III. Безусловная сходимость кратных функциональных и тригонометрических рядов 67
1. Безусловная сходимость кратных функциональных рядов 67
2. О безусловной сходимости кратных тригонометрических рядов 78
Литература 85
- Функции Лебега кратных ограниченных ортонормированных систем
- О множителях Вейля для безусловной сходимости кратных рядов Хаара
- Абсолютная сходимость кратных рядов Хаара
- О безусловной сходимости кратных тригонометрических рядов
Введение к работе
0. В настоящее время в теории ортогональных рядов ведутся
интенсивные и плодотворные исследования. Это вызвано как чисто
теоретическими интересами, так и важностью приложений в физике,
вычислительной математике, теории вероятностей, теории информа
ции. Все большее внимание уделяется и изучению кратных ортого
нальных рядов. Они обнаруживают ряд интересных свойств, которые
не всегда наблюдаются в одномерном случае. Тематика, связанная
с изучением кратных ортогональных рядов, актуальна.
Диссертация состоит из трех глав, которые, в свою очередь, подразделяются на параграфы. Нумерация теорем производится внутри параграфов: номер главы, номер параграфа, номер теоремы. Это же касается следствий, лемм, замечаний. Каждый из последующих пунктов введения относится к определенной главе настоящей работы и содержит, в частности, краткий обзор основных утверждений соответствующей главы. Определения всех тех понятий и те обозначения, которые встречаются в формулировках теорем,-содержатся в основном тексте диссертации (см. стр. 21,29,35,46,78 ) и во избежание повторений и перегрузки введения мы не будем приводить их здесь.
1. Оценка снизу функций Лебега (см. [9J, стр. 180; [l9J,
стр. 4) ограниченных в совокупности ортонормированных систем была
впервые получена А.М.Олевским [l2j в 1966 году. В 1975 году
С.В.Бочкарев [б] доказал, что для функций Лебега Lift про
извольной ограниченной в совокупности ортонормированной системы
функций, определенных на СРД1 , справедлива оценка
_4-
В работе [id] 1978 года Б.С.Кашину удалось существенно упростить известные до того доказательства этого результата. Им замечено, что оценка (I) есть следствие следующего числового неравенства: для любых действительных чисел \&К\
yn^l
|С-1
max і aj
В первом параграфе первой главы настоящей работы доказывается, в частности, справедливость следующего предложения.
Теорема І.І.І. Для любого набора действительных чисел I^kL- и любого е 6 (J-j) справедливо нера-
VYtaoc I Q^l
венство
Vw-1
1 ^l
><Ч
VL-1 Vt
C-0 j-L+l
к=ш
-i
(2)
где Ct>0 зависит только от t . Далее показано, что получен-ная для С& оценка Ct ~ v « не может быть улучшена по порядку при —^ 4+ и рассмотрено предельное неравенство с
г-і.
Теорема 1.2.I второго параграфа распространяет, в некотором смысле, неравенство (2) на случай кратных последовательностей. Из нее выводится оценка снизу для функций Лебега кратных ограниченных в совокупности ортонормированных систем. Именно, имеет место
Теорема 1.2.2. Пусть \ ч< JictM^ ~ (-кратная ортонормированная система на ,1] , ограниченная в совокупное-
-5-ти. Тогда при К Є N справедливо неравенство
Kh[eXI
tEhc:L0,flA. JxEh>c'>0 , а с и с' -
действительные числа.
положительные
^00
2. Пусть \/Gx*J _ ~ ортонормированная система Хаара на tO,i] (см. fll, стр. 54; [9], стр. 57). Вопрос о множителях Вейля для безусловной сходимости почти всюду рядов по системе {XS^] _, исследован П.Л.Ульяновым [іб].
В первом параграфе второй главы настоящей работы изучается аналогичный вопрос для кратных рядов Хаара. Именно, доказана следующая
Теорема 2.І.І. Дія того, чтобы возрастающая неотрицательная последовательность СОО^) (vl^N ) была множителем Вейля для безусловной сходимости почти всюду рядов по cL--кратной системе Хаара, необходимо и достаточно выполнение условия
fc>e Пооьэоо
1 .
Пусть /А обозначает множество всех монотонно убывающих неотрицательных последовательностей, а Д - множество всех последовательностей І^З^і » Для каждой из которых найдется такое С Ь1 , что
ПШ ІСКІ ^ С- WlWfLiCK| „г-0,1,... .
В работе [1б] П.Л.Ульянов изучал, в частности, условия абсолютной и безусловной сходимости рядов Хаара с последовательностями коэффициентов из классов А и А.
Понятие монотонности, а также аналоги классов А и А для кратных последовательностей можно определить по-разному. Во втором параграфе рассматриваются классы Ді ;Ді Aj[ и Дл (см. стр. 35,46 ) d-кратных последовательностей, а вместе с (і-крат-ной последовательностью (X = С^Д^І^ и класс г((Х) некоторых из ее перестановок (см. стр. 35 ). Для кратных рядов Хаара с последовательностями коэффициентов из этих классов исследуются, в частности, условия абсолютной сходимости почти всюду. Приведем наиболее характерные из утверждений этого параграфа^
Теорема 2.2.1. Пусть (Х= (CU)ntNA А^ и ^(Д00). Для того, чтобы gl-кратный ряд
Юе
(3)
сходился почти всюду на [ОД] необходимо и достаточно условие
О)
Теорема 2.2.2. Пусть (aK)KeNd. А^ , Ы (0;оо).
Тогда для сходимости почти всюду на [ОД] ряда (3) необходимо и достаточно, чтобы для любого V -(0,1) выполнялось условие
la/
к»о иНг^-г^2К] I l(ig
Т е о р е м а 2.2.3. Пусть последовательность Й=(оД^іД
Aj , oL (О, <х>) . Тогда для того, чтобы ряд (3) сходился почти всюду на [(Ц^для любой последовательности Q,= (CuWm^-из г (й) необходимо и достаточно существование такой последовательности ^ (к)кл м^- »'ЧТО 0 < ,, < і } К N
kVft
*-*
Теоремы 2.2.2-2.2.5 этого параграфа, как нам представляется, являются новыми и в случае однократных рядов .
3. Известны различные ряды сходимости кратных рядов (см. [I8J, стр. 455; [8J, стр. 451). Соответственно по-разному можно определять понятие безусловной сходимости п.в. кратных функциональных рядов (например, безусловная сходимость п.в. по Прингсхейму, безусловная <А-сходимость п.в. и др.). В I главы Ш исследуется связь между некоторыми из таких видов безусловной сходимости. Справедлива следующая
Теорема 3.1.1. Пусть Л=1 . а-кратный (dU^) ряд измеримых на R функций
р>е
„с*>
(p&N X6-R ) безусловно jy-сходится почти всюду (по мере) на измеримом множестве E^R. в том и только в том случае, когда на Е сходится почти всюду (по мере) всякий (однократный) ряд, получающийся из него в результате нумерации членов в однократную последовательность.
Теорема 3.1.I позволяет убедиться в справедливости для кратных рядов теоремы Орлича [20] о безусловной сходимости. Именно, имеет место
Теорема 3.1.2. Если ({-кратный (ц>) РВД
р^е
ре*;
безсуловно J\ -сходится (ЛМ) по мере на измеримом множестве Е с R » т
?е
2 (*) < 00
для почти всех X Е
Из приведенного утверждения, в частности, вытекает (см. следствие 3.I.I), что для безусловной сходимости почти всюду
а-кратного тригонометрического ряда Фурье функции J} ' необходимо, чтобы она принадлежала классу L го ^1^ Достаточные для безусловной сходимости почти всюду однократных тригонометрических рядов Фурье получены П.Л.Ульяновым [l4j. Теорема 3.2.2 третьего параграфа содержит один такой признак для кратных тригонометрических рядов Фурье. Приведем ее (по поводу обозначений см. стр.78-80 ). _
; См. стр.80
Теорема 3.2.2. Если -Р^Ь^ойзг] и п^и некотоРом >0 для всех ^6сМ выполнено соотношение
^WC^^rfolU/ Чао ,
сод/ щк^
то а-кратный тригонометрический ряд Фурье функции П безусловно сходится почти всюду на COjBjrl по Прингсхейму.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [2-4], Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю, члену-корреспонденту Академии наук Грузинской ССР, профессору Л.В.Жижиашвили за постоянное внимание на протяжении всего времени работы над диссертацией.
Функции Лебега кратных ограниченных ортонормированных систем
В настоящее время в теории ортогональных рядов ведутся интенсивные и плодотворные исследования. Это вызвано как чисто теоретическими интересами, так и важностью приложений в физике, вычислительной математике, теории вероятностей, теории информа ции. Все большее внимание уделяется и изучению кратных ортого нальных рядов. Они обнаруживают ряд интересных свойств, которые не всегда наблюдаются в одномерном случае. Тематика, связанная с изучением кратных ортогональных рядов, актуальна. Диссертация состоит из трех глав, которые, в свою очередь, подразделяются на параграфы. Нумерация теорем производится внутри параграфов: номер главы, номер параграфа, номер теоремы. Это же касается следствий, лемм, замечаний. Каждый из последующих пунктов введения относится к определенной главе настоящей работы и содержит, в частности, краткий обзор основных утверждений соответствующей главы. Определения всех тех понятий и те обозначения, которые встречаются в формулировках теорем,-содержатся в основном тексте диссертации (см. стр. 21,29,35,46,78 ) и во избежание повторений и перегрузки введения мы не будем приводить их здесь. 1. Оценка снизу функций Лебега (см. [9J, стр. 180; [l9J, стр. 4) ограниченных в совокупности ортонормированных систем была впервые получена А.М.Олевским [l2j в 1966 году. В 1975 году С.В.Бочкарев [б] доказал, что для функций Лебега Lift про извольной ограниченной в совокупности ортонормированной системы функций, определенных на СРД1 , справедлива оценка В работе [id] 1978 года Б.С.Кашину удалось существенно упростить известные до того доказательства этого результата. Им замечено, что оценка (I) есть следствие следующего числового неравенства: для любых действительных чисел \&К\ В первом параграфе первой главы настоящей работы доказывается, в частности, справедливость следующего предложения. где Ct 0 зависит только от t . Далее показано, что получен-ная для С& оценка Ct v « не может быть улучшена по порядку при — 4+ и рассмотрено предельное неравенство с г-і. Теорема 1.2.I второго параграфа распространяет, в некотором смысле, неравенство (2) на случай кратных последовательностей. Из нее выводится оценка снизу для функций Лебега кратных ограниченных в совокупности ортонормированных систем. Именно, имеет место Теорема 1.2.2. Пусть \ ч JictM (-кратная ортонормированная система на ,1] , ограниченная в совокупное 2. Пусть \/Gx J _ ортонормированная система Хаара на tO,i] (см. fll, стр. 54; [9], стр. 57). Вопрос о множителях Вейля для безусловной сходимости почти всюду рядов по системе {XS ] _, исследован П.Л.Ульяновым [іб]. В первом параграфе второй главы настоящей работы изучается аналогичный вопрос для кратных рядов Хаара. Именно, доказана следующая Теорема 2.І.І. Дія ТОГО, чтобы возрастающая неотрицательная последовательность СОО ) (VL N ) была множителем Вейля для безусловной сходимости почти всюду рядов по cL--кратной системе Хаара, необходимо и достаточно выполнение условия fc e Пооьэоо 1 . Пусть /А обозначает множество всех монотонно убывающих неотрицательных последовательностей, а Д - множество всех последовательностей І З і » Для каждой из которых найдется такое С Ь1 , чт В работе [1б] П.Л.Ульянов изучал, в частности, условия абсолютной и безусловной сходимости рядов Хаара с последовательностями коэффициентов из классов А и А. Понятие монотонности, а также аналоги классов А и А для кратных последовательностей можно определить по-разному. Во втором параграфе рассматриваются классы Ді ;Ді Aj[ и Дл (СМ. стр. 35,46 ) d-кратных последовательностей, а вместе с (і-крат-ной последовательностью (X = С Д І и класс г((Х) некоторых из ее перестановок (см. стр. 35 ). Для кратных рядов Хаара с последовательностями коэффициентов из этих классов исследуются, в частности, условия абсолютной сходимости почти всюду. Приведем наиболее характерные из утверждений этого параграфа
О множителях Вейля для безусловной сходимости кратных рядов Хаара
Тематика исследования. После появления основных теорем теории распределения значений мероморфных функций (Р.Неванлинны) было опубликовано большое число работ о геометрических закономерностях распределения корней подклассов целых и мероморфных функций, а также работ, в которых исследуется влияние геометрических ограничений на плотность распределения корней (и на другие характеристики) рассматриваемых функций. Эти исследования широко известны и хорошо освещены в монографиях и обзорах по теории мероморфных функций. Однако после альфорсовской теории поверхностей наложения (1935) публикаций о геометрических свойствах произвольных мероморфных в плоскости или круге функций было сравнительно мало.
Диссертационная работа посвящена в основном выявлению и исследованию ряда новых геометрических закономерностей поведения корней и связанных с ними величин произвольных мероморфных (а в некоторых случаях и псевдомероморфных) в (L функций.
Основные классические результаты теории распределения значений мероморфных функций относятся к исследованию асимптотики количества их 0L-точек. Основные результаты Р.Неванлинны и Л.Алъ-форса - соотношения дефектов утверждают, что для большинства значений а и б количества ос и В -точек мероморфной функции W асимптотически равны.
В главе Ш настоящей работы обнаружено, что эти выводы теорий Р.Неванлинны и Л.Алъфорса являются следствием более общей закономерности свойства "близости" а -точек мероморфных функций, которое, качественно, заключается в том, что помимо близости количеств этих & и б -точек, они геометрически близко расположены друг к другу.
Дальнейшая разработка этого свойства "близости" (глава ІУ) и включение в ее рамки учета структуры однолистных областей римановой поверхности функции w , позволиш с единых позиций получить усиления ряда основных результатов как теорий Р.Неванлинны и Л.Альфорса, так и результатов Валирона, Мийю, и др. о лучах Бореля и кругах наполнения. При этом оказалось, что все эти усиления выводятся из результатов, по существу описывающих "круги наполнения", изучение которых ранее находилось в стороне от центрального направления исследования.
Другим исследованием, позволившим единым методом изучать различные стороны геометрического поведения мероморфных функций, является изучение "массивности" прообразов заданных в (С множеств. Такого рода результаты - теоремы искажения, в основном хорошо изучены в классах взаимно-однозначных отображений. В главе П впервые устанавливаются теоремы "искажения" для класса всех мероморфных функций, притом они обнаруживают тесную связь с теорией распределения значений и позволяют в новом вопросе "распределения искажений" получить соотношения, аналогичные соотношению дефектов в теории Р.Неванлинны.
И свойство "близости" а -точек, и теоремы искажения находят применения при изучении как поставленных ранее, так и новых задач. Перечислим некоторые из них. Изучение величин р(&) , введенных В.П.Петренко. Исследование одной задачи Винклера. Общая интерполящюнная проблема Р.Неванлинны. Проблема трансцендентной разветвленности римановой поверхности функции w . Изучение величин ТСЧ-JO , введенных А.О.Гельфондом. Задача типа теоремы длины и площади. Исследование сумм 0L-точек мероморфных функций.
Главные из указанных разработок являются реализациями эвристических рассуждений, стимулированных результатами главы I -введением и исследованием "геометрических дефектов", позволяющих по-новому интерпретировать все результаты, в которых фигурируют дефекты, и изучением сумм CL-точек, для которых, как оказалосъ, справедливы соответствующие аналоги основных теорем Р.Неванлинны.
О структуре изложения. Во введении приводится краткая сводка основных результатов теории Р.Неванлинны и Л.Алъфорса (пункт I), затем сводка результатов настоящей работы (пункт 2). При этом нумерация теорем та же, что и в основном тексте, а формулы нумерованы по мере надобности. В основном тексте и результаты, и формулы нумеруются парами чисел, из которых первое указывает на номер параграфа, второе - очередной номер теоремы или формулы.
Абсолютная сходимость кратных рядов Хаара
Величина У(Ч.,(Х) определяется структурой оЬ в окрестности точки & и сама характеризует эту структуру, показывая суммарное количество целочисленных оборотов дуг Y вокруг точки СІ .
Аналогичную величину можно определить и в случае конечной односвязной поверхности наложения над римановой сферой с гладкой границей F . В самом деле, пусть F - поверхность, получаемая из F стереографическим отображением. Если граница в г поверхности г задается функцией Lf-lfCz) )2:1 = 1 , то величина V(P,ft) определяется как выше, аналогично величине vCl,&) при t= d.. Пользуясь введенными величинами, сформулируем результаты первого параграфа главы I. Теорема I.I. ПустьW 6 /Ар .W5E СОУібІ иаб(С. Тогда для 0 1 К, при условии, что , HalzJ t , имеет мес то равенство Теорема 1.2. Пусть Р - конечная односвязная, с гладкой гра ницей поверхность наложения над римановои сферой. Тогда для лю бого & Є выполняется равенство Теоремы I.I, 1.2 можно рассматривать как аналоги первых основных теорем Р.Неванлинны и Л.Альфорса. Для регулярно исчерпываемых поверхностей и соответствующих им мероморфных функций W естественно по аналогии определить следующие понятия "геометрических" дефектов: где Рк - последовательность поверхностей наложения, регулярно исчерпывающая поверхность г . Тогда из неравенств (14) и (14 ) вытекают аналоги соотношения дефектов: Для широкого класса регулярно исчерпываемых поверхностей и соответствующих им однозначных функций теоремы I.I, 1.2 представляют- собой определенные высказывания о строении границы поверхностей F у (F) , в окрестности точки 0L . Именно, если относительно "редко" принимается в \ї\ % (на Р ), то близость некоторых участков границы \-н (Р), к 0L осуществляется вполне определенным образом большое число граничных дуг навивается вокруг точки 01 . Отметим, что в определении величины V(1,CL) , являющейся аналогом неванлинновской функции приближения гьС ,&) , формально нет указаний о близости граничных дуг 3 Ры к а , хотя качественно такой вывод там содержится: "большое" число оборотов при "малой" длине р К (условие регулярной исчерпываемое ти) означает, что цуги с) г! должны сжиматься вокруг точки CL . Теоремы 1.2 и 1.4 содержат в качестве следствия некоторые высказывания из дифференциальной геометрии в целом, о которых подробнее будет сказано в дополнении к I главы I. Теорема 1.2 восполняет отсутствовавшую в теории поверхностей наложения Л.Альфорса первую основную теорему в случае, когда роль областей выполняют точки. После того, как была опубликована наша статья [4], нам стало известно, что в случае, когда дополнительно известно, что поверхность наложения р является образом круга l l t R при отображении мероморфной или псевдомероморфной в \ъ\ Я оо функцией w , такая теорема уже известна (см. Осаки-Оно-Одзава Г2"], Хельствем [з]). В указанных работах вместо величины V(t,C\) фигурирует величина с помощью которой первая основная теорема получает вид Отсюда и из теоремы 1.2 имеем м(т, (X)- УС -,Л) I — И LJ (t), однако, в геометрическом плане нам представляется, что предпочтительно пользоваться величиной V(lt(X) , так как геометрический смысл величины и(ч,&)в [2j, з! не указывается и навряд ли он - 17 прост. В 2 главы I продолжено изучение связей между количеством OL-точек и геометрическим строением границы дг . Введем теперь две величины, с которыми ниже мы будем связывать более подробное изучение геометрической структуры h гг . Положим при йфоо Мы займемся ниже следующим вопросом: возможно -ли, чтобы для широкого набора значений 01 и 1 величина V (4.,3.)-V Ct,ft)(суммарное количество оборотов дуг Y вокруг точки (X. без учета знаков оборотов) существенно превосходила величину V0l,fl.) . Если бы это было так, то это указывало бы на некоторую "хаотичность" геометрической структуры ЬРы -И, наоборот, если для широкого набора значений (X и! величины V0t,ft.) и V+0 ., Сі)—V Ct-Д) примерно равны, то это в известной степени указывает на "рациональность" строения Ь г» , ибо количество оборотов (без учета знака), примерно равное V(4.,0l) , в силу теоремы I.I будет определять разность A ( t )-П-(Ч,(Х), т.е. дефектность значения Я. В пользу такой "рациональности" строения д р говорит следующий результат [8].
О безусловной сходимости кратных тригонометрических рядов
Предположим, что ряд (52) безусловно Л-сходится (К-і) на Е п.в. (по мере), но некоторый ряд, получающийся при нумерации членов ряда (52) в однократную последовательность, расходится на множестве ЕІ Е с цЕ1 0 (соответственно расходится на ц по мере). Не ограничивая общности, можно полагать, что расходится ряд (53). Как мы уже видели, при сделанных предположениях из последовательности Фир 1и_і можно извлечь последовательность, сходящуюся к нулю по мере. Из этой последовательности извлечем подпоследовательность, сходящуюся к нулю почти всюду на Ь . По теореме Егорова можно указать множество Ег Ё с Ц.Еа Н& 5) ЕІ такое, что сходимость к нулю будет на F равномерной. Учитывая это, извлечем наконец подпоследовательность \Ф , Н-_ такую, что
Произведем перестановку членов расходящегося на множестве Е (соответственно на Е по мере) ряда (53). Именно, члены ряда (53), не входящие в выделенную подпоследовательность {Фдо Х--! (а таких будет бесконечно много), расставим не меняя порядка их следования по местам с номерами П.к , к =1,2,... .На оставшихся свободными местах расположим последовательно функции частных сумм полученной таким образом перестановки ряда (53) не может сходиться почти всюду на множестве Е ( Ьа положительной меры (соответственно на Е по мере) ввиду расходимости ряда (53) на ЕА (соответственно на Е по мере), (57) и построения переставленного ряда. Это противоречит предположению о безусловной сходимости п.в. (соответственно по мере) ряда (53). Доказательство теоремы завершено.
Теорема 3.1.I позволяет распространить на случай кратных рядов одну теорему Орлича [20] о безусловной сходимости. Именно, справедлива следующая Теорема 3.1.2. Если а-кратный ряд (52) безусловно vX-сходится (Л і) по мере на измеримом множестве ER , то для почти всех X Е . Доказательство. Если выполнены условия теоремы, то вследствие теоремы 3.1.1 ряд (53) будет безусловно сходиться по мере на t . Тогда, как это следует из доказательства теорвмы - работы [20], будем иметь почти всюду на t , что дает требуемое заключение. Теорема доказана. Следствие 3.1.1. Безусловно J\-сходящийся по ме-ре (почти всюду) на [0,Нл] ряд по d-кратной тригонометрической системе есть OL-кратный тригонометрический ряд Замечание 3.1.1. Из доказательства теоремы 3.1.1 видно, что она останется в силе, если в ее условии безусловную Jv -сходимость заменить на некоторые другие виды сходимости кратного ряда (например, на безусловную сходимость по "сферам", по "тетраэдрам"). Это же касается теоремы 3.1.2 и следствия из нее, которые, в свою очередь, конечно же справедливы и для случая безусловной сходимости по Прингсхейму. Мы не можем утверждать, что (по аналогии с теоремой 3.1.I) для кратных рядов безусловная сходимость почти всюду по Прингсхейму эквивалентна безусловной сходимости почти всюду ряда, получающегося из него при нумерации членов в однократную последовательность. Однако справедлива следующая Теорема 3.1.3. Пусть }\ { и ряд (52) безусловно Л -сходится на измеримом множестве -Ес R ( -сходится на Е по мере). Тогда он безусловно сходится на Е почти всюду (по мере) и по Прингсхейму.
Доказательство. Предположим сначала, что ряд (52) расходится на Е по мере (по Прингсхейму). Тогда найдутся положительные 8. , о и последовательности (jML)Jc=i и где через Б ) , н N обозначены прямоугольные частные суммы ряда (52). Занумеруем члены ряда (52) в однократную последовательность таким образом, чтобы при 1=1,2.,... слагаемым, входящим в сумму 6аа) - vc;.) , достались идущие подряд номера. Это возможно в силу (59). Получим (ввиду (58)) расходящийся по мере однократный ряд. По теореме 3.1.I отсюда следует, что ряд (52) не является безусловно ,Х -сходящимся ( X-l) по мере на Е , а тем более и безусловно Jv-сходящимся на Е по мере. Это противоречит условию теоремы. Если же ряд (52) сходится по мере, то из последовательности \Фк М - » как ш виДели при доказательстве теоремы 3.I.I, можно извлечь сходящуюся к нулю по мере подпоследовательность, а из нее, в свою очередь, подпоследовательность (обозначим ее через чфк- J—і такую.
