Введение к работе
Актуальность темы. Теория функций многих вещественных переменных - одно из тех направлений математики, по которым русские ученые традиционно занимали и занимают ведущие позиции. Эта теория сформировалась недазно. Специфические же задачи для функция многих переменных,~связанные, по существу, с наличием нескольких пере-# менных и не имекицие прямого аналога в теории функция одного переменного,-стали... возникать и систематически.изучаться лишь з тридцатые годы нашего столетия. Первые исследования были выполнены С.Л. Соболевым и его учениками В.И. Кондрашовым и В.П. Ильиным. Сюда относится прежде всего изучение связей свойств і. нкции и ее следов на многообразиях различного числа измерений и в разных метрик;-, с. т.е. того, что стало называться теоремам . и южоняя. БольшоЛ вклад э создание это? нолой области математики внесли работы СМ. Никольского и его школы. Следует ' г*<«тить также имеча вигшых j it^;.t" »^оЯ области таких как Л.Д. Кудрявцев, Л.К Слободецкий , О.В. Бесов, ГГ.Л. Ульттточ, И И. ЛиаЬр.-.іш, С.К 'упєнскіі.: , 1<.Х. г"<т»к;ш, В.А. Солон-ников, СБ. Стечкин, В.М. Тихомиров, В.Я. Ьуренмж, З.Г. ."'ячь« і А. Клляолп, НлМ. Кокилашвилн, М.Л. Гольдман, Г. Трнбель. Э. Гальярдо, Л. Ниренберг, Дж. Петре, Д.Н. Адаме и др.
Качественно новый и большой цикл работ СМ. Никольского и его школы по изучению классов функций многих переменных связан с полученными им неравенствами для тригонометрических полиномов и целых функций экспоненциального типа, которые называются теперь ао всем мире ""неравенствами Никольского","неравенством Бернштейна -Никольского". Эти нерав-мства ::ме--от осс-'ое лначение в данной диссертации. Опишем неравенство Бернштейна - Никольского дтч целых функг.ип зкепон?;-.диадьного типа (для тригонометрических лиогоч.-^глв онг мшсынамтся !налогичным бр.'.зом):
Пусть << -- . і-1, . . . )/„ ;; (I - -v . - = : . . . : , ~ С - , - г: - г, :/, { R. і .-1.. . 'і и '. < /' < ^- Обозначим через iW пространство всех лелых функций экспоненциального типа ; , которые как функции от лействительногс ~ принадлежат к ;,<К" л Пусть /!-) 6 '-^,'j и лусть через '' f '\ґ обозначается ее L: норма. Тогда для нее справедливо неравенство:
II Dnf |i,< V" : / и,,, u)
Это неравенство при п = 1 и р = зс доказано С.Н. БернгстеЯном. В об: ^м зиде (I) оно было доказано СМ. Никольским.
Неравенства Бернштейна - Никольского ;: их варианты привликали внимание многих
математиков таких как С.Н. Бернштейн, СМ. Никольский , И.И. Ибрагимов, Н.И. Ахиезер, Б.Я. Левин, П.И. Лизоркш*, Н.К. Fiapit, Л.Ф Тиман, Г. Трнбель. .4.3. Б^.рколайко, В.И. Овчинников, Е.А. Горин, Б. И. Буренков и Л',.Л. Гольдман. Б.Е. Майоров, г'.. G-Jtlirh . R..1. Xe^sel. \\ . Trebels. К. Sch< tot, Hrvr-н Txit Тхы-у Xoa, автор и др. Сходные неравенства
для целых функций экспоненциального типа, ограниченных на R", рассматривались также в работах Л. Хёрм»ндера , G. Wihu' >. Г. Civiu. P.L. ButziT. R.I. Nesscl. \V. Trebcls и др.
Неравенство БернштеПНі. - Никольского, наряду с неравенствами Никольского играют важную роль в теориях вложения, приближения и в различных приложениях. Отметим, что целые функции экспоненциального типа, ограниченные на действительном пространстве R", имеют свойства, весьма аналогичные соответствующим свойствам тригонометрических полиномов.В то время как тригонометрические полиномы являются хорошим средством приближения периодических с ункцил , целые функции экспоненциального типа могут служить средством приближения непериодических функций, заданных на л-мерном пространстве.
Из теоремы Пэли - Винера - Шварца ел-, дует, что
W;,,,, = {/{! і = 1: < R'' ) : SU])])F/ С &,,)
где Д, = {і Є R" :| ij j< i/j.j = 1 7>}.Ff() — /(О" преобразование Фурье
функции f(x). Следовательно, неравенства Бернштейна - Никольского (и Никольского) показывают тесную связь между свойствами функции и носителем ее преобразования Фурье.
Будем называть suppp/ спектром функции f[.r > и обозначим его через sp(/).
Естественно возникает вопрос о неравенстве Бернштепна - Никольского для функций со спектром, содержащимся в некотором произвольном компакте Л*. Здесь имеются некоторые результаты П.11. Лизоркина и Г. Трибеля, однако полный ответ неизвестен.
Подчеркнем,что при изучении неравенств типа Бернштейна- Никольского для функций со спектром, содержащимся в произвольном компакте возникают существенные трудности, связанные прежде всего с отсутствием традиционных методов исследования.
Необходимость и естественность изучения неравенств типа Бернштейна - Никольского для функций со спектром, содержащимся в произвольном компакте видны также при изучении пространств Соболева бесконечного порядка. Напомним его определение для случая G = R":
Пусть о0 > 0 - произвольная числова*; последовательность и 1 < р. г < ос. Тогда
класс всех функций вещественных переменных .сі !„, имеющих конечную норму
(х>,„и-/,,,;)
называется пространством Соболева бесконечного порядка. Пространства Соболева бесконечного порядка возникающие при изучении линепных и нелинейных дифференциальных уравнений бесконечного порядка с коэффициентами степенного роста, были введены Ю.А. Дубинским к 1975. Теория пространств Соболева бесконечного порядка,
как естественное но качественно иное продолжениетеории пространств Соболева конечного порядка, была построена и изучена Ю.А. Дубинским, Г.С. Балашовой , Чан Дык Ваном, Л.И. Клениной , Ю.А. Коняевым, А.Я. Кобиловым, СР. Умаровым, А.Н. Агаджаноэым, автором и др., которые рассматривали следующие вопросы: нетривиальность, теория следов, связь с краевыми задачами, теоремы вложения, геометрические свойства и др. _ При изучении нелинейных дифференциальных уравнении бесконечного порядка с коэффициентами произвольного роста возникает необходимость рассмотрения пространств Соболева - Орлича бесконечного порядка. Пространства Соболева-- Орлича бесконечного порядка были введены и изучены Чин Дык Паном, а затем им. автором, Нгуен Ньы Доаном, Ле Ван Хапом и др.
Как видно из определения, при изучении пространств Соболева бесконечного порядка и смежных вопросов, необходимо охарактеризовать поведение последовательности норм производных j| Daf j],,. I a |> 0. В частности, требуется иметь неравенства типа Бернштейна - Никольского для функции с произвольным спектром.
іі-іі'-'М:::"' '"п^пь неравенство Никольского: Пусть 1 < р < q < оо. Тогда
для тригонометрических полиномов вида
т і т п
tmi-l-) = ]Г '" И CU,.-J,,)'''Xl>(lU\->-\ + rj'„X„)) ,
и ' " ~
11/11, <2"(П",)l/r"l/'':i/ll, П)
,= 1
для целых функций экспоненциального типа п.
Для тригонометрических полиномов одного переменного аналогичные результаты получены G. Szego и Л. 2уе,тшкІ її для частного случая q ~ c-z D. .birk^ou. В многочисленных работах 11.11. Ибрагимова, Л.С. Джафарова, Д.И. .Чамедханова, Б.А. Рнмченко, I1J4. Сабзиева, Л.Ф. Тимана, Р. Несседя и Дж. Вилмса, эти неравенства (2), (3) улучпі.-ш.і и обобщены.
Аналогичные неранены па в весовых метриках и обобщенных лебеговских пространствах рассматривались в приведенных работах И.И. Ибрагимова, А.С. Джафарова, Пж.И. Мамедханова, Б.А. Римченко и Г. Трибеля . Подобные оценки для алгебраических полиномов на компактных множествах изучались в работах М.И. Ганзбурга, Г.К. Лебеда, G. Szego и A. Zygnuuid, М.Ф. Тимана, Дж. И. Мамедханова. Неравенства типа Никольского, связанны: с ортогональными системами функций изучались в работах D. Jackson, R.J. Xoshol, Г»'..]. Wilmcs, С. Wnteiii. V. Okuyania, А.Ф. Тимана, В.И. Буренкова, С. Mnrkrtt. P. Ncvni. V. Totik. P. Nevai, G. Рісші. X»nyt>n Qu,ni» Нон и др.
Неравенства Никольского для симметричных пространств рассматривались в работах В.А. Родина, М.И. Ганзбурга, В.И. Овчинникова и М.З. Берколайко.
Дальнейшие углубления в изучении неравенств Никольского и Бернштейна-Нихолъского такие как перенесение их на более общие нормы (а именно, нормы Люксембурга или Орлича, часто встречающиеся в изучении нелинейных дифференциальных уравнений ) или уточнение, естественны и важны. Необходимость таких углублений ясна также при изучении теории пространств Соболева - Орлича бесконечного порядка и нелинейных дифференциальных уравнений бесконечного порядка.
Следует отметить, что теория функциональных пространств бесконечного порядка отличается от теории пространств конечного порядка хотя бы уже тем, что фактически здесь речь идет о бесконечно дифференцируемых функциях. В частности, совершенно нетривиален вопрос о существовании нелулевого элемента функциональных пространств бесконечного порядка (т.е. вопрос о нетривиальности), положительный ответ на него играет решающую роль в теории краевых задач для дифференциальных уравнений бесконечного порядка. Задача о нахождении решений краевых задач для уравнения бесконечного порядка содержательна, если соответствующие энергетические пространства нетривиальны.
Как известно, в теории краевых задач для уравнений с частными производными (в особенности, нелинейных задач) важную роль играют теоремы вложения классических пространств Соболева. Точно так же (и даже в большей степени) при исследовании краевых задач для уравнений бесконечного порядка существенны теоремы вложения и компактного гложения пространств Соболева бесконечного порядка.
Изучим следующее вложение
Wx{aa.p,r}(G) Cir{i„.,,r)(G). (4)
Ю.А. Дубинским доказаны необходимое"'!! достаточное условия вложения и компактного вложения (4) (как специальный случай вложения абстрактного предела банаховых пространств). Эти условия получены в терминологии асимптотического поведения норм операторов вложения uv„ : Л'і- —> 1"„, в процессе к —> со, їм —* оо. К сожалению, в настоящее время общие методы точного вычисления норм этих операторов неизвестны, поэтому, наряду с общими функциональными критериями, существенное значение приобретают условия, имеющие алгебраический характер и являющиеся достаточными для вложения и компактного (4). В частности, важно найти условия вложения, зависящие от параметров аа,60,р.г пространств Woa{(in,p,r}(G),W{bl>,p.i}(G), от функций характеристики этих пространств, ...
Теоремы вложения пространств Соболева бесконечного порядка рассматривались й работах Ю.А. Дубинского, Г.С. БалашовоЯ , автора и Динь Зунга.
Отметим, что теория нелинейных краевых задач в случае уравнений конечного порядка была построена в 60-х гг., причем значительлно ранее были уже хорошо изучены в работах СМ. Никольского, Л.Д. Кудрявцева, Ж.Л. Лиоиса свойства функций из энергетических
пространств, которым принаялежат решения рассматриваемых задач. В случае же уравнений бесконечного порядка теория соответствующих функциональных пространств получила развитие только в последние годы и, на наш взгляд, представляет самостоы-
ательный интерес.
При изучении теорем вложения пространств Соболева - Орлича бесконечного порядка необходимо рассмотреть неравенство Колмогорова для нормы Орлича. Напомним теперь неравенство Колмогорова: Пусть / - некоторый интервал в R', а функция /('') вместе
с всеми производными /'*' і J'l. k — 1 п ограничена на / и /( "-1'( г ! удовлетворяет
липшицевому условию. Положим
tuf.I) =мірі/,1,Гг',! . 1- = 0.1 7i .
A.II. К-?т"г.гпоов ставил вопрос о нахождении необходимого и достаточного условия,
налО/Ксякогп на ц1)% t., /: для того. чіиСїі.; гг»<-^вовала функция /(X ) такая, что
/U- = .<'*(/ Л- *'=0.1 п
и решил это вопрос для случая / = { —X. х) и трех чисел /ii)./u-< *<>. А именно
c„t = л-,1_і,-л';,"-'"".
Л", = - У .-l)''"1 . 2_!l — 11'~' ичетноі. ;>= I . "/
Л", = — У 1/(2/)- l>'~' 'І НеЧеТНОІ
Затем Е. Стейну удалось перенести это неравенство (для L ^- - нормы) на случая L„ нормы (1 < р < оо и причем, с такими же константами).
Неравенства типа
\f л - Л-'" !г.У .,. -
где 0 < к < п, А > 0. 1 < p. q,r < со играют важную роль в математическом анализе. Такие неравенства изучали многие математики такие как Г. Харди, Дж. Литтлвуд, Е. Ландау, Ж. Адамар . Б.С. Надь, А. Родов. СБ. Стечкин, Л.В. Тайков, В.В. Арестов, В.М. Тихомиров, Г.Г. .Чагарил - Ильяеа. В.Н. Габушин, Н.П. Купцов, А.П. Буслаев, А.П. Мз-торин, В.И. Бердьгглев, Нгуен Тхи Тхьеу Xoj, Е.М Stnn 1-І. Si'Ikk'hIhti;, А. C'rM';uvn;i. Z. Diui.iu. H. Gm.llrr. Л. Gol.Utnn. Л. Gol.br.-m. E. Hillr. M. W. Certain, Т.О. Kurt),
.5
H X. Boyadzicv, и для ^-мерного случая - В.П. Ильин, В.А, Солокников, Г.С. Балашова, L. Nirenberg, Е. Gaglianlo. Diiib Dim» и др.
Таким образом, необходима и естественна задача обобщения неравенства Колмогорова на случай произвольной нормы Орлича.
В последние годы активным средством исследования уравнении в частных производных стала теория псевдодифференциальных операторов (п.д. операторов). Эта теория, основу которой составляет алгебра п.д. операторов в различных пространствах основных и обобщенных функций, может рассматриваться, в частности, как операторное исчисление, являющееся развитием и обобщением классического исчисления Фурье и его различных вариантов.
Теории п.д. операторов в настоящее время посвящена значительная литература. Первые результаты Дж. Дж. Кона и Л. Ниренберга и Л. Хёрмандера составляют основы теории п.а. операторов, которую сегодня можно назвать классической.
Существенные приложения и дальнейшее развитие этой теории даны в работах М.С. Аграновича, Л.Р. Волевича, В.В. Грушина, Дж. Дюстермаэта и Л. Хёрмандера, Ю.В. Егорова, X. Кумано-го, Л. Ниренберга и Ф. Трева, О.А. ОлеПник и Е.В. Радкевича, М. Теялора, .Ч.А. Шубина, X. Трлбеля и многих других авторов.
Следует подчеркнуть, что в приведенных работах теории п.д. операторов относятся к случаю операторов, символы которых .4(.г. ' суть гладкие функции, определенные по (, в полном евклидовом пространстве R". Однако, как показывают примеры краевых задач математической физики, возникает необходимость изучения п.д. операторов, символы которых имеют особенности и, следовательно, не являются гладкими функциями, определенными для всех значений і Є R". Теория таких п.д. операторов введена и изучена в работах Ю. А. Дубииского. Этой теории посвящены также работы Чан Дык Вана, Чинь Нгок-Миня, Динь Нхо Хао, автора и др.
Естественная и очень важная следующая задача: Зная символ п.д. оператора, нужно дать различные свойства самого оператора.
Далее, как известно, одной из центральных теорем гармонического анализа является теорема Шли - Винера - Шварца, которая в частности, вместе с теоремой о носителях играет важную роль в теории линейных уравнений в частных производных.
Теоремы Пэли - Винера - Шварца явно характеризуют фурьс - образы некоторого класса распределений (или функций) с носителем, содержащимся б некотором компакте А С R". Они дают нам прямые соотношения между ростом рассматриваемых функция и носителем их преобразования Фурье. Теорема Пэли - Винера - Шварца и ее варианты привлекали внимание многих математиков таких как Р.Е.А.К. Пэли, Н. Винер, М. Планшерель , Г. Полна, Л. Шварц, Л. Хёрмандер , Г. Бъёрк, Ф. Трев, М. Рид, Б. Саймон, Г. Комацу, К. Ромию, Г. Трибель, Р.В. Браон, Р. Мэвз, Б.А. Тэйлор и др. В известных работах выпуклость множества А" всегда предполагается.
Другой причиной изучения теоремы Пэли - Винера - Шварца является ее приложение
к теория дифференциальных уравнения: Пусть, например, Q - некоторое компактное множество в Н" и Р{.) - некоторый полином. Рассмотрим разрешимость дифференциального уравнения
PlD)h=f (5)
- в пространстве t'(Q) распределении с компактным носителем, содержащимся в О, где дифференциальны!! оператор Р\ Н получается ИЗ Р{) заменой ij —* ~'^7'-J = 1.-- .'> Используя преобразование. Фурье, получим эквивалентное уравнение ~
P!V><{^-= НІ) "-'"
а пространстве Ff '{(})), где Гд — д - преобразование Фурье функции у.
Ясно, что целая функция экспоненциального типа fi J) должна делиться на полином РцЛ- Следоваге 1Ы!о, чгобь; решить уравнение (Г>) простым алгебраическим уравнением Св.:
L. - р-1\й<\!Г(1)\. нам надо проверить условие
Л(ї) = /іО/Рії)Є Fi'[Q)).
И поэтому, надо охарактеризовать F{i''lQ)), т.е. получить теорему Пэли - Винера -Шварца.
В своем первоначальном виде теорема Пэли - Винера дает характер функции одного комплексного переменного, получающихся как преобразование Фурье функций из Л FJ ) с компактными носителями. Ке а - мерный случай формулируется Планшерелем и Полна Затем Л. Шварцу удалось освободиться от условия принадлежности к _> В таком зи..е теорема более естес- ііенна и полезна.
ieopesta Пэли - Винера - Шварца, которая характеризует фурье - образы распределении с компактным ноопелем. сод катимся в параллелепипеде Л., принадлежи"! Л. IllHapLty. А а общем случае, когда паралдепипед Л7 заменяется произвольным выпуклым компакт ным множеством А принадлежит Л. Уе'рмандеру.
Кстественно и необходимо рассмотреть теорему Пэли - гїинера - Шварца для случая, когда Л невыпукло.
Цель работы В данной работе в основном мы будем решать выше доставленные задачи Л именно,
1} Дальнейшее изучение неравенств Бернштелна - Никотьского и Никольского.
2) Характеристика поведения последовательности норм производных рункции в зав исимости от ее спектра.
5! Изучение геометрии спектра функции из пространств Орлича.
-П Изучение свойств псевдодифференциальных операторов в зависимости от их символа.
5) Решение классической проблемы о характере фурье-образа пространства распределении с носителем, содержащемся з произвольно зафиксированном компакте.
6)Получение алгебраических условий вложения и компактного вложения пространств Соболева бесконечного порядка.
7} Получение неравенства типа Колмогорова - Стейна для нормы Орлича. 8) Изучение теории пространств Соболева - Орлича бесконечного порядка.
Общая методика исследования. В работе используются методы теории функции и функционального анализа (в частности, пространства Орлича. обобщенные функции, преобразование Фурье,псевдодифференциальные операторы,теоремы о мультипликаторах) преобразование и регуляризация рядов и методы теории дифференциальных уравнений с частными производными.
Научная новизна. Все результаты, изложенные в диссертации, являются новыми. Полученные результаты находятся в одном узком направлении, показывающем тесную связь между свойствами функций и их спектром. Они выражаются через неравенства типа Бернштейна - Никольского, неравенства Никольского, спектральный радиус п.д. операторов. Teopf-'.ibi Пэли - Винера - Шварца для функций с необязательно выпуклым спектром,... Эти результаты широко применяются в изучении пространств Соболева и Соболева- Орлича бесконечного порядка.
Сформулируем основные из полученных автором результатов:
1. Установлен один результат, который является дополнением к изучению неравенства Бернштейна - Никольского. Доказано, что неравенство Бернштейна - Никольского полностью характеризует пространство Ш,^,. Показано, что естественно ожидаеммое неравенство Бернштейна - Никольского для функций со спектром, содержащимся в произвольном компакте неверно в общем случае.
2 Установлені некоторые неравенства типа Бернштейна - Никольского для функций с произвольным спектром. Эти неравенства выражаются в виде асимптотического поведения последовательности Lv - норм производных функции. Доказан один результат, который полностью характеризует поведение последовательности ||)/||(, . о > 0 в зависимости ОТ:!'!>'../
-
Доказаны аналогичные результаты для тригонометрических полиномов.
-
Введены некоторые понятия мажорации функций Юнга, при которых устанавливаются неравенства Никольского для норм Люксехібурга и для функций с произвольным спектром.
5. Дан анализ геометрии спектра функций пространства Орлича L
вается , что функции Юнга распадаются на две трупы, при которых спектры функций
соответствующих пространств Орлича имеют совсем различные геометрии. Полученный
анализ имеет самостоятельный интерес и применяется в дальнейшем.
С. Введена одна алгебра псевдодифференциальных операторов, действующих инвариантно и непрерывно в пространстве ЯЯдф и обнаружено, что для любого элемента .4(.0) этой алгебры, всегда существует следующий предел
ЛІ — ОС
для любой / Є ОТд-ф Назовем этот предел точечным спектральным радиусом п.д. оператора .-1(D) и вычислим супремумом модуля символа оператора -4(D) На носителе преобразования Фурье функции /. Рассмотрена также разрешимость п.д. уравнений .
7: Вычислен спектральный радиус п.д. операторов данной алгебры.
S. Решена классическая проблема о характере фурье - образа пространства распределения с носителем, содержащимся а произвольном компакте, т.е., доказана теорема. Пэли - Винера - Шварца для случая произвольного компакта Л . Полученные результаты являются неравенствами типа Бернштейна для целых функций экспоненциального типа, которые как функции от действительного переменного не обязательно являготся суммируемыми.
-
Поскольку условий проверка только что упочякутого результата очень сложны. Поэтому введены некоторые специальные множества, которые необязательно выпуклы. и докалсзапм теорему П-гД;: В"«епа - Шварца для этих множеств.
-
Доказаны необходимо- " .^"-таточнис ^итлзтте имваонапііі?г.: тмффеоенцизльных операторов бесконечного порядка в пространстве распределения с компактным носителем
11. Установлены, новым методом, некоторые легко проверяемые и достаточно то
чные алгебраические условия вложения и компактного вложения пространств Соболева
бесконечного порядка для случая п = 1. Некоторые результаты, полученные автором,
являются более точными чем соответствующие результаты предыдующих авторов. Сле
дует отметить, что случаи 1<г<осні' = зс (непредельный и предельный) являются
различными и в каждом случае требуется специальный подход.
12. Доказано неравенство Колмогорова (с такими же константами как в известном нер
авенстве Колмогорова) для произвольной нормы Орлича и применяется этот результат
для установления теорем вложения пространств Соболева - Орлича бесконечного порядка.
-
Доказаны критерии нетрнвиальности классов, пространств Соболева - Орлича бесконечного порядка в полноч евклизове пространстве.
-
Охарактеризован запас функции пространства Соболева - Орлича бесконечного порядка з термине спектра.
-
Доказаны необходимое и достаточное условие инвариантности и непрерывности координатных преобразования а пространствах Соболева - Орлича бесконечного порядка.
1С. Доказано, что любое пространство Соболева - Орлича бесконечного порядка в ограниченное области с локально лнпшицевоя границей сепарабельно, что невозможно для пространств конечного порядка. Это показывает существенное различие между пространствами конечного и бесконечного порядков.
Достоверность результатов. Все результаты диссертации сформулированы в виде теорем, лемм, следствия и строго доказаны.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. В ней. продолжено изучение известных неравенств Бернштейна - Никольского и Никольского, проведена оценка норм производных функции в зависимости от ее спектра и изучена геометрия спектра функций из пространств Орлича. Представленные
результаты имеют самостоятельный интерес и применяются аизучении теорем вложения и других вопросов теории пространств Соболева - Орлича. Получены легко проверяемые алгебраические условия вложения и компактного вложения пространств Соболева и Соболева - Орлича бесконечного порядка.Эти результаты используются при решении нелинейных дифференциальных уравнений бесконечного порядка. Решение классической проблемы о характере фурье-образа пространства распределений с носителем, содержащимся б произвольно зафиксированном компакте имеет применения в решении дифференциальных уравнений. Показанное известное неравенство Колмогорова - Стейна для произвольной нормы Орлича может быть использовано а различных вопросах. Таким образом, полученные результаты имеют практическое применение и это показано в самой работе.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались: регулярно, начиная с 1982 года, на научных семинарах Ханойского института математики (рук. проф. Чан Дык Вав), на научных семинарах МИ РАН им. В.А. Стеклова (рук. акад. РАН С.М. Никольский, член-корр. РАН Л.Д. Кудрявцев, член-керр. РАН О.В. Бесов), МЭИ (рук. акад. МАН ВШ Ю.А. Дубинския), Софиаского университета (рук. проф. Мори-мото), Тшукубаского университета (рук. проф. Т. Мурамату), Токиоского университета (рук. проф. Комацу), на Международных математических конгрессах 2ІСМ-90. ICM-94, на 3-ем коллоквиуме по анализу (Берне 1994), на Международной конференции по прикладному анализу (Ханой 1993) и др..
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 12 научных работах, список которых приведен в конце автореферата. Некоторые результаты данной диссертации изложены также в работах, принятых к публикации.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и шести глав, разбитых в общей сложности на 17 параграфов и списка актируемой литературы из 260 наименований. Общий объем работы составляет 269 страниц текста. Номерация утверждения троПная: номер главы, номер параграфа, номер утверждения.
Автор выражает глубокую благодарность профессорам Чан Дык Вану и Ю.А. Дубин-скому за поддержку и влияние на формирование своих математических интересов. С доброй памятью выражаю благодарность профессору Ю.Ф. Коробейнику, у которого много научился со студенческого времени.
Эта работа поддержана Национальным центром науки и технологии Вьетнама.
