Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Точные неравенства типа Джексона для при ближений классов сверток целыми функциями конечной степени 35
1. Введение 35
2. Вспомогательные результаты 42
3. Ядра Крейна 49
4. Вполне монотонные функции и преобразования Фурье 54
5. Разложение ядер и построение приближающих операторов 64
6. Неравенства типа Джексона 76
7. Применение общих теорем к конкретным ядрам 87
Глава 2. Аналог сумм Ахиезера—Крейна—Фавара для периодических сплайнов минимального дефекта 99
1. Введение 99
2. Построение и свойства ядра оператора 102
3. Теоремы типа Ахиезера—Крейна—Фавара . 116
4. Предельное поведение операторов 122
Глава 3. Общая схема доказательства неравенств типа Джексона для производных и ее применение к приближению сплайнами 127
1. Введение 127
2. Формула Эйлера—Маклорена и ее неполные итерации 129
3. Общая схема построения линейных операторов на основе итераций формулы Эйлера—Маклорена 135
4. Оценки для сплайновых аналогов операторов Ахиезера—Крейна—Фавара 147
Глава 4. Точное неравенство типа Джексона для сумм Рогозинского и второго модуля непрерывности 164
1. Введение 164
2. Точная оценка для приближения суммами Рогозинского первого порядка 166
3. Вспомогательные результаты 171
4. Интегральное представление отклонений сумм Рогозинского 179
5. Основные теоремы 195
Глава 5. Точное неравенство типа Джексона для приближения линейными положительными операторами 201
1. Введение 201
2. Свойства элементов и собственных векторов матриц 204
3. Сведение задачи к задаче минимизации квадратичного функционала 210
4. Исследование квадратичного функционала 216
Глава 6. Точные оценки погрешностей формул типа численного дифференцирования на классах целых функций конечной степени 224
1. Введение 224
2. Абсолютно монотонные функции 226
3. Точные неравенства общего вида для целых функций конечной степени 229
4. Построение формул типа численного дифференцирования и оценки их погрешностей 237
5. Оценки для отклонений функций Стеклова . 255
Литература 261
- Вспомогательные результаты
- Построение и свойства ядра оператора
- Формула Эйлера—Маклорена и ее неполные итерации
- Точная оценка для приближения суммами Рогозинского первого порядка
Введение к работе
Диссертация посвящена установлению ряда классических неравенств теории приближений с точными постоянными. Исследуются неравенства типа Джексона, Ахиезера—Крейна—Фавара, Берн-штейна и приближение тригонометрическими многочленами, целыми функциями конечной степени и сплайнами.
Диссертация состоит из шести глав, разделенных на параграфы. Нумерация утверждений отдельная для каждого типа утверждений в каждой главе. При ссылках внутри главы указывается только номер соответствующего утверждения. При ссылках на утверждение другой главы первым указывается номер главы, например: следствие 3.10. Нумерация формул двойная и указывает номер главы и номер формулы в главе, например: формула (1.22).
1. Первая глава посвящена точным неравенствам типа Джексона для приближений классов сверток целыми функциями конечной степени.
Неравенствами типа Джексона в теории приближений принято называть неравенства, в которых приближение функции оценивается посредством модуля непрерывности (самой функции, ее производной и т.п.) Первым такое неравенство /) (7) (/,1) для приближений непрерывных периодических функций тригонометрическими многочленами и модуля непрерывности первого порядка получил Д.Джексон в 1911 году.
Первое точное неравенство типа Джексона установил Н. П. Корнейчук [57], который доказал, что для любых вещественнозначных функций / из С и п Є N Дп(/Кі-"і (/,), причем константа 1 точная при всех п в совокупности, т.е. sup sup = 1. Н. И. Черных [96, 97] доказал неравенство типа Джексона в пространстве Li\ точное при каждом фиксированном п.
В 1937 году Ж. Фавар [101] и Н. И. Ахиезер и М. Г. Крейн [4] построили линейный метод приближения ХП)Г со значениями в пространстве тригонометрических многочленов порядка не выше п — 1, такой, что для любой / Є С ІІ/--їп,г(/Ж ІІ/(г)ІІ. (1) причем константу JCr на классе С уменьшить нельзя, даже если заменить левую часть на наилучшее приближение. Кроме того, в [4] были построены линейные операторы ХПіГ, реализующие аналогичное точное неравенство для класса С . Неравенства, в которых приближение функции оценивается через норму (полунорму) производной, производной сопряженной функции и т.п. будем называть неравенствами типа Ахиезера—Крейна—Фавара. Впоследствии аналоги неравенства (1) были установлены для многих классов сверток периодических и непериодических функций. Из большого числа работ на эту тему укажем на статьи [1, 2, 62, 63, 102, 103, 75, 87, 37, 73, 74]. Многие результаты вошли в монографии [3] и [104].
История вопросов и некоторые известные результаты, касающиеся исследования верхних граней приближений (как наилучших, так и приближений линейными методами) на различных классах функций, отражены в обзорных статьях [77, 88, 89] и монографиях [90, 83, 60].
Соотношение (1) для нечетных г было усилено В. В. Жуком [40] (г = 1) и А. А. Лигуном [67] (7- 1), которые установили неравенство типа Джексона с точной константой:
ll/-X„,r(/)ll i(/W,9 (2) для любой / Є С . А. Ю. Громов [34] доказал точное неравенство /Сг ll/-AV(/)IK 7 (/W, ) (3) (г нечетно, / Є С В (Щ) для приближений целыми функциями конечной степени и его аналог в интегральной метрике {Ха г — линейный оператор). В. В. Жук [43] установил следующее усиление неравенств (1) и (2):
\\f-Xn,r(f)\\ ( )"{A-,o/W+JV„,r,m(/W)} при всех г Є N, а если, кроме того, г нечетно, то /-Х»,г(ЛИ ©Г{ Ы1 (/W. ) +JV».-.m(/W) (4) (5) а также аналогичные неравенства для ряда полунорм. В этих неравенствах п, т Є N, in — Nn,r,m(fir)) = Y,A щ/(г)) + v-\ a АГ)І/ — некоторые явно построенные константы. Н. И. Мерлина [71, 72] получила аналогичные (4) и (5) неравенства для приближения целыми функциями конечной степени.
В первой главе разрабатывается метод получения точных в равномерной и интегральной метриках неравенств типа Джексона для приближения целыми функциями конечной степени классов сверток функций, как периодических, так и непериодических, заданных на всей оси. Метод применим к широкому классу сверток, в том числе, к сверткам с "классическими ядрами": Пуассона, теплопроводности, ядрами некоторых дифференциальных операторов, а также ядрами, сопряженными к перечисленным ядрам. Оценки достигаются с помощью линейных методов приближения, остаются точными, даже если заменить левую часть на наилучшее приближение, и усиливают классические неравенства типа Ахиезера—Крейна—Фавара. Устанавливаются точные неравенства, в которых правая часть представляет собой линейную комбинацию модулей непрерывности возрастающих порядков. Частными случаями установленных неравенств являются неравенства для приближений периодических функций тригонометрическими многочленами и почти-периодических функций обобщенными тригонометрическими многочленами. Оценки справедливы для широкого класса пространств с полунормой, инвариантной относительно сдвига.
Пусть Ті — замкнутое подпространство пространства LP(1R) (1 р со) или пространства UCB(R) (р = со), Р — полунорма, заданная на ТІ. Если выполняются условия:
1) пространство инвариантно относительно сдвига, т.е. для любых / Є ТІ и h Є R будет /(• + h) Є ТІ и P(f(- + h)) = P(/), существует такая постоянная J5, что P(f) -B/p для всех то будем говорить, что пространство (ТІ, Р) принадлежит клас су Б. Примерами пространств класса Б являются: (UCB(№), • оо), (Lp(IR), • \\р) (1 р со), пространства периодических функций (С, • р) (1 р со), а также более общие пространства равномерно непрерывных почти-периодических функций [66], показатели которых принадлежат фиксированному множеству, с различными нормами (равномерной, Степанова, Вейля, Безиковича).
В § 2 устанавливается несколько лемм, необходимых для дальнейшего. В § 3 описывается построение операторов, реализующих точные константы в неравенствах типа Ахиезера—Крейна—Фавара для приближений классов сверток. В § 4 вводится класс ядер, свертки с которыми изучаются дальше, и доказываются некоторые свойства ядер этого класса.
Обозначим через СМс(у0) и CM s{yo) (уо 0) множества соответственно четных и нечетных функций G из L(]R), преобразование Фурье которых при у у0 представляется в виде / +0О /"+00 a{G,y)= e-y2ud$(u) или b(G,y)= е у2и dV(u), Jo Jo где Ф и Ф — возрастающие на (0, +со) функции, такие что интегралы конечны. Положим еще СМ (уо) = СМс(уо) U CMs(yo). Многие классические ядра (Пуассона, теплопроводности, ядра дифференциальных операторов) принадлежат классам СМ (уо).
Пусть а 0. Рассматривается приближение функциями из Ест (Ест_о) классов сверток с ядром G из СМ (уо) f = T + v G. (6)
Функция ср принадлежит некоторому пространству, а Т Є Ест (Ест_о); на функцию ср могут также накладываться условия ортогональности пространству ECTl ( 7i а или о\ а).
Пусть х = О, если G четно, к = 1, если G нечетно; /г=-оо 2а [3, с. 199-203] — четная или нечетная функция из Ест П L(R), интерполирующая функцию G в точках (" 2а (к Є її)] X r,G(f)=T + p L r(G), (7) оо - У —— —,,, G нечетно, 7Г - _ 2u-\-l oo J E fefa(G, (2 + 1)0-), G четно. /Ca,G = Тогда Xa o{f) Є Ea. В некоторых случаях можно представить Ха о в виде оператора свертки и распространить на более широкие классы функций /, чем задает формула (7). Если Т — постоянная, а (р имеет период 27Г, то Ха {ї) — тригонометрический многочлен степени меньшей, чем О". Доказываются неравенства типа Ахиезера—Крейна—Фавара для сверток с ядрами классов СМ (т/0). Следующее утверждение содержится в работе в расширенном виде в леммах 1.5 и 1.6. Лемма 1.5-6. Пусть (9Я,Р) Є В, ір Є ТІ, у0 О, G Є CM (у0), c{G) Є C (2)(IR), функции f и ср связаны равенством (6), а т/0. Тогда P(f-X r,G(f)) r,GP( p). (8) В пространствах (CP(IR), • оо) и (Х(К), • Ці) константу )Са в неравенстве (8) нельзя заменить меньшей, даже если заменить левую часть на Aa(f)p, а в пространствах — -периодических функций с равномерной и интегральной нормой — даже если заменить левую часть на Aa-o(f)p. Выполнение неравенств леммы основано на том, что для функ -2 ций G из СМ (?уо) разность G — La{G) меняет знак в точках интерполяции, и только в них. Б.Надь [103; см. 3, п.88] доказал, что для выполнения неравенства типа (8) в случае четной функции G достаточно трехкратной монотонности a{G) (т.е. чтобы a{G) Є С 3 (К.) и (—l)ra (G,y) 0 при 0 г 3 и у сг), а в случае нечетной функции G — двукратной монотонности b{G). Но лемма 1.5-6 не следует из теоремы Надя, так как преобразования Фурье функций из классов СМ (т/о) могут не удовлетворять условиям кратной монотонности. . . 2 В §5 для функций класса СМ (т/о) при любом т Є N получено разложение ттг —1 G = Л &h{Khv) + Sh{Ghm) + Mhm, где Mhm Є Eyo HL(IR), а функции Khu и Ghm удовлетворяют специальным условиям, обеспечивающим точность последующих оценок. При и Т/о положим U ohm (/) = Uahm,c{f) =Т + (f Mhm + Г( ) La(Ghrn), Ahv — Ahv,G И Bahm = Bahm,G НЄКОТОрЬІЄ ЯВНО ПОСТрОЄННЬІЄ KOH станты {Ahv, вообще говоря, не совпадают с Аг из формул (4) и (5)). Ясно, ЧТО Uahm,G{f) Є Ест. В § 6 получены основные результаты главы — неравенства типа Джексона. Теорема 1.1. Пусть (Ш1,Р) Є В, (р Є Ш, у0 0, G Є СМ (у0), c{G) Є С {Ж), функции f и р связаны равенством (6), т Є N, 0 h ; а т/о. Тогда т—1 P{f - Uahm{f)) АЛ„Р( К(у )) + BahmP{5Z{ip)), т—1 P{f - Uahm{f)) A u; , Л)р + В ohm m Если, сверх того, ядро G нечетно, то P(f-Uahm(f)) Ah0- 2 га — 1 тп —1 + 2Z AhvUv{ P, h)P + Ва1ігпи}т(ір, /l)P. При m= 1 из теоремы 1.1 следует неравенство типа Джексона для первого модуля непрерывности. Следствие 1.3. Пусть (9Я, Р) Є В, р Є 9Я, у0 О, G Є CMs(y0), c(G) ЄС (Щ, функции f и (p связаны равенством (6)., О h -f-, о у0. Тогда P(f - Uahl(f)) ( f- + Bahl\ Ш1( р, h) р В случае равномерной нормы и шага h = —, а — нечетное натуральное число, неравенство следствия 1.3 точно. Более того, 4,-0(/).. ll/- . .i(/)IU .0 SUp г гт = Slip — = 1- ± а _ _ ,1 Верхние грани не изменятся, если брать их по множеству Ь00(Ш), а также если ограничиться -периодическими функциями с нулевым средним (теорема 1.2). При шаге модуля непрерывности, равном —, построенные операторы не зависят от т: Ua ,m,G = Xa,G (лемма 1.13). Кроме того, для нечетного ядра G Az.,0 ,_ /Со- п (замечание 1.12). Следствие 1.4. Пусть (9Л,Р) Є В, (р Ш, у0 О, G Є CMs(y0), c(G) Є С (Ж)} функции f и р связаны равенством (6), а уо. Тогда При /г = — правая часть неравенств теоремы 1.1 убывает по 7г, а левая не зависит от га. Поэтому наилучшая оценка получается в пределе при т — со (следствие 1.6). В § 7 общие теоремы предыдущего параграфа применяются к конкретным операторам. Частными случаями следствия 1.4 являются неравенства типа Джексона для производной (2) и (3), неравенства для производной сопряженной функции: ll/-AV(/)IK i(/w ) (9) (г четно, Ха}Г — линейный оператор, реализующий точную постоянную в неравенстве типа Ахиезера—Крейна—Фавара для производной сопряженной функции), а также более общие неравенства для дифференциальных операторов, примененных к самой функции или ее сопряженной. Для периодических функций неравенство (9) принимает вид II/- »,(Лк (/ .)• Результаты главы 1 опубликованы в работах [23, 24]. 2. Во второй главе строятся аналоги сумм Ахиезера—Крейна— Фавара для периодических сплайнов. Для приближения сплайнами минимального дефекта известны, в частности, следующие точные соотношения типа Ахиезера— Крейна—Фавара. Пусть г Є N, т Є Z+, га г — 1, р = 1, со. Тогда БЩ]) II f и II = () Обозначим через сгП;ГП(/) сплайн из c 2n,m, интерполирующий функцию / в точках 2Ьг+™ (fceZ), где Г га нечетно, т четно. При т = г — 1 константа в (10) реализуется линейным проектором, а именно, с помощью интерполяционного сплайна: / -сг r_i(/)p /Сг , . ,§ ІІ/мі, = - • (И) Соотношения (10) при т = г — 1, р = оо и (11) при р = оо установил В.М.Тихомиров [91]; соотношения (10) в остальных случаях — А. А. Лигун [68]; соотношение (11) при р — 1 — Н. П. Корнейчук [58]. Интерполирование не является единственным линейным методом, реализующим константу при р = оо: известно, что [60, с.221; 59, с.213] sup /-co(/)- r(Ji (/-=0(/)))11= 1С г fewb H/WIU Также справедливо равенство \\f - CTntl(f)\\оо 7Г sup few, (1) со ІІЯІоо 2п" Перечисленные результаты можно найти в монографиях [59] и [60]; см. также [39, глава 11]. А. А. Лигун [68] доказал существование линейного оператора из С в S2n,rn- реализующего константу в соотношении (10) при т г, р = оо (явный вид этого оператора в [68] отсутствует). Во второй главе при т г строятся линейные операторы Хп т • L — S2n,m (аналоги сумм Ахиезера—Крейна—Фавара), реализующие константу в соотношении (10). Построение операторов Xn m основано на той же идее, что и в полиномиальном случае — интерполировании ядра Бернулли. Как известно, метод Ахиезера—Крейна—Фавара Хп,г на функциях из (г) W{ определяется равенством ХпАМ = (/) + - Г 1{г)ЫпЛ - «) du, К J-1T где п,г — тригонометрический многочлен из 72п-ъ интерполирующий ядро dr в точках 2к% Єг (к Є Z). На функциях из W± оператор -ХП)Г)ГП задается формулой 1 f n Xn,r,m(f,t) = со(/) + - / f{u)(u),n,r m(t,u) du, ГДЄ При КаЖДОМ U фуНКЦИЯ n,r,m{ -,u) ЯВЛЯеТСЯ СПЛаЙНОМ ИЗ e 2n,m и удовлетворяет интерполяционным условиям / , 2кіг + є„ \ (2ктт + єЛ , _ Интегрированием по частям оператор Xn r,m, как и ХПіГ: распространяется на все пространство L. В § 2 исследуется разрешимость интерполяционной задачи, находится явный вид функции п,г,т (в терминах коэффициентов разложения по функциям Бернулли и коэффициентов Фурье) и устанавливаются некоторые ее свойства. Важнейшим из них является то, что разность n}r,m{ti и) — dr(t — и) меняет знак в точках интерполяции, и только в них (с небольшими оговорками о возможности тождественного обращения в нуль на некоторых промежутках). Кроме того, оказывается, что значения построенных операторов принадлежит (2п — 1)-мерному подпространству S n т пространства $2п,т- Это замечание позволяет при приближении функций классов Wp сплайнами ограничиться пространствами сплайнов размерности на единицу меньше, чем было привычно, и показывает, что с точки зрения размерности приближающего пространства пространства сплайнов ничуть не хуже пространства полиномов. В § 3 устанавливаются неравенства типа Ахиезера—Крейна— Фавара для отклонений операторов ХП)Г)7П. (г) Теорема 2.1. Пусть п,г,т Є N, т г, 1 р оо, / Є Wv . Тогда /-AV,m(/)p /(r)p. (12) nr При р = 1,оо неравенство точное, т.е. SUP : ГГТґІГЇІ = SUP \\f — n,r,m(f)\\oo _ \\f — - n,r,m(/)l _ т r « H/(r)IU / E„V, ll/wili Далее с помощью операторов ХП}Г Ш устанавливаются результаты для наилучших приближений (следствие 2.3): 1С n,rn\J )р -&п,т—г\І Jpi { ) 1С ZE?X (firY Ех (f) 2-Ех (f[r)) П точные при p = l,oo (E m — наилучшее приближение простран ством s2xnjm). Соотношения (13) при р = 1,оо вместе с утверждением об их точности ранее были получены Н. П. Корнейчуком (см. [60, с.246; 59, с.144]) с помощью теорем двойственности. В § 4 исследуется поведение операторов Хп т при т — со (теорема 2.2). Доказывается, что ЩИ -Л.п,г,га = - -п,г j m—Юо например, по норме операторов из L в С и, следовательно, равномерно lim Xnirtm(f) =A"n r(/), га— оо так что, например, равенство (1) может быть получено из (12) предельным переходом. Родственные результаты, связывающие приближение сплайнами растущего порядка и тригонометрическими полиномами, содержатся в работе В. Л. Великина [14]. Результаты главы 2 содержатся в статье [22].
3. В главе 3 разрабатывается общая схема построения линейных методов приближения периодических функций, допускающих оценки через линейные комбинации модулей непрерывности производных, и эта схема применяется к приближению сплайнами.
При доказательстве неравенства (2) использовались неравенства (1) и формула Эйлера—Маклорена; при доказательстве неравенств (4) и (5) формула Эйлера—Маклорена итерировалась. С помощью этой конструкции В. В. Жук [42, 44, 45] оценивал не только отклонение линейных методов приближения, но и функционалы общего вида, для которых справедливы неравенства типа (1). Известные ранее результаты типа (4) и (5) нашли отражение в книге [46, главы 4 и 8] и статьях [42-45].
В §2 описываются применявшиеся ранее В. В. Жуком итерации формулы Эйлера—Маклорена, в § 3 на их основе строятся линейные операторы общего вида, отклонение которых допускает оценки типа (4) и (5). В §4 общая схема применяется к сплайновым операторам ХП)ГіМ, построенным в главе 2. На этом пути получаются нера венства типа Джексона для приближений сплайнами. Положим rj h)p = 2-"К(УОР} СЛ Р Ь)Р = 2-иии(ір,Щр Следствие 3.12. Пусть п г, ц Є N, /л г -\- 1, 1 р оо, feW},r). Тогда 4 г/=0 7 н и—г—1 .г \\/-хя,г„.{/)\\, (I)" Е ГА {ҐКІ) + (D4-? v4M a Если, кроме того, г нечетно, то / - п,г,/Л/)р Ц — 1—1 (иЫ( ) №\}+ (-) А, [1 — г—1 4 z/=0 У \\f - Xn,rAf)\\p : i/=0 Следствие 3.10. Пусть n,r,fi Є N, г нечетно, /J, г -\- 1, 1 р оо; J Є И г). Тогда 11/- ,(/)11 (/ . причем при р = 1, со константа не может быть заменена меньшей, даже если заменить левую часть на, Enyfl{f)p. При р = оо неравенство содержится в [60, с.280], где доказано другим способом. В этом случае, однако, оно верно при всех г Є Z+ вне зависимости от четности. Следствие 3.10 усиливает неравенства (12), аналогично полиномиальному случаю. В случае равномерной нормы устанавливаются также точные неравенства для шага модуля непрерывности, равного -, а — нечетное натуральное число (следствие 3.13). Точные неравенства, аналогичные следствиям 3.12 и 3.10, доказываются и для ц = г, но с другими операторами вместо Хп,Г}ц, действующими в е 2П,г (а не S n г). Другая модификация общей схемы позволяет построить операторы Vn h,ii со значениями в $2п, ( 2п и ПРИ М 2) и получить для их отклонений неравенства типа Джексона со вторым модулем непрерывности. Следствие 3.20. Пусть га, ц Є N, 1 р оо; / Є Lp. Тогда - .,(/)11 (/.. Это следствие обобщает оценки отклонений полиномиальных методов приближения через второй модуль непрерывности, рассматривающиеся в следующей главе. В свою очередь, эти оценки для полиномиальных методов (в метриках Lp) могут быть получены из следствия 3.20 предельным переходом. Результаты главы 3 получены автором совместно с В. В. Жуком и опубликованы в статьях [29-31]. 4. В четвертой главе доказывается точное неравенство типа Джексона для сумм Рогозинского и второго модуля непрерывности. Пусть ТІ — замкнутое подпространство пространства С, Р — полунорма, заданная на ТІ. Если выполняются условия: 1) пространство инвариантно относительно сдвига, т.е. для лю-бых / Є ТІ и h Є R будет /(• + h) Є ТІ и Р(/(. + h)) = Р(/), 2) существует такая постоянная Р, что Р(/) -S/ Для всех /є an, то будем говорить, что пространство (9Л, Р) принадлежит классу Л. Величину где U : ТІ —» 9DT, /г 0, принято называть точной постоянной в неравенстве P(f-U(f)) Mco2(f,h)P. Если Un : ТІ —» Тіп-і П 93Т, 7 0, то может ставиться вопрос о нахождении в неравенстве Р(/-М/)) Мы2(/, ), константы, точной для всех п в совокупности, т.е. величины supD (Z7n, —) „. Ранее автором [15, 16] были получены константы D(Un, h) для некоторых положительных операторов Un (как обычно, отсутствие индекса Р означает равномерную норму). Что касается нахождения констант, точных для всех п в совокупности, то известен лишь единственный такой результат. В 1974 году В. В. Жук [41] получил неравенство 11/- (/)11 1- (/, ) (14) (Vn — некоторый линейный оператор из С в І2п-і)- Позже В. В. Шалаев [98] обнаружил, что константа 1 является точной для всех п в совокупности не только в неравенстве (14), но и в неравенстве ад) i-W2(/, ), (15) а именно: ад) 11/- (/)11 л SUP SUP /, тг ч = SUP SUP ,п тгл = !• nGN fC W2(J, 2 ) пет /ЄС Ш2(/, 2 J Таким образом, точная константа 1 в неравенстве (15) реализуется последовательностью линейных операторов {Vn}. В той же работе [41] В. В. Жук получил неравенство для отклонений сумм Рогозинского II/- »(/Ж ! • (/.;;) (16) и впоследствии перенес оценки на случай произвольного пространства (90Т, Р). (Упомянутые результаты содержатся также в монографии [46].) Положим Dn = D (7„, —J = sup \ П/ fan 11/-Я»(/)И п) fec w2(/,f) Очевидно, что D\ = 1/2. В главе 4 показано, что константа 5/8 не является точной в неравенстве (16). В §2 найдено значение Do Теорема 4.1. Пусть (ЯЛ,Р) Є Л, f Є Тї, С2 = - J ( 2 - ) • Тогда Р(/- 2(/)) С2 (/, . В пространстве С неравенство точное, т.е. D2 = С2. В §§ 3-5 доказывается основной результат — теорема 4.3. Теорема 4.3. Пусть (ЯЛ, Р) Є .А, / Є 9DT, п Є N, 1 / тг п. п. Зтг\ 1 1 2 / 1 ctgaA , Тогда справедливы соотношения: P{f-nn(f)) Du2( f1 )p1 (17) sup Dn = lim Dn = Z). neN n- oo Таким образом, константа D является точной для всех п в совокупности в неравенстве (17) для равномерной нормы. Отметим, что - = 0.625, D2 =0,559..., ) = 0,581... о Для доказательства точных неравенств этой главы использовались специально найденные представления отклонения сумм Рогозин-ского в виде линейной комбинации интегралов, содержащих вторые разности функции с шагом, не превосходящим шага модуля непрерывности. Результаты главы 4 содержатся в работах [17, 18]. 5. В пятой главе доказывается точное неравенство типа Джексона для первого модуля непрерывности и приближения линейными положительными операторами. Пусть С+ — множество линейных положительных операторов U : С —У І2п-і (т.е. таких, что U(f) 0 для всех / 0), ( /?, ф) = fQ срф — скалярное произведение функций из вещественного пространства L-2[0,1], § = і р Є Ь2[0,1] : /0 (р2 = 1 — единичная сфера пространства Ьг[0,1]. При h 0, U : С —у С полагаем fee i[f,h) Величины А(?7, К) называют точными постоянными в неравенствах Wf-uww Mui&h). Известно, что (см., например, [106]) если оператор U имеет вид U(f,x) = - Г f(x + t)K(t)dt, (18) где ядро К 0, четно, f К = 1, то Л(С7, h) = - Г (l + j\ K{t) dt. Если n G M, Un : С — Ton-i, 7 0, то представляет интерес изучение величин Лп(7) = inf Л (Vn, —) , Л(7) = sup Ап(7) и методов приближения, реализующих инфимум. Исследованием точных постоянных в неравенствах типа Джексона для приближения различными положительными операторами занимались многие математики. Так, в [106] найдено, что sup Л (Un, ) = §, где Un — опера торы Джексона. В [35] вычислено, что sup Л (Un, -) 1,3424 для опе пєт раторов Коровкина, а в [49] — для операторов Бомана—Коровкина. В [70] построена последовательность положительных операторов Un, для которой sup Л {Un, и) 1? 33701. Из точных неравенств, касающихся приближения линейными операторами, не являющимися положительными, отметим результаты С.Б.Стечкина [86] для отклонения метода Ахиезера—Крейна— Фавара и В. Т. Гаврилюк [32, 33] для отклонения метода Рогозинско-го. Доказывается, что при нахождении величин Ап(7) инфимум можно брать по множеству А операторов Un вида (18) с ядром п-1 Kn(t) = 2 Рь cos kt 0, ро = 1 к=0 (лемма 5.1). Используя теорему Фейсра—Ф.Рисса (см., например, [79, с.92]) об общем виде неотрицательного тригонометрического многочлена, А. Н. Давидчик [36] установил, что inf А (/"„, ) равен минимуму квадратичной формы п-1 к-0 nt ikt хке dt 7Г (А х,х) = - [ (l + к Jo \ на единичной сфере §п-1 пространства Шп. В свою очередь, этот минимум равен наименьшему собственному числу матрицы А и достигается на соответствующем собственном векторе. Затем, подсчитав Ап(1) при п 50, А. Н. Давидчик получил оценку А(1) 1,30. Аналогичная теорема (вместе с очевидным доказательством) справедлива и для произвольного 7 0. Теорема 5.1. Пусть n G М, 7 0. Тогда величина \n{l) равна минимуму квадратичной формы п-1 Е к=0 nt 77г. ikt (А х,х) = - М + dt хке •7Г ка§п_1, т.е. наименьшему собственному числу матрицы Ay . Оператор Un, реализующий инфимум, задается формулой п-1 (n)eikt Е4 :=0 dt. Un r) = hf_j{r+t) где х = ж(п)(7) = (xk ) =о — единичный собственный вектор матрицы А\ , отвечающий собственному числу Ап(7). Основным результатом главы является то, что при j (О,1] величина Л(7) равна инфимуму на § квадратичного функционала „і 2 • оо dt 1 + р(х) (Ву(р, (р) = eitx dx 7Г 77Г (конечного, правда, не на всем [0,1]). Положим мМ = ™ив7(р,(р). Теорема 5.2. При всех 7 0 будет \(у) n{l), a npwy Є (0,1] справедливо равенство X(j) = (7) Похожий результат верен и для приближений целыми функциями конечной степени (теорема 5.3). В § 3 исследуется функционал (Вуср, ср) и, конкретно, спектральные свойства оператора _В7. Похожие задачи минимизации квадратичного функционала возникали при исследовании приближения положительными операторами функций классов Зигмунда [7, 8, 6]; собственно задачи минимизации решал Х.М.Коган [53-56]. В качестве области определения оператора В-у удобно выбрать плотное в L-2[0,1] множество Lo (л/х(1 — ж); 0, і) абсолютно непрерывных на [0,1] функций , таких что /?(0) = ip(l) — 0 и / у/х(1 — х)ср (ж) dx со. Jo Теорема 5.4. Спектр оператора Ву дискретный. Оператор Ву имеет единственную положительную на (0,1) собственную функцию сру Є bo (л/ж(1 — х); 0, і) П §, причем /?7(1 — х) — (ру(х). Соответствующее ей собственное число А (7) — положительное, простое и наименьшее. При этом Л(7) = о min (By(p, p) = (By(pyj py). p(=L і1] (у/х(1-х);0,і) П§ Величины Л(7) могут быть подсчитаны с любой степенью точности каким-либо из стандартных методов вычисления собственных чисел интегральных операторов. Метод Ритца дает для А(7) оценку сверху; для оценки снизу можно использовать значения Ап(7)- Подсчет показывает, что А(1) = 1,312... Результаты главы 5 содержатся в работах [19, 20]. 6. В последней, шестой, главе устанавливаются точные неравенства для производных и разностей целых функций конечной степени. Классические неравенства для целых функций конечной степени (см., например, [90, с.222-223, 228-232, 266; 3, с.182-193, 332-334; 46, с.114-115; 61, глава 3]): ІІ/(Г)ІК ІІЛІ, (19) ii/ r)ii ( - )"mu)i o h , (20) \ 2 sin Щ г / сг \Щ1Ж \ЖЖ o u h (21) и, в частности, для тригонометрических многочленов играют важную роль в теории аппроксимации. Здесь г Є N, а 0, / Є Вст. Неравенство типа (19) впервые было установлено С. Н. Бернштейном сначала для тригонометрических многочленов (см. [10, с.25-26 и примечание на с.527]), затем — для целых функций конечной степени (см. [11, с.269-270 и примечание на с.539]), типа (20) (для тригонометрических многочленов) — М. Риссом [105, с.365], типа (21) — Р.Боасом [99]. В связи с неравенствами типа (20) укажем также на важные работы [13, 76, 85]. Неравенство (20) было усилено в работе В.Г.Доронина [38], где при h Є (0, ) установлено, что для / Є І2п-і в пространстве Lp (1 $С р со), и отмечено, что в пространстве С аналогичный результат был ранее получен В. Ф. Ба-бенко и А. А. Лигуном. При 0 h — неравенство (22) усиливает неравенство (20). В данной главе неравенства типа (19)-(22) значительно усиливаются в следующих направлениях. Рассматривается широкий класс разложений, примером которых могут служить формулы численного дифференцирования вида 1 оо "JFEWW (23) (/ = 1), PI даются точные на классах целых функций конечной степени оценки погрешностей этих формул — в данном случае 1 т /(г)- Е г) +2 (л — через первый отброшенный член разложения. В формуле (23) ко-эффициенты / определяются разложением = Е# {r)z2u. /111(2/2+ /1 + /4) v=0 Примером может служить следующая теорема (сформулированная в частном случае пространства В ). Теорема 6.2. Пусть т + 1 Є Z+, г Є N, т 0, / Є Ва; 0 h -. Тогда р (/(г) - f №2"(/)) тп ,flW /0 - аЛ\г+2,/ Г- 7Г Е НТ(2 sin ) (2sinf)r+2m+2 V/l У)) При таком подходе оказывается, что неравенства (20) и (22) являются начальными случаями этих оценок, соответственно, при т = — 1 и га = 0 (следствие 6.3). В рассматриваемый класс разложений попадают, в частности, формулы Стирлинга и Бесселя численного дифференцирования (теоремы 6.2 и 6.3), формула Эйлера-—Маклорена (теорема 6.6) и разложение разности с меньшим шагом по разностям с большим шагом (теорема 6.4). Начальным случаем оценки погрешности последней формулы является неравенство (21) (следствие 6.7). Все неравенства верны для широкого класса пространств с полунормой; в частности, для пространств (Вст, • ), (Вст nI/p(IR), • р), пространств тригонометрических многочленов. В перечисленных пространствах неравенства точны. В пространстве (Ва, • ) они обращаются в равенство на функциях вида f (x) = аегах + Ье гах.
§ 2 содержит несколько вспомогательных утверждений, связанных с абсолютно монотонными функциями. В § 3 излагается общая схема получения точных неравенств для целых функций конечной степени. В §4 получены основные результаты — точные оценки погрешностей формул типа численного дифференцирования. В § 5 устанавливаются точные неравенства для отклонений функций Сте-клова. Эти неравенства носят более тонкий характер, так как выполняются не все условия общих теорем.
Основные результаты главы 6 опубликованы в статье [25]; неравенства для тригонометрических многочленов ранее были получены в работе [28] и вошли в учебное пособие [21].
Вспомогательные результаты
Задача о точных оценках приближений сверток через нормы хорошо изучена, и для ее решения разработаны общие методы. Нахождение точных постоянных в неравенствах типа Джексона (т.е. оценках приближений через модули непрерывности) является гораздо более трудной задачей, требующей индивидуального подхода. Особенно трудно получаются точные неравенства, в которых участвуют модули непрерывности высших порядков.
В этой главе разрабатывается метод получения точных в равномерной и интегральной метриках неравенств типа Джексона для приближения целыми функциями конечной степени классов сверток функций, заданных на всей оси. Метод применим к широкому классу сверток, в том числе, к сверткам с "классическими ядрами": Пуассона, теплопроводности, ядрами некоторых дифференциальных операторов, а также ядрами, сопряженными к перечисленным ядрам. В частности, доказывается точное неравенство типа Джексона для производной четного порядка сопряженной функции. Оценки достигаются с помощью линейных методов приближения, остаются точными, даже если заменить левую часть на наилучшее приближение, и усиливают классические неравенства типа Ахиезера—Крейна—Фавара. Устанавливаются точные неравенства, в которых правая часть представляет собой линейную комбинацию модулей непрерывности возрастающих порядков. Частными случаями установленных неравенств являются неравенства для приближений периодических функций тригонометрическими многочленами и почти-периодических функций обобщенными тригонометрическими многочленами.
С уменьшить нельзя, даже если заменить левую часть на En(f). Впоследствии аналоги соотношений (1.1) и (1.2) были получены для различных классов сверток периодических функций, обобщающих классы С и С ; из работ по этой теме отметим статьи [1, 2, 62, 102, 37, 73, 74, 75, 87]. Статья В.К.Дзядыка [37] завершила серию работ, посвященных соотношениям типа (1.1) и (1.2) для производных дробного порядка. Н. И. Ахиезер [1], М. Г. Крейн [62] и Т.Х.Нгуен Тхи [73, 74] изучали аналогичные неравенства для дифференциальных операторов. С.М.Никольский [75] установил соотношения, аналогичные (1.1) и (1.2), для нормы в пространстве L. В работе [63] М. Г. Крейн получил аналоги соотношений (1.1) и (1.2) для приближения целыми функциями конечной степени классов функций, заданных на всей оси, определяемых дифференциальными операторами V(D) (D — оператор дифференцирования) с постоян ными коэффициентами и указал, что из его результатов вытекают предшествующие результаты для периодических функций. Для до статочно больших а (а именно, при о 3 _1/2, где /І — максимум мнимых частей корней многочлена Р, а с — число пар невеществен ных корней V) он доказал неравенство Aa_0(f) /C(a,V)\\V(D)f\\ (1.3) с точной константой JC(a,V) и в случае, если многочлен V не имеет чисто мнимых корней и корней, равных нулю, указал линейные операторы, реализующие (с точностью до произвольного положительного є) константу в неравенстве (1.3). При этом, если функция / почти-периодическая, (в частности, периодическая) то такова же и приближающая функция, причем ее показатели принадлежат функции /.
Б.Надь [103] указал достаточные условия на ядро сверточно-го оператора, выраженные в терминах преобразования Фурье ядра свертки, при которых для приближения свертки справедлива точная оценка типа (1.3) (см. далее лемму 6). В частности, он получил при всех а 0 точное неравенство А,-о(/) /(г) (1-4) и построил линейный оператор Ха г со значениями в Ест, для отклонения которого справедлива такая же оценка. Из результатов Б. Надя следуют также точное неравенство Aa.o(f) , \\fM\\ (1.5) и аналогичная оценка для отклонения линейного оператора Xa v со значениями в Е . Неравенства (1.4) и (1.5) остаются точными, даже если заменить их левые части на Aa(f). Результаты, относящиеся к приближению функций с ограниченной производной и аналитических функций (в том числе, неравенства (1.4) и (1.5)) вошли в книгу [3], где оценки сверху распространены на пространства Lp(]R) и Lp. В работе Е. С. Хвостенко [95] точные оценки типа (1.3) получены для сверток с ядрами, являющимися четными рациональными дробями специального вида (на самом деле, это ядра некоторых дифференциальных операторов).
Затем В.Ф.Бабенко и А.И.Громов [5] указали на точность неравенства (1.7) (даже если заменить левую часть на Aa(f)) в интегральной метрике. Оценки (1.6) и (1.7) точны в равномерной и интегральной метриках, так как из них вытекают точные неравенства (1.1) и (1.4). Примерами пространств класса В являются: (17СВ(Ш), \\ оо), (Lp(IR), р) (1 р со), пространства периодических функций (С, р) (1 р со), а также более общие пространства равномерно непрерывных почти-периодических функций [66], показатели которых принадлежат фиксированному множеству, с различными нормами (равномерной, Степанова, Вейля, Безиковича). Отметим, что если (дЛ, Р) Є В, то множество дЛ с одной из полунорм: cvr(-:h)p, Аа( )р, Аа-о(-)р тоже является пространством класса В.
Построение и свойства ядра оператора
Пусть п,г, га Є N, N = 2n, u Є М. Обозначим через n,r,m( 5w) сплайн из S2n,m- интерполирующий функцию е?г(« — w) в узлах и+ ± ,т.е. / 2Л;тг + ег \ , /2&7г + є \ т ГЛ Ах „.. W, U + др1 ) = ( - 1 , к Є [0 : N-l]. При этом часто будем опускать нижние индексы и писать (, г/). Как известно [60, с.90; 59, с.40], при всех и G 1R и m G N, за исключением случаев, когда Ег 2Z/7T и + —- = ——, m четно или N N ((? er (2I/ + 1)TT l j г + —: = - ———, m нечетно {у Є Z), интерполяционная: задача разрешима единственным образом при любой правой части. (Вообще говоря, нельзя интерполировать сплайнами четного порядка в узлах сплайна и сплайнами нечетного порядка посередине между узлами сплайна.) Таким образом, во всех остальных случаях существует ровно один сплайн (-, ), удовлетворяющий интерполяционным условиям (2.5). Разрешимость интерполяционной задачи в исключительных случаях (2.6) требует дополнительного исследования. Отметим, что (5 не зависит от и и т и равно нулю при нечетном г. Система решается с помощью дискретного преобразования Фурье. Замечание 1. Попутно непосредственно доказана однозначная разрешимость интерполяционной задачи при любой правой части во всех случаях, за исключением (2.6). Замечание 2. Метод дискретного преобразования Фурье может быть применен для решения задачи интерполяции по равноотстоящим узлам не только при интерполяции сплайнами.
Доказательство. Сначала выясним, могут ли у функции .F быть неизолированные нули. Допустим, что функция F имеет неизолированный нуль. Тогда она равна нулю на некотором промежутке, концами которого служат узлы F. Если функция F непрерывна на конце этого промежутка, то конец принадлежит промежутку. Так будет при г )2в любом случае и при г = 1 в узлах, не совпадающих с и -+- 2І7Т. Пусть для определенности F(t) = 0 при всех t Є (си, jf-] и и + 2/7Г -, дг I. На полуинтервале ( , v есть точка интерполяции — нуль функции F. Дефект сплайна F в узле - не превосходит 1, поэтому В силу единственности решения интерполяционной задачи Эрмита 2ктг 2(к+1)тг , он равен нулю на этом для многочлена F на отрезке N , N отрезке. Аналогично выводим, что если F(t) = 0 для всех t Є [ дг, «) 2(fc-l)7T 2/гтг N N 2(Аг-1)тг 2Ьг iV /V И W + 2/7T . I , то F равен нулю на отрезке Пусть точка и не совпадает ни с одним из узлов jf-; не уменьшая общности, будем считать, что и Є (0, ). Продолжая это рассуждение, получаем, что F(t) = 0 при всех t Є [О, 27г] \ (0, JJ-)- Следовательно, все узлы, кроме, быть может, двух соседних (с учетом периодичности): 0 и , не являются истинными узлами сплайна (-,и).
Последовательность {cij}j с конечным или бесконечным числом членов называют знакочередующейся, если (—l)Jcij 0 для всех j или (—l)J ay 0 для всех j. Говорят, что последовательность aj меняет знак п раз, если у нее существует знакочередующаяся подпоследовательность {djk} =0. Под числом перемен знака iV-периодической последовательности {aj}j, не все члены которой равны нулю, на периоде понимают число перемен знака последовательности {CLJ}JJJ , где J — произвольный номер, такой что aj ф 0.
Говорят, что функция /, заданная почти всюду на отрезке [а, Ь], существенно меняет знак п раз на [а, Ь], если существует строго возрастающая последовательность { j} _0 точек интервала (а, Ь) и число є 0, такие что для почти всех vo,...,vn Є (0,є) последовательность {f(zj + Vj)}7j_0 знакочередующаяся. Говоря о переменах знака функций, слово "существенные" будем опускать. Для кусочно-непрерывных (т.е. имеющих на [о, Ь] разве лишь конечное число точек разрыва) функций определение упрощается: в этом случае говорят, что функция / имеет п перемен знака на [а, Ь], если существует строго возрастающая последовательность {ZJ} =Q точек отрезка [а, Ь], такая что функция / непрерывна в каждой из них, и последовательность {f(zj)Yj=Q знакочередующаяся. Под числом перемен знака 27Г-периодической функции / на периоде понимают максимум по а перемен знака / на отрезках [а, а + 27г]. Для кусочно-непрерывной на периоде функции /, / ф 0, это число перемен знака / на [а, а + 2тг], где а — любая точка непрерывности /, в которой / не обращается в нуль.
Формула Эйлера—Маклорена и ее неполные итерации
Результаты этого параграфа в основном принадлежат В. В. Жуку и содержатся в книге [46]. Они приводятся подробно (правда, в другой форме записи), так как используются в дальнейшем. Кроме того, некоторые из них могут быть выведены из утверждений главы 1 как частные случаи (сравните замечание 4 и замечание 1.13). Однако, чтобы не менять обозначения, характерные для классов дифференцируемых функций (и подчеркивающие роль функций Сте-клова), удобнее дать их отдельное доказательство.
Итерации формулы Эйлера—Маклорена могут быть описаны так: на га-м шаге к каждому слагаемому в (77г — 1)-кратной сумме применяется формула Эйлера—Маклорена такого порядка, чтобы остаточный член содержал под знаком интеграла г-ю производную функции /. Поскольку к каждому слагаемому применяется формула со своим количеством членов, такие итерации называются неполными.
Поскольку все числа Вk () при нечетных к равны нулю, при суммировании можно опустить слагаемые, в которых хотя бы одна из компонент мультииндекса нечетна. Для доказательства следствия 2 надо применить следствие 1 и заменить в правой части m на 1, что можно сделать в силу ее убывания по т. Замечание 9. Первое утверждение следствия 2 может быть пересказано так: если величины Mv для исходных операторов Qu не превосходили -f, то и для построенного на их основе оператора 11л.:ГуТП величина Мг не превосходит —. Для ряда важных классов операторов константа - т является наилучшей на этих классах. Для таких случаев получился способ построения новых, в некотором смысле оптимальных, операторов на основе уже имеющихся. При этом для нечетных г построенные операторы (в отличие, быть может, от исходных) реализуют точную постоянную не только в неравенстве типа Ахиезера—Крейна—Фавара, но и в неравенстве типа Джексона.
Исходя из операторов //м.;т, можно построить новые операторы, отклонение которых оценивается через линейные комбинации модулей непрерывности самой функции, начиная со второго. В заключение ЭТОГО параграфа покажем, что при некоторых условиях оператор Uh,r,m допускает явное выражение; эти условия выполняются в ряде важных примеров. Ограничимся выкладками при т = 1; для применения этой схемы при т 2 надо потребовать, чтобы условия однократного случая последовательно выполнялись при суммировании по кт,... ,к\.
Будем считать, что h Є (0,27г], / Є W[ . Пусть каждый из линейных операторов Qr+i-2i задан по крайней мере на W T и пусть операторы Qr+1_2z одинаковым образом действуют на разности функций Бернулли с соответствующим номером. Именно, пусть при всех и существует такой линейный оператор Qh,r,u, Лля которого при всех/ Є [0 : [(г- 1)/2]]
Точная оценка для приближения суммами Рогозинского первого порядка
Функция qn с точностью до постоянного множителя представляет собой разность между второй функцией Бернулли d i и интерполирующим ее в узлах {к + l/2)h (к Є [0 : п — 1]) четным тригонометрическим многочленом порядка п — 1, так что s\gnqn{t) = sign cos пі. На отрезке [0,/г/2] функция qn убывает; на [/г/2, З/г/2] — имеет единственную точку минимума и не имеет точек максимума, а на [З/г/2, 5/г/2] — единственную точку максимума и не имеет точек минимума. Пользуясь равенствами qrn( ) = qn{ — h/2) = 0, выводим, что Сп — С п = 0(1/п2). Из этого соотношения и неравенства (4.19) следует равенство (4.20). В заключение отметим, что остаются открытыми вопросы о том, является ли константа D точной при всех п в совокупности в неравенстве и является ли последовательность операторов Рогозинского экстремальной (в том же смысле, что и последовательность {ут1\ из неравенства (4.2)). Исследованием точных постоянных в неравенствах типа Джексона для приближения различными положительными операторами занимались многие математики. Так, в [106] найдено, что sup Л (Un, —) = , где Un — опера торы Джексона. В [35] вычислено, что sup Л (Un, ) 1,3424 для опе раторов Коровкина, а в [49] — для операторов Бомана-—Коровкина. В [70] построена последовательность положительных операторов Un, для которой sup Л (Un, -) 1, 33701. Из точных неравенств, касающихся приближения линейными операторами, не являющимися положительными, отметим результаты С.В.Стечкина [86] для отклонения метода Ахиезера—Крейна— Фавара и В. Т. Гаврилюк [32, 33] для отклонения метода Рогозинского.
Нумерация утверждений отдельная для каждого типа утверждений в каждой главе. При ссылках внутри главы указывается только номер соответствующего утверждения. При ссылках на утверждение другой главы первым указывается номер главы, например: следствие 3.10. Нумерация формул двойная и указывает номер главы и номер формулы в главе, например: формула (1.22). 1. Первая глава посвящена точным неравенствам типа Джексона для приближений классов сверток целыми функциями конечной степени. Неравенствами типа Джексона в теории приближений принято называть неравенства, в которых приближение функции оценивается посредством модуля непрерывности (самой функции, ее производной и т.п.) Первым такое неравенство ^/)^(7)^(/,1) для приближений непрерывных периодических функций тригонометрическими многочленами и модуля непрерывности первого порядка 10 получил Д.Джексон в 1911 году. Первое точное неравенство типа Джексона установил Н. П. Корнейчук [57], который доказал, что для любых вещественнозначных функций / из С и п Є N Дп(/Кі-"і (/,), причем константа 1 точная при всех п в совокупности, т.е. sup sup = 1. Н. И. Черных [96, 97] доказал неравенство типа Джексона в пространстве Li\ точное при каждом фиксированном п. В 1937 году Ж. Фавар [101] и Н. И. Ахиезер и М. Г. Крейн [4] построили линейный метод приближения ХП)Г со значениями в пространстве тригонометрических многочленов порядка не выше п — 1, такой, что для любой / Є С^ ІІ/--їп,г(/Ж^ІІ/(г)ІІ. (1) причем константу JCr на классе С^ уменьшить нельзя, даже если заменить левую часть на наилучшее приближение. Кроме того, в [4] были построены линейные операторы ХПіГ, реализующие аналогичное точное неравенство для класса С^. Неравенства, в которых приближение функции оценивается через норму (полунорму) производной, производной сопряженной функции и т.п. будем называть неравенствами типа Ахиезера—Крейна—Фавара. Впоследствии аналоги неравенства (1) были установлены для многих классов сверток периодических и непериодических функций. Из большого числа работ на эту тему укажем на статьи [1, 2, 62, 63, 102, 103, 75, 87, 37, 73, 74]. Многие результаты вошли в монографии [3] и [104]. 11 История вопросов и некоторые известные результаты, касающиеся исследования верхних граней приближений (как наилучших, так и приближений линейными методами) на различных классах функций, отражены в обзорных статьях [77, 88, 89] и монографиях [90, 83, 60]. В первой главе разрабатывается метод получения точных в равномерной и интегральной метриках неравенств типа Джексона для приближения целыми функциями конечной степени классов сверток функций, как периодических, так и непериодических, заданных на всей оси. Метод применим к широкому классу сверток, в том числе, к сверткам с "классическими ядрами": Пуассона, теплопроводности, ядрами некоторых дифференциальных операторов, а также ядрами, сопряженными к перечисленным ядрам. Оценки достигаются с помощью линейных методов приближения, остаются точными, даже если заменить левую часть на наилучшее приближение, и усиливают классические неравенства типа Ахиезера—Крейна—Фавара. Устанавливаются точные неравенства, в которых правая часть представляет собой линейную комбинацию модулей непрерывности возрастающих порядков. Частными случаями установленных неравенств являются неравенства для приближений периодических функций тригонометрическими многочленами и почти-периодических функций обобщенными тригонометрическими многочленами. Оценки справедливы для широкого класса пространств с полунормой, инвариантной относительно сдвига.
