Содержание к диссертации
Введение
1 Основные свойства 35
1.1 Существование и единственность решений 36
1.2 Условия Стрэнга-Фикса 42
1.3 Приближения 53
1.4 Стабильность и ортогональность 55
1.4.1 Линейная независимость 55
1.4.2 Стабильность и свойство базиса Рисса 62
1.4.3 Ортогональность 66
1.5 Гладкость масштабирующих функции 68
1.5.1 Метод поточечной оценки 68
1.5.2 Матричный метод 69
1.6 Примеры 73
2 Гладкость фрактальных кривых 77
2.1 Фракталы и масштабирующие функции 77
2.2 Фрактальные кривые в Lp 88
2.3 Гладкость в W^ и С1' 91
2.4 Локальная гладкость 97
2.5 Примеры 114
3 Иерархия масштабирующих уравнений 119
3.1 Операторы чистого полинома 120
3.2 Очистка произвольного полинома 125
3.3 Ядра и корневые подпространства 132
3.4 Общие собственные подпространства 135
3.5 Структура операторов То, Ті 139
3.6 Факторизация масштабирующих уравнений 143
3.7 Пространство V 147
3.8 Гладкость масштабирующих фушощй 151
3.9 Модули непрерывности 155
3.10 Локальная гладкость в каждой точке 156
3.11 Сходимость каскадного алгоритма 160
3.12 Сходимость итерационного процесса 175
3.13 Точность критерия сходимости 179
3.14 Зависимость решений от коэффициентов 182
3.15 Построение решений 186
3.16 Многообразие масштабирующих уравнений 191
Специальные случаи и приложения 194
4.1 Малые степени 194
4.1.1 Случай degmo — 0. Масштабирующие сплайны . 195
4.1.2 Случай degmo — 1- Два сжатия на прямой 196
4.1.3 Случай degm0 = 2 198
4.1.4 Случай degm0 > 3. Высокие степени 202
4.1.5 Примеры 207
4.2 Гладкость всплесков 214
4.3 Локальная гладкость всплесков Добеши 216
4.4 Кривые де Рама 221
4.4.1 Основные свойства кривых де Рама 223
4.4.2 Представление в виде фрактальной кривой 225
4.4.3 Несколько вспомогательных утверждений 231
4.4.4 Локальная и глобальная гладкость 235
4.4.5 Распределение точек фиксированной локальной гладкости 245
4.4.6 Оценка средней гладкости 249
4.5 Распределение вероятностного ряда 258
4.5.1 Постановка задачи 258
4.5.2 Связь с масштабирующими уравнениями 260
4.5.3 Критерий существования плотности 263
4.5.4 Особые случаи 267
4.5.5 Применения критерия абсолютной непрерывности 269
4.5.6 Точность критерия 271
4.5.7 Уравнения с положительными коэффициентами . 274
4.6 Кусочно-гладкие функции 282
4.6.1 Классификация масштабирующих сплайнов. Постановка задачи 282
4.6.2 Классификация кусочно-гладких масштабирующих функций 285
4.6.3 Структура масштабирующих сплайнов и сходимость уточняющих схем 290
4.6.4 Вторая факторизационная теорема 294
4.7 Функция разбиения Эйлера 296
Список литературы 302
Предметный указатель 312
- Стабильность и свойство базиса Рисса
- Факторизация масштабирующих уравнений
- Локальная гладкость всплесков Добеши
- Структура масштабирующих сплайнов и сходимость уточняющих схем
Введение к работе
Масштабирующим уравнением с конечным числом слагаемых (в дальнейшем просто - масштабирующим уравнением) называется функциональное разностное уравнение с двоичным сжатием аргумента:
(0.0.1) (р(х) = Y^cM2x~k)i
где {со,... , сдг} - произвольная последовательность комплексных коэффициентов. Эта последовательность называется маской уравнения, а три-
гонометрический полином m() = \Ylicke~2m^k ~ его характеристической
функцией или символом. Масштабирующей функцией называется решение этого уравнения (возможно - обобщенное), имеющие компактный носитель. Выбор такого пространства решений объясняется нуждами приложений к теории всплесков, теории приближений и компьютерном дизайне, где нужны именно финитные решения. Кроме того, в пространстве финитных функций имеет место теорема о существовании и единственности решения, которая может нарушаться в других функциональных пространствах.
Известно, что если уравнение (0.0.1) имеет финитное обобщенное реше-
ние, то J2 q. = 2п для некоторого натурального п, причем можно огра-
ничиться случаем п = 1, и, таким образом, m(0) = 1 (остальные случаи
сводятся к данному взятием первообразной). В этом случае обобщенное
финитное решение (р Є S' всегда существует, единственно с точностью
до умножения на константу, сосредоточено на отрезке [0, iV], при этом
^(0) = f ір(х) сіх ф 0, где (р{) = J (p(x)e~2mxt сіх - преобразование Фурье.
ж Через S1 обозначено пространство обобщенных функций медленного роста
на IR. Если не оговорено обратное, мы будем нормировать масштабирующие функции условием 9?(0) = 1. Преобразование Фурье нормированной
масштабирующей функции дается следующей формулой:
(0.0.2) ф(0 = Цт(2~>С).
3=1
Наиболее известными масштабирующими функциями являются В-сплайны, функции Добеши, интерполяционные функции Деларье-Дюбука. Тесно связаны с ними кривые де Рама и функции Рвачева.
Систематические исследования по теории масштабирующих уравнений начались в середине 1980-х гг. и продолжают интенсивно развиваться в настоящее время. Масштабирующие функции применяются при построении всплесков с компактным носителем. При этом гладкость и аппрокси-мационные свойства всплесков выражаются через соответствующие показатели масштабирующих функций. Исследования в этом направлении начались с классических работ И.Добеши, Дж.Лагариаса, Ч.Чуи, Л.Виллемоис А.Коэна, К.Хейля, А.Рона, Р.Джиа и других (см. [1] - [18] и библиографии в этих работах). Примерно в это же время выяснилось, что масштабирующие функции являются главным инструментом при изучении уточняющих алгоритмов, применяющихся в теории приближений и в компьютерном дизайне. Этому посвящено множество работ, среди которых выделим статьи А.Каваретты, В.Дамена, Ч.Мичелли, К. Де Боора, Н.Дин, А.Левина, Д.Грегори, Ж.Деларье, С.Дюбука, Л.Берга, Г.Плойки, Д.Жоу, Я.Вонга и других [19]—[35]. Масштабирующие уравнения естественным образом возникают в задачах теории вероятностей (Г.Дерфель, Н.Дин, А.Левин, Я.Вонг [24], [36] - [40]), математической физики (Р.Шилинг, Я.Моравец [41]), теории фрактальных кривых (Н.Дин, А.Левин, Ч.Мичелли, Г.Праутш [19, 20, 22, 23], [42]-[47]), комбинаторной теории чисел [48], [49].
В настоящее время библиография по теории масштабирующих уравнений насчитывает несколько сот наименований. Основные вопросы: разрешимость уравнений в различных пространствах функций, методы определения локальной и глобальной гладкости решений а также модулей непрерывности по коэффициентам уравнения, аппроксимационные свойства всплесков, построенных по данным масштабирующим функциям, скорость сходимости соответствующих уточняющих схем и каскадных алгоритмов, поиск оптимальных масштабирующих функций в различных задачах и т.д. По ряду вопросов достигнут существенный прогресс, тем не менее, многие проблемы теории масштабирующих уравнений остаются на данный момент нерешенными.
В данной диссертации решены нескольких известных задач теории масштабирующих уравнений, а также исследуются новые задачи. Полученные результаты применены для исследования всплесков Добеши и кривых
де Рама, а также для решения нескольких проблем теории вероятностей, теории фрактальных кривых и комбинаторной теории чисел. Перечислим вкратце основные результаты работы, затем сделаем более подробное описание диссертации по главам.
В диссертации представлены решения следующих задач:
Разработана техника факторизации масштабирующих уравнений, с помощью которой исследование уравнений общего вида сводится к хорошо изученному частному случаю (случаю стабильной масштабирующей функции). Данная задача исследовалась ранее в работах И.Добеши, Дж.Лагариса К.Хейля, Л.Виллемойса и др. Доказаны факторизационные теоремы об общем виде гладкой масштабирующей функции (раздел 3.6).
Получены формулы, выражающие глобальную и локальную гладкость фрактальных кривых, соответствующих паре аффинных операторов, через спектральные характеристики операторов. Изучены множества постоянной локальной гладкости. Доказано, что локальная гладкость одна и та же для почти всех значений аргумента (в мере Лебега), и выражается через экспоненту Ляпунова данных операторов. Эти результаты применены к масштабирующим функциям, для которых в данной работе вычислены показатели локальной гладкости и модули непрерывности (разделы 2.4 и ЗЛО).
Найдены в явном виде ядра и все общие собственные подпространства теплицевых операторов, соотвествующих масштабирующим уравнениям. Ранее эта задача исследовалась в работах Г.Стрэнга, К.Хейля, Л.Берга, Г.Плонки и др.
С помощью данного результата упрощена формула (полученная ранее Д.Стрэнгом, Д.Коллелой и К.Хейлем) для показателя Гельдера масштабирующей функции. Также найдены модули непрерывности всплесков и масштабирующих функций в пространствах C'fc(E) и Wp(M) (разделы 3.8 и 3.9).
Решена задача о непрерывной зависимости решения масштабирующего уравнения от начальных данных (т.е., от коэффициентов Cj уравнения) в различных функциональных пространствах. Для любых к > О ир Є [1,+со) сформулированы условия на малые шевеления коэффициентов, при которых решение меняется непрерывно в метрике пространства Ск(Ж) или пространства Wp(R) (раздел 3.14).
Получен критерий сходимости уточняющей схемы (каскадного алгоритма Добеши) при условии, что соответствующая масштабирующая функция непрерывна. Эта задача ранее ставилась и исследовалась во множестве работ (см., например, статью [50] и библиографию в ней). Ско-
рость сходимости каскадного алгоритма в различных функциональных пространствах выражена через гладкость масштабирующей функции в соответствующих пространствах (разделы 3.11 - 3.13).
Получены формулы для локальной гладкости всплесков Добеши в каждой точке. Для малых размерностей вычислены минимальный и максимальный показатели локальной гладкости, а также гладкость на множестве полной меры (раздел 4.3).
Проведен детальный анализ классических кривых де Рама. Для каждого значения параметра и Є (0, |) в явном виде вычислены показатели глобальной гладкости (в натуральной параметризации), максимального и минимального показателей локальной гладкости. Доказано, что почти во всех точках (в мере Лебега) локальная гладкость производной кривой де
П ( \ lg(a/(l-2a,)) о - -( \
гама одна и та же и равна aav[u)) — —\^~-—— 2, где р = p{uj) - показатель Ляпунова специальных 2 х 2-матриц, зависящих от параметра и. Для показателя Ляпунова р{и) получена интегральная формула, из которой следуют оценки на величину aav(oj). В частности, показано, что при любом и ф\ имеем 1 < aav(u) < 2, следовательно, гладкость почти всюду больше 1. Это означает, в частности, что производная кривой де Рама является чисто сингулярной функцией. Таким образом, при любом и ф \ кривизна кривой де Рама равна нулю почти в каждой точке (раздел 4.4).
Получен критерий разрешимости в ЬР(Щ масштабирующего уравнения с неотрицательными коэффициентами. С помощью этого результата решена задача об абсолютной непрерывности распределения вероятностного степенного ряда (эта задача исследовалась в 1996 г. Г.Дерфелем, Н.Дин и А.Левиным [38] и в 1995-1996 гг. Я.Вонгом [24], [25]). Задача тесно связана с известной проблемой Эрдеша о плотности распределения конволюций Бернулли [51, 52] (раздел 4.5).
Полностью охарактеризованы кусочно-гладкие масштабирующие функции и масштабирующие сплайны. Тем самым доказана полнота классификации масштабирующих сплайнов, полученная в 1995 г. У.Лоутоном, С.Л.Ли иЯ.Шеном [53] и (в частном случае) в 2000 г. Л.Бергом и Г.Плойкой [32, 33]. С помощью этого результата мы доказываем вторую факто-ризационную теорему о разложении гладкой масштабирующей функции в свертку непрерывной масштабирующей функции и масштабирующего сплайна. Эта теорема в одномерном случае решает задачу, поставленную в 1991 г. А.Кавареттой, В.Даменом и Ч.Мичелли [21, замечание 2.6]. Для масштабирующих сплайнов найдена скорость сходимости каскадного алгоритма (раздел 4.6).
(10) Теория масштабирующих уравнений применена к задаче об асим-
птотике бинарной функции разбиения Эйлера, относящейся к комбинаторной теории чисел. Решены две проблемы, поставленные в 1989 г. Б.Резником [54] (раздел 4.7).
Первая глава диссертации содержит основные понятия и факты теории масштабирующих уравнений и теории всплесков. В ней приведены как хорошо известные классические результаты: теоремы о существовании и единственности решения масштабирующего уравнения, В-сплайны и всплески Добеши, критерии стабильности (свойства базиса Рисса для целых сдвигов) финитной функции, условия Стэнга-Фикса, так и новые результаты. В ряде случаев известные результаты формулируются в более сильном и общем виде, или снабжены новыми доказательствами. Приведем в качестве примера критерий стабильности масштабирующей функции. По определению, финитная функция / является стабильной в LVl при некотором р Є [1,+оо], если / Є LP(M.) и существуют положительные константы Ар,Вр, зависящие только от р и такие, что для любой последовательности а Є L выполнено
< Вр\\а\\р.
В частности, прир = 2 стабильность означает, что система целых сдвигов { /( —к) }kez является базисом Рисса своей линейной оболочки. Классический результат работы [26] утверждает, что если финитная функция стабильна в Lp при некотором р Є [1,+оо], то она стабильна при всех р (при условии, что она принадлежит соответствующим пространствам Lp). Поэтому, далее мы будем говорить, что функция стабильна, не уточняя, о каком р идет речь. Критерий стабильности масштабирующей функции у в терминах коэффициентов уравнения со,... ^с^ был получен независимо в работах [4, 8, 26]. Для его формулировки удобнее перейти к алгебра-
ической форме записи символа уравнения. Обозначим 111(2) = | ^ CkZk.
к=0
Таким образом, т() = т(е~27Г^). Число а Є С \ {0} называется симметричным корнем полинома m(z), если т(л/а) = т(—л/а) — 0. При этом пара чисел ±л/а называется парой симметричных корней. Циклом полинома m(z) называется непустое конечное множество комплексных чисел b = {61,... ,bn} такое, что b2 = b и m(-b) = 0. Это означает, что m(-bj) = 0 и bj+i = б2, j = 1,... , п (полагаем bn+\ = Ь\). Ясно, что любой цикл лежит на единичной окружности {z Є С, |z| = 1}. Простейший цикл
- ЭТО {1}, Далее Следует МНОЖеСТВО ИЗ ДВуХ ЭЛеМеНТОВ |е27П/3?е4тгг/3| и т.д.
Для каждого п существует конечное число циклов, состоящих из п элементов. Цикл b = {1} назовем тривиальным, все остальные циклы - нетривн-
альными. Согласно критерию, полученному в [4, 8, 26], масштабирующая функция стабильна в Lp тогда и только тогда когда она принадлежит Ьр(Ш) и символ m(z) не имеет нетривиальных циклов и симметричных корней на единичной окружности. Из стабильности функции <^>, однако, не следует, что ее целочисленные сдвиги {<>( — к)} линейно независимы. Линейная независимость финитной функции означает, что не существует числовой последовательности а = {а&}, для которой ^ ада(- — к) = 0.
Стабильность и линейная независимость целых сдвигов масштабирующей функции играет ключевую роль в приложениях: при построении всплесков и уточняющих алгоритмов. Мы дополняем критерий стабильности следующим результатом:
Предложение 1. Целые сдвиги масштабирующей функции линейно независимы тогда и только тогда когда символ m.(z) не имеет нетривиальных циклов и симметричных корней. Масштабирующая функция ста-билъна в Lp тогда и только тогда когда она принадлежит Lp и символ не имеет нетривиальных циклов и симметричных корней на единичной окружности.
Таким образом, наличие симметричных корней вне единичной окружности не влияет на стабильность, но служит причиной линейной зависимости целых сдвигов. Доказательства критерия стабильности в работах [4, 8, 26], основаны на применении преобразования Фурье, что для доказательства предложения 1 невозможно (поскольку последовательность коэффициентов {(} может быстро расти). К предложению 1 применена новая идея доказательства, использующая разностные схемы.
Из новых результатов, содержащихся в главе 1, выделим необходимые условия гладкости масштабирующей функции. В большинстве работ рассматривался следующий частный случай гладких масштабирующих функций: если при некотором I > 0 масштабирующая функция принадлежит Cf/(E), то предполагалось, что символ уравнения m(z) удовлетворяет правилу сумм порядка /. Это означает, что символ т(^) имеет корень кратности не меньше, чем / + 1 в точке z = — 1, т.е., представляется в виде m(z) = (^-) m.i+i(z), где m/+i - алгебраический полином. Однако, хорошо известно, что правило сумм не является необходимым условием существования С'-решения. Соответствующие примеры приводились в [3, 12, 21, 32]. Какое условие на символ уравнения является необходимым для существования Сг-решения? Для ответа на этот вопрос мы привлекаем понятие бинарного дерева.
Рассмотрим бинарное дерево Т, построенное следующим образом: корню дерева ставим в соответствие число 1, из корня выходит одно ребро в вер-
шину с числом {-1}, эта вершина составляет первый уровень дерева, число і (мнимая единица) и —і лежат в вершинах второго уровня, соседних с вершиной { — і}- Далее дерево строится по индукции: если число z находится в вершине п-ного уровня, п > 1, то ее соседи на (п + 1) — ом уровне - числа ±\/z. Таким образом, все вершины дерева имеют валентность 2, за исключением корня, валентность которого равна 1. На ?г-том уровне дерева, п > 1, находится 2n_1 вершин, им поставлены в соответствие числа е-2т(^к+1)-2 п; к — о,... 5 2п~1 - 1. Далее будем отождествлять вершину дерева с соответствующим числом.
Пусть Л - подмножество вершин дерева, не содержащее корень. Некоторые элементы Л могут совпадать, в этом случае они считаются с кратностью. Множество Л называется блокирующим кратности г (г > 1), если любой бесконечный путь по дереву 0 —> Q'l —> ..., выходящий из корня (вершина щ - из /с-того уровня, все пути по дереву - с возрастанием уровней, т.е., без хода назад) имеет ровно г общих элементов с множеством Л, считая с кратностью. Ясно, что все блокирующие множества конечны, причем, для данного г существует конечное число блокирующих множеств кратности г.
Необходимые условия гладкости масштабирзгющей функции даны в следующей теореме.
Теорема 1. Для любого I > 0 следующие свойства масштабирующей функции <р равносильны:
существует блокирующее множество кратности I + 1, состоящее из корней символа m(z);
пространство алгебраических полиномов степени < / содержится в пространстве, которое порождают целые сдвиги функции (р;
порядок приближения функцией (р не меньше I, т.е. для любой финитной функции f Є С1+1(Ш) расстояние в равномерной метрике от f до линейной оболочки системы функций {(p(h~l —А;), к Є Z} равно 0{hl+l) при h —> 0.
Если масштабирующая функция <р принадлежит С1(Ш), то она обладает свойствами (а), (6) и (с).
Итак, условие (а) на символ уравнения определяет аппроксимационные свойства масштабирующей функции и является необходимым условием гладкости. Правило сумм является частным случаем условия (а), когда блокирующее множество кратности / + 1 целиком сосредоточено в вершине {-1}, т.е., состоит из элемента {-1}, взятого с данной кратностью.
Итак, каждому масштабирующему уравнению, имеющему С'-решение, соответствует блокирующее множество кратности / + 1. Такое множество имеет не менее / + 1 элемента, считая с кратностью. Следовательно, из
теоремы 1 получаем: / + 1 < N. Отсюда, в частности, следует классический результат о том, что масштабирующая функция не может иметь бесконечную гладкость. Решение уравнения (0.0.1) не может принадлежать СіУ_1(Ж). Единственное уравнение данной степени iV, решение которого принадлежит Wl _1(К), т.е., имеет суммируемую (N — 1)-ую производную, имеет символ m(z) — (^гг) , а соответствующая масштабирующая функция является В-сплайном [2]. Этот результат верен также для многомерных масштабирующих уравнений [21] и для нестационарных масштабирующих уравнений [55, 56].
Стабильность и свойство базиса Рисса
Систематические исследования по теории масштабирующих уравнений начались в середине 1980-х гг. и продолжают интенсивно развиваться в настоящее время. Масштабирующие функции применяются при построении всплесков с компактным носителем. При этом гладкость и аппрокси-мационные свойства всплесков выражаются через соответствующие показатели масштабирующих функций. Исследования в этом направлении начались с классических работ И.Добеши, Дж.Лагариаса, Ч.Чуи, Л.Виллемоис А.Коэна, К.Хейля, А.Рона, Р.Джиа и других (см. [1] - [18] и библиографии в этих работах). Примерно в это же время выяснилось, что масштабирующие функции являются главным инструментом при изучении уточняющих алгоритмов, применяющихся в теории приближений и в компьютерном дизайне. Этому посвящено множество работ, среди которых выделим статьи А.Каваретты, В.Дамена, Ч.Мичелли, К. Де Боора, Н.Дин, А.Левина, Д.Грегори, Ж.Деларье, С.Дюбука, Л.Берга, Г.Плойки, Д.Жоу, Я.Вонга и других [19]—[35]. Масштабирующие уравнения естественным образом возникают в задачах теории вероятностей (Г.Дерфель, Н.Дин, А.Левин, Я.Вонг [24], [36] - [40]), математической физики (Р.Шилинг, Я.Моравец [41]), теории фрактальных кривых (Н.Дин, А.Левин, Ч.Мичелли, Г.Праутш [19, 20, 22, 23], [42]-[47]), комбинаторной теории чисел [48], [49].
В настоящее время библиография по теории масштабирующих уравнений насчитывает несколько сот наименований. Основные вопросы: разрешимость уравнений в различных пространствах функций, методы определения локальной и глобальной гладкости решений а также модулей непрерывности по коэффициентам уравнения, аппроксимационные свойства всплесков, построенных по данным масштабирующим функциям, скорость сходимости соответствующих уточняющих схем и каскадных алгоритмов, поиск оптимальных масштабирующих функций в различных задачах и т.д. По ряду вопросов достигнут существенный прогресс, тем не менее, многие проблемы теории масштабирующих уравнений остаются на данный момент нерешенными.
В данной диссертации решены нескольких известных задач теории масштабирующих уравнений, а также исследуются новые задачи. Полученные результаты применены для исследования всплесков Добеши и кривых де Рама, а также для решения нескольких проблем теории вероятностей, теории фрактальных кривых и комбинаторной теории чисел. Перечислим вкратце основные результаты работы, затем сделаем более подробное описание диссертации по главам.
В диссертации представлены решения следующих задач: (1) Разработана техника факторизации масштабирующих уравнений, с помощью которой исследование уравнений общего вида сводится к хорошо изученному частному случаю (случаю стабильной масштабирующей функции). Данная задача исследовалась ранее в работах И.Добеши, Дж.Лагариса К.Хейля, Л.Виллемойса и др. Доказаны факторизационные теоремы об общем виде гладкой масштабирующей функции (раздел 3.6). (2) Получены формулы, выражающие глобальную и локальную гладкость фрактальных кривых, соответствующих паре аффинных операторов, через спектральные характеристики операторов. Изучены множества постоянной локальной гладкости. Доказано, что локальная гладкость одна и та же для почти всех значений аргумента (в мере Лебега), и выражается через экспоненту Ляпунова данных операторов. Эти результаты применены к масштабирующим функциям, для которых в данной работе вычислены показатели локальной гладкости и модули непрерывности (разделы 2.4 и ЗЛО). (3) Найдены в явном виде ядра и все общие собственные подпространства теплицевых операторов, соотвествующих масштабирующим уравнениям. Ранее эта задача исследовалась в работах Г.Стрэнга, К.Хейля, Л.Берга, Г.Плонки и др. С помощью данного результата упрощена формула (полученная ранее Д.Стрэнгом, Д.Коллелой и К.Хейлем) для показателя Гельдера масштабирующей функции. Также найдены модули непрерывности всплесков и масштабирующих функций в пространствах C fc(E) и Wp(M) (разделы 3.8 и 3.9). (4) Решена задача о непрерывной зависимости решения масштабирующего уравнения от начальных данных (т.е., от коэффициентов Cj уравнения) в различных функциональных пространствах. Для любых к О ир Є [1,+со) сформулированы условия на малые шевеления коэффициентов, при которых решение меняется непрерывно в метрике пространства Ск(Ж) или пространства Wp(R) (раздел 3.14). (5) Получен критерий сходимости уточняющей схемы (каскадного алгоритма Добеши) при условии, что соответствующая масштабирующая функция непрерывна. Эта задача ранее ставилась и исследовалась во множестве работ (см., например, статью [50] и библиографию в ней). Ско рость сходимости каскадного алгоритма в различных функциональных пространствах выражена через гладкость масштабирующей функции в соответствующих пространствах (разделы 3.11 - 3.13). (6) Получены формулы для локальной гладкости всплесков Добеши в каждой точке. Для малых размерностей вычислены минимальный и максимальный показатели локальной гладкости, а также гладкость на множестве полной меры (раздел 4.3).
Факторизация масштабирующих уравнений
Таким образом, наличие симметричных корней вне единичной окружности не влияет на стабильность, но служит причиной линейной зависимости целых сдвигов. Доказательства критерия стабильности в работах [4, 8, 26], основаны на применении преобразования Фурье, что для доказательства предложения 1 невозможно (поскольку последовательность коэффициентов {(} может быстро расти). К предложению 1 применена новая идея доказательства, использующая разностные схемы.
Из новых результатов, содержащихся в главе 1, выделим необходимые условия гладкости масштабирующей функции. В большинстве работ рассматривался следующий частный случай гладких масштабирующих функций: если при некотором I 0 масштабирующая функция принадлежит Cf/(E), то предполагалось, что символ уравнения m(z) удовлетворяет правилу сумм порядка /. Это означает, что символ т( ) имеет корень кратности не меньше, чем / + 1 в точке z = — 1, т.е., представляется в виде m(z) = ( -) m.i+i(z), где m/+i - алгебраический полином. Однако, хорошо известно, что правило сумм не является необходимым условием существования С -решения. Соответствующие примеры приводились в [3, 12, 21, 32]. Какое условие на символ уравнения является необходимым для существования Сг-решения? Для ответа на этот вопрос мы привлекаем понятие бинарного дерева.
Рассмотрим бинарное дерево Т, построенное следующим образом: корню дерева ставим в соответствие число 1, из корня выходит одно ребро в вер шину с числом {-1}, эта вершина составляет первый уровень дерева, число і (мнимая единица) и —і лежат в вершинах второго уровня, соседних с вершиной { — і}- Далее дерево строится по индукции: если число z находится в вершине п-ного уровня, п 1, то ее соседи на (п + 1) — ом уровне - числа ±\/z. Таким образом, все вершины дерева имеют валентность 2, за исключением корня, валентность которого равна 1. На г-том уровне дерева, п 1, находится 2n_1 вершин, им поставлены в соответствие числа е-2т( к+1)-2 п; к — о,... 5 2п 1 - 1. Далее будем отождествлять вершину дерева с соответствующим числом.
Пусть Л - подмножество вершин дерева, не содержащее корень. Некоторые элементы Л могут совпадать, в этом случае они считаются с кратностью. Множество Л называется блокирующим кратности г (г 1), если любой бесконечный путь по дереву 0 — Q l — ..., выходящий из корня (вершина щ - из /с-того уровня, все пути по дереву - с возрастанием уровней, т.е., без хода назад) имеет ровно г общих элементов с множеством Л, считая с кратностью. Ясно, что все блокирующие множества конечны, причем, для данного г существует конечное число блокирующих множеств кратности г.
Необходимые условия гладкости масштабирзгющей функции даны в следующей теореме. Теорема 1. Для любого I 0 следующие свойства масштабирующей функции р равносильны: a) существует блокирующее множество кратности I + 1, состоящее из корней символа m(z); b) пространство алгебраических полиномов степени / содержится в пространстве, которое порождают целые сдвиги функции (р; c) порядок приближения функцией (р не меньше I, т.е. для любой финитной функции f Є С1+1(Ш) расстояние в равномерной метрике от f до линейной оболочки системы функций {(p(h l —А;), к Є Z} равно 0{hl+l) при h — 0. Если масштабирующая функция р принадлежит С1(Ш), то она обладает свойствами (а), (6) и (с). Итак, условие (а) на символ уравнения определяет аппроксимационные свойства масштабирующей функции и является необходимым условием гладкости. Правило сумм является частным случаем условия (а), когда блокирующее множество кратности / + 1 целиком сосредоточено в вершине {-1}, т.е., состоит из элемента {-1}, взятого с данной кратностью.
Итак, каждому масштабирующему уравнению, имеющему С -решение, соответствует блокирующее множество кратности / + 1. Такое множество имеет не менее / + 1 элемента, считая с кратностью. Следовательно, из теоремы 1 получаем: / + 1 N. Отсюда, в частности, следует классический результат о том, что масштабирующая функция не может иметь бесконечную гладкость. Решение уравнения (0.0.1) не может принадлежать СіУ_1(Ж). Единственное уравнение данной степени iV, решение которого принадлежит Wl _1(К), т.е., имеет суммируемую (N — 1)-ую производную, имеет символ m(z) — ( гг) , а соответствующая масштабирующая функция является В-сплайном [2]. Этот результат верен также для многомерных масштабирующих уравнений [21] и для нестационарных масштабирующих уравнений [55, 56].
Глава 2. В этой главе изучается локальная гладкость фрактальных кривых и их модули непрерывности. Полученные результаты применяются в последующих главах к масштабирующим функциям и всплескам, поскольку они также могут быть представлены в виде соответствующих фрактальных кривых. В качестве отдельного примера рассматриваются кривые де Рама, для которых модули непрерывности найдены явно и оценена их средняя гладкость.
Пусть V - n-мерное аффинное пространство, V - соответствующее линейное пространство. Для произвольного аффинного оператора Б будем обозначать через В его линейную часть (дифференциал). Совместным спектральным радиусом линейных операторов Бо, -Ві называется величина
Предел (0.0.3) корректно определен для любой пары операторов, действующих в Ш71 и не зависит от нормы, введенной на этом пространстве [57]. Совместный спектральный радиус был впервые определен в 1960 г. в работе Ж.К.Рота и Г.Стрэнга [58], затем почти на 30 лет забыт. В начале 1990-х гг. выяснилось, что показатели гладкости масштабирующих функций выражаются через совместный спектральный радиус подходящих операторов [2, 12, 21], что вызвало новую волну интереса к этому объекту (небольшой обзор об истории совместного спектрального радиуса и о проблеме его вычисления включен в раздел 4.1 диссертации).
Предположим, что пара аффинных операторов Бо, В\ неприводима (операторы не имеют общих собственных аффинных подпространств) и удовлетворяет условиям
Локальная гладкость всплесков Добеши
Рассмотрим произвольное уравнение вида (0.0.1). Одна РІЗ главных проблем теории масштабирующих уравнений состоит в том, чтобы по коэффициентам (} определить, принадлежит ли решение данному классу функций и какова его гладкость. Несмотря на то, что преобразование Фурье решения дается явной формулой (0.0.2), по ней непросто оценить гладкость функции (р. Усилиями многих математиков были разработаны три основных метода оценки гладкости: метод поточечной оценки преобразования Фурье (оценка скорости убывания произведения (0.0.2) при - оо), метод интегральной оценки преобразования Фурье (метод находит гладкость масштабирующей функции по Соболеву: s((p) = sup{s 0 J (OI2(l+lC2s) })i и матричный метод (выражает показатель Гель дера функции ср через спектральные характеристики двух специальных N х N-матриц То,Ті (теплицевых матриц), построенных по коэффициентам 1} уравнения). Все три метода были применимы в следующей специальной ситуации: если решение ищется в классе Сг(М), / 0, то предполагается, что символ уравнения удовлетворяет правилу сумм порядка /, т.е., факторизуется в виде где m/+i( ) - некоторый алгебраический полином степени N — I — 1. Правило сумм означает, что полином m(z) имеет ноль порядка / + 1 в точке z = — 1, оно также легко формулируется в виде линейных уравнений на коэффициенты {q.}. Между тем, условие (0.0.7) не является необходимым для существования гладкого решения (р Є С (Е) (теорема 1). Возникает вопрос: применимы ли методы оценки гладкости для общих масштабирующих уравнений, не удовлетворяющих (0.0.7) Эта проблема в различных формулировках исследовалась в работах [3, 7, 12, 27, 33]. Полный ответ дает следующая
Теорема 3. Если масштабирующая функция р принадлежит С (Ж) при некотором I 0, а символ m(z) не удовлетворяет условию (0.0.7), то символ имеет симметричный корень а (т.е., m(i/a) = m(— sfa) = 0), который принадлежит множеству корней уравнения а? =1. При этом масштабирующая функция (р представляется в видегде функция tpa также является масштабирующей: она удовлетворяет уравнению с символом имеет ту же гладкость, что (р, и при этом supp ра = [0,iV — 1].
Таким образом, если уравнение не удовлетворяет правшам сумм (0.0.7), то порядок уравнения можно понизить на 1 с сохранением гладкости решения. Следовательно, за конечное число шагов получается уравнение, удовлетворяющее (0.0.7). Это дает возможность применять методы оценки гладкости к любым масштабирующим уравнениям. Аналогичные результаты доказываются и для гладкости в пространствах 1/р(Ж) и гладкости по Соболеву. Теорема 3 позволяет, кроме того, обобщить многие результаты со случая уравнений с выполненными условиями (0.0.7) на общий случай.
Следующие результаты о факторизации масштабирующих уравнений касаются матричного метода оценки гладкости. Этот метод был разработан в 1989-1994 гг. усилиями А.Каваретты, В.Дамена, Ч.Мичелли, И.Добеши, Дж.Лагариаса, К.Хейля и др. Масштабирующее уравнение. (0.0.1 эквивалентно уравнению (0.0.4) на вектор-функцию v(x), определяемую формулой (0.0.6). При этом в качестве операторов В;, і = 0,1 используются операторы Т{, определяемые своими /V х iV-матрицами следующим образом: (такие матрицы принято называть теплицевыми, соответствующими полиному m(z); также полагаем с& = 0 при к 0 и при к N). Таким образом, масштабирующая функция соответствует фрактальной кривой v(x), заданной операторами То,Ті. Согласно результатам главы 2, гладкость /? при этом выражается через спектральные характеристики этих операторов, ограниченных на подпространство где / - наибольшее целое число такое, что (р Є С (Щ. Например, показатель Гельдера выражается следующим образом: где р - совместный спектральный радиус. В частности, р непрерывна тогда и только тогда когда р 1, более того, р Є Cl(R) тогда и только тогда когда р 2 1. Аналогичные формулы имеют место и для гладкости в пространствах Lp(R), р Є [1,+оо). Одна из главных проблем в матричном методе - нахождение пространства V\ и общего вида операторов То,Т\ на этом пространстве. Кроме того, для определения модулей непрерывности масштабирующей функции и ее локальной гладкости используются предложение 1 и теорема 2. Для этого, однако, необходимо знать, будут ли операторы ТІ і 0,1 невырождены и будут ли они иметь общие ин вариантные подпространства. Попытки исследовать этот вопрос, равно как и описать ядра и общие инвариантные подпространства операторов То,Ті, соответствующих произвольному символу 111(2) предпринимались во многих работах, в частности, в статьях К.Хейля, Д.Коллелы, Р.Жоу, Л.Берга, Г.Плонки и др. В данной диссертации представлено полное решение этой проблемы. Для формулировки основного результата вновь применим циклы и симметричные корни алгебраического полинома 111(0). Полином назовем чистым, если он не имеет ни симметричных нулей ни циклов. Обозначим также через [z] вектор (і,г,... ,zN l) G К. , где z ф 0 - произвольное комплексное число. Пусть также Т - оператор, сопряженный к оператору Т.
Структура масштабирующих сплайнов и сходимость уточняющих схем
Таким образом, сплайнами ограничивается все множество "кусочно-хороших" масштабирующих функций. Все остальные масштабирующие функции имеют фрактальные свойства (переменную локальную гладкость и т.д.). В диссертации описана структура многообразия масштабирующих сплайнов и получены явные формулы для скорости сходимости соот-вествующих уточняющих алгоритмов (оказывается, для сплайнов значение этой скорости - целое число). С другой стороны, следующая факторизационная теорема утверждает, что из каждой гладкой масштабирующей функции можно выделить масштабирующий сплайн.
Теорема 11 [Вторая факторизационная теорема]. Если масштабирующая функция (р принадлежит С1 (Ж), (I 0); то она представляется в виде свертки (р = 5/_1 (fo, где Si-\ - масштабирующий сплайн порядка I — 1 и tpo - непрерывная масштабирующая функция. При этом а — ащ + /.
Итак, все гладкие масштабирующие функции являются свертками непрерывных масштабирующих функций с соответствующими масштабирующими сплайнами. Это утверждение дает положительный ответ на вопрос, сформулированный А.Кавареттой, В.Даменом и Ч.Мичелли в 1991 г. [21, замечание 2.6].
Масштабирующие уравнения с неотрицательными коэффициентами. Такие уравнения широко изучались в связи с их валеностью при построении уточняющих схем и в задачах теории вероятностей. В 1986 г. К.Де Боор, а в 1989 г. А.Миччелли и Г.Праутш [20] доказали, что если все коэффициенты С& СТрОГО ПОЛОЛШТеЛЬНЫ, ТО ПрИ При УСЛОВИИ Y k С2А = Ylk N 2 масштабирующая функция непрерывна и соответствующая уточняющая схема сходится. Однако, для прилолсений более валсен случай неотрицательных коэффициентов с&, когда некоторые из них могут обращаться в ноль. В 1996 г. Я.Вонг [25] доказал, что если все с& нетрица-тельны, то при условии Y,k С2А- = Хл- c k+i — 1 масштабирующая функция принадлежит 1 ( )- Это условие, однако, не является необходимым. Следующая теорема представляет полный критерий. Он формулируется в терминах блокирующих множеств бинарного дерева (глава 2).
Если все коэффициенты масштабирующего уравнения неотрицательны, то его решение р принадлежит Ьі(Ш) тогда и только тогда когда существует симметричное блокирующее множество, состоящее из корней символа m(z). В этом случае (р принадлежит Ь Ж).
Каскадный алгоритм, соответствующий -уравнению с неотрицательными коэффициентами, сходится в L\ тогда и только тогда когда m(-l) = 0 и номера ненулевых коэффициентов в последовательности CQ,CI,... ,сдг взаимно просты (их НОД равен единице). В этом случае алгоритм также сходится в Lp при всех конечных р 1.
Критерий принадлежности (р пространству Li(R) неулучшаем в том смысле, что все его случаи реализуются (для любого симметричного блокирующего множества существует уравнение с положительными коэффициентами, символ которого имеет нули на этом множестве и не имеет никаких других нулей на дереве).
Приложения. Всплески с компактным носителем. Для построения системы всплесков с компактным носителем (полной ортонормированнои системы функций в (М), имеющей ВИД {2 (2 )) 2) гДе Ф Фи_ нитная функция) нужно найти решение ц масштабирующего уравнения с некоторыми специальными условиями на коэффициенты с&, затем вы числить всплеск-функцию ф по формуле ф{х) = 2(—1)к+1с -к(р{2х — к).
Таким образом, всплески имеют ту же локальную и глобальную гладкость, что и соответствующие масштабирующие функции. Результаты предыдущих глав о модулях непрерывности масштабирующих функций и об их локальной гладкости без изменений переносятся на всплески. В частности, мы находим модули непрерывности всплесков, формулы для их локальной гладкости в каждой точке и для средней гладкости.
Приложения. Кривые де Рама. Результаты главы 2 о локальной и глобальной гладкости фрактальных кривых применены к исследованию классических кривых де Рама. Кривая де Рама получается в пределе из плоской ломаной с данными вершинами , = (хк,Ук) Є К2, к Z последовательным срезанием ее углов. На первом шаге каждая сторона ломаной делится на три части в отношении и : (1 - 2и) : w, где w G (О, j) заданный параметр. На каждой стороне, таким образом, возникло по две точки деления. Соединив последовательно все точки деления, получаем новую ломаную, делим ее стороны в том же отношении (с тем же параметром w), получаем следующую ломаную и т.д. Кривая, получающаяся в пределе называется кривой де Рама. Кривая де Рама определяется, таким образом, параметром и и начальной ломаной.
Впервые такие кривые были исследованы де Рамом в работах [64, 65, 66]. Де Рам доказал, что для каждого о; Є (0, ) алгоритм срезания углов сходится к некоторой непрерывной кривой Г; эта кривая спрямляема и, более того, при ш она непрерывно-дифференцируема (в натуральной параметризации). При = \ кривая де Рама представляет собой квадратичный сплайн, т.е., составлена из кусков парабол, гладко соединенных в узлах - серединах сторон исходной ломаной. При остальных UJ (Е (0, ) кривая будет обладать фрактальными свойствами, при этом, оставаясь в классе С1. Кривые де Рама применяются в прикладной математике для приближения непрерывных функций и восстановления функций по значениям на некоторой сетке [67] - [70]. В эргодической теории и динамических системах кривые де Рама изучаются как предельные кривые случайных блужданий (см. [71], [72] и библиографию в этих работах). Множество работ посвящены изучению различных свойств кривых де Рама (см., например, [43, 73, 74]) и их обобщениям [42, 44, 45].
Если в качестве начальной ломаной взять квадрат, то соответствующая кривая де Рама будет состоять из четырех одинаковых сегментов с концами в серединах сторон квадрата. Такой сегмент называется фундаментальной кривой де Рама и обозначается далее через Г. Она является фрактальной кривой в Ш2. В соответствующей фрактальной параметризации (0.0.4) Г() = (.т(),г/()) обе координатные функции x(t),y(t) выражаются через масштабирующую функцию Чайкина - решение масштабирующего уравнения третьей степени с коэффициентами UJ,1—UJ,1—UJ,OJ [75]. Это позволяет привлечь масштабирующие уравнения к исследованию кривых де Рама. В некоторых работах 1990-х годов уточняющие схемы определялись как обобщения алгоритма де Рама срезания углов [21, 30, 42]. Кривая де Рама, соответствующая произвольной начальной ломаной, является объединением нескольких кривых, каждая из которых аффинно подобна фундаментальной кривой Г. Поэтому при изучении кривых де Рама молено ограничиться только кривой Г.
Техника, разработанная в главе 2, позволяет вычислить точный показатель гладкости кривой де Рама для каждого значения параметра UJ. Важность этого результата объясняется тем, что гладкость отвечает как за скорость сходимости алгоритма срезания углов, так и за точность приближения гладких функций кривыми де Рама. В отличие от результатов главы 2 для общих фрактальных кривых, здесь нас интересует "геометрическая гладкость", т.е., гладкость кривой Г в ее натуральной параметризации (в качестве параметра берется длина кривой), а не гладкость фрактальной параметризации (0.0.4) с помощью переменной t. Показатель Гельдера кривой Г выражается через нижний спектральный радиус р следующих 2 х 2-матриц:
