Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Мультипликативное представление нелинейных эволюционных семейств 17
1. Формальные операторы и форлальные степенные ряды в линейном топологическом пространстве 17
2. Эволюционное семейство формальных операторов 25
3. Мультипликативное представление эволюционных семейств 29
4. Хронологическое произведение эволюционных семейств 48
ГЛАВА II. Диаграммный метод построения композиционного мультипликационного интеграла 57
1. Описание пространства ветвящихся траекторий и определение ветвящейся, композиции на нем 57
2. Построение эволюционного семейства с помощью ветвящейся композиции операторов 61
3. Оценка количества деревьев фиксированного порядка 66
4. Задача Коши для нелинейного уравнения 70
ГЛАВА III. Построение континуальных интегралов, связанных с некоторыми уравнениями математической физики 75
1. Пространство ветвящихся траекторий 75
2. Определение меры на ветвящихся траекториях 81
3. Построение континуальных интегралов для уравнений с локальными и нелокальными нелинейностями 90
Литература 106
- Формальные операторы и форлальные степенные ряды в линейном топологическом пространстве
- Мультипликативное представление эволюционных семейств
- Построение эволюционного семейства с помощью ветвящейся композиции операторов
- Построение континуальных интегралов для уравнений с локальными и нелокальными нелинейностями
Введение к работе
Нелинейные эволюционные уравнения с операторными коэффициентами часто встречаются в математической физике, что определяет важность их изучения.
Приведем некоторые из таких уравнений, включающиеся в рассматриваемый класс.
В нелинейной теории диффузии хорошо известно уравнение Бюргерса
эг дя*- дх- (і)
(см., например, книгу Уизема [I] ).
Другим примером может служить уравнение Кортевега-де-Фріза ( КдФ ), популярное сейчас в связи с развитием теории солитонов
Ж ' Ж? + и ді ' (2)
Отметим еще важные уравнения другого типа - нелинейное уравнение Шредингера
І Ж д*ь flf (3>
и его интегральный аналог - уравнение типа Іартри
да Н
= 0 + [n(-b.*,*i'..~,*j)Tl («(*?)**г)'
$ fai
(4)
Известно \ 2 ] , что решение линейных эволюционных уравнений
*YO- А&)а&) (5)
при некоторых условиях разлагаются в мультипликативный интеграл
««>- U(*V» - Л* П еі<г*)4^ . (6)
J Н-*-Оо Ь„і
Для неограниченных операторов подобные результаты были получены Т.Като 1 3] и его последователями (см. книгу С.Г.Крейна \& ] , где имеется подробная библиография).
Если производящий оператор в (5) представим в виде суммы двух слагаемых
A(V- A0(l) + BOO,
то при определенных условиях можно видоизменить формулу (6) и получить представление
Когда А о (t) и Б СО - линейные неограниченные операторы, в этом направлении имеются известные результаты Х.Троттера [ь] , Ю.Л.Далецкого [б] , В.П.Маслова и И.А.Шишмарева [7 ] .
В такой постановке эта задача тесно связана с представлением решения задачи Коши в виде континуального интеграла (интеграла по пространству ветвящихся траекторий), - строгим обоснованием формулы Фейнмана-Каца [ 8 ] .
На случай нелинейных уравнений эти результаты были обобщены А.Т.Заллитной и Ю.Л.Далецким I 9 ] , которые построили аналог представления (7) и показали, что он приводит к континуальному интегралу по пространству ветвящихся траекторий (деревьев).
Последний факт тесно связан с исследованиями А.В.Скорохода по ветвящейся диффузиии 1.10].
Мультипликативные представления в нелинейном случае были развиты Дж.Марсденом [II] и П.Черновым \.I2] , а теория континуального интеграла в работах В.П.Маслова и А.М.Чеботарева [15 J (для уравнения Хартри).
Однако, перечисленные случаи не охватывают уравнений с нелинейностью в производной, таких как уравнение Еюргерса или КдФ. В связи с этшл представляет интерес более общая постановка, охватывающая и эти важные случаи.
Перейдем к изложению содержания работы.
В банаховом пространстве X рассмотрим задачу Коши:
|f = A0(i)n + в(9(*Х "(0) - ««єХ, (в)
где и. - вектор-функция со значениями в X » А0 60 - линейный, а В ("О - нелинейный оператор, представленный рядом
вах» - r в(*)й(«*), о)
к-г
в котором ВСО^ - Ц.-линейный оператор в X . Напомним, что k-линейный оператор определен на к- -кратном произведении X со значениями в X и линеен по каждой переменной, т.е. для всякого индекса і и элементов Х,,*.,*:^,^.,.-,^,;% отображение зі-*В* (а>,,,.,, #^,/,.-/ *А ) является линейным отображением X в X .
Если задача Коши в (8) корректна на интервале 10, Т] , то решение и() в ряде случаев аналитически зависит от 4tf :
«ft)- V(o,i)v,- U(ori\u. do)
Получающиеся таким образом нелинейные операторы обладают эволюционным свойством, играющим важную роль как при изучении структуры решений, так и с вычислительной точки зрения.
В диссертации изучаются некоторые аспекты, связанные с этими свойствами. При этом оказывается, что иногда полезно, не думая о сходимости ряда вида (10), проводить вычисления на формальном уровне.
- Ъ -
В линейном топологическом пространстве (л.т.п.) JC определяется формальніш оператор (ф.о.) А (=(Ж,^,...,^,*.) как набор полилинейных операторов в X (компонент).
Выражение
i(f)- А ук ,
где rfk - к/ -линейный оператор из * --^ь s в зС , на-
зывается формальным степенным рядом в X. , соответствующим ф.о. А
Очевидно, что совокупность ^^ ф.о. является л.т.п. (топология задается покомпонентной сходимостью).
Определим на #^ операцию умножения (композицию), соответствующую подстановке ряда в ряд
е=къ s cty) - А(в(у)) -i: ^(^).
Таким образом, по определению
(Аоъ\ -jb?:. jm(\,.., *fcj, (id
Эта операция ассоциативна, удовлетворяет левому соотношению дистрибутивности и непрерывна в топологии пространства
Определенное равенством (8) умножение задает на л.т.п. 9tx структуру, которую назовем коглпозиционной алгеброй с единицей l~(idf,0,...\ гДе *>dx " тождественный оператор в * .
Помимо композиции в 7% определяется операция дифференцирования (по направлению С е ^^ ).
Заметим, что tft^ с операцией
[А,Ъ}(С) - дА(с,В)- &Ъ(СА)
является бесконечномерной алгеброй Ли.
С самого начала задача (8) рассматривается в классе формальных степенных рядов. Для уравнения (8) строится хронологический мультипликативный интеграл типа (7), причем мультипликативность понимается в смысле, определяемом композицией (II), что связано с переходом от умножения линейных операторов к суперпозиции нелинейных отображений.
Для вычисления мультипликативного интеграла предлагается специальная техника, состоящая в следующем. Каждой комопненте ставится в соответствие множество ветвящихся диаграмм, причем число вершин в каждой из них определяется порядком компоненты. По каждой диаграмме строится ветвящаяся композиция набора отображений.
Решение задачи (8) будет представлять собой сумму всех таких вкладов от всевозможных ветвящихся диаграмм. При этом оказывается, что можно получить оценку числа диаграмм определенного порядка, а также при определенных условиях, и величину каждого вклада, что позволяет в конкретной ситуации (имеются в виду уравнения (1)-(4) и др.) получить условия "неформальной" сходимости ряда (10), представляющего решение задачи (8).
Это решение может быть представлено в виде континуального интеграла, то есть интеграла от некоторого функционала по специальной функции множеств - квазимере. Ее конечномерные проекции задаются на алгебре цилиндрических множеств в пространстве вет-
- О -
вящихся траекторий.
Существование континуального интеграла обеспечивается существованием композиционного мультипликативного интеграла.
Для уравнений с локальными нелинейностями (1)-(3) и для уравнений с нелокальными нелинейностями вида (4) описана процедура построения континуального интеграла.
Формальные операторы и форлальные степенные ряды в линейном топологическом пространстве
В этом случае производящий оператор предельного семейства определяется равенством .А()=С()+В() (Предложение 1.10). В главе П описывается диаграммный метод построения композиционного мультипликативного интеграла. В I определяется пространство ветвящихся траекторий на отрезке. Для этого сначала следующим образом вводится понятие остова (см.(2.4)). Пусть Z - конечное частично упорядоченное множество.Для пары %i и 2г е Z , для которых нет промежуточных, определим отрезок Lzi, z2] с началом в z± и концом в zz (т.е. под отрезком понимаем пару точек z и z2 ). Обозначим x_(z.) - множество элементов, концы которых совпадают с Z, ,а +() - множество точек, в которых заканчиваются отрезки, выходящие из z , /г±(г) , соответственно, - число элементов в множестве 0 ± (z) . Множество точек назовем остовом, если в нем определен точно один минимальный элемент zc Z! - 2. : k+ (z ) = 0 ] и множество точек ветвления Z -{z z k(z")2- ]« Количество верпшн остова Z назовем его порядком и обозначим ii(Z )=J? . Рассмотрим монотонное отображение Пусть Q - множество таких отображений. При этом каждому отрезку [2,] сопоставляется числовой отрезок [0(2), O(z)] , Их совокупность при каждом Й0 будем рассматривать как ветвящийся отрезок с точками ветвления Q(z."), z"G и называть деревом ( (Z, ) . Ветвящейся траекторией в X (типа Z ) на [ , ] назовем отображение Множество всех ветвящихся траекторий типа Z на отрезке [t,t] , выходящих из точки Х=Х&(1) обозначим Ж(х,6, ; 7J). В 2 для каждого дерева порядка к определяется - -линейный оператор в X . При этом справедлив следующий результат. Теорема 3 (2.1). Пусть Л()= (J(),,.., (0,.- ) семейство ф.о. в оС и пусть в «5С существует линейное эволюционное семейство #( с производящим оператором j#d () . Сопоставим каждому остову Z k ()-линейный оператор в С по правилу J 2 0(2-) где интегрирование ведется по объему 0(z)e [Ь,ъJ . Тогда семейство ф.о. является эволюционным и А СО его производящий оператор. В 3 производится оценка количества деревьев фиксированного порядка. Пусть fa - число дихотомических (kt(z")= 2., 2"eZO остовов порядка к , а - число произвольных остовов порядка k . В этих обозначениях (лемма 2.1 на с.67), выполняется равенство а для ffk выполняется неравенство fa Z fk В 4 рассматривается задача Коши Если эта задача имеет аналитическое в пространстве X в окрестности нуля решение k-J то, очевидно, в силу единственности мультипликативного интеграла в классе ф.о., коэффициенты разложения (20) совпадают с компонентами ф.о. (18). Наоборот, если формальный степенной ряд (20) сходится на некотором интервале времени и в некоторой окрестности нуля, то он представляет решение задачи Коши (19). Используя формулу для jk в 4 гл.П установлена следующая теорема. Теорема 4 (2.2). Пусть для ф.о. А (і) с областью определения X. плотной в X выполнены условия: I) на интервале [0ГТ] корректна задача Коши решение которой определено равенством где 11(0, )/ - эволюционное семейство с производящим оператором t/fj С ); 2) для #6(0, )/ существует 0{l оо такая, что справедлива оценка 3) существует такая постоянная, не зависящая от k , что для любого к выполняется неравенство о о Тогда задача Коши (19) корректна при \\-ис\) JS Z и ее решение представляется рядом (20). В главе Ш показывается, как полученное в главах I и П мультипликативное представление приводит к представлению решений соответствующей задачи Коши в виде континуального интеграла по пространству деревьев (ветвящихся траекторий). В I описывается алгебра цилиндрических множеств этого пространства и квазимера - функция множеств, которая является счетно-аддитивной на каждой алгебре цилиндрических множеств фиксированного типа (тип цилиндрического множества определяется типом остова и расположением точек разбиения ветвящигося отрезка). Эта квазимера определяется видом оператора Интегралы от функционалов в некотором классе по этой квазимере определяются как пределы конечяократяых интегралов.
Мультипликативное представление эволюционных семейств
Пусть Z - конечное, частично упорядоченное множество. Для любых сравнимых ZL, Zz, Z3 назовем Zz промежуточным по отношению к паре Zi? Z3 , если Zl Z2 Z3. Пару сравнимых элементов ZltZz Z3 , между которыми нет промежуточных, назовем отрезком Lzi,23] с началом в точке Zi и концом в z3 .
Обозначим оі_(2) - множество элементов, которые являются началом отрезков, концы которых совпадают с Z , Х+ (z) -множество точек, в которых заканчиваются отрезки, выходящие из Z . Для подмножества Zi с: Z , k(Z )- число его элементов и k+(z) - kO+(z)).
Определение 2.1. Назовем Z остовом, если выполняются условия: а) существует точно один минимальный элемент (корень осто ва) Z0 2, (zeZ) такой, что 0(.( ) = , a k+(zfl)=i; б) для z = s:0 k.(z)=4, k+(z) і. Элементы множества Z ={z eZ, kf(z ):= Q] назовем вершинами остова, точки множества Z"=[2"eZ, k+(Z-")-j- точками ветвления, число kf(Z") - кратностью точки ветвления Е";/е Z" , kz = k(Z )- порядком остова Z На множестве Z можно ввести лексикографический порядок. Для каждого 2e:Z\2 упорядочим множество с+(s _) » занумеровав его точки: 0C+(z) - {Zj, 7 ,,, Zk \ При этом каждому элементу ZGZ можно приписать индекс, составленный из номеров элементов, лежащих между Z0 и Z . следующим образом: если Z и S соответственно начало и конец отрезка [2,Z ] , то индекс Z состоит из индекса точки z , которому приписывается номер данной вершины в множестве ot+ (z) Таким же образом упорядочивается и множество вершин Z Определение 2.2» Два остова rZii и Z2 назовем эквивалентными и будем писать Z cvo Z2 » если они имеют одинаковую нумерацию вершин. Такие остовы изоморфны. Например, с точностью до эквивалентности существует один остов Zj = [z0, Z ] порядка k(Zd ) = і , один Zг = {ZQ, Z± / Za, Ziz] порядка k (Z2) 2 и три остова порядка 3 : Определение 2.3. Скажем, что множество R является пересечением по эквивалентности множеств Л и Зі ( А и j8 множества остовов), если "R - число элементов в множестве К Определение 2.4. Назовем конечное частично упорядоченное множество Z расширенным остовом, если оно получается из присоединением конечного числа промежуточных точек 2 , ДЛЯ каждой из которых kt(z) I, k,(z) = і.Такие точки назовем точками разбиения; множество точек разбиения - расширением остова, а процедуру присоединения к остову его точек разбиения - разбиением остова. Определение 2.5. Расширением остова Z = Z назовем простым (или разрезом Z ), если точки разбиения (разреза) попарно несравнимы. Если Z - точка разреза остова Z , то множество Z L)(zcZ, Z Z= Z точек, следующих за z образуют остов Z с корнем % - так называемый правый подос-тов Z Если Z- (J i,.. f м) - множество всех точек разреза, то множество также образует остов - левый подостав остова Z с корнями Z0 и множеством вершин Z0 , включающих точки разреза. Каждый разрез порождает таким образом представление в виде объединения остовов Определение 2.6. Назовем два разреза эквивалентными, если порожденные ими представления (2.3) одинаковы. Множество J6 представляется в виде объединения Z-. и части множества вершин остова Z0 , которая может равняться нулю. (Другая часть состоит из точек разреза.) Пусть - множество всех таких отображений. Каждому отрезку lz,z J при этом сопоставляется числовой отрезок 19(2), 9(2)]. Определение 2.7. Совокупность точек отрезков [Q(z)r #()], 9є 0 будем рассматривать как ветвящийся отрезок [, ] с точками ветвления б(г") , 2"є Z и называть деревом (#,2), Расширению остова соответствует разбиение ветвящегося отрезка дополнительными точками. В частности, для остова {z , _,] это приводит к обычному разбиению отрезка [ ., t ] Каждому дереву G (#,Z) , отвечающему остову z , сопоставим точку 5 (9,2) многомерного куба 1 , ] , координатами которой являются числа #(z),(seZ ) (образы точек ветвления), записанные в лексикографическом порядке. Множество Q(z) - \Jo (в, Z\ Q 0 J представляет подмножество куба, ограниченное конечным числом плоскостей и являющееся объединением конечного числа симплексов. Пусть а - некоторое разбиение остова Z , Z0 — Z -соответствующий расширенный остов, ZL — Z« \ Z - множество точек разбиения, во - их образы на дереве 6(0,). Рассмотрим простейшие примеры.
Построение эволюционного семейства с помощью ветвящейся композиции операторов
В этой главе рассматриваются континуальные интегралы, то есть интегралы по квазимере на пространстве траектории, порождаемой переходной мерой. В том случае, когда роль переходной меры играет фундаментальное решение некоторого эволюционного уравнения, континуальные интегралы тесно связаны с представлением решений эволюционных уравнений. Поэтому, в случае, когда соответствующая квазимера не имеет ограниченной вариации для построения континуального интеграла используется мультипликативное представление решений нелинейных (а также линейных) уравнений, описанное в главах I, П. Для нелинейных уравнений на этом пути возникают интегралы по пространству ветвящихся траекторий.
Пусть (XT,ttr П (X ХЬУ Т - [Ъ,Ъ,] с R - произ-ведение измеримых пространств. Определение 3.1. Назовем простой (не ветвящейся) траекторией на интервале [t:7 tt ] выходящей из точки и. , отображение Пространство всех простых траекторий на интервале [t, ty J , выходящих из точки tf обозначим jtb (!t, tj) Определим теперь пространство ( t,ti;Z) ветвящихся траекторш типа Z ( Z - некоторый остов) на интервале 1 1 1 ] выходящих из точки ее Рассмотрим для этого произведение отрезков дерева выходящих из точки ветвления z : порядок ветвле ния точки?.. При этом, для каждой точки z & Z" , кратности k+ имеет место Таким образом, М(х,ъ, t f 2) = {а/ 0 е J - пространство всех ветвящихся траекторий типа Z на отрезке [t, С/ ]f Опишем способ построения пространства ветвящихся траекторий с помощью простых. Сопоставим каждому отрезку [0(z), 0()] простую траекторию j(.S) » 5e[0(2) (Zj)], выходящую из точки а, 77 Определение 3.4. Связкой траекторий порядка , относящейся к точке ветвления Z остова Z (рис. 3.1), назовем отображение Множество всех связок, относящихся к точке z, , обозначим U((9, z) . В силу определения связки и ветвящейся траектории (3.2) очевидно равенство гє2\2 Пространство ветвящихся траекторий типа Z , выходящих из точки х сконструируем из пространств MfB,1 ) следующим образом. Пусть задано разбиение = -" - »# Л- интервала 1с,с4 ] . Тогда для каждого дерева Є (в, Z) можно определить следующие подразбиения: то есть оно сопоставляет ветвящейся траектории ЛР2 набор значений траекторий COz в каждый из моментов ветвления (при этом каждому моменту 0(z) соответствует одно значение для правого конца отрезка, входящего в точку Z и A.+ (z) значений левых концов отрезков, выходящих из точки Z - всего 4 .+ і значение (рис. 3.1) ). Для заданного разбиения о рассмотрим отображение Х -П , П i[ где hI fy-(Zr) - число точек в подразбиении Q- (z-). Ото-бражение $, действует следующим образом то есть сопоставляет траектории ш набор ее значений в - 79 точках разбиения. Конечномерные пространства X и X» измеримы, с помощью отображений $л (3.6) и (3.7) можно определить алгебру цилиндрических множеств в пространстве 6с,с, ; ). Прообраз некоторого борелевского множества Б ХІ при отображении $ будет иметь вид
Построение континуальных интегралов для уравнений с локальными и нелокальными нелинейностями
Если семейство строить с помощью функционала (3.32), то (3.33) приводит к соотношению определяющему нелинейное эволюционное семейство &р(,ъ) .
В частном случае, когда V -,-1 , семейство Фр(,ъ) совпадает с семейством ф.о., определенншл в главе П равенствами (2.5 ) и (2.6 ). Из теоремы 2.1. следует, что производящий оператор семейства (3.34) будет иметь вид где ЛІОЛ - производящий оператор линейного семейства
Для построения континуального интеграла, связанного с конкретными уравнением математической физики необходішо конкретизировать прием построения квазимеры (З.ІІ) - (3.16) и, тем самым, придать формуле (3.33) вид, более удобный для численного построения решения задачи Кош для этого уравнения. Пусть z - точка ветвления порядка р остова Z Рассмотрим связку траекторий порядка р , относящуюся к точке Ъ. определенную на э_ = [ Q(X), 0-OS:)J . При этом, Каждому элементу связки, относящейся к точке 2 , сопоставим функцию ifL Q ,tjf Xj, fy) (пропагатор), а всей связке -сопоставим функцию, определенную равенством Рассмотрим уравнение (см. гл.І (I.I2)) (3.36) Пусть югшоненты оператора А (О представимы в интегральном виде где ядро с р(\., ) определяется с помощью функции ветвления (3.14), которая определена в каждой точке ie Z с помощью соотношения Функцию Ср(3, ж,3 9„f vep) назовем символом ветвления ( х - ордината правого конца отрезка, входящего в точку Z , см. рис.3.3). Определение 3.6. Уравнения, для которых сшлвол ветвления имеет носителем счетное множество, называются уравнениями с локальной нелинейностью (локально нелинейными). Уравнения, для которых это не выполняется будем называть уравнениями с нелокальной нелинейностью. На диаграммах символу ветвления ос (StaL,xi9„. xpy) с точкой входа х и р точками выхода - ІЕУ ,... , р введем обозначение на рис. 3.4. Как указывалось выше (глава П, теорема 2.2), решение задачи Коши в пространстве X представимо в виде ряда где V (Ь С) - эволюционное семейство операторов, определенное равенством (3.34). Пусть пропагатор (s x, задает переходную меру р а символ ветвления связан с функцией ветвления равенством (3.39). Тогда, используя определение меры (3.16), - -ую компоненту семейства (3.34) можно представить в интегральном виде с помощью ядра X (Ь}«г;х, у,.«,$)
Похожие диссертации на Мультипликативные интегралы, связанные с нелинейными операторными эволюционными уравнениями
