Краевые задачи для бесконечномерного параболического уравнения Норин Николай Викторович

Содержание к диссертации

Введение

Глава I. Первая краевая задача для бесконечномерного параболического уравнения /вероятностный подход/ .17

1.Теорема единственности 17

2. Теорема существования и единственности 22

Глава II. Теория тепловых потенциалов 35

1.Поверхностные меры,соответствующие дифференцируемым мерам 35

2.Определение тепловых потенциалов 51

3. Дифференциальные свойства тепловых потенциалов 64

4.Непрерывность тепловых потенциалов 67

5.Теорема о скачке 84

6. Тепловые потенциалы и /квази/характеристические операторы 88

Глава III. Решение первой и второй краевых задач при помощи тепловых потенциалов 98

1.Интегральные уравнения 98

2. Первая и вторая краевые задачи для уравнения теплопроводности в цилиндрической области с бесконечномерным основанием 106

3.Теорема о среднем для функций,удовлетворяющих /дифференциальному/ уравнению теплопроводности 111

Литература 125

• Теорема существования и единственности
• Дифференциальные свойства тепловых потенциалов
• Тепловые потенциалы и /квази/характеристические операторы
• Первая и вторая краевые задачи для уравнения теплопроводности в цилиндрической области с бесконечномерным основанием

Введение к работе

В диссертации решаются первая и вторая краевые задачи в области гильбертова пространства для бесконечномерного параболического оператора второго порядка.

Изучение таких операторов представляет большой интерес по двум причинам.Во-первых,они естественно возникают в приложениях - евклидовой квантовой теории поля,статистической гидромеханике и в теории случайных процессов с бесконечномерным фазовым пространством; во-вторых,хотя они являются непосредственным обобщением соответствующих конечномерных операторов, однако их теория существенным образом отличается от конечномерной.

Исследование параболических и эллиптических операторов на бесконечномерных пространствах началось около 15 лет назад в работах Ю.Л.Далецкого [iJ и Л.Гросса [2 J ,которые,в частности, рассматривали задачу Коши для бесконечномерных параболических уравнений.В дальнейшем эта задача - как в пространствах функций,так и в пространствах мер - изучалась многими авторами /см.,например, [з] , [4\ , [5J и др./.Первая краевая задача рассматривалась наиболее подробно для эллиптических операторов и их расширений / [2j , [б] , [?], [8J , [9] , [10J ^и ДР»/» ^в параболическом случае лишь в работах [9] , [її] , [12] и [38] .

При исследовании бесконечномерных уравнений в большей части работ применялась теория строго марковских процессов с бесконечномерным фазовым пространством,близких к диффузионным /см. [і] , [2J и др./.Использовались также метод парамет-рикса / [l3J , [4j , [б] / и вариационный метод / [l4j , - 4 -[іб] /.Теория потенциала была применена в работе [іб] в эллиптическом случае для цилиндрической области.

Изучение в диссертации теории тепловых потенциалов потребовало систематического использования свойств дифференцируемых мер /см. [l7J ,а также [їв] , [l9j I и соответствующих им поверхностных мер / [20J /.Применение теории потенциалов позволило,с одной стороны,новым методом решить первую краевую задачу,с другой стороны,впервые решить вторую краевую задачу,а также исследовать регулярность полученных решений.

Перейдем к изложению основных результатов.диссертация состоит из введения и трех глав,разбитых на параграфы; внутри каждой главы нумерация теорем,лемм,формул и т.д. сквозная, причем римской цифрой обозначен номер главы,а арабской -очередной номер.

В первой главе два параграфа.В первом из них даются определения характеристического и квазихарактеристического операторов^ также решения первой краевой задачи в области банахова пространства для строго марковского процесса с непрерывными траекториями; приводится теорема единственности решения первой краевой задачи для квазихарактеристического оператора. Во втором параграфе доказывается теорема существования и единственности решения первой краевой задачи для теплового движения.

Пусть (l,H, Ь) - абстрактное винеровское пространство / L 2 J /, 1^ П, С , с^О,- семейство соответствующих гаус сов ских мер, - вероятностное про странство, - строго марковский процесс с непрерывными траекториями и с фазовым простран- ством - открытое подмножество їґ ,такое,что '"Мі/пСіЛУ] ^<0 »где т(Ы) - момент первого выхода процесса Л ії-і t) из множества Ы » і Ы^ ( - частично упорядоченное по включению множество окрестностей ТОЧКИ ІЕ таких,что Z 1/у — [А

Определение I.I.Борелевская функция со- держится в области определения оО^, характеристического оператора aL строго марковского процесса /С ,если предел существует для каждой точки Z Є Ц .Тогда равен этому пределу по определению.

Определение 1.2.Борелевская функция при- надлежит области определения сОу квазихарактеристического оператора оС^ строго марковского процесса л. ,если для каждой точки 2.Є U выполнены следующие условия:

I/ существует такая непрерывная функция г Ц ~~*~ К , что для каждой достаточно малой окрестности И^ точки Z выполнено равенство лпі \

М[№Ж)Ш-Kz)=W[\₀ *№%$)&\ /1.2/ в этом случае положим

2/ существует последовательность | U_h ) таких окрест ностей точки Z ,что jq , ПрИЧЄМ для каждой окрестности Ы_ю выполнено равенство /1.2/.

Квазихарактеристические операторы изучались /в конечномерном случае/ в работах j_2lj , [_22J , [23J .

Пусть Символом J будем обозначать как характеристический one- ратор oC ,так и квазихарактеристический оператор оГ_к ,а символом lg(MJ - пространство непрерывных ограниченных вещественных функций на метрическом пространстве П

Определение 1.3.Решением первой краевой задачи в облас ти U называется функция такая,что

Я(г)~0, геи, я.з/

3jW " ^J' /1-4/ ^{где уеСеСэ^г/)}

Если J- of ^ ,то справедлива следующая теорема единственности.

Теорема I.I.Существует не более одного решения задачи /1.3/ - /1.4/ в области Ц .Если такое решение t существует, то

Пусть Іі - пространство непрерывных функций U: [Д <*>)-* В таких,что со(0) = 0 ,W({)^:_lQ""6^:u;^u;^)-винеровский процесс j_24J с фазовым пространством D начинающийся в нуле.Тепловое движение \N(S) на SP определяется формулой где 2 У-> .Доказывается,что - строго марковский процесс с фазовым пространством сг и непрерывными траекториями,причем инфйнитезимальный оператор (Л соответствующей полугруппы вычисляется по формуле где і) і - вторая производная по подпространству \~\ / [25 J , [19] /,а функция л удовлетворяет некоторым условиям гладкости /см.лемму 1.4/.

Пусть множество С - замкнутая выпуклая оболочка в б начала координат и шара положительного радиуса,замыкание которого не содержит начала координат,а

Тогда множество K⁼L⁺Z назовем конусом в 9Р с вершиной Z

Определение 1.5.Множество Ы назовем сильно регулярным в точке 2 6^ti ,если существует конус с верши- ной такой,что

Множество сильно регулярных точек границы множества Ы обозначим через (j ,а множество (J назовем ограниченным снизу,если существует такое ~Ь₀^К ,что _{W С {(«,«> "I'M}

Теорема 1.2.Пусть ограниченная снизу область Ы такова, что OqMQ G ,тогда первая краевая задача /1.3/ - /1.4/ в области и имеет решение.Кроме того,для это решение единственно.

Вторая глава состоит из пяти параграфов.В первом параграфе приводятся вспомогательные утверждения о поверхностных мерах,соответствующих дифференцируемым мерам /см.также [20J /. Во втором параграфе даются определения объемного теплового потенциала и тепловых потенциалов простого и двойного слоя,а также доказываются некоторые оценки этих потенциалов.В третьем параграфе устанавливается дифференцируемость потенциалов по пространственной переменной.В четвертом параграфе доказана непрерывность потенциалов и их прямых значений.В пятом параграфе доказана теорема о скачке на границе области потенциала двойного слоя и конормальной производной потенциала простого слоя.В шестом параграфе вычисляются результаты применения /квази/характеристического оператора к тепловым потенциалам.

Пусть т - сепарабельное вещественное гильбертово пространство, Д - положительно определенный самосопряжен ный оператор Гильберта-Шмидта, .Оснащенным гильбертовым пространством называется тройка т^сН^ст. Осна щенное гильбертово пространство является частным случаем абстрактного винеровекого пространства / L24J /.Пусть ^г{^Ф'^: Hl|^sR] ,nft)^s/R - внешняя гильбертова нормаль к /О в точке конормаль,

Т>0 .ЛВДОТ] >{№*«< R] ,№TMftT] , p.'^T-^-R , t'DT"**R - ограниченные борелевские функции, p_t(oc, E)=p_i(E-x) ,где Е^е$ №') , р^ (ос, ) - соответствующая поверхностная мера на поверхности О .

Определение II.4./Тепловым/ потенциалом простого слоя с плотностью О называется функция определенная равенствами * тУ(х>0)=0.

Определение II.5./Тепловым/ потенциалом двойного слоя с плотностью О называется функция U определенная равенствами

Определение II.6.Объемным /тепловым/ потенциалом с плотностью f называется функция ъ5^: фі LQT] ~ г ,определенная равенствами

Пусть ) ,ГДЄ к Н ,ОІіт=с(Г" ,

Теорема II.3.Потенциалы простого и двойного слоев бесконечное число раз дифференцируемы по Фреше по подпространству Н в каждой точке (хЛ) М S , CK"UT ,причем значе- m _{х п} _„ _х__ даются формулами о(_г tffc{)=(-if J J fft)(e/_h» fk-J fcdS)dr _{i0V^k«m1-- /ii>28/} \ s? (№»(& \-x)(d_um p^ffr d \)} dt.

Пусть 3C ,5 , тогда прямое значение конормальной производной потенциала простого слоя определим равенством

Теорема II.4.Если о Є а/иГ.яГеСбСФ'хСаТ]); e/ueCgf^SjxtQT]); г/ и, d_R or Є Cg ( S T).

В следующей теореме

Теорема II.5./О скачке/.Если ре С_е CST) ,то а/ для ХЄ D и (х,±) —*- (ос⁰, i) и(хД)--^р(^Л + и(х-П; б/для xfcT) и Сх,-0-*С*_лО в/если ХвЭ , х-хЄ ^_м,(х,-0-*Сх^в,О ,то г/если ХІ^З) , Х-ХЄ Rr^) , (сД) ~" (^j Л ,то

Отметим,что если плотность + объемного потенциала ограничена и непрерывна,то какова бы ни была точка ('XyDfU I / следствие II.4 /.

Справедлива также следующая теорема.

Теорема II.б.Пусть плотность р ограничена,тогда а/ потенциал двойного слоя U Є <ЗХ» CDTj , of_k U = О ; потенциал простого слоя іУЄ ) ^ Й)Т), of^ гГ = О ; б/ ^ueXgOT) „ аГ-#и=0 - II -

Третья глава состоит из трех параграфов.В первом параграфе исследуются интегральные уравнения,получающиеся при решении краевых задач с помощью тепловых потенциалов.Во втором параграфе первая и вторая краевые задачи сводятся к решению интегральных уравнений,исследованных в первом параграфе. Доказываются теоремы существования решений этих краевых задач /а в одном частном случае и единственности/.В третьем параграфе получено интегральное представление функции, удовлетворяющей некоторым условиям гладкости.С использованием этого представления доказана теорема о среднем для функций,удовлетворяющих /дифференциальному/ уравнению теплопроводности.

Пусть Л-*І. ,интегральный оператор J * lg(i ' J""*" ""CgOS 'J определяется равенством

Так как при 0^ -L_x<-ii< ъ /11.72/ a / "і - фиксировано, dbw\ т - о / _sLp^-^'⁰_' ^/ш_-^6/ то справедлива лемма

Лемма III.I.Интегральный оператор J не допускает оценки вида ^{swg UpteoUc-ipiu-il} где oi>0 j С^>0 - некоторые постоянные,не зависящие от си от выбора функции о .Более того,существует такая функ ция р_о .что Sud |Лр₀СхД)| HLpoL'O.

Пользуясь формулой /11.20/ /подобной /11.72/ /,можно доказать,что оператор J не будет вполне непрерывным /лем ма III.3/.Из вышесказанного следует,что /конечномерная/ тео рия решения интегральных уравнений рассматриваемый случай не охватывает.Однако,пользуясь тем,что /лем- ма III.4/,можно доказать,что множество о\ функций !f , /III.з/ имеет решение,всюду плотно в С$(и7 ) /следствие III.I/. Обозначим J"_u = j-і и J^j- = 5-х

Пусть % (Ъ »[о]) и Я .

Определение III.I.Решением первой краевой задачи в области называется функция U Є hem) такая,что Xuft)=-fco, zeDT, _/ШЛ2/ uj g- =

Определение ІІІ.2.Решением второй краевой задачи в области называется функция іГє Се 0)Т) такая,что JVft)^Bfe, 2бО)Т, ЯП. 14/

4т(осА^а^) ⁼ ^^ fc-t)e^(0,TJ, /III. 15/ іГбс,0) = Wx), ОСбТ), /III. 16/ где ^_(х)^^)=^^^) *% S) , ^ d) _L -ос вдоль конормали nte), O^S^T ,QCg GST) , VeCgUD) ,

Как и в классической /конечномерной/ теории,решение причем для определения функции О получается интегральное уравнение вида /III.3/ с А = 1 ,где /111.20/

Решение второй краевой задачи ищем в виде /III. 21/ ^+)=% РМ P*a-t) MV? <-

Для определения неизвестной функции О в этом случае получим интегральное уравнение /III.3/,где /\=~1 ,а

Теорема ІН.І.І/функция Ы ,заданная формулой /III.17/, является решением первой краевой задачи /III.12/ - /III.13/ /где J = oL /,какова бы ни была функция ЬР 5и / У ^за~ дана формулой /III.20/ /.

2/Функция іГ ,заданная формулой /III.21/,является ре шением второй краевой задачи /III. 14/ - /III. 16/ /тдеи= С /, какова' бы ни была функция }f

Теорема III.2Л/Функция U ,заданная формулой /III.17/, является единственным решением первой краевой задачи /III.12/-/III. 13/ /где J= ot^t т - 0 /,какова бы ни была функция УєЛі / \Р задана формулой /III.20/ /.

2/функция и ,заданная формулой /III.21/,является решением второй краевой задачи /III.14/ - /III.16/ /где^- _t + ⁵ 0 /,какова бы ни была функция ІРЄ >!?jj- / У задана формулой /III.25/ /,если только расстояние от Suppг до S положительно.

Пусть Ы - область в .Для функции обозначим символами Я „D²? первую и вторую производные Фреше по подпространству Н , \ первую производную Фре-ше по Н"^ »тГГ " производную по К

Определение III.3.функция -f Є С J (Ю ,если существуют,непрерывны и ограничены;

2/ \ \\ -* t существует,непрерывна и ограничена; 3/ ;гт \к -*-|2 существует,непрерывна и ограничена.

Без ограничения общности можно считать,что начало коор динат в SP принадлежит Ц .Выберем таким обра зом,чтобы DT С U .Пусть {^lj - собственный для оснаща ющего оператора А формированный в т базис,причем д/ Теорема III.3.Пусть |1_н(И)частичные суммы А^Ц%г) = -% ^id^.Q.^i'X^-l) ограничены в совокупности,тогда,какова бы ни была точка (Xfj ⁺ СУ^^г)(1ЙЙг ftS-oMSW* - /ш.₂₆/

Определение III.4.функция ї и -*- К удовлетворяет уравнению ТеПЛОПрОВОДНОСТИ,ЄСЛИ те 1ц (Иу ,ЧаСТИЧНЫе СУММЫ 4д/Т ограничены в совокупности и (~^т Мд) + ⁼^ ви.

Пусть выберем таким образом,чтобы для некоторого

О/^: Го, А1 ~*" R - произвольная суммируемая функция,а

Теорема III.4.Если функция f удовлетворяет уравнению теплопроводности,а ,то _{где сл^)-гг^ш+Шю{-ііа№'}⁴₊ + МОЇЙ"¹* U-tftH], №= ^Ч^г-^Ш"),

Г Л А В A I

ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ БЕСКОНЕЧНОМЕРНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ / ВЕРОЯТНОСТНЫЙ ПОДХОД /.

I. ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ.

При решении краевых задач относительно функций,заданных на бесконечномерном пространстве,удобно пользоваться понятием абстрактного винеровского пространства / [2J , (_24j /. Пусть п - бесконечномерное сепарабельное вещественное гильбертово пространство со скалярным произведением <\> и соответствующей нормой I I , \М± ₉ i?0^~ семейство цилиндрических мер на г| ,имеющих своим преобразованием Зурье f,(x) =х ріг і 1*1/2 J .Норма II-|| на Н называется измеримой, если для любого >0 существует такой конечномерный ортогональный проектор г₀ в И ,что М_х( II гх|| >) < для каждого конечномерного ортогонального проектора г в Н такого,что г1г₀ .Символом В обозначим пополнение пространства п по измеримой норме I'll ,а символом і - отображение включения Н в В .Это отображение непрерывно, так как всякая измеримая норма слабее исходной нормы I | на Н .Доказывается [24] ,что для бесконечномерного Н пространства не совпадают.Тройка (і, И, В) называется абстрактным винеровским пространством /сокращенно АВП/. Известно [24] ,что всякое бесконечномерное сепарабельное вещественное банахово пространство надлежащим выбором пространства п и отображения і можно превратить в АВП.Для каждого образ цилиндрической меры M_t при отображении l продолжается до б" -аддитивной гауссовской меры D на б"-алгебре /символом будем обозначать б^--алгебру борелевских подмножеств метрического пространства М /. Пусть Z=(%1) SNftxR¹ ,тогда норму в у введем еле-дующим образом ll"ll-u- (l|x|| + lil J .Здесь символом

111 обозначен модуль числа .

Пусть - некоторое измеримое пространство, J - вероятностная мера на (Г-алгебре S _t(X('i_J'L)i,J_tJ') -такой строго марковский процесс с фазовым пространством Ф , что для любой точки 2 Ф все траектории этого процесса,выходящие из этой точки,непрерывны, U - открытое подмножество?, момент первого выхода процесса AfZ, і.) ,начавшегося в точке Ъ > из множества /.5удем считать,что множество таково,что _МЫЫ)]«*> ^пл/ какова бы ни была точка 2 3? / 1 \L'J - математическое ожидание относительно меры J /.Упорядочим по включению множество (^ u^j таких окрестностей точки Z w ,что для любого cL Z ц^ С U и справедливо /І.І/.Для функции V⁷ і Ud J ~*~ R условимся писать если для каждого >0 найдется множество 14/ такое,что \Ч(Щ-а\< да всех U_d QU^ .

Дадим определения характеристического и квазихарактеристического операторов строго марковского процесса А .

Определение I.I.Борелевская функция содержится в области определенияЗЬ^(^вьО\р(Ы)) характеристического оператора < строго марковского процесса X »если предел существует для каждой точки Z Є \\ .Тогда o4(Z) равен этому пределу по определению.

Определение 1.2.Борелевская функция принадлежит области определения о0^> [-oUg ( [л)) квазихарактеристического оператора Ы.^ строго марковского процесса А ,если для каждой точки НЄ U выполнены следующие условия:

I/ существует такая непрерывная функция г ^: И ~*" К ,что для каждой достаточно малой окоеетности Ц^ точки Ъ выполнено равенство XiiL) ^{М№д(гШ№)-МП}₀ ^{F(Xfes))^J; /1.2/} в этом случае полагаем

2/существует последовательность таких окрестностей точки 2 ,что Ий-!" Ил - И » 11 ⁼ 17 и_h ,причем для каждой окрестности ІЛ„ выполнено равенство /1.2/. ,

Замечание І.І.Требование непрерывности функции Г обеспечивает /см.лемму І.І/ единственность такой функции /если она существует/,а отсутствие такого требования приводит к тому,что равенству /1.2/ будет удовлетворять некоторое множество функций,совпадающих /здесь мы не уточняем,в каком смысле/ почти всюду.Для наших целей требование непрерывности естественно и будет всегда выполняться.

Демма І.І.Если борелевская функция то

Доказательство «Пусть Z и- любая, но фиксированная точка^ >0 .Выберем такую окрестность и₀ этой точки,чтобы, во-первых,для любой окрестности Иі точки "2 такой,что lii W₀ .выполнялось равенство /1.2/,во-вторых,было выполнено включение U_± -1^: R-^iil&^^j >^гДе число б^С? выбрано так,чтобы ,если Ц ^-^11^^(^ /это можно сделать,так как функция г непрерывна/.Тогда для b^t(U^),U^{U_d] , U*Ui и при любом ц;І2 будем иметь , откуда получаем ^{lMCf(X(z,t№R(iO-F(*)M[t(l^]| =} |M[S_o fFfXc^-FfeSdsJke-MLtfuOl и_Тан,1(М[|(Х(г,г(Ш)))]-?Й/М[г(^)]-Р(г)И , что и доказывает утверждение леммы.

Назовем точку ибо U достижимой,если существуют такие 1ІЛ и Юі2 ,чтоХГгДШ)М)М ⁼# .Множество достижимых точек обозначим через Оа Ц.Символом J будем обозначать как характеристический оператор < ,так и квази характеристический оператор ot^/ ,а символом множество непрерывных /непрерывных ограниченных/ вещественных функции на метрическом пространстве введем норму ||-PlU=Sup ІІМІ. ne 'М

Из контекста всегда будет ясно,по какому множеству берется наибольшая верхняя грань,что исключит возможную путаницу.

Определение 1.3.Решением первой краевой задачи в облас ти И называется функция такая,что ^3₃U ⁼ Ч> /1.4/

В следующей теореме

Теорема I.I.Существует не более одного решения задачи /1.3/ -/1.4/ в области U .Если такое решение f существует,то ^=М[*(Х(ї.г(Ш]. я.5/

Замечание 1.2.Условие /І.І/ обеспечивает конечность l(U)

ДЛЯ J-ПОЧТИ ВСЄХ CJ ,ПОЭТОМУ,ЄСЛИ ПОЛОЖИТЬ !f(X(Z,o))=Q,TO математическое ожидание в /1.5/ будет определено,хотя Xfe.jtf'U,)) может быть определено не для всех uJCbd .Так как траектории процесса л непрерывны,то вышесказанное справедливо для каждой области

Доказательство.Пусть функция 1 - решение задачи /1.3/ -/1.4/,тогда по условию 2/ определения 1.2 существует последовательность таких областей Ы_и ,что

П[ЧХ(г,тШ)]-Нг) = 0. ^ИІ/і.₆/

Перепишем /1.6/ в следующем виде

Известно,что t(U,)tt(U) /п.н. ? / /см. [21] ,стр.161/. Так как функция \ непрерывна и траектории Х('і.Л) непрерывны,то

Из ограниченности функции t следует возможность применения в /1.7/ теоремы Лебега о предельном переходе под знаком интеграла. Учитывая /1.8/,получаем,что к\-»-оо

Так как t - решение краевой задачи /1.3/ - /1.4/,то |_э ^= У ,поэтому |>fe) = М[ '-У(ХС2,*гСг<)))] .Из послед- него равенства следуют оба утверждения теоремы.

2. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ.

Через Ой будем обозначать пространство непрерывных функций ьО:[0,)-+ о таких,что и>(о)-0 .Известно / [2] , [24J /,что существует единственная вероятностная мера J на б"-алгебре & порожденной координатными функциями UO-+U)(l), z^>0 , такая, что если С< ъ₀ ^<i± <<>< і_п ,то случайные величины U)(-Li)-ьо(-к\_^) , j= 1,2,....,^ независимы,причем разность Cofijj-Ljf-ij-j.) имеет распределение .ПОЛОЖИВ Щ(і)LbO) - to (-і) .Случайная функция M/(t) называется винеровским процессом с фазовым пространством D начинающимся в нуле.

На р рассмотрим"тепловое движение" где ^6 3 .Если Е^ JjOvjTO символом Ь^ будем обозначать множество

Лемма 1.2.Тепловое движение - строго марковский процесс с фазовым пространством Р однородной переходной функцией PCs (x і) E)⁼ P? fe Ei \ ^и непрерывными траекториями.

Доказательство.Траектории теплового движения могут быть описаны так: WC )(шУ- 5v- (u(is), -s) [0,0-3-* >. Очевидно,что они непрерывны.Для того,чтобы доказать,что тепловое движение - марковский процесс с переходной функцией г , определенной в формулировке леммы,достаточно / [26 ] ,стр 146/ доказать равенство

5te + WftiteEt...,z*WU*)eE^h)- .Легко видеть,что если E^fe^) , Эсб В ,то ?Cz ₊ wa_i)^Eⁱ;...₅z₊\A7«_M)6E^v1) = где 4^С= Е^. $)(В) » ^^Г4...,П .С другой стороны где ^.^- (tyc^i) -Так как броуновское движение является марковским / fsj ,стр. 134/,то что доказывает равенство /1.9/.Пусть т Ф "*" К. - ограни- ченная борелевская функция.Обозначим через S>0 tследующую функцию

Если же S-0 .то .Так как функция .если такова же функция і ,то тепловое движение - феллеровский процесс, причем траектории его непрерывны,следовательно,он является строго марковским / [26 J ,стр.182/.Лемма доказана.

Лемма 1.3.Операторы г /введение в доказательстве леммы 1.2/ образуют сильно непрерывную сжимающую полугруппу на банаховом пространстве (71 ограниченных равномерно непрерывных функций т г -* к .

Доказательство.Пусть .Ограниченность следу ет из неравенства оо .Так как у равномерно непрерывна, то для любого >> существует такое о >0 ,что из вытекает .Поэтому ^ Ч2>^ P^S^) ⁼ о »^гД^е ^i-fe,^)» *-⁼ⁱ^ .Полугрупповое свойство операторов г следует из /1.9/.Если 5 достаточно мало,то но рйС^В: Йа11?<%) = q(l} при S--0 / [й] ,отр.134/, откуда следует сильная непрерывность.Лемма доказана.

Для вычисления инфинитезимального оператора Qi полугруп пе ⁶пы г воспользуемся понятием производной по подпространству /см. [25J ,а также [l9j /.Пусть Л - некоторое линейное под пространство Ф , А - система всех 'ограниченных подмножеств А » Y " некоторое нормированное пространство,тогда отобра жение л . r-^-Y будем называть ограниченно дифференциру емым /дифференцируемым по Фреше, (л, 6) -дифференцируемым/ в точке 26 Ф по подпространству Л ,если существует та кой элемент ,что,каково бы ни было множество равномерно по he Ь .Интересующие нас производные Фреше по подпространствам и , п и \i обозначим соответственно символами: а/ + и t - первую и вторую (В₃В) - производные; б/ J)i и J) t - первую и вторую (HJ2>) - производные; в/-й: - (k,J3) - производную.

Напомним,что

Лемма 1.4.Пусть у функции f^-^R¹ существуют Г и «j- , t и%" ограничены и равномерно непрерывны на Ф , I ' Ф -** L(E>, Б') ~ ограничена и равномерно непрерывна при наделении L(B, В') слабой операторной топологией.Тогда f принадлежит области определения инфинитезимального оператора СМ полугруппы [г , 5^0] и

Доказательство. функция f(t) = i(x+ty, t) дважды дифференцируема по V ,причем GJfe У(Т) = (? ^ос+гу, -), ^ } Із Ш) - < ? (ому, і) у, ^ > , где^ {>' 6) - значение линейного непрерывного функционала 0 Ь на элементе Q Є о . Так как ^т₂ ^ ограничена, то -г- абсолютно непрерывная, интегрируя по частям,получим

Поскольку p^Ej-PtfE) для всех ,то S_&< I 6оД ^ ) p_S (^) = 0 для всех (х₃1) & .С другой сторо ны .

Следовательно, и - ядерный оператор

Здесь мы воспользовались тем,что р2$(Е) ⁼ рдЕ/Й?) для произ вольного .Так как I fcl)eL(R,b') ,то /см. [24J ,стр.71/ ограничение +(-О в Ц следовательно / [24j , стр. 68/

Таким образом _{111 Р}⁸_{-Ы) - ftc, 0] -[ - *fe,i) «%«] I =} где ВД>^гі=!$ J <^ Vt^,l)у, у> І ,а

Пользуясь непрерывностью -V ^и ^J ^{,а также} сепарабельностью ) ,можно показать,что функции 0$Ы₃Т) и P_s(jj,t) измеримы по (^,t) .Из равномерной непрерывности + вытекает,что

5 ^'^3~0 для всех и t ,а из равномерной непрерывнос- ^ти И ~к! ?«^'^г^*^ ^{для всех} #'^Т №*&*,&$(№)*№$ ^Где_^1¹¹_^^^Ь^{_ъ^г)_'^{2И ,где М =} = Sup |^да)| < о .По теореме Лебега Sfo --, . ос- . . р равномерно по 2 = foe,-і)6 SP .Отсюда следует,что t содержится в области определения инфинитезимального оператора (Н и

Доказательство леммы 1.4 закончено.

Пусть T_u(Z₃uu) = un([s*0 : Z*W(S)(u))if U] ?y(Z,w)=bh?[S>0'- Z+W(S)(u)k Щ - удобные в этом параграфе обозначения для моментов первого выхода теплового движения,начавшегося в точке Z~(oc_}-i) »из открытого множес-тваІК > ,at_wfe) = t_wfe,.) Л'_и(і>г'_иСіг) ./Индекс, обозначающий открытое множество,будем опускать,если это не приведет к недоразумениям./

Определение 1.4.Точка Z называется регулярной,если

Пусть множество С - замкнутая выпуклая оболочка в о начала координат и шара положительного радиуса,замыкание которого не содержит начала координат,а

Тогда множество к" С -+2 назовем конусом в SP с вершиной .

Определение 1.5.Множество U назовем сильно регулярным в точке Ъ 6 Э U , если существует конус К вФс вершиной Ъ такой,что кС\ЛА - 0

Следующая лемма устанавливаетсвязь между определениями 1.4 и 1.5.

Лемма 1.5. Если Ц сильно регулярно в точке? в О И, то Ъ регулярна.Более того,для любого &>0

9(i>+W(s)eu,oiSiS)*o. _/1ло/

Доказательство.По закону 0-1 вероятность J (TVz)>0) равна нулю или единице.Так как то достаточно показать,что ,но для S>0 поэтому /і -far,і)/

Здесь через К обозначен конус,который соответствует точке Z'tej-O ^в определении сильной регулярности.Покажем,что *3 р_Я2 (ос, Kt__s) >0 .но p_2S(x, k!t-_s) = p_±((\s-x)/\IZs).

Существуют такие и множество T)»[U AC]n[U АС]с(^-ос)/Д? при всех достаточно малых S ,поэтому pJlXs-xW^^CD^o, так как D имеет непустую внутренность.

Для доказательства второй части леммы предположим,что конус К получен с помощью шара в и радиуса Ч ,и возьмем другой конус K_i с той же вершиной,полученный с помощью шара с тем же центром,но радиуса 'ti : 0<1₁

Тогда Z - вершина .По первой части леммы для любого 8?0 почти каждый путь,начинающийся в "2. , выходит из Uі /то. есть попадает в кі / в некоторый момент времени строго между 0 и 6" .Так как ни одна траекто рия, выходящая из 2 ,не возвращается обратно /это следует из определения теплового движения/,а ,то тем са- мым вторая часть леммы 1.5 доказана.

Назовем И ограниченным снизу,если существует такое .Обозначим множество сильно регулярных точек границы множества Ы через С?

Определение 1.6.Открытое множество и назовем допустимым, если оно ограничено снизу и,какова бы ни была точка 2 Є И

Лемма 1.6.Если Ц - открытое множество в Ф ,тогда для любой точки 2₀ Ф существует множество [\l₂ iW такое,что t(Z,co) непрерывен в точке Z₀ для любого СО $ /\ . Если (J допустимогоJiA4J~0 для любой точки

Доказательство.Докажем полунепрерывность снизу t[-₃uj) для любого LJ«bu .Пусть t(2₀,w) ~h>0 .Тогда для >0 _{- зо -} тако го,что с < h ,траектория компактная часть множества U расстояние которой от допол нения к (л равно &>0 .Следовательно,если II Е-Z_DlL ^ о , то множество [z+Wfsyco): O^S$ h- ] С Ц

Таким образом (2>со)> Ь- при всех таких 2 »^что WZ-^ollg) <$ ,поэтому &йі^ Tfe,u>) *T(Z«„uj). /I.II/

Если п^О >^т0 последнее неравенство выполнено тривиальным образом.Если г)= ,то рассуждения,подобные вышеприведенным для конечного h доказывают,что для всех М .Положим где объединение берется по всем рациональным >0 ,а _lQ^/*f(Oe₁Q^:T^^w)^<3 -Если Ц> /\/_Zo ,то либо Т (Z₀, со) = ,_Что влечет &sup t(l,uo)4t(i₀₎uj) /і. 12/ и поэтому Г(»,си) непрерывна в точке ~₀ в обычном смысле для [Qoo] -значных функций.Либо же для каждого рационального >0 существует такое S ,что СК5^ и 2_Х-Z_c ⁺ .Если о - расстояние точки ~Ъ± от \Х ,то неравенство 112-2,,11^^ влечет

2+VVYs+tfto,cu))Mf W .Следовательно, tfeu*)^ ^ Г(2_0>ц;) + и снова выполнено /І.Ї2/.Сопоставляя - ЗІ - /I.II/ и /I.12/,видим,что функция Т(--> со) непрерывна в точке Ч-₀ для любого ио

Предположим,что U допустимо,тогда id "Ль .Необходимо разобрать несколько случаев.

I.Пусть z? ,тогда ,следовательно _ад=о.

2.Пусть I^Q ,тогда tfe, О ^s О и Pf Л/₂) <

I> iFh+Wte^ti, 0^0 ,но JP(2 + W(s)e7, 0^S*&) -0 ввиду сильной регулярности Ы в точке 2. ,поэтому

3.Пусть Z U .Случайная функция на (uQjj ) . независима от процесса являющегося тепловым движением,выходящим из начала координат в Ф .Это следствие строгой марковости процесса W(s) .По ложим ,тогда (г Во втором равенстве использовано то,что множество Ы допустимо / J (У^^ЗІІ^ЧЄ)⁼0 /»а в третьем - равенство /1.10/. Так как множество tv^ есть счетное объединение /по всем рациональным >0 / множеств вида {Yg^WCsK W, 0^3^\ то .Лемма 1.6 доказана.

Следствие I.I.Пусть Ы открыто,ограничено снизу и сильно регулярно в точке 2₀^Эо^/и.Для ограниченной борелев- ской функции непрерывной в точке Z₀ , где ufe)« MOfe+Wftfe)))]

Доказательство.Пусть К - конус в Р соответствующий сильно регулярной точке Z₀ ,а ₀ к таково,что ^{никель,) .пусть к'=(В"а}₀^{-)ьк и}

1(} - момент первого выхода из к .Так как Ы С К ,то tC^Lo)^. \ te_ybj) для всех со .Легко видеть,что все точки ЪК сильно регулярны,за исключением одной.Обозначим ее через Zi-fXi,-ід).Докажем,что множество К допустимо.По построению оно ограничено снизу.Далее,пусть Z-foc,^)^ К ,тогда - (P(x+Wfi-**)M -зь) « р ₄__й Гъ-эс) -О.

Поэтому к К и к точке Z₀ применима лемма 1.6 и 1Г-,и;)не прерывен в точке 2₀ с вероятностью I.Ho liZ_o,u;)~0 для любого uJ ,поэтому с вероятнос- тью 1,но тогда и СО fC"2,u;)- О с вероятностью I.

Таким образом,если {z^ " последовательность в U : 2n-*~Z »^то 2_И + \Л/(т(2_и)) ~*"2₀ с вероятностью I.Утверждение следствия теперь следует из непрерывности )Р в точке Z₀ и из теоремы Лебега.

Следствие 1.2.Пусть Ы допустимо,ограниченная функция ^'ЪЫ -*" R непрерывна на G ,тогда функция Mfe) ,опре- деленная в предыдущем следствии,непрерывна в Ы и равна У на Сг .

Доказательство.Утвещдение следует из непрерывности 1(2) в W с вероятностью I и из предыдущего следствия.

Теорема 1.2.Пусть ограниченная снизу область {J такова, что OqU^G , тогда первая краевая задача /1.3/ - /1.4/ в области U имеет решение.Кроме того, если j-of« ,то это решение единственно.

Доказательство.Докажем,что функция и(2} = есть искомое решение.Действительно, из следствия 1.2 вытекает,что функция и ограничена и непрерывна.Более того,так как G^uuIa ,то a'U^G С .какова бы ни была точка 2 W ,поэтому область (А допустима, следовательно /следствие 1.2/ & _л и(г)= У(г₀) для каждой точки Z₀G ,а,значит,и для каждой точки ^оЄдс^и cG .Осталось проверить выполнение равенства /1.3/.Пусть Ъ U .Для любого открытого множества такого, что -t с ,имеем ЬгцСі) ~Z XtfCi) ,так как траектории теплового движения непрерывны.Пользуясь строгой марковостью теплового движения,получаем и(ї) = МС^(ї₊\Л7(т/г)₊('г_и(г)-г_гГГг))))]-- ^{= MLu(?}₊^WCV2)))]_; где М L ' I J i5 J ~ условное математическое ожидание относительно Г- алгебры Stf ,связанной с марковским моментом TrfC^) / [26J/.Отсюда следует,что ЫоОу> {%()

,а из леммы I.I вытекает,что Ы ^ц - 0 .Единственность решения первой краевой задачи /для квазихарактеристического оператора ы^ / следует из теоремы I.I.Теорема 1.2 доказана.

Замечание 1.3.Если функция удовлетворяет условиям леммы 1.4,а отображение непре- рывно при наделении пространства L(B, В') операторной топологией, тогда / [її] предложение 2/ для любого Ї.Є Р существу-

24(.г) = -У&4-Ы.Т>¹иъ\

Это показывает,что характеристический оператор теплового движения является расширением соответствующего дифференциального оператора.

Замечание 1.4.Теорема 1.2 остается справедливой,если вместо теплового движения на З³ рассматривать более общие строго марковские процессы,характеристические операторы которых являются расширениями дифференциальных операторов второго порядка с переменными коэффициентами как параболического,так и эллиптического типа.По поводу краевых задач,связанных с такими процессами см. [_I0 J .

Теорема существования и единственности

Под мерой будем везде понимать вещественнозначную счет-ноаддитивную функцию,определенную на б -алгебре Ji(X) боре-левских подмножеств некоторого метрического пространства А . Если /л - мера,то символами \м\ и II/ II будем обозначать соответственно вариацию и полную вариацию меры АЛ .Мера М в АВП В называется дифференцируемой на множестве по направлению n b ,если существует предел

Известно [18 J ,что мера,дифференцируемая на каждом борелев-ском множестве по всем направлениям,тождественно равна нулю. Естественно рассматривать /и мы будем так делать/ меры,дифференцируемые лишь по направлениям из плотно вложенного в D подпространства п .Таковыми,в частности,являются гауссовские меры,описанные в 1 главы І.Если предел /II.I/ равномерен по \\Gb ,где KJ - любое ограниченное множество в г ,то мера и называется ограниченно дифференцируемой.Бесконечная ограниченная дифференцируемость гауссовских мер доказана в [l8J /если D - гильбертово/,а также следует из теоремы 6.2 главы 2 работы [_24j /для банахова случая/.Более подробные сведения о дифференцируемых мерах приведены в [l8J и [l9J .

Дадим определение поверхностной меры.Для замкнутого гиперподпространства д с D , открытого в Л множества Ц Сд , единичного в U вектора Q Є НЧХ и пункции ,между установим изометрию,полагая /\ ++\с\ , \& К /,имеющей непрерывную ограниченную производную Фреше \ -\л Л ,через G-- G(X, W, Q,-f J будем обозначать /следуя А.В.Угланову, см. [_20j / множество 0/х.л /график в произведении Л 1\с =и/, а через I (Q, +, х ) множество гдехЄ Ка ,Qeji(G), г у - проектор в В вдоль Q на Л . Пусть п() В - единичная нормаль к ь- в точке \ направление которой пока бе зраз лично, тогда функция У"- G R ограничена и непрерывна. Определение II.I./А.В.Угланов/.Поверхностной мерой на & , соответствующей дифференцируемой мере м ,называется мера Независимость этого определения от выбора системы координат (Х,С ) при дополнительных условиях на меру М и функцию t ,а также некоторые свойства поверхностных мер доказаны в _20] .Ниже будут приведены либо те факты,формулировки и доказательства которых отличаются от указанных в [20J ,либо те,которые там не содержатся,но необходимы в данной работе. Множество У Є J ли) будем называть простой поверхностью, если для некоторых локально огра ничена/ .Счетное объединение простых по верхностей будем называть поверхностью.Поверхность / обі - попарно непересекающиеся простые поверхности/ называется М -интегрируемой,если Если поверхность Л с М-интегрируема,то символом м будем обозначать меру на ль ,сужение которой на каждую простую поверхность іЬ б І совпадает с АЛ Мера и называется & -регулярной, если для любых X, 1И, Q, 4 выполняется равенство LM Пусть - ограниченная поверхность в В.М -множество всех дважды дифференцируемых по Н Ь -регулярных мер на D ,относительно которых поверхность і 2 интегрируема - множество всех мер на і с , Ц - множество всех ограниченных на ограниченных множествах и дважды дифференцируемых по направлениям из г функций f: В " »v ,причем для любых 0,0 Є Н функция CJcjClg Т ограничена на ограниченных множествах. Для Ал r\ , и -интегрируемой функции Ц определим Лемма II.I.Пусть мера Хлб N и функция е Lg таковы, что мера УуЦ конечна, тогда УуиєМ и (У/О = У й . Доказательство.Лемма II. I аналогична теореме 7 из [_20] , поэтому воспользуемся доказательством теоремы,произведя в нем необходимые изменения.Рассмотрим случай простой поверхности - 38 ,Q. G(X,\A,QJ) .Пусть 0,функция оІ " R — К беско нечно дифференцируема, olffe) = 1 ,если ocU , o frc) =0 ,если ocl 2 ,и lo MUi .В-качестве функции P -G+R R1 , участвующей в доказательстве теоремы,возьмем функцию

Дифференциальные свойства тепловых потенциалов

Следствие II.I.Если мера м бесконечное число раз ограниченно дифференцируема по п ,а борелевская функция ограничена, то функция (ос) - \ -f (\ )М fd jf) бесконечное число раз дифференцируема по Фреше по подпространству п , причем dbn. УСос) - (-1 ІФЦ, )

Доказательство теоремы II.З.По теореме 5.3.1 из Сів] гауссовская мера рак- ) ) бесконечное число раз ограниченно дифференцируема по п ,поэтому из следствия II.I вытекает бесконечная дифференцируемость по Фреше по Н функций. У\г(к,ЗС,і-т} и %(\г\7%і-г) ,причем

.Пользуясь оценками /II.41/ и /11.42/,а также замечанием,приведенным в конце доказательства леммы П. Постанавливаем возможность бесконечнократного дифференцирования под знаком интеграла по X в /11.26/ и /11.27/, и тем самым завершаем доказательство теоремы П.З. Следствие II.2.Если Х р , ОС ф о ,то Доказательство.Указанная формула следует из /11.28/ /при YA-X Пі ЩоС) I из абсолютной непрерывности дифференциала гауссовской меры относительно самой меры и из леммы II.I. Через / обозначим множество непрерывных /ограниченных непрерывных/ вещественных функций на топологи ческом пространстве - метрическое про странство/ обозначим символами г и Ь множества,полученные соответственно замыканием G и взятием его внутренности.Пусть - нормальное топологическое пространство. Лемма И.ІЗ.Пусть М - произвольная /знакопеременная/ мера конечной полной вариации на К ,тогда,если ,каково бы ни было ХА6 К ,то функция непрерывна. Доказательство проведем в несколько шагов. Шаг I.Предположим,что мера и неотрицательна. Так как ,то существует такая постоянная что Itl М .Докажем,что функция її (0 ,) = \ с ("tv j» XA» i) + М JyM ххС" Й 3 полунепрерывна сверху в каждой точке (ос1зОггу((хУ .По теореме продолжения Урысона су ществует продолжение \ функции т с замкнутого подмножес тва F K Y нормального топологического пространства на все пространство,причем ,функция - непре рывна и .Пусть .Так как то с помощью теоремы Лебега легко показать,что УЇС0чхі). Заметим,что Так как подинтегральная функция и мера м неотрицательны, ,каково бы ни было 6 (( , то из неравенств /11.45/ следует,что существует поточечный предел последовательности JX при ,причем так как ввиду замкнутости г uw» 6XpL-HO ,F)J 1гС)) » где 1р - индикатор множества F .Следовательно,функция является пределом убывающей последовательности непрерывных функций,поэтому она полунепрерывна сверху. Шаг 2.Докажем,что функция У2(осІ50Сг) = $-Н 14,%..) ч " Ml/ oc Wy полунепрерывна снизу на К Y . Легко видеть,что Первое слагаемое в правой части /11.46/ есть непрерывная функция,а так как КЧЬ замкнуто,то,как доказано при шаге I, - полунепрерывная сверху функция,следовательно,функция У - полунепрерына снизу. Шаг 3.Предполагая,что каково бы ни было ЭСА К ,докажем,что функция УчОГ4)ОГг) = 1е 1,0Сг) Х/хСо(ч)непрерывна.йз условия /11.47/ следует, чтСогласно результатам шагов I и 2 заключаем,что интеграл,стоящий в левой части равенств /11.48/,есть функция одновременно полунепрерывная сверху и снизу,а,значит,просто непрерывная функция.Заметим,что интеграл \ Щ М (сн )= П/іДб) есть не прерывная функция от Хд .Это следует из /11.48/ при + = U . Поэтому функция 4( %) = [G С%0Є1?0Сг М)/ / )- H CG) непрерывна.

Тепловые потенциалы и /квази/характеристические операторы

Так как изменение знака не меняет свойство оператора быть вполне непрерывным,то лемма доказана и для А 1 .

Из лемм III.I и III.3 следует,что стандартные /конечномерные/ теоремы существования решения интегрального уравнения /III.3/ не охватывают данный случай.Однако,пользуясь переходом к уравнению в сопряженном пространстве,можно получить теорему существования решения уравнения /III.3/ для "почти всех" правых частей J .Точный смысл этих слов будет указан ниже.

Ка- с хорошо известно,пространство Cg (ib І ) сопряжен ное к C6(ST) /ST не компактно!/,есть в точности простран ство регулярных ограниченных аддитивных функций множества, определенных на алгебре множеств порожденной замкнутыми множествами/ _3б] ,стр.284/.Элемент из lg (о I) будем называть квазимерой,его нормой является полная вариация II 11 .Определим оператор J Lg (о IJ " " СвС Si) при помощи формулы был определен корректно,необходимо проверить,что функция интегрируема по отношению к каждой квазимере и .Из леммы II.16 следует,что функция непрерывна в случае замкнутого Ь ,а так как приі - о ,то функция т полунепрерывна сверху.Покроем множество ТЛІИ ) полуинтервалами (?±у..,&и вида 1 1, » длина каждого из которых меньше наперед заданного 0 .Из полунепрерывности сверху функции Т следует,что Положим ГІ - (yt » Ч s Ці V &i 9 V=2»3--Jn ,и,если Г: не пусто,выберем какую-нибудь точку ft. Є h .Если ГЧ пусто,то положим & - 0 .Легко видеть,что Ь; = = Y%) Є ftJ-(ST) -При этом функция % = А,Т /1р. - индикатор множества и / является М -простой функ цией , для которой II т і - Ч" И 00 . Следовательно, функ ция т является пределом равномерно сходящейся последователь ности / -простых функций,а так как ЦмЦ оо ,то т М -ин тегрируема. Так как - алгебра,порожденная зам кнутыми множествами,то,как можно показать,пользуясь ее явным описанием /см. [.34] /,функция т будет U -интегрируемой для любого Обозначим двойственность между сим-волом { , J .Так как для pelglcT) , ищ$о оператор и является сопряженным к Лемма ІН.4.Уравнение / имеет только тривиальное решение. Доказательство.Так как (. иОЛ" ) 0 при X, 6 о ,то из /III.II/ и/11.73/ следует,что если yU - решение /III. II/,поэтому ) ppj№ Oc)U(ct6c/0) 0 » но PDJ. l D-Ос) - всюду положительная,непрерывная по совокупности аргументов,ограниченная функция,следовательно \м\\- 0 » откуда и-0 ,что и требовалось доказать. Следствие III.I.Множество j- функций j ,для которых уравнение /III.3/ имеет решение,всюду плотно в lg(u I ) . Доказательство.Пусть L = I J ,где 1 - тождественный оператор в Cg(S I ) .Тогда уравнение /III.3/ можно записать в виде LP = Ї .Легко видеть,что оператор L ,сопряженный к L ,имеет вид L = 1"J ,где 1 - тождественный оператор в Q(ST) .Замечая,что уравнение совпадает с уравнением /III.II/,получим,что КЄ и={0І »но тогда / \_3б] , стр.516/ замыкание ±YY\ L множества ImL в C6(ST) совпадает cCgCSТ) .Так как /III.3/ имеет вид Lo- Р ,то J lmb и j CACST) ,ЧТО и требовалось доказать.

Первая и вторая краевые задачи для уравнения теплопроводности в цилиндрической области с бесконечномерным основанием

Обозначим символом Іц множество функций ,для которых уравнение /III.3/ /при А 1 / имеет решение,а символом J J -аналогичное множество,но при А -1 /см.следствие III.I/. Теорема 111,1,1/ функция U ,заданная формулой /III.17/, является решением первой краевой задачи /III.12/ - /III.13/ /где /,какова бы ни была функция задана формулой /III.20/ /. 2/ функция tf ,заданная формулой /III.21/,является решением второй краевой задачи /III. 14/ -/III. 16/ /где J- с /,какова бы ни была функция їЄ j " / J задана формулой /III. 25/ /, если только расстояние от Suppт до о положительно. Теорема III.2.1/ Функция U ,заданная формулой /III.17/, является единственным решением первой краевой задачи /III.12/ /III. 13/ /где J = ы , \- U/,какова бы ни была функция 9 Ju / j задана формулой /III.20/ /. 2/ функция и ,заданная формулой /III.21/,является решением второй краевой задачи /III.14/ - /III.16/ /где Т=к ,1=0 /, какова бы ни была функция ffjtf/ \Р задана формулой /III. 25//, если только расстояние от Supp j до о положительно. Доказательство теорем III.I и III.2.Для любой окрестности (Л точки такой,что Сас,4) U 02?Т и любого множества h JJCD),пользуясь свойствами теплового движения,получаем,что ЛШ-тЄи)Шс№ (Ы)Ш)е У- ра(ос, Е), где fc0=bxlOS С ф .Но тогда из обобщенной теоремы Дубини следует,что для непрерывной ограниченной функции V ;1)- R. функция р : ЪТ - й1: {% і) І Щ) pa Л ) C0 eP жится в oDjCDT) и J --0 .Отсюда ,из теоремы II.6 и из следствия II.4 следует,что функции U и U определенные формулами /III.17/ и /III.21/ обладают следующими свойствами: б/ если 1 = 0,то цДеЗ ЭТ) , &и = &іГ=0 . поэтому условия /III.12/ и /III.14/ выполнены.Так как / задана формулой /III.20//,то для решения первой краевой задачи достаточно установить разрешимость интегрального уравнения /III.3/ /\ 1/ с указанной функцией в качестве свободного члена.Но,как показано в следствии III.I,если SP6 Ju » то это уравнение разрешимо,следовательно,функция u ,задаваемая формулой /III. 17/ и есть искомое решение. функция \Р ,заданная формулой /III.25/,в условиях теоремы будет непрерывной и ограниченной.Для доказательства этого достаточно, учитывая рассуждения перед формулировками теорем,приводимой здесь оценки / Х6 5 / Утверждаемая в формулировке теоремы III.2.1/ единственность непосредственно следует из теоремы I.I. Следствие III. 2.Если \ =0 то решения первой и второй краевых задач,о существовании которых утверждают теоремы III.I и III.2,бесконечно дифференцируемы по Фреше ВДОЛЬ Н і а все их частные производные непрерывны. Доказательство следует из полученного представления решений /см.формулы /III.17/ и /III.21//,теорем II.3 и II.4,и из теоремы 6.2 из [24J . Замечание III.3.Легко убедиться,что решения первой краевой задачи,полученные вероятностным способом /см.главу I, \Л - ЇТ / и при помощи потенциалов /где -р 0 / совпадают. Пусть U - область в .Для функции обозначим,как и раньше /см.2 главы I/,символами - первую производную Фреше по т , 57 " производную по подпространству К Определение III.3.Функция Т Lh (1Л)»если I/D? Ц " Н t Т) U - "ІІН,Юсуществуют,непрерывны и ограничены; 2/ V. 1А- т существует,непрерывна и ограничена; 3/ of" U " " R существует,непрерывна и ограничена. Без ограничения общности можно считать,что начало координат в ф принадлежит ц .Выберем К О и [ 0 таким образом,чтобы ЭТ С Ы .

Похожие диссертации на Краевые задачи для бесконечномерного параболического уравнения

Вопросы теории разрешимости краевых задач для операторно-дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве и спектральные задачи, связанные с нимиМирзоев, Сабир Солтанага оглы

Приближение многочленами решений некоторых типов задач для дифференциальных уравнений Азизов Музафар

Задача Римана и уравнения в свертках с символами, вырождающимися на счетном множестве Джиргалова С.Б.

Упорядоченные пары линейных операторов и задача Коши для уравнения Ax'(t)+Bx(t)=0 в банаховом пространстве Радбель Наталья Исааковна

Задача Дирихле для уравнения максимальных поверхностей с особенностями в пространстве МинковскогоКлячин, Алексей Александрович

Спектральные задачи для приближений уравнения переноса методом сферических гармоникТемирбулатов, Нурлан Сериккалиевич

Некоторые вопросы асимптотического анализа краевых задач для дифференциальных уравнений второго порядкаАржанов Алексей Анатольевич

Метод канонической матрицы решения векторной краевой задачи Римана-Гильберта и его приложения в граничных задачах для кинетических уравненийСушков Владислав Викторович

Принцип Хикса в теории линейных и нелинейных интегральных уравнений и краевых задач Гулынина Елена Владимировна

Представления функциональными интегралами решений начально-краевых задач для эволюционных уравненийБутко Яна Анатольевна