Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Некоторые расширения принципа Хикса и принципа Ле-Шателье-Самуэльсона 15
1. Неразложимые операторы. Модель Леонтьева 16
2. Принцип Хикса и его прямые расширения 24
3. Новые оценки сверху спектрального радиуса матричных и интегральных операторов 43
4. Принцип Ле - Шателье - Самуэльсона для линейных и нелинейных интегральных уравнений . 47
Глава II. Экстремальные расширения принципа Хикса 49
1. Экстремальные возмущения 49
2. Регулярная струна 51
3. Принцип Хикса для регулярной струны 63
Глава III. Общая стильтьесовская струна 71
1. Дифференциалы Стильтьеса 71
2. Уравнение общей струны 79
3. Линейная теория общей струны 87
4. Принцип Хикса для общей струны 96
Библиография 107
- Новые оценки сверху спектрального радиуса матричных и интегральных операторов
- Принцип Ле - Шателье - Самуэльсона для линейных и нелинейных интегральных уравнений
- Принцип Хикса для регулярной струны
- Линейная теория общей струны
Введение к работе
Теория уравнений в пространстве с конусом оказывается уместной практически во всех разделах математической физики, где приходится опираться на те или иные свойства функции влияния или порождаемого ею интегрального оператора. Функция влияния, известная физикам со времен Кулона, оказывается обычно положительной, что предопределяет положительность соответствующего интегрального оператора. Однако в чистую математику операторы, положительные на конусе банахова пространства, вошли совсем с другой стороны. Знаменитая теорема Перрона о ведущем собственном значении положительной матрицы, для математиков достаточно неожиданная, явилась завершением разнообразных попыток экономистов мотивировать хорошо понятное для них свойство существования равновесных цен в замкнутой рыночной модели. Теорема Перрона начала процесс разработки теории положительных интегральных операторов (Енч, Фробениус и пр.), завершившийся созданием теории осцилляционных матриц и ядер (Гантмахер-Крейн), связанный с упругими колебаниями механических систем. В рамках этой теории и ее последующего развития удалость создать развитую систему результатов для общей осцилляционной теории спектральной задачи Штурма-Лиувилля.
Из математической экономики, где царят положительные матрицы, аналогичным образом в абстрактную теорию вошли (Гантмахер, Стеценко и др.) неразложимые операторы, в практической математике порождаемые агрегированием по Леонтьеву межотраслевых моделей баланса. В середине XX века в рамках моделей Леонтьева обнаружилось еще одно любопытное свойство положительных матриц, связываемое с именами Хикса, Саймона и др. западных экономистов. Заключается это свойство в следующем.
Если А - неразложимая неотрицательная матрица со спектральным
радиусом р(А)<1, то ее резольвентный оператор (1-Ау1 есть матрица сильно положительная, и потому для системы вида
x = Ax + f, (0.0.1)
типичной для моделей Леонтьева, увеличение/(спроса) хотя бы всего лишь по одной компоненте приводит к строгому возрастанию всех компонент решения (требует увеличения плана по всем без исключения параметрам). Оказывается - а в этом и заключается феномен Хикса - это увеличение решения — обозначим его через Ду в соответствии с приращением Д/- имеет экстремальное относительное значение именно по той компоненте, которая определила прирост Д/. Точнее говоря, если Af имеет все нулевые
координаты, кроме одной (ДД), то именно по этой /0-й координате наиболее
велико приращение Дх относительно х - (I - A)~l f, т.е. относительно прежнего решения системы (0.0.1). Совсем точно говоря,
(Дх); (Д*),-0 m п ..
sup -—-- = --. (0.0.2)
Это удивительное (и важное в экономической практике) свойство уже имеет достаточно широкую литературу (см., напр. [46, 48]). В настоящей работе это свойство распространяется на некоторые задачи современной математической физики. Естественно, нам не удается миновать интегральных уравнений, где приходится сталкиваться с достаточно серьезными трудностями. А именно - с локализацией входного возмущения, ибо наиболее содержательное свойство феномена Хикса - тотальная реакция системы на локальное (всего лишь по одной координате) изменение возмущения системы (спроса). В естественных функциональных пространствах подобное возмущение обычно связано с появлением в параметрах сингулярных дельта-образных компонент и переходу к анализу обобщенных решений, что и порождает главные трудности применения стандартной техники. Поэтому мы в начале устанавливаем аналог принципа Хикса для случая, когда в интегральном уравнении - аналоге (0.0.1)
x(t) - \K(t, s)x(s)ds = ДО (0.0.3)
р правая часть возмущается непрерывной добавкой А/, которая оказывается
положительной не в одной точке.
+
В конечном счете нам удается изучить ситуацию, когда аналогичное возмущение в модели стилтьесовской струны сосредоточено на ее конце -суперсингулярный случай, в том смысле, что соответствующее возмущение не охватывается классической теорией обобщенных функций, где носители 8-функций допускаются только внутри области. Тем самым, главной задачей работы является распространение принципа Хикса на важные классы интегральных и интегро-дифференциальных уравнений математической физики. В частности, мы распространяем принцип Хикса на канонизированную М.Г.Крейном задачу о стильтьесовской струне в форме
-u'(x) + \udQ = F(x) + уЄ(х - где Q(x) определяет упругую реакцию внешней среды, F(x) - внешнюю силу, у - интенсивность импульса, локализованного в точке х = %. Целью исследования является осмысление и описание принципа Хикса для новых, более широких классов математических моделей. В особенности физических моделей, описываемых с помощью функциональных пространств типа Cfa.bJ, где допускаются импульсные, т.е. предельно локализованные возмущения. Основным методы, используемые в работе - теория абстрактных полуупорядоченных пространств и методы теории интеграла Римана-Стильтьеса. Основные результаты - аналоги принципа Хикса для: -общего интегрального уравнения с непрерывным неразложимым ядром; общей системы уравнений bR" с вогнутой нелинейностью. Аналогичный t результат для уравнений с оператором Гаммерштейна; интегродифференциального уравнения вида - и '(х) + = F(x) + const о с монотонными Q(x) и F(x). Кроме того, для случая общей стильтьесовской струны дано корректное описание функции влияния, допускающее анализ экстремальных свойств -общепринятые дефиниции в математической литературе это сделать не позволяют. А теперь о содержании диссертации подробнее. Работа состоит из трех глав, дополненных списком использованной литературы. В главе I обсуждается возможность прямого расширения принципа Хикса. После его канонического описания в 2 изучается возможность его обобщения на случай возмущений с расширенными носителями. Уточнением принципа Хикса оказывается Теорема. Пусть матрица А - неотрицательная и неразложимая, р(А) < 1. Пусть {Х},х2,...,хп} — решение системы х = Ах+/, а {у/,у~2,...,у„} - решение системы y = Ay + f + Af. Пусть Д/. > 0, i=l, 2,....п, причем 1{]- множество всех таких индексов /для которых Д//> 0, а г Уі~ХІ У/~хі h - v ' — = тах — Xt ./=1,2 п Хі Тогда пересечение множеств 10 и /у не пустое, т.е. IqC\Ii ф 0. Далее принцип Хикса усиливается для случая строго положительных матриц. Во второй части 2 принцип Хикса распространяется на интегральные уравнения вида ь x(t) = JK(tt s)x(s)ds + /(/) с непрерывным на [a,b]x[a,b] неотрицательным ядром K(t,s). Пусть выполнены условия 1. Спектральный радиус г(А) интегрального оператора Ax(t): ь Ax{t) = JK(t,s)x(s)ds, рассматриваемого в пространстве С^у непрерывных на [а,Ь] фупкций, в котором, очевидно, действует оператор А, меньше чем 1: г(А)<\. 2. Интегральный оператор А неразложим в С^щ относительно конуса К неотрицательных функций в С[а,ь]. Положим a0={t:tG[a,b],fl(t)>f(t)} f^)^(0 = maxMbf(0j [ x(t) «1«-*] x(t) J Иными словами, множество о)] с [а, 6] - это множество тех точек, на которых достигается максимум относительного приращения решения *,(/) ь уравнения x]{t)= \K(t7s)xl(s)ds + /J(/) при замене правой части f(t) большей функцией//^, a a?Q с[а,Ь] -это множество точек, в которых fi(t)>f(t). " Теорема. При выполнении условий 1, 2 пересечение со0Г\й)1 не пустое. В заключении 2 принцип Хикса устанавливается для алгебраических систем с вогнутой нелинейностью и неразложимой матрицей А. Этот результат затем распространяется на случай интегрального уравнения типа Гаммер штейна x(t)=lK(t,s)F[S)x(s)}ds + f(t). В 3 главы I обсуждается вопрос об оценках спектрального радиуса положительного оператора, ключевой для применения результатов 2. В 4 на интегральные уравнения переносится принцип Ле-Шателье-Самуэльсона. * Вторая часть диссертации посвящена описанию принципа Хикса для случая положительно-обратимых задач в функциональных пространствах, когда сохранено существо феномена Хикса - тотальная реакция объекта на предельно локализованное возмущение. Если объект описывается уравнением типа Lu=f, где при непрерывном /решение - непрерывная функция, то появление сингулярного возмущения (типа дельта-функции) справа для непрерывных решений несовместимо с непрерывностью оператора L. Таким образом, естественный аналог феномена Хикса имеет смысл рассматривать только для неограниченных операторов, коими в математической физике являются дифференциальные операторы. Мы рассматриваем задачу для стильтьесовской струны. Теория уравнений в пространстве с конусом оказывается уместной практически во всех разделах математической физики, где приходится опираться на те или иные свойства функции влияния или порождаемого ею интегрального оператора. Функция влияния, известная физикам со времен Кулона, оказывается обычно положительной, что предопределяет положительность соответствующего интегрального оператора. Однако в чистую математику операторы, положительные на конусе банахова пространства, вошли совсем с другой стороны. Знаменитая теорема Перрона о ведущем собственном значении положительной матрицы, для математиков достаточно неожиданная, явилась завершением разнообразных попыток экономистов мотивировать хорошо понятное для них свойство существования равновесных цен в замкнутой рыночной модели. Теорема Перрона начала процесс разработки теории положительных интегральных операторов (Енч, Фробениус и пр.), завершившийся созданием теории осцилляционных матриц и ядер (Гантмахер-Крейн), связанный с упругими колебаниями механических систем. В рамках этой теории и ее последующего развития удалость создать развитую систему результатов для общей осцилляционной теории спектральной задачи Штурма-Лиувилля. Из математической экономики, где царят положительные матрицы, аналогичным образом в абстрактную теорию вошли (Гантмахер, Стеценко и др.) неразложимые операторы, в практической математике порождаемые агрегированием по Леонтьеву межотраслевых моделей баланса. В середине XX века в рамках моделей Леонтьева обнаружилось еще одно любопытное свойство положительных матриц, связываемое с именами Хикса, Саймона и др. западных экономистов. Заключается это свойство в следующем. Если А - неразложимая неотрицательная матрица со спектральным радиусом р(А) 1, то ее резольвентный оператор (1-Ау1 есть матрица сильно положительная, и потому для системы вида типичной для моделей Леонтьева, увеличение/(спроса) хотя бы всего лишь по одной компоненте приводит к строгому возрастанию всех компонент решения (требует увеличения плана по всем без исключения параметрам). Оказывается - а в этом и заключается феномен Хикса - это увеличение решения — обозначим его через Ду в соответствии с приращением Д/- имеет экстремальное относительное значение именно по той компоненте, которая определила прирост Д/. Точнее говоря, если Af имеет все нулевые координаты, кроме одной (ДД), то именно по этой /0-й координате наиболее велико приращение Дх относительно х - (I - A) l f, т.е. относительно прежнего решения системы (0.0.1). Совсем точно говоря. Это удивительное (и важное в экономической практике) свойство уже имеет достаточно широкую литературу (см., напр. [46, 48]). В настоящей работе это свойство распространяется на некоторые задачи современной математической физики. Естественно, нам не удается миновать интегральных уравнений, где приходится сталкиваться с достаточно серьезными трудностями. А именно - с локализацией входного возмущения, ибо наиболее содержательное свойство феномена Хикса - тотальная реакция системы на локальное (всего лишь по одной координате) изменение возмущения системы (спроса). В естественных функциональных пространствах подобное возмущение обычно связано с появлением в параметрах сингулярных дельта-образных компонент и переходу к анализу обобщенных решений, что и порождает главные трудности применения стандартной техники. Поэтому мы в начале устанавливаем аналог принципа Хикса для случая, когда в интегральном уравнении - аналоге (0.0.1) р правая часть возмущается непрерывной добавкой А/, которая оказывается положительной не в одной точке. + В конечном счете нам удается изучить ситуацию, когда аналогичное возмущение в модели стилтьесовской струны сосредоточено на ее конце -суперсингулярный случай, в том смысле, что соответствующее возмущение не охватывается классической теорией обобщенных функций, где носители 8-функций допускаются только внутри области. Тем самым, главной задачей работы является распространение принципа Хикса на важные классы интегральных и интегро-дифференциальных уравнений математической физики. В частности, мы распространяем принцип Хикса на канонизированную М.Г.Крейном задачу о стильтьесовской струне в форме где Q(x) определяет упругую реакцию внешней среды, F(x) - внешнюю силу, у - интенсивность импульса, локализованного в точке х = %. Целью исследования является осмысление и описание принципа Хикса для новых, более широких классов математических моделей. В особенности физических моделей, описываемых с помощью функциональных пространств типа Cfa.bJ, где допускаются импульсные, т.е. предельно локализованные возмущения. Основным методы, используемые в работе - теория абстрактных полуупорядоченных пространств и методы теории интеграла Римана-Стильтьеса. В теории матриц важная роль принадлежит так называемым неотрицательным неразложимым матрицам. Напомним определение неразложимой [8] матрицы. Вначале приведем понятие разложимой матрицы для квадратной А=(аф (ij-1, п ). Одноименной перестановкой рядов / и у (1 i, j п) матрицы А мы называем такое преобразование матрицы А, при котором переставляются столбцы и строки / и у. С перестановкой рядов связано изменение нумерации базисных векторов. Согласно [8], матрица А называется разложимой, если можно указать такую последовательность перестановок рядов, при которой эта матрица может быть приведена к следующему "блочному" виду: где символом «О» обозначен нулевой блок (т.е. блок, состоящий из одних нулей). Матрица, не являющаяся разложимой, называется неразложимой. Очевидно, что если матрица А не содержит нулевых элементов, то она заведомо неразложима. Однако наличие нулевых элементов может не помешать матрице быть неразложимой. Например, матрица А = неразложимая. В случае интегральных операторов с неотрицательными ядрами было развито [10, 45, 67, 73, 74, 76, 78, 79] понятие неразложимости ядер и установлены достаточно полные аналоги свойств неотрицательных неразложимых матриц. 1.1.2. Телесные конусы. Конус К с Е называется телесным [36], если он содержит хотя бы один внутренний элемент. Примерами телесных конусов являются конусы неотрицательных векторов в пространстве R", неотрицательных непрерывных функций в пространстве C/-Jpy. В первом случае внутренними элементами являются векторы, у которых все координаты положительные, во втором - функции, принимающие во всех точках положительные значения. Не каждый конус телесен. Например, конус неотрицательных функций в пространстве Lp[a,b] не содержит ни одного внутреннего элемента, т.е. не является телесным. Если конус К телесен, то элемент и0е К является внутренним в К в том и только том случае, когда для любого х є К можно указать такое а 0, что будет выполняться неравенство -аи0 х аи0, (1.-1.2) При этом точная нижняя грань всех чисел а 0, для которых выполняется неравенство (1.1.2) является нормой, обозначается через \\х\\ и называется и0 нормой элементах. При этом для некоторого С 0 Конус К называется нормальным, если существует единая для всего пространства константа N такая, что из неравенства Если конус К нормален и телесен, и если щ - внутренний элемент К, то нормы [х и хп эквивалентны. Матрица А=(аф (i,j-\,n ) является неразложимой, если из неравенств ах Ах, х 6 вытекает неравенство х»0, означающее, что х - внутренний элемент конуса неотрицательных векторов пространства R", т.е. для каждого i=I,2,...,n хі 0, где ХІ - і -ая координата вектора х. 1.1.3. Общие неразложимые операторы. Пусть Е - пространство с конусом К. Пусть Я - сопряженная к К полугруппа (т.е. множество линейных функционалов /, принимающих на элементах хєК неотрицательные значения: 1{К) 0) [62,63]. Элемент х0 є К называется квазивнутренним элементом К, если для любого / є К \1Ф6 выполняется неравенство !(х0) 0. В том случае, когда конус К телесен, элемент х0 є К будет квази внутренним в том и только в том случае, когда он является внутренним, т.е. множество внутренних элементов конуса К совпадает с множеством квази внутренних элементов. Однако, существуют конусы, не являющиеся телесными, но имеющие квазивнутренние элементы. Простым примером является конус неотрицательных последовательностей в пространстве 1р (р \). Этот конус не обладает свойством телесности, однако любая последовательность {хп} с положительными (т.е. ненулевыми неотрицательными) элементами является квазивнутренним элементом К. Другим примером является конус неотрицательных функций в пространстве Lp[a,b]. Как мы уже отмечали, этот конус не является телесным. Но в нем функция x(t)GLp[a,b] является квазивнутренним элементом К в том и только в том случае, если почти при всех значениях t [a,b] выполняется неравенство: x(t) 0. Именно для подобных пространств было предложено Стеценко В.Я. следующее общее определение неразложимого оператора [62]. В настоящей главе обсуждается возможность естественной формулировки и доказательства принципа Хикса для задач, в которых непрерывные вариации решений обусловлены сингулярными возмущениями типа дельта-функций на правые части уравнений. Возможность подобных возмущений мы в предыдущей главе исключали. В каноническом виде принцип Хикса формулируется для конечномерного уравнения вида Главная изюминка принципа Хикса - описание экстремальных (по компонентам) свойств решений, соответствующих возмущениям вида Обозначая подобные векторы через ек, т.е. мы имеем, согласно принципу Хикса, описание решений уравнения (2.1.1) для любого из таких элементов. Как можно распространять принцип Хикса для случая уравнений вида (2.1.1) в бесконечномерном пространстве - например, в С Условие положительной обратимости оператора (1-А) достаточно ясны. Условия неразложимости А, даже если А является интегральным оператором, изучены (Стеценко, Шеффер и др.). А вот как обеспечить для уравнения (2.1.1) в C[aJ)] участие правых частей, аналогичных векторам (2.1.2) вЛ"? Что это за векторы (2.1.2)? Какие у них главные свойства в Я"? Свойства эти определяются тем, что векторы (2.1.2) являются экстремальными, т.е. крайними векторами для конуса неотрицательных векторов в R". Иначе и быть не может. Ведь эти векторы — базисные в R". Можно ли говорить о базисе неотрицательных элементов в С а 6] Очевидно, нет! А можно ли говорить об экстремальных лучах в конусе неотрицательных функций? В прямом смысле - нет. В расширенном - да. С интуитивно-физической точки зрения таковыми являются дельта-функции. Однако напрямую появление дельта-функций справа в (2.1.2) непременно влечет появление аналогичных особенностей и у решений. Если, конечно, оператор А непрерывен. Источником непрерывных объектов, допускающих сингулярные (сосредоточенные) возмущения, могут служить классические физические модели. Для последних феномен Хикса пока не изучался. Мы рассматриваем ниже стильтьесовскую струну в постановке Аткинсона [3] -М.Г. Крейиа [29]. где и(х) - поперечное отклонение точки х под влиянием внешней нагрузки с интенсивностью (плотностью) f(x). Более точно f(x) определяется так. Если F(x) - общая внешняя нагрузка, приложенная к струне на участке [0,х], а это -обычная сила, измеряемая динами, кг или еще как, то f(x) определяется как локальная плотность F(x)t т.е. как предел силы F(x + Ах) - F(x) (= AF), приложенной к струне на отрезке [;t,;t + Ах], отнесенной к длине этого отрезка. Коэффициент q{x) в (2.2.1) соответствует аналогичной интенсивности упругой реакции внешней среды на отклонение и{х). Классическая теория обыкновенных дифференциальных уравнений хорошо развита для регулярных q(x), f(x) t когда они если не непрерывны, то хотя бы суммируемы. Обычно уравнение (2.2.1) сопровождается краевыми условиями либо вида и(0) = 0, и(/) = 0, (2.2.2) соответствующими глухому закреплению концов струны, либо условиями типа а0и(0) + аУ(0) = 0, Ь0и(1) + 6,и (1) = 0. (2.2.3) Как те, так и другие условия (вторые- ясно более общие) дополняют уравнение (2.2.1) до так называемой задачи Штурма-Лиувилля, которой посвящено много работ, поскольку это - центральная задача математической физики. Но посмотрим на эту задачу через призму поиска формулировки принципа Хикса. Нам хочется рассмотреть случай, когда f(x) справа в (2.2.1) имеет характер дельта-функции, т.е. имеет вид Если даже Е, - внутренняя точка (О,/), то корректное определение (2.2.4) и соответствующего решения возможно лишь в рамках (и терминах) теории обобщенных функций (распределений Шварца-Соболева [70]). Но в системе представлений этой науки обобщенная функция не есть обычная функция, она не имеет значений в конкретных точках, она есть функционал, т.е. элемент из пространства, сопряженного к ЛВП финитных бесконечно гладких в (О,/) функций. Если же нам заблагорассудится взять возмущение вида (2.2.4), локализованное в одном из концов струны, т.е. при Е, = 0 или f = /, то теория обобщенных функций окажется для этого случая просто мертвой. Поэтому нам придется искать другой, более надежный путь. Функция f(x), определенная на отрезке [а,6], называется функцией ограниченной вариации, если существует такая постоянная С, что каково бы ни было разбиение отрезка [а,Ь] точками a = xQ xl ... хп Ь выполнено неравенство Если / - функция ограниченной вариации, то точная верхняя грань сумм по всевозможным конечным разбиениям г отрезка [а,Ь] называется полной вариацией функции / на отрезке [а,Ь] и обозначается через V if) или Var/(если ясно, о каком отрезке идет речь), то есть 1. Если / - монотонная функция на отрезке [а, Ь], то f - функция ограниченной вариации на отрезке [а, Ь] и Varf-\f(b)-f(a)\. 2. Если / удовлетворяет условию Липшица с константой С, то / - функция ограниченной вариации на отрезке [а,Ь] и Varf C(b-a). В частности, если производная / функции / существует и ограничена на отрезке [а,6],-то / функция ограниченной вариации. Каждая функция ограниченной вариации ограничена. Действительно, при л: є [а, б] рассмотрим разбиение, состоящее из точек а,х,Ь. Сумма X 1/( +1) f(xk) , в этом случае принимает вид Основные свойства полной вариации: 1. Если а - постоянное число, то Varqf = \a\Var f; 2. Если f,g- функции ограниченной вариации, то f + g тоже является функцией ограниченной вариации и Var(f + g) Var f + Var g; 3. Если a b с, то Varba (/) + Var (f) = Varca (/). Свойства 1 и 2 означают, что функции ограниченной вариации образуют линейное пространство, которое в дальнейшем будем обозначать BV[a,b] (или просто BV, если ясно, о каком отрезке идет речь), Между монотонными функциями и функциями ограниченной вариации существует тесная связь. Действительно, если f,g монотонно неубывающие функции на [я,б], то / є BV,g е BV, а следовательно, и f-geBV. Значит, разность двух неубывающих функций есть функция ограниченной вариации. Жордану принадлежит обратная Теорема Жордана. Всякая функция ограниченной вариации может быть представлена в виде разности двух неубывающих функций. Пусть ueBV. Обозначим через A+u(s) = u(s + 0)-u(s) правый, а через A M(S) = u(s)-it(s - 0) левый скачки функции и є BV, так что полный скачок Au(s) функции и в точке х = $ равен А+u(s) + А u(s). Для ueBV введем функцию скачков а т х а тйх В теории интеграла важен следующий результат: всякую функцию ограниченной вариации можно представить в виде суммы ее функции скачков и непрерывной функции ограниченной вариации. Интеграл Стилтьеса играет исключительно важную роль в анализе, механике, математической физике и теории вероятностей. Сам Стилтьес воспользовался этим понятием в 1894г., занимаясь непрерывными дробями в связи с так называемой проблемой моментов. Спустя 15 лет, когда интегралом Стилтьеса почти перестали интересоваться, Ф.Риссу удалось привлечь всеобщее внимание к этому понятию, установив тесную связь между ним и линейными непрерывными функционалами, определенными на пространстве непрерывных функций С[а,6]. Знаменитая теорема Рисса утверждает, что любой непрерывный на С[а,Ь] линейный функционал L(u) допускает при некоторой creBV[a,b] представление Пусть [а,6]-заданный отрезок, а— монотонно возрастающая функция на [а,Ь]. Обозначим через г какое-нибудь разбиение отрезка [atb]t то есть а = х0 х1 ... хп -Ъ. Положим Aat =a(xi)-a(xi_l). Пусть f— ограниченная вещественная функция, определенная на [а, Ь]. Каждому разбиению г отрезка [а, Ь] поставим в соответствие числа М(= sup f{x), mt = inf f(x) [х;_у,Х;] lXi-\ Xi] где верхняя и нижняя грани берутся по всем разбиениям г отрезка [а,Ь]. Левые части последних равенств называются соответственно верхним и нижним интегралами Римана-Стилтьеса от функции /по отрезку [а,Ь]. Заметим, что верхний и нижний интегралы определены для любой ограниченной функции Действительно, поскольку f ограничена, существуют два числа т и Мтакие, что т f(x) М (а х Ь). Значит, при любом разбиении г m{a{b)-a{a)) s{Tj,a) S{rJ,a) M{a{b)-a{a)), то есть числа 5(г,/,ог)и S(r,f,a) ограничены (как сверху, так и снизу), а следовательно, числа \fdct и \fda конечны. Если [fda lfda, т.е. верхний интеграл совпадает с нижним, то их ь ь общее значение обозначается через \fdct или иногда через \f(x)da(x), и а а называется интегралом Римана-Стилтьеса (или просто Стилтьеса) от функции ь /по отрезку [а,Ь]. Если интеграл \fdaсуществует, то мы будем говорить, что f интегрируема относительно а в смысле Римана-Стилтьеса и писать / є RS(a). Заметим, что положив а(х) - х, получим привычное определение интеграла Римана, то есть интеграл Римана является частным случаем интеграла Римана-Стилтьеса. Подчеркнем, однако, что в общем случае а не обязана быть даже непрерывной.Новые оценки сверху спектрального радиуса матричных и интегральных операторов
Принцип Ле - Шателье - Самуэльсона для линейных и нелинейных интегральных уравнений
Принцип Хикса для регулярной струны
Линейная теория общей струны
Похожие диссертации на Принцип Хикса в теории линейных и нелинейных интегральных уравнений и краевых задач
