Содержание к диссертации
Введение стр. 10
ГЛАВА 1
Нагруженные краевые задачи теории аналитических функций с дополнительными заданиями граничных моментов. стр. 24
§ 1. Нагруженная краевая задача сопряжения стр. 24
1. Постановка задачи стр.24
2. Решение однородной задачи без нагрузки стр. 27
3. Решение нагруженной однородной задачи стр. 29
4. Решение однородной задачи с дополнительными заданиями граничных моментов стр. 32
5. Решение нагруженной однородной задачи с дополнительными заданиями граничных моментов стр. 36
6. Решение неоднородной и нагруженной неоднородной задачи стр. 40
7. Решение неоднородной и нагруженной неоднородной задачи с дополнительными заданиями граничных моментов стр. 45
8. Решение нагруженной неоднородной задачи с дополнительными
заданиями граничных моментов и с учетом заданных главных
частей. Определение неизвестных коэффициентов стр. 51
§ 2. Общая линейная краевая задача сопряжения с нагруженным свободным членом и с дополнительными заданиями граничных моментов стр. 72
1. Постановка задачи стр.72
2. Основные сведения из общей теории задачи А. стр. 73
3. Исследование общей нагруженной задачи А с дополнительными заданиями граничных
моментов и с учетом заданных главных частей. стр. 75
4. Исследование общей нагруженной задачи линейного сопряжения в параболическом случае. стр. 93
§ 3. Нагруженная задача Гильберта с дополнительными заданиями граничных моментов стр. 102
1. Постановка задачи стр. 102
2. Вспомогательные формулы стр. 103
3. Решение однородной задачи Гильберта с дополнительными заданиями граничных моментов стр. 112
4. Решение нагруженной однородной задачи Гильберта с дополнительными заданиями граничных моментов стр. 116
5. Решение неоднородной задачи Гильберта с дополнительными заданиями граничных моментов стр. 124
6. Решение нагруженной неоднородной задачи Гильберта с дополнительными заданиями граничных моментов стр. 126
7. Решение нагруженной неоднородной задачи Гильберта с учетом заданных главных частей и с дополнительными заданиями граничных моментов стр. 130
§ 4. Нагруженная смешанная краевая задача с дополнительными заданиями граничных моментов стр. 154
1. Постановка задачи стр. 154
2. Решение смешанной нагруженной задачи без учета заданных главных частей стр.157
3. Решение смешанной нагруженной задачи с учетом заданных главных частей стр. 164
4. Случай аналитической продолжимости заданных главных частей и определение неизвестных коэффициентов стр. 168
5. Исследование частных случаев нагруженной смешанной задачи стр. 174
ГЛАВА 2
Нагруженные особые интегральные уравнения с дополнительными заданиями граничных моментов. стр. 185
§ 1. Нагруженное характеристическое сингулярное интегральное уравнение соответствующее задаче сопряжения с дополнительными заданиями граничных моментов стр. 185
1. Постановка задачи стр. 185
2. Решение характеристического и нагруженного характеристического сингулярного интегрального уравнения (х. с. и. у.) (2.2.1) стр. 186
3. Решение нагруженного однородного х. с. и. у. с дополнительными заданиями граничных моментов стр. 192
4. Решение нагруженного неоднородного х. с. и. у. с дополнительными заданиями граничных моментов стр. 194
§ 2. Нагруженное характеристическое сингулярное интегральное уравнение соответствующее задаче сопряжения с дополнительными заданиями граничных моментов и с учетом заданных главных частей стр. 196
1. Сведение х. с. и. у. к нагруженной з. с. а. ф. с учетом заданных главных частей стр.196
2. Решение нагруженного х. с. и. у. (2.1.1) с учетом заданных главных частей,, стр. 198
3. Исследование частных случаев с стр. 205
4. Решение однородного х. с. и. у. без нагрузки и определение неизвестных коэффициентов стр. 207
§ 3. Нагруженное характеристическое сингулярное интегральное уравнение соответствующее краевой задаче Гильберта с дополнительными заданиями граничных моментов стр. 216
1. Постановка задачи стр. 240
2. Связь нагруженного х. с. и. у. с нагруженной краевой задачей Гильберта стр. 217
3. Решение однородного и нагруженного однородного х. с. и. у. с дополнительными заданиями граничных моментов стр. 218
4. Решение неоднородного нагруженного х. с. и. у. с дополнительными заданиями граничных моментов стр. 230
§ 4. Исследование нагруженного неоднородного х. с. и. у. с ядром Гильберта с учетом заданных главных частей и с дополнительными заданиями граничных моментов стр. 236
1. Постановка задачи стр.237
2. Связь х. с. и. у. с нагруженной краевой задачей Гильберта и решение однородного х. с. и. у. стр. 238
3. Решение неоднородного нагруженного х. с. и. у. с учетом заданных главных частей и определение неизвестных коэффициентов стр. 241
§ 5. Исследование характеристического сингулярного интегрального уравнения с ядром Гильберта соответствующего нагруженной смешанной краевой задаче для круга с учетом заданных главных частей и с дополнительными заданиями граничных моментов в классе
симметричных функций стр. 260
1. Постановка задачи стр.260
2. Связь х. с. и. у. с нагруженной смешанной краевой задачей с учетом заданных главных частей стр. 262
3. Решение задачи (2.5.9 ) с учетом заданных главных частей в случае четного и нечетного индекса стр. 267
4. Решение неоднородного нагруженного х. с. и. у. стр. 271
5. Решение однородного х. с. и. у. без нагрузки с учетом заданных главных частей стр. 277
6. Определение неизвестных коэффициентов стр. 286
ГЛАВА 3 Нагруженная краевая задача сопряжения обобщенных аналитических функций с дополнительными заданиями граничных моментов. стр. 295
§ 1. Основные сведения из теории обобщенных аналитических функций стр. 295
1. Обобщенная неоднородная система уравнений Коши-Римана стр. 295
2. Функции класса Г- стр. 296
3. Нормальная форма системы и интегрирование некоторых дифференциальных уравнений стр. 300
4. Одно вспомогательное представление решений и следствия из него стр. 304
5. Интегральное представление решений и взаимно-однозначное соответствие между кусочно-регулярными решениями и кусочно-голоморфными функциями стр. 306
§ 2. Построение аналогов аналитических функций стр. 312
1. Аналог интеграла типа Коши стр. 312
2. Аналог формулы Коши стр. 314
3. Аналог степеней стр.315
4. Аналог многочлена стр.316
§ 3. Нагруженная краевая задача сопряжения о. а. ф. с дополнительными заданиями граничных моментов стр. 317
1. Постановка задачи стр.317
2. Определение кусочно-регулярного решения по условию непрерывности и задача о скачке стр. 321
3. Однородная задача сопряжения без нагрузки для однородного уравнения стр. 322
4. Нагруженная однородная задача сопряжения стр. 324
5. Нагруженная однородная задача сопряжения с дополнительными заданиями граничных моментов стр. 329
6. Решение неоднородной задачи сопряжения для однородного уравнения стр. 334
7. Решение неоднородной задачи сопряжения для однородного уравнения с дополнительными заданиями граничных моментов стр. 336
8. Решение нагруженной неоднородной задачи сопряжения для однородного уравнения стр. 339
9. Решение нагруженной неоднородной задачи сопряжения для однородного уравнения с дополнительными заданиями граничных моментов стр. 342
10. Решение нагруженной неоднородной задачи сопряжения для неоднородного уравнения с дополнительными заданиями
граничных моментов стр. 347
Литература стр. 357
Введение к работе
Большую известность и актуальность в теории краевых задач аналитических, обобщенных аналитических функций и сингулярных интегральных уравнений сыграли монографии И. Н. Векуа [3], Ф. Д. Гахова [5], Н. И. Мусхелишвили [16] и Л. Г. Михайлова [17]; что касается их дальнейших продвижений, то прежде всего следует указать на сыгравшую важную роль в построении теории обобщенных систем Коши-Римана (О. С. К. Р) статью Л. Г. Михайлова [20]. Здесь было дано полное исследование и эффективное решение задачи сопряжения и решений О. С. К. Р.; достаточно четкая ссылка на [20], имеется также в завершающей монографии И. Н. Векуа 1959 г. [3].
К настоящему времени наибольшего развития достигла теория краевых задач для аналитических, обобщенных аналитических функции и соответствующие им особые интегральные уравнения. Это развитие обеспечено в основном трудами всемирно-известных математиков Н. И. Мусхелишвили, Ф. Д. Гахова, И. Н. Векуа, Л. Г. Михайлова, В. Н. Монахова, С. Н. Антонцева, Э. И. Зверовича, С. М. Никольского, В. А. Ильина, Н. Р. Раджабова, 3. Д. Усманова и их учеников. В подавляющем большинстве исследований искомые функции являются либо аналитическими всюду, кроме линии разрыва, либо мероморфными. Например, часто ищутся функции, допускающие определенный конечный порядок на бесконечности. В краевых задачах теории аналитических функций (а. ф.) и обобщенных аналитических функций (о. а. ф.) центральное положение занимают две основные краевые задачи; это задача Римана (или задача сопряжения) [5], а также задача Гильберта [3], [5]. К ним примыкает теория сингулярных интегральных уравнений с ядрами Коши и Гильберта. За многие годы развития теории краевых задач а.ф. и о.а.ф. было изучено немалое количество различных обобщений, задачи Римана и Гильберта и соответствующие им сингулярные интегральные уравнения. С другой стороны еще с 19го - века была известна теория интегральных уравнений Фредгольма, а также её обобщения на так называемые нагруженные интегральные уравнения изучавшиеся в работах А. Кнезера ([31], стр.156), Лихтенштейна [14], Гюнтера Н. М. [2]. В силу этого вполне естественным будет рассмотреть нагруженные краевые задачи.
В настоящей диссертации будут рассмотрены следующие три типа обобщений указанных краевых задач в классе а.ф. и два типа обобщений в классе о.а.ф.
Задачи с нагруженными свободными членами и с дополнительными заданиями граничных моментов от искомых функций могут возникать в тех или иных ситуациях, как это было, например, в фундаментальных исследованиях Л. Г. Михайлова [18 - 21] в котором для общего линейного уравнения в частных производных второго порядка с лапласианом в главной части было получено интегральное представление многообразия всех решений через одну а.ф. комплексного переменного (это, во первых), а во вторых с его помощью пару вещественных условий сопряжения первых производных от решения удалось редуцировать к задаче сопряжения а.ф. (1.1.1) с дополнительными условиями типа моментов (1.1.2).
Первые исследования по краевым задачам теории а.ф. с учетом заданных главных частей и соответствующие им особые интегральные уравнения за рубежом были проведены румынскими математиками Якобом Каюсом (Jcob Kaius) [32-36] и Сорином Гогонеа (Sorin Gogonea) [37 - 43] в связи с приложением к механике, а в отечественной литературе - автором [44 - 79].
Краевые задачи с учетом заданных главных частей и соответствующие им особые интегральные уравнения недостаточно еще исследованы. Основной причиной является на наш взгляд, сложившееся мнение, согласно которому условия нахождения функций аналитических в данной области, кроме дискретного множества точек, в которых заданы главные части Лорановского разложения искомых функций (первая проблема Кузена [15]) содержатся в качестве частных случаев в неоднородности который несёт свободный член краевого условия задачи. Однако с этим полностью согласиться нельзя, так как свободный член краевого условия всегда задается на линиях, а условия типа первой проблемы Кузена носят локальный характер, т.е. задаются в окрестностях отдельных точек.
Ввиду выше указанных различий 1)-3), мы считаем, что проблема исследования нагруженных краевых задач с дополнительными условиями типа моментов на искомые функции является самостоятельной и более того актуальной и исследуется в настоящей диссертации для некоторых наиболее важных краевых задач в классе а.ф. и о.а.ф.
Эти три перечисленные дополнительные условия отличают исследуемые задачи от классических [3], [5], [16], [17], [28], [31].
Основными методами, применяемыми в диссертации являются:
1. Метод аналитического продолжения;
2. Метод интегральных уравнений;
3. Метод симметрии;
4. Метод введения дополнительных контуров (ВДК).
Ввиду важности, изложим кратко идею метода ВДК. Вводится
о дополнительный контур, состоящий из границ dU(Fk) окрестностей
о U(Fk). Рассматривается новая неизвестная функция, которая совпадает со
о старой вне окрестностей U(Fh) и равна ф(г)- к(г) внутри окрестности
о U(Fk). Относительно новой функции получается краевая задача без учета заданных главных частей (классическая постановка) на новом контуре. Из решения этой последней задачи можно получить решение исходной задачи в случае F 0. Метод ВДК хорошо известен в теории краевых задач. Например, с его помощью краевые задачи на разомкнутых кривых сводились к краевым задачам на замкнутых кривых с разрывными коэффициентами [5], [16]. Однако для исследования нагруженных краевых задач с дополнительными заданиями граничных моментов на искомой функции, впервые этот метод применяется нами в диссертации.
При исследовании краевой задачи методом ВДК обычно возникает краевая задача без учета заданных главных частей, имеющая тот же индекс коэффициента, что и исходная задача и вообще, остаются без изменения, все параметры, от которых зависят дефектные числа задачи (т.е. число произвольных постоянных входящих в общее решение, и число условий разрешимости неоднородной задачи).
Основной целью является исследование нагруженных краевых задач с дополнительными заданиями граничных моментов на искомые функции в классе а.ф. и о.а.ф. При этом основные вопросы, исследуемые в диссертации являются:
1. Нахождение необходимых и достаточных условий существования решений нагруженных краевых задач и соответствующие им особые интегральные уравнения с дополнительными условиями типа граничных моментов на искомые функции; 2. Вывод формул для общих решений и условий разрешимости нагруженных краевых задач и им соответствующие особые интегральные уравнения с дополнительными заданиями граничных моментов на искомые функции, причем особое внимание уделяется вычислению вкладов в общие решения, происходящих от нагруженных свободных членов и заданных главных частей;
3. Нахождение условий разрешимости и общих решений в тех частных случаях, когда предполагается аналитическая продолжимость заданных главных частей в некоторые области.
Научная новизна работы состоит в следующим:
1) Нагруженная краевая задача сопряжения и его соответствующее характеристическое сингулярное интегральное уравнение (х.с.и.у.) с дополнительными заданиями граничных моментов на искомые функции решено в замкнутой форме;
2) Нагруженная общая задача линейного сопряжения и ряд других задач (Римана, Гильберта) с дополнительными заданиями граничных на искомую функцию исследована в новой постановке;
3) К исследованию нагруженных краевых задач с дополнительными заданиями граничных моментов на искомые функции, впервые применен метод введения дополнительных контуров (ВДК); 4) Решена нагруженная краевая задача Гильберта с дополнительными заданиями граничных моментов на искомую функцию и его соответствующее х.с.и.у.;
5) Получены новые формы решения и условия разрешимости нагруженных краевых задач Римана и Гильберта с дополнительными заданиями граничных моментов на искомые функции и соответствующие им х.с.и.у. более удобные с практической точки зрения;
6) В замкнутой форме решена нагруженная смешанная краевая задача Римана-Гилберта для круга с дополнительными заданиями типа моментов на искомую функцию в более общей постановке;
7) В замкнутой форме решена х.с.и.у. с ядром Гильберта, соответствующего нагруженной краевой задаче Римана-Гильберта для круга с дополнительными заданиями граничных моментов на искомую функцию в классе симметричных функций;
8) Решена нагруженная краевая задача Римана с дополнительными заданиями граничных моментов в классе о.а.ф.;
9) Определены способы нахождения неизвестных коэффициентов.
Полученные в работе результаты являются новыми и носят теоретический и практический характер. Нагруженные краевые задачи с дополнительными заданиями граничных моментов на искомые функции и им соответствующие особые интегральные уравнения имеют приложения к механике, теории упругости, гидродинамике, электродинамике, фильтрации, дифракции и других задач математической физики. Методы разработанные в диссертации с успехом можно применять к исследованию многоэлементных краевых задач.
Остановимся кратко на содержании диссертации. Работа состоит из введения и трех глав, изложена на 367 страницах. Библиография включает 84 наименований.
В введении обоснована актуальность избранной темы исследования, цель и научная новизна работы, методика исследования и краткое содержание работы.
