Содержание к диссертации
Введение
1. Гомологически тривиальные алгебры Фреше 33
1.1. Унитальные модули Фреше над алгебрами Фреше, их характеристики 33
1.2. Проективные модули Фреше 48
1.3. Алгебры Фреше глобальной размерности нуль 53
1.4. Оболочка Аренса—Майкла и стягиваемые метризуе-мые алгебры Аренса—Майкла 66
2. Когомологии бипроективных и биплоских банаховых алгебр 74
2.1. Банаховы модули и бимодули, бипроективные банаховы алгебры 74
2.2. Бимодульные тензорные произведения и биплоские банаховы алгебры 86
2.3. Пространства мультипликаторов 94
2.4. Вычисление групп когомологии 101
2.5. Когомологические характеризации бипроективности и биплоскости 123
2.6. Слабая биразмерность и ее вычисление для биплоских банаховых алгебр 135
3. Гомологические размерности банаховых модулей и банаховых алгебр 152
3.1. Одна задача геометрии банаховых пространств 152
3.2. Сильно недополняемые подпространства банаховых пространств 159
3.3. Гомологические размерности банаховых модулей и их существенных подмодулей 175
3.4. Гомологические характеристики банаховых алгебр 194
3.5. Свойства бипроективных банаховых алгебр 204
4. Гомологические размерности тензорных произведений (формулы аддитивности) 217
4.1. Некоторые замечания и напоминания 217
4.2. Оценки сверху и снизу гомологических размерностей тензорных произведений 219
4.3. Геометрия тензорных произведений (некоторые задачи коретракции) 227
4.4. Формулы аддитивности (коммутативный случай) 230
4.5. Формулы аддитивности (некоммутативный случай) 237
4.6. Формула аддитивности для слабой биразмерности 248
5. Некоторые приложения 255
5.1. Дифференцирования бипроективных и биплоских банаховых алгебр 255
5.2. Расщепимость и алгебраическая расщепимость сингулярных расширений 265
5.3. Множество значений, принимаемых слабой биразмер-ностью в классе полупростых банаховых алгебр 272
Литература 279
- Проективные модули Фреше
- Бимодульные тензорные произведения и биплоские банаховы алгебры
- Когомологические характеризации бипроективности и биплоскости
- Сильно недополняемые подпространства банаховых пространств
Введение к работе
Предмет настоящей диссертации относится к топологической гомологии — области функционального анализа, изучающей банаховы и локально выпуклые топологические алгебры и их непрерывные представления (банаховы и топологические модули) с использованием методов гомологической алгебры. В диссертации развиты методы, позволяющие изучать закономерности, которым подчиняются гомологические характеристики банаховых и близких к ним топологических алгебр, и вычислять эти характеристики для ряда конкретных "алгебр анализа". Помимо самостоятельного интереса, эти характеристики играют большую роль при изучении дифференцирований, расширений и возмущений таких алгебр и их представлений. Они тесно связаны с банахово-геометрическим строением модулей, а также со многими фундаментальными понятиями топологии и функционального анализа (см. [42]). Гомологические характеристики локально выпуклых алгебр были с успехом использованы Дж. Тэйлором [122] при решении классической задачи построения мультиоператор-ного голоморфного функционального исчисления в банаховом пространстве.
Позднее аппарат локально выпуклой гомологии активно использовался различными авторами в работах, связанных с вопросами многомерной спектральной теории линейных операторов [74, 110, 111], а также с некоторыми задачами комплексной аналитической геометрии [101,113,120]. Отметим, что в спектральной теории операторов топологическая гомология позволила не только обобщить многие классические теоремы на случай нескольких коммутирующих операторов, но и получить новые результаты в "теории одного оператора". Свой-
ство (/3) Бишопа, понятия разложимого и субразложимого оператора, понятие локального спектра получили естественную гомологическую интерпретацию, что позволило установить новые взаимосвязи между ними. Различные результаты такого рода и литературные ссылки содержатся в недавней монографии Эшмайера и Путинара [75].
Несколько слов об истории вопроса. Важнейшие гомологические характеристики ассоциативных алгебр — группы когомологий — были открыты в 1945 году Г. Хохшильдом [90]. В 1962 году Г. Камовиц [98], используя банахов аналог комплекса Хохшильда, определил группы когомологий W.n(A, X), п = 0, 1, ..., банаховой алгебры А с коэффициентами в банаховом А-бимодуле X и, в частности, установил биекцию между множеством классов эквивалентности сингулярных расширений А с помощью X и элементами W2(A, X). Отметим, что необходимость в изучении распіирений банаховых алгебр была замечена еще в 1954 году Н. Данфордом [71] при исследовании спектральных операторов. Позже группы когомологий банаховых алгебр успешно применялись к различным вопросам, связанным с дифференцированиями, расширениями и возмущениями банаховых [81, 93, 112] и операторных [97] алгебр, аменабельными локально компактными группами [94] и т.п.
Что касается самих групп когомологий банаховых алгебр, то вначале в работах различных авторов их вычисления проводились "прямыми методами", основанными на непосредственном изучении стандартного комплекса Хохшильда. Видимо, поэтому подавляющее большинство результатов касалось специальных классов коэффициентов. В то же время в гомологии чисто алгебраических систем этап прямых методов давно был пройден, и общий гомологический аппарат, созданный А. Картаном, С. Эйленбергом, С Маклейном и други-
ми авторами, позволил при вычислениях освободиться от стандартных комплексов, а вместо этого пользоваться той или иной специально подобранной резольвентой.
Общий подход к гомологии банаховых алгебр (основанный на гомологической технике резольвент и производных функторов) был предложен в 1970 году А. Я. Хелемским [33]. По существу, этот подход состоял в построении некоторого варианта относительной гомологической алгебры, специально приспособленного для изучения банаховых алгебр и банаховых модулей над ними. Центральным в новой теории стало понятие банахова производного функтора, предоставившее удобные способы вычисления групп когомологий. Как и в "обычной" алгебре, указанные методы позволили подойти к теории когомологий банаховых алгебр с более общей точки зрения и получить в этой области новые результаты. По сравнению с аппаратом одних лишь групп когомологий эти методы предоставили значительно более мощные средства для изучения банаховых алгебр и банаховых модулей над ними. Они позволили в дальнейшем получить ряд результатов о наличии в спектре функциональной (коммутативной полупростой) банаховой алгебры аналитической структуры [25, 26], дать гомологическую интерпретацию некоторым общетопологическим понятиям, таким, например, как дискретность, паракомпактность [35] и метризуемость [128, 12], получить глубокую информацию о структурных свойствах самосопряженных [44, 86, 88] и несамосопряженных операторных алгебр [3].
Вскоре после появления указанных методов стало понятно, что вопрос об оценке и вычислении гомологической размерности (у истоков этого понятия стоит теорема Д. Гильберта о сизигиях [89]) имеет самостоятельный интерес. Многие важные вопросы и результаты
стали формулироваться на языке размерностей банаховых алгебр (глобальной размерности dg А и биразмерности db А), а следовательно, стали касаться не отдельных классов, а сразу всех банаховых модулей, либо бимодулей над данной банаховой алгеброй. Например, до сих пор неизвестно, существуют ли полупростые банаховы алгебры, глобальная размерность которых равна 1. Такой вопрос имеет смысл только для бесконечномерных алгебр, поскольку глобальная размерность любой конечномерной полупростой алгебры равна 0. В 1972 году А. Я. Хелемским [38] было доказано, что для любой бесконечномерной функциональной банаховой алгебры верна оценка dgA > 2; из этой теоремы, в частности, следует существование нетривиальных (нерасщепимых) сингулярных расширений бесконечномерных функциональных банаховых алгебр.
Тем самым в классе функциональных банаховых алгебр число 1 является "запрещенным" значением для глобальной размерности (а значит, и для биразмерности); это явление связано с рядом особенностей банаховых структур, и прежде всего с наличием недополняе-мых замкнутых подпространств в банаховых пространствах. С другой стороны, обе эти размерности могут принимать в том же классе алгебр любые четные значения [127].
Естественно возник вопрос (см., например, [85]): Каково вообще множество значений, принимаемых гомологическими размерностями функциональных банаховых алгебр? В данной диссертации получена новая информация, касающаяся этого вопроса. Однако в полной общности он остается открытым, ввиду того, что до сих пор не известно ни одного примера функциональной банаховой алгебры с dg А = 3 и/или db А = 3.
К настоящему времени, помимо бесконечномерных функциональ-
ных банаховых алгебр, оценка dgA > 2 доказана для ряда конкретных банаховых алгебр, принадлежащих к классу т. н. бипроективных (в частности, для групповых алгебр Ll{G) и C*(G) любой бесконечной компактной группы) [37], для всех бесконечномерных СС11-С*-алгебр [16], всех бесконечномерных сепарабельных GCR-C*-anre6p [1] и всех весовых сверточных алгебр Ь1(ш) на полупрямой [77].
Напомним, что класс бипроективных банаховых алгебр был введен в рассмотрение А. Я. Хелемским. Им же показано, что эти алгебры образуют содержательный класс: помимо указанных групповых алгебр компактных групп к ним относятся, например, все аннуля-торные С*-алгебры с конечномерными минимальными биидеалами. Первоначальным стимулом к изучению бипроективных алгебр явилось их следующее свойство [38, 95]: для такой А всегда %П(А, X) = О при п > 3; иными словами, dbA < 2 и, как следствие, dg А < 2.
Строение бипроективных банаховых алгебр, в предположении их полупростоты и наличия свойства аппроксимации (Гротендика), было в 1979 году описано автором [131]: каждая алгебра из этого класса представима в виде топологической прямой суммы т.н. тензорных алгебр, порожденных двойственностью.
Одной из основных тем настоящей диссертации является дальнейшее развитие данной тематики, позволяющее, используя указанную структурную теорему, значительно усилить некоторые результаты А. Я. Хелемского и Б. Джонсона, точно вычислив гомологические размерности бипроективных банаховых алгебр в рамках их достаточно широкого класса. В диссертации получена
Теорема I. Пусть А — бипроективная банахова алгебра, Ra.dA — ее радикал. Предположим, что пространство A/RadA бесконечномерно и обладает свойством аппроксимации. Тогда
dgA = dhA = 2. Более того, U2(A,X)^0 для X = А А.
В частности, тривиальность двумерных когомологий полностью характеризует конечномерные алгебры в классе полупростых бипро-ективных банаховых алгебр со свойством аппроксимации. Этот факт не имеет аналога в чистой алгебре, где имеются бесконечномерные полупростые бипроективные (в алгебраическом смысле) алгебры с тривиальными двумерными когомологиями; например, С-алгебра финитных последовательностей.
Прямым следствием теоремы I является существование у каждой бесконечномерной полупростой бипроективной банаховой алгебры, обладающей свойством аппроксимации, сингулярного расширения, не являющегося расщепимым. Тем самым для таких алгебр отрицательно решается известный вопрос (см. [57]) о возможности перенесения на тот или иной класс бесконечномерных банаховых алгебр классической теоремы Веддербёрна [123] о расщеплении конечномерной алгебры на радикальную и полупростую составляющие.
Одним из важнейших этапов доказательства теоремы I явилось исследование некоторых геометрических свойств банаховых пространств (и модулей) и их тензорных произведений, что выразилось в решении определенных задач коретракции для "диагональных отображений" и, в частности, в построении теории т. н. сильно недопол-няемых подпространств банаховых пространств.
Как уже было отмечено, интерпретация групп когомологий банаховых алгебр в терминах производных функторов предоставила новые удобные методы их вычисления. В данной диссертации вычислены группы когомологий некоторых важных классов банаховых алгебр. В частности, в классе бипроективных алгебр эти группы удалось вычислить для произвольных коэффициентов. Их описание по-
лучено в терминах двойных мультипликаторов и квазимультипликаторов данного бимодуля коэффициентов. Это потребовало интенсивного изучения пространств мультипликаторов банаховых бимодулей. Кроме того, в диссертации получены различные характеризации би-проективных банаховых алгебр в когомологических терминах.
В диссертации также рассмотрен вопрос о поведении гомологических размерностей унитальных банаховых алгебр и банаховых модулей над ними под действием операции проективного тензорного произведения. Вопросы такого рода изучались ранее многими авторами (см. [127, 4, 10, 26]). Оказалось, что во всех конкретных ситуациях, рассмотренных в этих работах, гомологические характеристики тензорных произведений банаховых алгебр или модулей равны сумме соответствующих характеристик сомножителей. Например, в работе А. Н. Кричевца [10] было доказано, что если А\,..., Ап — банаховы алгебры, каждая из которых есть унитализация бипроектив-ной коммутативной банаховой алгебры с бесконечным спектром, то dg А 1...<А„ = dg4i + ... + dgA„.
Важно отметить, что подобные "формулы аддитивности" — специфическое свойство банаховых алгебр, не имеющее аналогов в чистой алгебре. (Простейший контрпример доставляет С-алгебра стабилизирующихся последовательностей; у этой алгебры и у ее тензорных степеней глобальная размерность равна единице. В теории же банаховых алгебр контрпримеры такого рода до сих пор неизвестны.)
В данной диссертации формулы аддитивности для гомологических размерностей банаховых алгебр и модулей получены в довольно общей форме в ряде важных случаев (обычно мы предполагаем, что одна из алгебр тензорного произведения произвольна, а вторая принадлежит к определенному широкому классу банаховых алгебр). Это
позволило далеко обобщить все известные ранее результаты на эту тему. В частности, доказана
Теорема II. Пусть А — унитализация полупростой бипроек-тивной банаховой алгебры, обладающей свойством аппроксимации, и пусть В — произвольная унитальная банахова алгебра. Тогда dgA
Как следствие, получена новая информация, касающаяся вопроса описания значений, принимаемых гомологическими размерностями функциональных банаховых алгебр (см. ниже следствие 4.4.14).
Возвращаясь к истории топологической гомологии, отметим, что конструкция Хелемского была независимо повторена в более общем контексте локально выпуклых топологических алгебр Дж. Тэйлором [121]. Им же [122] было показано, что группы гомологии некоторых топологических алгебр играют важную роль в задачах многомерной спектральной теории линейных операторов. В тех же работах были получены оценки для биразмерностей ряда ненормируемых локально выпуклых алгебр и, в частности, было замечено, что db А = 0, если А есть топологическое произведение произвольного семейства полных матричных алгебр или A = '(G), где '(G) — алгебра распределений на любой компактной группе Ли G.
Таким образом Дж. Тэйлором было установлено, что выход за рамки банаховых структур позволяет найти содержательные примеры бесконечномерных алгебр с db А = О, т.е. таких А, для которых все группы T-Ll{A,X) тривиальны. (Отметим [28, 117], что до сих пор не известно ни одного примера бесконечномерной банаховой алгебры с dg А = 0 или db А = 0.) Естественно возникла следующая проблема, включенная А. Я. Хелемским в его список задач [85].
Проблема. Пусть алгебра Аренса—Майкла А имеет dgA = О, или даже dbA = 0. Верно ли, что тогда А есть топологическое произведение некоторого семейства полных матричных алгебр?
В диссертации эта проблема решена положительно для метризуе-мых алгебр (при достаточно широких ограничениях алгебраического и топологического характера):
Теорема III. Пусть А — метризуемая алгебра Аренса—Майкла и предположим, что А полупервична и обладает свойством аппроксимации. Тогда следующие условия эквивалентны:
(і) А стягиваема (т. е. db А = 0);
(ii)dgA = 0;
(iii) А топологически изоморфна декартову произведению конечного или счетного семейства полных матричных алгебр.
При тех же ограничениях в работе описано строение произвольных (не обязательно мультинормированных) алгебр Фреше с dg А = 0 или dhA = 0.
Заметим, что свойство бипроективности (более общее, чем стягиваемость) также имеет смысл для ненормируемых локально выпуклых алгебр. Для любых таких алгебр остается справедливым неравенство &ЪА < 2 (см. [87]). Однако, как показала О. С. Огнева [22], существуют примеры полупростых бипроективных алгебр Фреше, глобальная размерность и биразмерность которых равны 1. В частности, dg(Tn) = db(Tn) = 1, где {Тп) — алгебра Фреше гладких функций на n-мерном торе Т" С Сп (со сверткой в качестве умножения). Таким образом, приведенная выше теорема I не допускает распространения на более общие (ненормируемые) топологические алгебры.
Среди изучаемых в диссертации классов алгебр и бимодулей над ними выделяются еще т.н. биплоские банаховы алгебры и дуальные (сопряженные какому-либо другому) банаховы бимодули. Важно отметить, что всякая бипроективная банахова алгебра — биплоская. В то же время класс биплоских банаховых алгебр существенно шире класса бипроективных алгебр. Например, он содержит все аменабель-ные банаховы алгебры (в частности, все .^-алгебры аменабельных локально компактных групп [94] и все ядерные С*-алгебры [62, 82]).
Напомним, что аменабельные банаховы алгебры были введены Б. Джонсоном [94]. Он выделил эти алгебры следующим условием: W}(A,X) = О для всех дуальных банаховых А-бимодулей X. Аменабельные банаховы алгебры имеют еще одно описание. Они являются бигагоскими банаховыми алгебрами с о. а. е. (ограниченными аппроксимативными единицами) [45]. В то же время существуют биплоские банаховы алгебры без о. а. е.; например, таковы многие банаховы алгебры ядерных операторов.
В диссертации изучены некоторые свойства биплоских банаховых алгебр и вычислены группы когомологий этих алгебр с коэффициентами в дуальных бимодулях. Получены различные характеризации биплоских и аменабельных алгебр в когомологических терминах.
Хотя все аменабельные и все бипроективные банаховы алгебры — биплоские, долгое время оставался открытым вопрос [85], существует ли хотя бы один пример биплоской банаховой алгебры, которая не была бы получена из указанных классов с помощью каких-либо стандартных конструкций (подлинно биплоской алгебры).
В настоящей работе мы даем такой пример. Это — алгебра /С(^2<Й>^2) всех компактных операторов в банаховом пространстве ^2 0^2- Она является неаменабельной и небипроективной биплоской
банаховой алгеброй (полупростой и обладающей левой о. а. е.).
В диссертации рассмотрена новая гомологическая характеристика банаховых алгебр (связанная с дуальными бимодулями) — слабая биразмерность w.db А. Роль этой характеристики — в том, что это натуральное число (или оо) "измеряет", насколько данная банахова алгебра "гомологически хуже" аменабельных; оно равно нулю в точности тогда, когда А аменабельна. В работе изучены различные свойства этой характеристики и, в частности, получена классификация биплоских банаховых алгебр в терминах слабой биразмерности:
Теорема 1а. Пусть А — биплоская банахова алгебра. Тогда
' 0, если А обладает о. а. е.;
w.dbA =
если А обладает левой или правой, но не обладает двусторонней о. а. е.;
если А не обладает ни левой, ни правой о. а. е.
Более того, в последнем случае %2(А,Х) ф 0 для X = (A*
Напомним, что Джонсоном [94], а затем, много лет спустя, Эффро-сом и Кишимото [72] был сформулирован следующий
Вопрос. Существуют ли неаменабельные банаховы алгебры А с У,2(А,Х) = 0 для всех дуальных банаховых А-бимодулей X (иными словами, банаховы алгебры с w.db А = 1)?
В настоящей работе показано, что, ответ на этот вопрос положителен даже для полупростых банаховых алгебр: приведенный выше пример /С (^2 ^г) одновременно служит примером банаховой алгебры с w.dbA = 1. Кроме того, в работе доказана формула аддитивности для слабой биразмерности:
Теорема На. Пусть А и В — произвольные унитальные банаховы алгебры. Тогда w.db A
В качестве следствия установлено, что у слабой биразмерности нет "запрещенных" значений в классе полупростых банаховых алгебр.
Диссертация состоит из введения и 5 глав, разбитых в общей сложности на 24 параграфа, а также из списка литературы. Нумерация утверждений — тройная: номер главы, номер параграфа и номер утверждения, нумерация формул — двойная: номер главы и номер формулы. Библиография содержит 142 наименования. Перейдем к детальному изложению содержания диссертации.
В первой главе рассмотрен ряд вопросов гомологической теории алгебр Фреше. Основное внимание уделяется вопросу о том, какие структурные свойства унитальных алгебр Фреше вытекают из их гомологических свойств. В качестве типичного берется такое гомологическое свойство, как проективность над этими алгебрами некоторых отдельных модулей или бимодулей (Фреше), либо целых классов модулей или бимодулей. Главные результаты этой главы касаются строения алгебр Фреше глобальной размерности нуль (т.е. алгебр Фреше, все левые модули Фреше над которыми проективны) и стягиваемых алгебр Фреше, а также строения их замкнутых биидеалов и оболочек Аренса—Майкла.
1.1, носящий вспомогательный характер, содержит некоторые определения и обозначения из теории модулей Фреше над алгебрами Фреше, а также необходимые для дальнейшего сведения из топологической гомологии.
В следующем параграфе изучаются проективные унитальные левые Л-модули Фреше (над унитальными алгебрами Фреше). При этом наибольшее внимание уделяется Л-модулям простейших типов: циклическим и неприводимым. В частности, здесь исследован вопрос о
том, какие структурные свойства унитальной алгебры Фреше А вытекают из условия проективности А-модуля А/1, где / — замкнутый максимальный левый идеал в А. Показано (теорема 1.2.6), что в случае, когда А — полупервичная унитальная алгебра Фреше, причем по крайней мере одно из пространств А и А/1 обладает свойством аппроксимации, А представима в виде /ф J, где J — некоторый замкнутый левый идеал в А.
В 1.3 мы исследуем строение унитальных алгебр Фреше глобальной размерности нуль (и, в частности, стягиваемых алгебр Фреше) и доказываем (теорема 1.3.4), что те из них, которые полупервичны и обладают свойством аппроксимации, могут быть представлены как пополнение прямой суммы своего топологического радикала и некоторого семейства полных матричных алгебр. Кроме того, мы изучаем замкнутые биидеалы таких алгебр, а также приводим несколько примеров стягиваемых алгебр Фреше.
В 1.4 мы продолжаем исследование структурных свойств унитальных алгебр Фреше глобальной размерности нуль и показываем, что оболочка Аренса—Майкла тех из них, которые полупервичны и обладают свойством аппроксимации, топологически изоморфна декартовому произведению некоторого семейства полных матричных алгебр. Отсюда выводится теорема III (приведенная выше), дающая, в частности, описание широкого класса стягиваемых метризуемых алгебр Аренса—Майкла.
Вторая глава посвящена вычислению групп когомологий банаховых алгебр. В классе бипроективных алгебр это удается сделать для произвольных коэффициентов, а в классе биплоских алгебр — для коэффициентов в дуальных бимодулях. Мы получаем различные ха-рактеризации бипроективных и биплоских банаховых алгебр в кого-
мологических терминах. Кроме того, мы вводим здесь новую числовую характеристику банаховых алгебр — так называемую слабую биразмерность — и получаем классификацию биплоских банаховых алгебр в терминах слабой биразмерности.
Первые два параграфа содержат некоторые дополнительные сведения из топологической гомологии. С этого момента все подлежащие пространства рассматриваемых алгебр и модулей предполагаются банаховыми. Кроме того, в этой и следующей главе мы рассматриваем общий (а не унитальный) случай. Основным объектом исследования в 2.1 является класс бипроективных банаховых алгебр. Здесь мы приводим ряд примеров таких алгебр, а также описываем некоторые их свойства и строение. Наиболее важные примеры — групповые алгебры Ll{G) и C*(G) компактных групп, все аннуляторные С*-алгебры с конечномерными минимальными биидеа-лами, тензорные алгебры, порожденные дуальными парами банаховых пространств, и многие алгебры ядерных операторов в банаховых пространствах.
В 2.2 мы рассматриваем тензорные произведения банаховых би-модулей и т.н. плоские банаховы (би)модули. (Впервые плоские банаховы модули изучались А. Я. Хелемским [36] в 1971 году.) Кроме того, здесь мы исследуем еще один класс банаховых алгебр с хорошими гомологическими свойствами — биплоские банаховы алгебры. Как отмечалось выше, класс биплоских банаховых алгебр содержит все бипроективные и все аменабельные банаховы алгебры. Напомним, что важность класса аменабельных алгебр обнаружил Б. Джонсон [94], получивший критерий аменабельности алгебры 1^((2) в терминах инвариантного среднего на (локально компактной) группе G, а также установивший аменабельность некоторых классов С*-алгебр.
Позднее аменабельные С*-алгебры получили полное описание [62, 82]: оказалось, что они суть в точности ядерные (7*-алгебры.
В следующем параграфе для каждого банахова А-бимодуля X мы определяем пространства левых, правых, квази- и двойных мультипликаторов этого бимодуля. Они обозначаются соответственно через СМ(Х), ИМ(Х), QM(X) и М(Х). Все эти пространства мультипликаторов легко превращаются в банаховы А-бимодули. Эти бимодули являются дуальными, если исходный бимодуль — дуальный. В дальнейшем бимодули мультипликаторов активно используются при вычислении групп когомологий банаховых алгебр.
Важное место во второй главе занимает 2.4. Здесь мы вычисляем группы когомологий бипроективных и биплоских банаховых алгебр. Как уже отмечалось, в классе бипроективных алгебр эти группы удалось вычислить для произвольных коэффициентов (теорема 2.4.1), а в классе биплоских алгебр — для коэффициентов в дуальных бимодулях (теорема 2.4.11). В частности, показано, что если А — бипроективная (соотв., биплоская) банахова алгебра, а X — любой (соотв., любой дуальный) банахов А-бимодуль, то (преднормирован-ное) пространство "ММ^А^Х) топологически изоморфно факторпрост-ранству пространства М(Х), а пространство 7{2(А,Х) — фактор-пространству пространства QM.{X).
Особое внимание уделено модельному примеру бипроективной банаховой алгебры — тензорной алгебре EF, порожденной дуальной парой (Е, F, (, )) банаховых пространств. В частности, доказано (теорема 2.4.17), что если A = Е F, то П2{А, A**) = (Е х F)*/ Im к, где (Е х F)* — пространство непрерывных билинейных форм, отображающих Е х F в С, а/с — оператор из (Е х Е*)* ф (F* х F)* в
(E x F)*, определяемый равенством
[к(ВиВ2)](х,у) = B1(x,j{y)) + B2{i(x),y)
для Bl Є (Е х Е*)% В2 Є (F* х F)*, х Є Е, у Є F. (Здесь і: Е -+ F* и j : F —ї Е* — естественные вложения, определяемые формой (>).) Отметим, что существуют дуальные пары банаховых пространств такие, что для A = EF У.2 {А, А**) ф 0; например, случай Е = F = 1\ доставляет такой пример. В специальном случае F = Е* получен следующий результат.
Теорема 2.4.21. Пусть Е — банахово пространство, и пусть А — банахова алгебра E
(І) Ч\А, А**) В(Е**)/(1(Е**) + СЬ..);
(ii) Нп{А, А**) = 0 для каждого п > 2.
(Здесь В{Е**) и Т(Е**) обозначают пространства всех непрерывных линейных и всех интегральных операторов в Е**, соответственно.)
В этом же параграфе приведены некоторые условия, обеспечивающие тривиальность определенных групп когомологий банаховых алгебр. В частности, доказана теорема 2.4.16, утверждающая, что если А — коммутативная биплоская банахова алгебра, а X — симметричный банахов А-бимодуль, то 'ИМ^А^Х) = %2(А, X) = 0. Эта теорема обобщает хорошо известный результат Джонсона [94] о группах когомологий коммутативных аменабельных банаховых алгебр.
В следующем параграфе на основе полученных в 2.4 результатов доказывается
Теорема 2.5.1. Пусть А — бипроективная {соотв., биплоская) банахова алгебра, а X — любой {соотв., любой дуальный) банахов А-бимодуль. Тогда:
(і) Нп(А,СМ(Х)) = Пп(А,1ІМ(Х)) = nn(A,QM{X)) = 0 для всех п > 1;
(іі) Нп{А,М{Х)) = 0 для п = 1 и всех п > 3;
(ііі) с точностью до топологического изоморфизма, Т-12(А^Л4(Х)) =
= Н2{А,Х). Здесь же приводятся различные характеризации бипроективных и би-плоских банаховых алгебр в терминах их групп когомологий с коэффициентами в пространствах мультипликаторов. Например, доказано (теорема 2.5.9), что банахова алгебра является бипроективной тогда и только тогда, когда ее одномерные когомологий с коэффициентами в бимодулях двойных мультипликаторов тривиальны.
В 2.6 мы вводим новую числовую характеристику банаховых алгебр — так называемую слабую биразмерность. Эта величина (обозначаемая w.dbA) определяется как наименьшее целое п такое, что 7{т(А,Х*) = 0 для всех банаховых А-бимодулей X и т > п, или со, если такого п нет. В частности, w.dbA = 0 тогда и только тогда, когда А аменабельна. Показано (теорема 2.6.2), что слабая биразмер-ность банаховой алгебры А также может быть определена как минимум длин плоских резольвент банахова Л-бимодуля А+, где через А+ обозначается унитализация алгебры А.
Мы вычисляем эту размерность для всех биплоских банаховых алгебр, для тензорных алгебр, порожденных двойственностью, для некоторых алгебр ядерных операторов в банаховых пространствах, а также для всех бесконечномерных гильбертовых алгебр. Основным утверждением здесь является теорема 1а (приведенная выше), дающая классификацию биплоских алгебр в терминах слабой бираз-мерности. В частности, слабая биразмерность может принимать в классе биплоских банаховых алгебр ровно три значения: 0, 1 или 2,
а в классе коммутативных биплоских алгебр — только два значения: О или 2. Например, если A = E
Следующее утверждение показывает, что свойство аппроксимации банаховых пространств может быть охарактеризовано в гомологических терминах.
Следствие 2.6.18. Следующие свойства банахова пространства Е эквивалентны:
(і) алгебра М(Е) бипроективна;
(ii) алгебра М{Е) — биплоская;
(iii) Е обладает свойством аппроксимации.
Кроме того, полученные результаты позволяют установить, что %П(А,М.{Х*)) = 0 для всех банаховых А-бимодулей X и всех п > 1 тогда и только тогда, когда алгебра А — биплоская и обладает левой или правой о.а. е. (следствие 2.6.13).
Третья глава диссертации посвящена вычислению и оценке основных гомологических характеристик банаховых алгебр — глобальной размерности и биразмерности. При этом особое внимание уделяется классу бипроективных банаховых алгебр.
Первые два параграфа содержат наиболее важные подготовительные результаты, используемые в дальнейшем для вычисления гомологических размерностей. Здесь мы изучаем задачи коретракции
для "диагональных отображений тензорных произведений банаховых пространств и банаховых модулей и, в частности, развиваем теорию т. н. сильно недополняемых подпространств банаховых пространств.
Согласно хорошо известной теореме Р. Филлипса [107], подпространство со всех стремящихся к нулю последовательностей не является дополняемым в пространстве ^, всех ограниченных последовательностей. (На гомологическом языке: вложение і : со — ^ яе является коретракцией, т.е. не имеет левого обратного.)
Пусть Е — банахово пространство, Eq — его замкнутое подпространство. Мы определяем, что утверждение "Eq сильно недополняемо в Е" означает следующее: для любой банаховой алгебры А, любых левых банаховых А-модулей Xq и X и любого (непрерывного) мор-физма этих модулей т : Xq —ї X, если отображение А(ху) = = {т(х)фу, ху) из ХоЕ() в (XEq) (XoE) есть коретракция, то и г — коретракция (где в обоих случаях левый обратный должен быть морфизмом Л-модулей). Отметим, что всякое сильно недополняемое подпространство недополняемо. Неизвестно, однако, справедливо ли обратное утверждение.
В диссертации показано (теорема 3.1.3), что подпространство со сильно недополняемо в *, Этот результат расширен (теорема 3.2.23) на случай некоторых пространств непрерывных вектор-функций. Получены аналогичные результаты, касающиеся вложения компактных операторов на банаховом пространстве в алгебру всех непрерывных линейных операторов, а также ряд других результатов.
В 3.3 исследуется вопрос о том, как связаны гомологические размерности произвольного левого банахова А-модуля X и его существенного подмодуля Хея = А X. Показано, что при некоторых услови-
ях этот вопрос тесно связан с вопросом о наличии или отсутствии у существенного подмодуля банахова дополнения. При этом получены важные оценки глобальной размерности в некоторых классах банаховых алгебр, а также приложения к группам их когомологий. В частности, здесь доказана
Теорема 3.3.14. Пусть С1 — локально компактное пространство, которое не является псевдокомпактным, А — ненулевая банахова алгебра и предположим, что c0(Q^)dhCo(fi, А) = п < оо. Тогда (70(Q)Vl)dhCi(fi, А+) =п + 2. Если, кроме того, А идемпотентна, то c0(fM)dhCb(fi, А) = п + 2.
В качестве следствия мы получаем оценку снизу числом 3 для глобальной размерности всех коммутативных С*-алгебр, спектр которых не является паракомпактным или псевдокомпактным. Например, мы имеем dg C(\(Ct) > 3, если П = Оі х ^2? гДе ^1 паракомпактно и некомпактно, a fi2 непаракомпактно. Для таких пространств, в частности, W}(Cq(P),X) ^ 0 для некоторого банахова Со(0)-бимодуля X.
Следующая теорема является естественным обобщением одного результата А. Н. Кричевца [9], рассматривавшего специальный случай, в котором коммутативная банахова алгебра А бипроективна.
Теорема 3.3.26. Пусть А — проективная слева коммутативная банахова алгебра с некомпактным спектром, обладающая о. а. е. Пусть, далее, X — ненулевой левый банахов А-модуль такой, что существенный подмодуль Xes проективен. Тогда
0 или 1, если Xes имеет в X банахово дополнение:
2, если Xes не имеет в X банахова дополнения.
Получены аналогичные результаты, касающиеся различных классов банаховых алгебр. В частности, показано, что если А — неуниталь-
ная сепарабельная С*-алгебра, то ^dh X = 2 для любого левого банахова А-модуля X такого, что подмодуль Хев проективен и не имеет в X банахова дополнения.
В 3.4 мы продолжаем изучать гомологические характеристики банаховых модулей и банаховых алгебр. Один из основных результатов этого параграфа (теорема 3.4.16), в частности, утверждает, что если А — проективная слева коммутативная банахова алгебра с некомпактным спектром, то ^dh X = 2 для любого левого банахова А-модуля X такого, что приведенный модуль Хц = A
А тор кх : Хц —їХ:ахі-^а-хне является коретракцией.
Здесь же (следствие 3.4.3) доказано, что ^dh А = оо, если А — такая банахова алгебра, что ^dhAn < а^ЬА и оператор кд : Ад —> А не является топологически инъективным. Показано, что этим условиям удовлетворяют алгебра 1-і с покоординатным умножением и алгебра 7{S(H) операторов Гильберта—Шмидта в гильбертовом пространстве Н. Установлено также, что если Е — банахово пространство и А — N(E) — алгебра ядерных операторов в пространстве Е, то dgA = dbA = AdhA + 2,
0, если Е имеет свойство аппроксимации; оо, если Ь не обладает этим свойством.
3.5 целиком посвящен бипроективным банаховым алгебрам (т.е. тем, для которых оператор умножения 7г : А <8> А —> А имеет правый обратный А-бимодульный морфизм). Основная цель параграфа — вычислить основные гомологические характеристики этих алгебр. По ходу изложения мы устанавливаем и некоторые другие (структурные и гомологические) свойства таких алгебр.
Основной теоремой 3.5 является
Теорема 3.5.22. Пусть А — бипроективная банахова алгебра, RadA — ее радикал. Предположим, что пространство A/RadA бесконечномерно и обладает свойством аппроксимации. Тогда:
(i) dgA = dbA = 2 иП2{А,АА)^0;
(ii) если X — левый банахов А-модуль, то ^dhX = 2 «*=> оператор кх ' А (> X —у X, a
А А
(ш) если А обладает левой о. а. е., а X — левый банахов А-модуль, то ^dhX = 2 -Ф=^ существенный подмодуль Xes не имеет, как подпространство, банахова дополнения в X.
Первое утверждение этой теоремы составляет теорему I (см. выше). Приведем еще один результат из 3.5.
Теорема 3.5.11. Пусть А — полупростая бипроективная банахова алгебра со свойством аппроксимации. Тогда
{
О, если А обладает о. а. е.: 2, если А не обладает о. а. е.
Четвертая глава посвящена вычислению основных гомологических характеристик тензорных произведений унитальных банаховых алгебр. При определенных условиях мы доказываем формулы аддитивности для этих характеристик. Обычно мы предполагаем, что одна из алгебр тензорного произведения произвольна, а вторая принадлежит к некоторому широкому классу банаховых алгебр.
4.1-4.3 носят вспомогательный характер. В первом из них напоминаются некоторые определения и обозначения. В частности, малая глобальная размерность ds А унитальной банаховой алгебры А определяется как верхняя грань величин ^dhX, взятая по всем неприводимым унитальным левым банаховых А-модулям X. Унитальная
коммутативная банахова алгебра А называется слабо наследственной, если каждый максимальный идеал в А является проективным левым банаховым А-модулем или, эквивалентно, если ds А < 1.
В 4.2 мы получаем некоторые оценки сверху для гомологических размерностей тензорных произведений банаховых модулей и банаховых алгебр. Доказано, что если А н В — унитальные банаховы алгебры, то dbA&B < dbA + dbВ и dgА<>В < dhA + dgB. Кроме того, если хотя бы одна из алгебр А и В коммутативна, то dsA
В 4.3 мы опять изучаем некоторые задачи коретракции для "диагональных отображений" тензорных произведений банаховых модулей. Полученные здесь результаты используются в дальнейпіем для вычисления гомологических размерностей тензорных произведений.
В 4.4 мы получаем первые "формулы аддитивности". При этом здесь всегда предполагается, что одна из алгебр тензорного произведения произвольна, а вторая коммутативна. Основные результаты этого параграфа подытожены в следствии 4.4.13. Показано, что формулы аддитивности для размерностей dg и db справедливы при условии, что одна алгебра произвольна, а вторая есть унитализация би-проективной коммутативной банаховой алгебры с бесконечным спектром. Для размерности ds формула аддитивности имеет место даже в более общей ситуации: когда вторая алгебра — слабо наследственная коммутативная банахова алгебра с бесконечным спектром.
В частности, все эти формулы справедливы, если В = с, где с
— алгебра всех сходящихся последовательностей. Непосредственным
приложением является тот факт, что множество значений, принима
емых размерностью dg (или db) функциональных банаховых алгебр
вместе с каждым п содержит и п + 2. Это дает нам новую важную
информацию для исследования проблемы описания этих множеств:
Следствие 4.4.14. Каждое из множеств, упомянутых выше, обязательно должно иметь один из следующих видов:
(і) нечетные числа {2п + 3, 2п + 5, ...} для некоторого п > О, все четные числа {О, 2, ...} и оо;
(Н) все четные числа {О, 2, ...} и оо.
Цель 4.5 — получить некоммутативные аналоги главных результатов предыдущего параграфа. Одной из основных здесь является теорема 4.5.25. Это в точности теорема II, сформулированная выше.
В частности, формулы аддитивности для размерностей dg и db справедливы для групповых алгебр L1(G)+ и C*(G)+ любой компактной группы G.
Кроме того, в примере 4.5.18 мы показываем, что если A = L1(G)+, где G — бесконечная метризуемая компактная группа, al = L(G)
— левый банахов А-модуль существенно ограниченных измеримых
по мере Хаара функций на G, то, для произвольной унитальной бана
ховой алгебры В и произвольного унитального левого банахова В-мо-
дуля У, A$BdhXY = Li(G)+
Среди других результатов мы доказываем (примеры 4.5.4 и 4.5.5, следствие 4.5.14 и теоремы 4.5.15, 4.5.20), что имеет место следующая
Теорема. Пусть А — С*-алгебра, которая удовлетворяет хотя бы одному из следующих условий:
(і) А бипроективна;
(ii) А неуниталъна и сепарабельна;
(iii) А — С*-подалгебра алгебры К{Н), где Н — гильбертово пространство.
Тогда, для произвольной унитальной банаховой алгебры В и произвольного унитального левого банахова В-модуля Y,
^ ABdh (A+/A)Y = A+dh (А+/А) + BdhY
A+dbBdh M{A)Y = A+dhM(A) + BdhY.
Основной теоремой 4.6 является теорема 4.6.8. Это в точности теорема Па, приведенная выше.
Таким образом, формула аддитивности для слабой биразмерности w.db справедлива для любых унитальных банаховых алгебр.
Следствие 4.6.10. Пусть А\,...,Ап — биплоские банаховы алгебры, каждая из которых не обладает ни левой, ни правой о. а. е. Тогда w.db (Ai)+
Пятая глава содержит некоторые приложения результатов предыдущих глав. В ней изучаются дифференцирования и сингулярные расширения бипроективных и других банаховых алгебр. Здесь же исследуется вопрос о значениях, принимаемых слабой биразмерностью полу простых банаховых алгебр.
Пусть А — банахова алгебра, а X — банахов А-бимодуль. Напомним, что линейный оператор D : А —» X называется дифференцированием алгебры А со значениями в X, если он удовлетворяет тождеству D(ab) = а D{b) + D(a) b.
Одной из основных теорем 5.1 является
Теорема 5.1.4. Банахова алгебра А бипроективна тогда и только тогда, когда каждое непрерывное дифференцирование А со значениями в любом банаховом А-бимодуле X определяется мультипликатором (т. е. существует (L,R) Є А4(Х) такой, что D(a) = R(a) — L(a) для всех а Є А).
Здесь также доказано (следствие 5.1.7), что если А — полупростая бипроективная банахова алгебра со свойством аппроксимации, обладающая о. а. е., то каждое дифференцирование алгебры А со значениями в любом банаховом А-бимодуле автоматически непрерывно и, следовательно, определяется мультипликатором.
Кроме того, показано, что свойство биплоскости идемпотентных банаховых алгебр также может быть выражено в терминах их дифференцирований:
Теорема 5.1.9. Пусть А — идемпотентная банахова алгебра. Следующие условия эквивалентны:
(і) А — биплоская;
(іі) каждое непрерывное дифференцирование А со значениями в любом дуальном банаховом А-бимодуле определяется мультипликатором]
(Ш) каждое непрерывное дифференцирование А со значениями в любом банаховом А-бимодуле X определяется мультипликатором А-бимодуляX** (т.е. существует (L,R) Є Л4(Х**) такой, что D(a) = R(a) — L(a) для всех а Є А).
В 5.2 сначала напоминаются некоторые определения и сведения, касающиеся вопросов расщепимости сингулярных расширений банаховых алгебр. В частности, расширением банаховой алгебры А с помощью банаховой алгебры I называется совокупность (А, сг, г),
состоящая из банаховой алгебры и двух непрерывных гомоморфизмов таких, что имеет место точная последовательность
Расширение () называется
расщепимым, если а обладает правым обратным непрерывным гомоморфизмом р : А —> А;
алгебраически расщепимым, если существует, вообще говоря, разрывный гомоморфизм алгебр, правый обратный к а;
сингулярным, если умножение в / тривиально (I2 = 0) и, кроме того, а обладает правым обратным непрерывным линейным оператором Q : А —» А.
В любом расширении () I, будучи замкнутым биидеалом в А, наделен тем самым структурой банахова А-бимодуля. Если I2 = 0, операции внешнего умножения на элемент а Є А зависят лишь от класса смежности а + /; поэтому в / возникает структура банахова А-бимодуля (с операциями a-x = b-xvix-a = X'b, где а Є А, х Є /, а Ь — любой элемент А с сг{Ь) = а). Обозначив / в этом новом качестве бимодуля через X, мы называем исходное сингулярное расширение () сингулярным расширением алгебры А с помощью банахова А-бимодуля X.
Одним из основных результатов 5.2 является следующее применение теоремы 3.5.22 к задаче о расщепимости расширений.
Теорема 5.2.12. Пусть А — бипроективная банахова алгебра, RadA — ее радикал. Предположим, что пространство A/RadA бесконечномерно и обладает свойством аппроксимации. Тогда существует сингулярное расширение алгебры А с помощью банахова А-бимодуля А А, не являющееся расщепимым.
Кроме того, здесь показано (теоремы 5.2.8 и 5.2.9), что если А — бесконечномерная гильбертова алгебра, А — EF или A = ATf(E), где (Е, .F, (, )) — дуальная пара бесконечномерных банаховых пространств, то также существует сингулярное расширение алгебры А, не являющееся расщепимым. В то же время существуют бесконечномерные банаховы алгебры, у которых все их сингулярные расширения расщепимы. А если А — коммутативная биплоская банахова алгебра, то (теорема 5.2.7) все ее коммутативные сингулярные расширения расщепимы.
Один из результатов 5.2 (теорема 5.2.18) касается вопроса об алгебраической расщепимости сингулярных расширений: если А — бесконечномерная полупростая бипроективная банахова алгебра со свойством аппроксимации, обладающая о. а. е., то существует сингулярное расширение алгебры А, не являющееся алгебраически расщепимым.
В 5.3 доказывается (теорема 5.3.2), что алгебра ІС(І2
Заметим, что банахова алгебра /C(^2^2) не является бипроектив-ной и не обладает свойством аппроксимации. Кроме того, как уже отмечалось, наличие представленного примера дает положительный ответ на вопрос А. Я. Хелемского [85] о том, существует ли хотя бы один пример "подлинно биплоской" банаховой алгебры.
В заключение главы описывается множество значений, принимаемых слабой биразмерностью полупростых банаховых алгебр:
Теорема 5.3.4. В классе полупростых банаховых алгебр А слабая биразмєрность w.dbA может принимать любые натуральные значения, а также значения 0 и оо.
Основные результаты диссертации опубликованы в 16 работах автора: [127]-[142].
Автор выражает глубокую благодарность руководителю семинара "Алгебры в анализе" профессору А. Я. Хелемскому за постоянную поддержку и плодотворные обсуждения.
Проективные модули Фреше
Пусть А — унитальная алгебра Фреше. Цель этого параграфа — изучить некоторые свойства проективных унитальных левых А-мо-дулей Фреше. При этом наибольшее внимание уделяется А-мо дулям простейших типов: циклическим и неприводимым. Напомним, что через A-unmod(!Fr) мы обозначаем категорию унитальных левых А-модулей Фреше, а через h(X, У) — линейное пространство морфизмов А-модулей из X в Y; X, Y Є A-unmod(jFr). Для пространства всех непрерывных линейных отображений из Е в F, где Е и F — пространства Фреше, мы используем обозначение B(E,F). Как обычно, обозначение лЬ(Х, X) (соответственно, В(Е,Е)) будем сокращать до А (Х) (соответственно, В{Е)). Напомним, что конечномерным оператором (или оператором конечного ранга) в Е называется оператор из В(Е), имеющий конечномерный образ. Как обычно, подмножество М в Е называется ограниченным, если sup а;„ со для любой непрерывной преднормы \\и на Е. Как отмечалось ранее, модуль X Є A-unmod r) является проективным тогда и только тогда, когда канонический морфизм есть ретракция в категории A-unmod(. ), т.е. когда существует морфизм р Є лЬ(Х, АХ) такой, что пх Р = 1x5 в этом случае р называется коретракцией проективного А-модуля X. Напомним следующее Определение 1.2.1. Пространство Фрепіе Е обладает свойством аппроксимации, если его тождественный оператор 1# может быть равномерно аппроксимирован на каждом компактном подмножестве К в Е конечномерными операторами; т. е. для любой окрестности нуля U в Е существует конечномерный оператор ср Є &{Е) такой, что х — р(х) Є U для всех х Є К. Будем говорить, что алгебра Фреше (модуль Фреше) обладает свойством аппроксимации, если она (он) обладает этим свойством, как пространство Фреше. Лемма 1.2.2. Пусть Е и F — пространства Фреше, причем F обладает свойством аппроксимации.
Тогда оператор 1EF мо жет быть аппроксимирован равномерно на каждом компактном подмножестве пространства EF операторами вида 1Е Р, где (р Є B(F) — конечномерный оператор. Доказательство. Пусть К — компактное подмножество, a U — окрестность нуля в пространстве EF. Тогда (см. [27, глава VII, предложение 9]) существуют последовательности {хп} из Е и {уп} из F, стремящиеся обе к нулю и такие, что всякий элемент и из К может быть представлен в виде По [27, глава I, следствие из предложения 4], в Е 8 F существует замкнутая абсолютно выпуклая окрестность нуля V такая, что V С U. Поскольку непрерывный билинейный оператор является, в частности, 2?-гипонепрерывным (см. [49, 7.7.1]), а множество М = {хп; п = 1,2,...} С Е ограничено, то существует такая окрестность нуля W в F,.4TO 7l(M Х W) С V. Так как пространство F обладает свойством аппроксимации, а множество {О, уп; п = 1,2,...} С F компактно, то существует такой конечномерный оператор р Є B(F), что уп — р(уп) Є W при всех п = 1,2,... . Тогда для каждого п имеем хп 8 (уп — р(уп)) Є V и, следовательно, для любого и К Следующее утверждение хорошо известно для случая банаховых пространств (см. [80, 1.5.1, следствие на стр. 168]). Следствие 1.2.3. Пусть Е и F — два пространства Фреше, хотя бы одно из которых обладает свойством аппроксимации. Тогда для любого элемента и Є Е F, и ф 0, существуют, непрерывные линейные функционалы f Є Е и g Є F такие, что (/ g g)(u) ф 0. Доказательство. Пусть, например, F обладает свойством аппроксимации. Пусть и Є Е S F, и ф 0. По лемме 1.2.2, для любой окрестности нуля U в Е g F существует конечномерный оператор р Є B{F) такой, что и — (1# (g )(и) Є U. Следовательно, для некоторого конечномерного оператора ро Є B{F) мы имеем щ = (1E 8 PQ)(U) ф 0. Так как оператор рц конечномерен, то щ принадлежит алгебраическому тензорному произведению Е F С EF. Используя [42, предложение П.1.5] и теорему Хана—Банаха (см. [49, следствие 2.1.5]), легко найти / Є Е и h Є F такие, что (/ g к)(щ) ф 0. Положив g = ho pQ, получим (/ 8 g)(u) ф0. Предложение 1.2.4. Пусть X Є A-unmod r) проективен и по крайней мере одно из пространств А и X обладает свойством аппроксимации. Тогда для любого х Є X, х ф О, существует, морфизм X Є лЬ(Х, А) такой, что х{х) Ф О- Доказательство. Пусть р : X — АХ — коретракция модуля X. Рассмотрим и = р(х) Є АХ. Ввиду к(и) = х ф О, и ф 0. Согласно следствию 1.2.3, из наличия свойства аппроксимации в А или X вытекает существование двух таких функционалов f Є А и g Є -ХЛ что (f S g)(u) ф 0. Но последнее число равно /(а), где а = (1,4 8 g)p{x) Є А С = А. Поскольку /(а) 0, то а ф 0. Положим X = (1д S g) о р. Тогда х : X —» А — морфизм А-модулей Фреше и х(х) = аф0. D Если М — произвольное подмножество в А, то через 1ап(М) и гап(М) будем обозначать соответственно левый и правый аннулято-ры множества М ъ А (см., например, [106]). Таким образом, мы имеем Очевидно, 1ап(М) и гап(М) являются замкнутыми левым и правым идеалами в А; кроме того, очевидно, что левый аннулятор левого идеала или правый аннулятор правого идеала является биидеалом. Следствие 1.2.5. Пусть I — замкнутый левый идеал в А и по крайней мере одно из пространств А и А/1 обладает свойством аппроксимации. Если модуль А/1 Є A-unmod r) проективен, то lan(ran(/)) = /. Доказательство. Ясно, что 7 С lan(ran(J)). Предположим, что существует элемент а Є 1ап(гап(/)) такой, что а I. Рассмотрим x = a + І Є A/1. По предложению 1.2.4, X\x) Ф О Для некоторого морфизма х Є лЬ(А//,Л). Пусть Ь = х(1 + /) Для любого с Є / имеем Отсюда & Є ran(7). Поскольку а Є lan(ran(/)), то х{х) = х(а"(И -0) = = об = 0. Противоречие. Если S и Т — линейные подпространства в А, то через ST или S будем обозначать линейную оболочку элементов вида ab, где а Є S, Ь Є Т. Как обычно, 5 5 будем также обозначать через S2. Напомним [59, 30], что алгебра А называется полупервичной, если она не имеет биидеалов / ф 0 с I2 = 0. Как известно [59, лемма 30.4], полупервичная алгебра не содержит ни левых, ни правых идеалов / ф 0 с I2 = 0. Теорема 1.2.6. Пусть А — полупервичная унитальная алгебра Фреше, I — замкнутый максимальный левый идеал в А и предположим, что по крайней мере одно из пространств А и А/1 обладает свойством аппроксимации. Тогда модуль А/1 Є A-unmod r) проективен тогда и только тогда, когда существует замкнутый левый идеал J в А такой, что А = І ф J. Доказательство.
Достаточность очевидна; перейдем к необходимости. Обозначим через Г линейное пространство (вообще говоря, не замкнутое), порожденное образами всевозможных морфизмов А-мо-дулей из А/1 в А. Легко видеть, что Т совпадает с пространством А гап(7), а потому, является биидеалом в А. Следовательно, если Т С /, то а х = 0 для всех а Є Т и х Є A/I, а тогда, очевидно, Т2 = 0; т. е. Т = 0, в силу полупервичности А. По предложению 1.2.4, Т ф 0. Поэтому существует морфизм х Є АЬ(А/7, А), образ которого не содержится целиком в /. Обозначим этот образ через J; очевидно, J — левый идеал в А Из максимальности I следует, что I + J = А. Очевидно, что А-модуль А/1 неприводим; стало быть, J — минимальный левый идеал в А. Отсюда I П J = 0. Итак, показано, что А = / ф J. Замкнутость J следует из представления J = Ае, где е — некоторый идемпотент в А (см. [59, предложение 30.6]). 1.3. Алгебры Фреше глобальной размерности нуль В этом параграфе мы изучаем строение унитальных алгебр Фреше глобальной размерности нуль (и, в частности, стягиваемых алгебр Фреше) и доказываем, что те из них, которые полупервичны и обладают свойством аппроксимации, могут быть представлены как пополнение прямой суммы своего топологического радикала и некоторого семейства полных матричных алгебр. Напомним, что подобный вопрос для банаховых алгебр решался ранее автором в работе [28] (см. также [42, глава IV, 4]). Оказалось, что если А — унитальная банахова алгебра глобальной размерности нуль, то при некоторых условиях, выражающихся в наличии того или иного варианта свойства аппроксимации у различных связанных с А пространств, алгебра А изоморфна декартову произведению конечного числа полных матричных алгебр (и, как следствие, конечномерна) . Однако выход за рамки банаховых структур позволяет найти содержательные примеры бесконечномерных алгебр с dg А = 0. Эти примеры (не обязательно с метризуемой топологией) включают: (і) алгебру всех комплекснозначных функций на произвольном множестве (с топологией поточечной сходимости) (см. [42, теорема IV.5.27]); (ii) топологическое произведение произвольного семейства полных матричных алгебр; (Ш) алгебру распределений на любой компактной группе Ли (см. [122]). Определение 1.3.1. Топологическим радикалом унитальной алгебры Фреше А называется пересечение всех ее замкнутых максимальных левых идеалов (будем считать, что пересечение пустого множества идеалов равно А).
Бимодульные тензорные произведения и биплоские банаховы алгебры
В этом параграфе мы изучаем тензорные произведения банаховых бимодулей, а также еще один класс банаховых алгебр с хорошими гомологическими свойствами — биплоские банаховы алгебры. Сперва напомним одну важную конструкцию, связанную с банаховыми (би)модулями. Пусть А — банахова алгебра, X — левый или правый банахов Л-модуль, а X — его сопряженное банахово пространство. Определим / а и а /, соответственно, в X для а Є А и / Є X с помощью формул Тогда X становится, соответственно, правым или левым банаховым А-модулем. В том случае, когда X есть А-В-бимодуль, X превращается в В-А-бимодуль. Напомним, что пространство X с этими модульными операциями есть так называемый сопряженный (би)модуль к X. Определение 2.2.1. Банахов (би)модуль любого типа, сопряженный какому-либо другому, называется дуальным. Мы уже отмечали, что произвольный левый банахов А-модуль отождествляется с унитальным левым банаховым модулем над А+. В то же время каждый правый банахов А-модуль очевидным образом отождествляется с левым банаховым модулем над противоположной алгеброй Аор, т. е. алгеброй, построенной на том же банаховом пространстве, что и А, но с умножением а о Ь, равным "прежнему" Ьа. Перейдем к рассмотрению конструкции, сопоставляющей банаховым бимодулям односторонние банаховы модули над новой банаховой алгеброй. Сперва напомним хорошо известное Определение 2.2.2. (Проективным) тензорным произведением банаховых алгебр А и В называется банахово пространство А В, снабженное умножением, для которого (ах bi)(a2 Ь2) = ага2 Ьф2 (щ Є А, Ь{ Є В). Пусть теперь А VIВ — банаховы алгебры, А+ и В+ — их унитализа-ции, f?p — банахова алгебра, противоположная В+. Обозначим тензорное произведение А+ ВР банаховых алгебр Мы можем каждый X Є .B-mod-A (т. е. банахов В-А-бимодуль) рассматривать как объект в unmod-C (х (а Ь) = Ь х а), а каждый Y Є A-mod-J3 — как объект в C-unmod ((a g Ь) у = а у Ь). Конечно, этот переход может быть проделан и в обратную сторону. Поскольку это соответствие согласовано с морфизмами, мы можем говорить об отождествлении соответствующих категорий.
Это отождествление дает возможность определить тензорное произведение банаховых бимодулей X Є B-mod-A и У Є A-mod-B, воспользовавшись явной конструкцией для проективного тензорного произведения данных модулей над алгеброй С. Таким образом, (проективное) би-модулъное тензорное произведение есть факторпространство проективного тензорного произведения банаховых пространств X Y по замкнутой линейной оболочке множества элементов вида Легко видеть, что X 8 Y обладает свойством универсальности относительно класса всех непрерывных билинейных операторов R из X х Y в банаховы пространства, для которых R(x -а,у) = R(x,а у) и R(b х,у) — R(x,y b) для всех а Є А, Ъ Є -В, Используя это свойство, легко доказать, что для любых бимодулей Х,Х Є B-mod-A, Y,Y Є A-mod-B и морфизмов р Є ВЪА{Х,Х ), "Ф Є лЬв(У,У) существует и притом единственный непрерывный линейный оператор р 8 ф из X g Y в X Y такой, что Из свойства универсальности также следует (ср. [42, теорема II.5.21]), что существует естественный изометрический изоморфизм банаховых пространств переводящий непрерывный линейный функционал t на X ф Y в морфизм Т Є ВЬА{Х, Y ) такой, что Кроме того, имеет место естественный изометрический изоморфизм переводящий х g у в у ж. Рассмотрим важный пример. Предложение 2.2.3. Пусть U Є A-mod и V Є mod-B, и пусть Y = UV есть банахов А-В-бимодуль, получаемый из U и V с помощью бифунктора тензорного произведения (см. [42, глава II, 5.3] и предложение 1.1.14). Тогда для любого X Є B-mod-A существует естественный изометрический изоморфизм банаховых пространств переводящий x g (u g v)ev &xu (х Є X, и U, v (Е V) и одно- значно этим определенный. Доказательство. Напомним, что U V есть А-В-бимодуль с модульными операциями, определяемыми формулами Для гЄІ, и Є U vi v Є V, положим R(x, и, v) = v g x 0 и. Очевидно, оператор — трилинейный и Д 1. Но пространство XUV обладает свойством универсальности для непрерывных трилинейных операто ров из X х U х V в банаховы пространства (см. [42, глава II, 2.3]), и мы получаем непрерывный линейный оператор с vl 1- Легко видеть, что ядро оператора ip содержит множество элементов вида (2.5). Поэтому р порождает непрерывный линейный оператор С другой стороны, пусть — трилинейный оператор, задаваемый формулой где v Є V, х (Е X, и Є U. Легко проверяется, что S сбалансирован (т.е. S(v -6,ж,и) = S(v,b X,u) и S(v,x-a,u) = S(v,x,a-u) для любых Ь Є В, а Є А). Оператор W$VXUBX V, ассоциированный S, обозначим через /л. Очевидно, что /и, — обратный оператор к А и 11 11 1. Таким образом, А — изометрический изоморфизм банаховых пространств. Зафиксируем теперь бимодуль У Є A-mod-B и сопоставим каждому X Є B-mod-A банахово пространство X g У, а каждому мор- физму р : Х\ — Хг в B-mod-A непрерывный линейный оператор Очевидно, мы получаем ковариантный функтор из B-mod-A в Ban, обозначаемый У и называемый функтором тензорного произведения на бимодуль У справа. Напомним (ср. 1.1), что (цепной) комплекс банаховых (би)модулей называется допустимым, если он расщепим как комплекс банаховых пространств. Определение 2.2.4. Банахов А-В-бимодуль У называется плоским, если для любого допустимого комплекса V банаховых В-А-бт-модулей комплекс V 8 У точен (иными словами, если функтор точен (см. [42, определение III.3.6]). Аналогично определяются плоские левые (а также правые) банаховы А-модули (см. [42, определение VII.1.1]).
Отметим, что банахов А-В-бимодуль является плоским тогда и только тогда, когда таковым является отождествляемый с ним унитальныи левый банахов А+ g Вр-модуль. Заметим также, что проективный банахов (би)модуль любого типа всегда является плоским (см. [43, предложение 7.1.44]). Следуя [43], мы будем называть непрерывный линейный оператор между банаховыми пространствами топологически инъективным, если он — инъективный оператор с замкнутым образом (т.е. если он осуществляет гомеоморфизм на свой образ). Эквивалентное определение плоскости банахова А-В-бимодуля Y состоит в том, что для любого допустимого мономорфизма г : X —У Z в B-mod-A оператор і 1у топологически инъективен (ср. [43, теорема 7.1.42]). Установим теперь полезную связь между свойствами плоскости модулей и бимодулей. Предложение 2.2.5 (ср. [43, предложение 7.1.57(V)]). Если Y — плоский банахов А-В-бимодулъ, a Z — произвольный левый банахов В-модуль, то Y 8 Z — плоский левый банахов А-модулъ. Доказательство. Пусть X Є mod-A. Предложение 2.2.3 дает изометрический изоморфизм (последние два пространства изоморфны в виду (2.7)). Рассматривая этот изоморфизм для всех X, мы можем установить изоморфизм между функторами где 2Г 8 ? отображает mod-A в B-mod-A, а g Y отображает B-mod-A в Ban. Так как, очевидно, функтор Z g сохраняет допустимость комплексов банаховых (би)модулей, точность функтора 8 Y влечет точность функтора g) (Y g Z). Следующее утверждение является легким обобщением предложения VII.2.4 из [42] (см. также [43, предложение 7.1.57(111)]). Предложение 2.2.6. ЕслиХ —плоский левый банахов А-модулъ, aY — плоский правый банахов В-модуль, то ХУ — плоский банахов А-В-бимодулъ. Теперь мы напомним (см. [42, 43]) следующее Определение 2.2.7. Банахова алгебра А называется биплоской, если банахов А-бимодуль А — плоский. Отметим, что любая биплоская банахова алгебра А идемпотен-тна, т.е. совпадает с А (см., например, [43, предложение 7.1.67]). В следующем предложении, дающем эквивалентное определение би-плоскости, 7Г : А — (A g)A) есть оператор, сопряженный к оператору умножения 7г : А 8 А —у A, a g)bt ab. Предложение 2.2.8 (см. [43, теорема 7.1.69(11)]). Банахова алгебра А является биплоской тогда и только тогда, когда оператор 7г : А — (А 8 А) — коретракция в категории A-mod-A, т. е. когда существует морфизм банаховых А-бимодулей : (А А) — А такой, что о 7Г = Близкую к предложению 2.2.8 характеризацию биплоскости дает Предложение 2.2.9 ([42, задача VII.2.8]). Пусть А — банахова алгебра.
Когомологические характеризации бипроективности и биплоскости
В этом параграфе мы получаем характеризации свойств бипроективности и биплоскости банаховых алгебр в терминах их групп ко-гомологий с коэффициентами в бимодулях мультипликаторов. Пусть А — банахова алгебра, и пусть X (Е A-mod-A. В следующей теореме пространства М(Х), TZAi(X), QM.(X) и Л4(Х) являются банаховыми А-бимодулями с модульными операциями, определенными в (2.9), (2.12), (2.19) и (2.15), соответственно. Теорема 2.5.1. Пусть А — бипроективная (соотв., биплоская) банахова алгебра, а X — любой (соотв., любой дуальный) банахов А-бимодулъ. Тогда: (ш) с точностью до топологического изоморфизма, /Н2(А,М.(Х)) = = Н2(А,Х). Доказательству теоремы 2.5.1 предпошлем лемму. В этой лемме, знак = заменяет слова "топологически изоморфен, как банахов А-би-модуль, бимодулю". Лемма 2.5.2. Пусть А — банахова алгебра, X Є A-mod-A и предположим, что оператор а : А А ся топологическим изоморфизмом. (І) Если У = СМ(Х), то Доказательство, (і) Пусть У = Л4(Х). Тогда, очевидно, СМ (У) = Ьл(А, h,4.(A, X)). Как известно (см. [42, теорема П.5.21 и задача П.5.22]), существует единственный изометрический изоморфизм банаховых пространств Так как оператор а : АА — А — топологический изоморфизм, то банахово пространство Ъ.А(А,Х) топологически изоморфно ЪА(А,ЬА(А, X)). Последний изоморфизм, как легко видеть, является морфизмом А-бимодулей. Следовательно, У = СМ(У). Заметим, что этот изоморфизм совпадает с отображением у ь- Ly, где Ьу(а) = у а для а Є А. Отсюда следует, что оператор где Ry(a) = а у для а Є А, имеет левый обратный Ф, являющийся морфизмом банаховых А-бимодулей. Легко доказать, что КегФ = 0. Отсюда Ф биективен, а значит, Ф и Ф — топологические изоморфизмы банаховых А-бимодулей. Таким образом, M.(Y) = Y. Заметим теперь, что, по предложению 2.3.4, HAd(Y) = QM.(X). Отсюда Легко показать, что соответствующий изоморфизм переводит каждый R Є TIM(Y) в Q Є QM(Y), где (ii) Это аналогично. (iii) Это немедленно следует из (і) и (ii), поскольку, согласно предложению 2.3.4, мы имеем (iv) Пусть Y = М(Х), и пусть Ф : X — Y есть отображение х н» (LX,RX), где Lx(a) = х а и Rx(a) = а х для а Є А. Положим Z = СМ{Х) и рассмотрим отображение Очевидно, Ф и А — морфизмы банаховых А-бимодулей, и мы можем рассмотреть операторы Легко видеть, что Фі и Ai также являются морфизмами банаховых А-бимодулей. В силу (і), композиция Аі о Фі этих морфизмов является топологическим изоморфизмом. Отсюда следует, что существует морфизм банаховых А-бимодулей /х : CM(Z) —у СМ(Х) такой, что fj, о Ai о Фі = 1см(Х) и Ai о Фх о = 1CM(Z)- Следовательно, Фі — морфизм с левым обратным Ф = /х о Ai и, очевидно, Ai о Ф о Ф = Ai. Нетрудно доказать, что, поскольку А2 плотно в А, то KerAi = 0. Отсюда Фі о Ф = \CM{Y)I и поэтому Ф = Ф 1. Таким образом, Фі — топологический изоморфизм, т.е. M(Y) = СМ(Х).
Аналогичное рассуждение применяется, чтобы показать, что 1ZM.(Y) = V,M.{X). Заметим, что изоморфизм СМ{Х) - СМ(У) (соотв., 1ZM(X) — — ИЛА (У)) переводит каждый левый (соотв., правый) мультипликатор ip : А —ї X в мультипликатор Ф о ip : А — Y. Теперь нетрудно доказать, что отображение (L,R) -» (Ф о Ь,Ф о R) есть топологический изоморфизм А-бимодулей из Л4(Х) на M(Y). Таким образом, M(Y) = Y. Наконец, заметим, что, по предложению 2.3.4, QM(Y) = KM(CM{Y)) ПМ{СМ{Х)) QM{X). и Доказательство теоремы 2.5.1. Все утверждения вытекают из леммы 2.5.2, теорем 2.4.1, 2.4.11 и следствий 2.4.4(H) и 2.4.13(H). Пусть теперь А — банахова алгебра, X, Y Є A-mod, a Z = В(Х, Y) — банахов А-бимодуль с операциями, заданными в (2.8). Напомним (см. [42, теорема III.4.12]), что, с точностью до топологического изо морфизма, %n(A,Z) = AExtn(X, Y) (п 0). Используя предложение 2.3.5, получаем, что для п 0 ными операциями, определенными в (2.10) и (2.12). Пусть теперь X Є A-mod и У Є mod-A. Хорошо известно, что в этом случае банахов А-бимодуль В(Х, Y ) изометрически изоморфен дуальному А-бимодулю (X g У) . Следовательно, В(Х, Y ) — дуальный бимодуль. Теперь из [43, теорема 7.3.25] немедленно получаем Следствие 2.5.3. Пусть А — банахова алгебра. (і) Предположим, что /H1(A,CM(Z)) = 0 для всех (соотв., всех дуальных) Z Є A-mod-A. Тогда, для любого X Є A-mod, левый банахов А-модуль АХ является проективным (соотв., плос- (іі) Предположим, что H1(A, R,M(Z)) = 0 для всех (соотв., всех дуальных) Z Є A-mod-A Тогда, для любого (соотв., любого дуального) X Є A-mod, левый банахов А-модуль %М.(Х) инъек-тивен. Замечание 2.5.4. Применяя теорему 2.5.1 и следствие 2.5.3, мы получаем, в частности, что если А — бипроективная банахова алгебра, то, для каждого X Є A-mod, левый банахов А-модуль проективен (ср. [37, теорема 2]) и левый банахов А-модуль TZAi(X) инъективен. Кроме того, если А — биплоская банахова алгебра, то, для любого X 6 A-mod, левый банахов А-модуль А X — плоский (ср. [43, теорема 7.1.60]) и, для любого Y Є mod-A, левый банахов А-модуль 1ZM(Y ) инъективен. Предложение 2.5.5. Пусть А — банахова алгебра. (і) Предположим, 4moW}(A,CM.(Z)) = 0 (соотв., H1(A,1ZM(Z)) = = 0) для всех дуальных Z Є A-mod-A. Тогда А2 плотно в А и оператор а : А 0 А — А5, а 0 Ь ь- аЬ, — топологический изо- морфизм. (іі) Предположим, что ,H1{A,QM{Z)) = 0 {соотв., W.1(A)M(Z)) = = 0) для всех дуальных Z Є A-mod-A. Тогда А2 плотно в А. Доказательство, (і) Пусть W}(A, CM(Z)) = 0 для всех дуальных Z Є A-mod-A. Согласно [42, теорема П.3.17], аннуляторный левый банахов А-модуль А/ А? топологически изоморфен А-модулю А0С, где С = А+/А, и мы получаем из следствия 2.5.3, что А/ А2 — плоский. Если А ф А, то одномерный А-модуль С представим как прямое слагаемое в А-модуле А/ А , откуда следует его плоскость. Но из плоскости А-модуля С вытекает, что А обладает правой о. а. е. (см. [42, теорема VII. 1.20]), что влечет А = А. Далее, левый банахов А-модуль А топологически изоморфен А 0 А+, а потому из следствия 2.5.3 следует, что А — плоский.
В этом случае комплекс банаховых пространств точен. Этот комплекс, очевидно, может быть отождествлен с комплексом и мы видим, что оператор а = а\ : А А — А5 — топологический изоморфизм. Аналогичное рассуждение работает, если W.l(A,1ZM(Z)) = 0 для всех дуальных Z Є A-mod-A. Действительно, из следствия 2.5.3 вытекает, что, для каждого У Є mod-A, левый банахов А-модуль 1ZM(Y ) (У 0 А) инъективен, а потому (см. [42, теорема VII.1.14]) правый банахов А-модуль У 0 А — плоский. Дальше ясно. (ii) Пусть У. (A, QM(Z)) — 0 для всех дуальных Z Є A-mod-A. Положим Z = С, где С — одномерный аннуляторный А-бимодуль, и возьмем Q Є QM{Z). Тогда Q(ab,с) = а Q(b,c) = 0 и Q(a,bc) = = Q(a, b) -с = 0 для всех а,Ь,с Є А. Отсюда следует, что банахово пространство QAd(Z) изоморфно (А/ А? А/ А%) . Поскольку, очевидно, QM.(Z) — аннуляторный А-бимодуль, то, с точностью до топологического изоморфизма, Так как У,1 (A, QM.(Z)) = 0, мы получаем, что А = А. Аналогичное рассуждение применяется в случае, когда H1(A,M.(Z)) = О для всех дуальных Z Є A-mod-A. Пусть А — банахова алгебра. В следующем предложении ж есть непрерывный линейный оператор изА()АвАА, однозначно опре- деляемый равенством Предложение 2.5.6. Пусть А — банахова алгебра. (і) Предположим, что H1(A,QAi(X)) = 0 для всех бимодулей X Є A-mod-A. Тогда существует такой морфизм банаховых А-бимодулей р : А А — А 8 А, что ТГ о р = 1А А. (п) Предположим, что Н1(А, QM(X)) = 0 для всех дуальных бимодулей X Є A-mod-A. Тогда существует такой морфизм банаховых А-бимодулей р : А А — (А А) , что тг о р есть естественное вложение А А в (А А) . Доказательство, (і) Возьмем X = Кег7г С A g A. Тогда X — банахов А-бимодуль, и отображение а н- D(a), где есть непрерывное дифференцирование алгебры А со значениями в QM(X). Так как Ч\А, QM{X)) = 0, то существует Q Є QM{X) с D(a) = а Q — Q а для а А. Тогда, для а,Ь,с Є А, имеем и отсюда Положим, для a, b Є А, Тогда І? — непрерывный билинейный оператор из А х А в А А. В силу (2.34), R сбалансирован (т.е. R(ba,c) = R(b,ac) для любых а,Ь,с Є А). Оператор из А А в А А, ассоциированный с R, обоз-начим через р. Очевидно, что р — морфизм А-бимодулей. Поскольку для всех а, b Є А, то р — требуемый морфизм. (іі) Положим X = Кег 7г. Рассмотрим короткий точный комплекс в A-mod-A (г — естественное вложение) и его второй сопряженный комплекс который также точен (см. [42, теорема 0.5.2]). А-бимодуль X , очевидно, можно отождествить С КЄГ7Г . Для а Є А, определим формулой (2.33), так что D : А - QM(X ) есть непрерывное дифференцирование. Поскольку (А, QM.(X )) = 0, то существует Q Є QM.{X ) с D(a) = a -Q — Q а для а А.
Сильно недополняемые подпространства банаховых пространств
Пусть Е — банахово пространство, EQ — его замкнутое подпространство. Пусть, далее, А — банахова алгебра, XQ и X — левые банаховы А-модули, г : XQ — X — морфизм этих модулей, а — морфизм левых банаховых А-модулей, задаваемый формулой Рассмотрим следующие два утверждения: (і) Д — коретракция в A-mod, (ii) г — коретракция в A-mod. Легко видеть, что всегда справедлива импликация (ii) - (і). Определение 3.2.1. Будем говорить, что подпространство EQ сильно недополнлемо в Е, если, для любых A, XQ, ХИТ, справедлива импликация (і) =Ф- (ii). Ясно, что всякое сильно недополняемое подпространство не дополняемо. Нам неизвестно, однако, является ли всякое недополняемое подпространство сильно не дополняемым. Наше исследование сильно недополняемых подпространств банаховых пространств основано на следующей лемме. Лемма 3.2.2. Пусть Е и F — банаховы пространства, EQ С Е и FQ С F — их замкнутые подпространства и предположим, что существуют непрерывные линейные операторы Ті : F — Е и Т2 : EQ - F0 такие, что Ti(Fo) С EQ и Т2(ТІ(сс)) = х при всех х Є FQ. Если FQ сильно недополняемо в F, то EQ сильно недополняемо в Е. Доказательство. Пусть FQ СИЛЬНО недополняемо в F. Предположим также, что, для банаховой алгебры А и морфизма г Є h(Xo, X), морфизм A : XQ S EQ — (X g EQ) ф (XQ g E) является коретракцией в A-mod, т.е. существует морфизм левых банаховых А-модулей такой, что V о А = 1Х0Е0- Определим То : FQ — EQ формулой и, для и Є X g)FQ, v Є -Хо (g F, положим Тогда, очевидно, V есть морфизм левых банаховых А-модулей из (X F0) Є (Хо (g) F) в Х0 Й F0. Легко видеть, что V о А = 1ХоA.Fo, где морфизм А : Хо Fo —» (X g Fo) ф (Хо F) определяется формулой Поскольку Fo сильно недополняемо в F, то г — коретракция в A-mod.
Следовательно, Fo сильно недополняемо в Е. Следствие 3.2.3. Пусть F — банахово пространство, EQ — его замкнутое подпространство, а Е — банахово пространство, содержащее F как замкнутое подпространство. Если EQ сильно недополняемо в F, то EQ также сильно недополняемо в Е. Доказательство. Мы имеем EQ С F С Е. Положим FQ = EQ, ТІ = \Е0 И ТІ = j, где j : F —У E — естественное вложение. Остается воспользоваться леммой 3.2.2. Следствие 3.2.4. Пусть Е — банахово пространство, EQ — его замкнутое подпространство, причем EQ содержит дополняемое подпространство FQ, которое является сильно недополняемым в Е. Тогда EQ сильно недополняемо в Е. Доказательство. Мы имеем FQ С EQ С Е. Положим F = Е и Ті = 1Е- Поскольку FQ — дополняемое подпространство в EQ, существует непрерывный линейный оператор Т2 : EQ —У FQ такой, что Тг(а?) = х при всех х Є FQ. Остается применить лемму 3.2.2. Из теоремы 3.1.3 следует, что подпространство CQ сильно недополняемо в . Из этого факта вместе с леммой 3.2.2 получаем Предложение 3.2.5. Пусть Е — банахово пространство, EQ — его замкнутое подпространство. Если существуют непрерывные линейные операторы Т\ : -» Е и Ті : EQ —У CQ такие, что Ті (со) С EQ и Тг(Ті()) = при всех Є CQ, то EQ сильно недополняемо в Е. Следствие 3.2.6. Пусть EQ — замкнутое подпространство в и предположим, что EQ содержит дополняемое подпространство, изоморфное CQ. Тогда EQ сильно недополняемо в . Доказательство. Поскольку со изоморфно дополняемому подпространству в EQ, то ясно, что существуют непрерывные линейные операторы То : CQ —У EQ И Т% : EQ —У CQ такие, что при всех Є Со- Так как, согласно теореме Филлипса (см. [67, глава VII, теорема 3]), банахово пространство » "инъективно", оператор То : со —У EQ С ОО обладает непрерывным линейным продолжением Ті : оо — оо- Остается применить предложение 3.2.5. Следствие 3.2.7. Пусть EQ — банахово пространство, и пусть EQ содерокит дополняемое подпространство, изоморфное CQ. Тогда EQ сильно недополняемо в (EQ) . Доказательство. Снова, так как со изоморфно дополняемому подпространству в EQ, существуют непрерывные линейные операторы То : со — EQ и Тг : EQ —У со такие, что Тг о То = 1Со. Но теперь оператор То, очевидно, обладает непрерывным линейным продолжением Ті = (То) : оо — (Д)) - Остается применить предложение 3.2.5. Предложение 3.2.8. Пусть Е — банахово пространство, EQ — его сепарабелъное замкнутое подпространство. Предположим, что существует непрерывный линейный оператор Т : 1 —у Е такой, что T(CQ) С EQ, а ограничение отображения Т на CQ есть изоморфное вложение1. Тогда EQ сильно недополняемо в Е. Доказательство. Так как Т\с : CQ —У Е — изоморфное вложение, то Т(со) является замкнутым подпространством в EQ. Определим оператор То : со -» Т(со) формулой То() = Т() для Є со, так что То есть изоморфизм банаховых пространств. Поскольку EQ — сепарабелъное банахово пространство и Т(со) топологически изоморфно со, то, по теореме Собчика (см. [67, глава VII, теорема 4]), Т(со) дополняемо в EQ. Поэтому существует непрерывный линейный оператор 1 Иными словами, топологически инъективный оператор. P : EQ —ї T(CQ) такой, что P(x) = x для всех x Є T(CQ). Положим Ті = Т и Г2 = (Го)-1 о Р. Тогда Ті : 4» - Я и Т2 : #0 -» с0 — непрерывные линейные операторы такие, что T\(CQ) С En И T2(TI()) — при всех Є со. Остается воспользоваться предложением 3.2.5. Для банахова пространства Е, пусть, как обычно, К{Е) и В(Е) обозначают банаховы пространства всех компактных и всех непрерывных линейных операторов в Е, соответственно.
Напомним, что базис Шаудера {еп} -1 с биортогональной системой функционалов {е } в банаховом пространстве Е называется безусловным бази- сом, если для каждого х Є Е ряд е п{х)еп сходится безусловно. Теорема 3.2.9. Пусть Е — бесконечномерное банахово пространство с безусловным базисом {en}%Li. Тогда подпространство К{Е) сильно недополняемо в В(Е). Доказательство. Как известно (см., например, [102, предложения 1.с6 и I.e.7]), существует такая константа С, что, для каждого выбора скаляров {«п} 1 такого, что апеп сходится, и каждого выбора ограниченных скаляров {А„} .1, ряд Хпоспеп сходится и Рассмотрим непрерывный линейный оператор Т\ : , —у В(Е), определяемый формулой рі()](я) = Еп=і папЄп для = (п)п=і Є 4», х = 7гЄп Є -Е. Очевидно, что Ті(со) С JC(E). С другой стороны, пусть Тг : К(Е) —» со — непрерывный линейный оператор 5 1-4 Тг ) = (е (5е„)) 11, где {е } — биортогональная система функционалов. Ясно, что 7г(!Гі()) = при всех Є с0, и наше утверждение следует из предложения 3.2.5. Мы будем использовать некоторые прямые суммы бесконечных семейств банаховых пространств. Для данного семейства {ЕІ : і Є Л} банаховых пространств, положим а также положим где Я?І —у 0 означает, что для каждого є 0 множество точек г Є Л, для которых \\х{\\ є, конечно. В этих суммах алгебраические операции выполняются покоординатно. Очевидно, 0ос{Д : г Є Л} и Фо{- г : і Є Л} — банаховы пространства. Назовем их 1 -суммой и CQ-суммой семейства {ЕІ : і Є Л}, соответственно. В случае, когда Е{ = Е для некоторого фиксированного Е, вместо Фоо{Д- : г Є Л} и Фоі-Е1; : г Є Л} будем писать оо(А,Е) и с0(Л,/). Ясно, что ос(Л.,Е) совпадает с пространством всех ограниченных функций из Л в Е, а CQ(A,E) совпадает с его подпространством функций из Л в Е, кото-рые исчезают на бесконечности. Наконец, мы будем писать 4» (Л) для 4о(Л,С), и с0(Л) для с0(Л,С). Теорема 3.2.10. Пусть {ЕІ : г Є Л} — бесконечное семейство ненулевых банаховых пространств. Тогда подпространство ФО{ЕІ : і Є Л} сильно недополняемо в пространстве Фоо{і?г : і Є Л}. Доказательство. Пусть N = {її,... ,гп,...} С Л — счетное подмножество в Л. Выберем для каждого п = 1,2,... элемент еп Є Еіп с е„ = 1 и функционал /„ Є {Еіп) с /„ = /n(en) = 1. Рассмотрим непрерывный линейный оператор С другой стороны, пусть Т2 : Фо{Д- : г Є Л} —) со — непрерывный линейный оператор у = (у{) н» Т2(у) = (fn(Vin))%Li- Очевидно, Ї2(7\()) = для Є со. Остается применить предложение 3.2.5. Следствие 3.2.11. Пусть Л — бесконечное множество, и пусть Е — ненулевое банахово пространство. Тогда подпространство со(Л,Е1) сильно недополняемо в (Л, І7).
Похожие диссертации на Когомологии банаховых и близких к ним алгебр
