Введение к работе
Актуальность темы. В современной геометрической теории іункцші многих переменных важное место занимает теория про-транственных квазиконформных отображений и их обобщений.
Теория плоских квазиконформных отображений, берущая на-ало в известных работах Г.Греча, М.А.Лаврентьева, Л.Адьфро-а составляет ванную часть теории функций комплексного пере-енного и имеет многочисленные приложения к задачам мехапи-и и математики.
Изучение пространственных квазиконформных отображений; веденных М.А.Лаврентьевым в 1938 г., интенсивно продолка-ось, начиная с 1960-х годов, в работах отечественных и за-убежных математиков, таких как Б.В.Шабат, II.И.Белинский, .Г.Решетняк, В.А.Зорич, Г.Д.Суворов, А.В.Сычев, В.М.Гольд-гейн, В.В.Асеев, Б.П.Куфарев, А.П.Копылов, С.К.Водопьянов, .Вяйсяля, Ф.Геринг, О.Мартио, С.Рикман, Р.Някки, М.Вуори-зн и др.
К настоящему времени теория пространственных квазиконфоп-шх отображений оформилась в самостоятельный раздел теории ж гадай многих переменных, имеющий установившиеся плодотворные ;вязи с такими областями математики, как теория дискретных Ц'пп, унифбрмизация а топология многообразий, фуикционапь-ш пространства и дифференциальные операторы, теория понижении и др.
В 1968 г. В.А.Зоричем был установлен допустимый порядок роста характеристики квазиконформности в теореме М.А.Лаврентьева, что послужило толчком к развитию теории квазиконформных в среднем пространственных отображений. В работах И.Н.Пе-сина, В.И.Кругликова, Ю.Ф.Стругова, В.С.Кудьявина и др. вводятся ограничения интегрального типа на поведение характеристики квазиконформности отображения. Гомеоморфизмы о характеристиками квазиконформности, удовлетворяющими этим ограничениям - в зависимости от типа накладываемых ограничений - имеют многие внутренние и граничные свойства, характерные для пространственных квазиконформных отображений.
В связи с этим при рассмотрении какого-либо набора свойств пространственных квазиконформных отображений естественно возникает задача определения такого поведения характеристики квазиконформности отображения, которое выделяло бы возможно более широкий класс неквазиконформных, вообще говоря, отоб ражений, обладающих этим же набором свойств.
Характерным граничным свойством квазиконформных отображений пространственных областей с гладкими границами является квазиконформность индуцированного на границе этих областей отображения. Представляет интерес выделение классов гомеоморфизмов, обладающих аналогичными граничными свойствами. Естественно потребовать, чтобы ограничения на поведение характеристики квазиконформности, выделяющие такой класс, были заданы лишь в окрестности точек границы и носили предельный xapai тер.
Цель работы. I. Определенно ограничений на поведение характеристики квазиконформности отображения вблизи границы, эбеспечивающих квазиконформность или квазисимметричность инду-дированного на границе отображения.
2. Исследование свойств гомеоморфизмов с характеристиками квазиконформности, удовлетворяющими этим ограничениям.
Методика исследования основана на общих методах геометри-ієской теории функций и, в частности, теории модулей семейст давых и конформной ёмкости и законах их искажения при рассматриваемых отображениях.
Научная новизна. Введено I - условие на поведение характеристики квазиконформности отображения. Определены условия m геометрию областей, обеспечивающие продолжимость гомеоморфизмов, удовлетворяющих I- условию на границе, до гомеоморфиз-109 замыканий. Введено свойство псевдоквазиконформности отоб-?ажения на границе. Показано, что квазиконформный на границе гомеоморфизм областей с гладкими яордановыми границами инду-(ирует квазиконформное отображение границ. Введено свойство равномерной псевдоквазиконформности и показано, что след рав-' [омерно псевдоквазиконформного на континууме автоморфизма [лоскости является квазисимметрией этого континуума. Показано, [то равномерно псевдоквазиконформный на границе гомеоморфизм іара на ограниченную жордавову Q Е D -область индуцирует ззазисимметри» границы. Для некоторого класса плоских кривых [оказана непродолжимость квазисимметрии между кривыми этого ;ласса до равномерно псевдоквазиконформного на отображаемой ;ривой автоморфизма плоскости.
Практическая и теоретическая ценность. Полученные результаты могут быть использованы в смежных облаотях геометрической теории функций.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на всесоюзной конференции по геометричеокой теории функций (Ново-оибирок, 1988 г.), всесоюзной школе-семинаре по комплексному анализу (Ташкент, 1989 г.), на оеминарах лаборатории теории функций Института математики СО РАН и на семинаре по математическим моделям оплошной среда в Институте гидродинамики им. Ы.А.Лаврентьева СО РАН.
Публикации. По теме диссертации опубликованы работы Сі -
4].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из. введения, двух глав и описка цитируемой литературы. Общий объем диссертации 91 страница, спиоок литературы.содержит 25 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.
